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(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）平行于三角形一边的直线和三角形其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；（3）如果两个三角形的两条对应边之比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．AE AC AD AB = B ．DEBCAD AB = C ．∠B=∠D D ．∠C=∠AED如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=14CD ，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4如图，在△ABC 中．∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对在△ABC 中，∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC ，则∠BCA 的度数为_____如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5如图，∠BAD=∠C，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE：AF=学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。
类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似”。
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。
相似三角形的判定（一）一、判定（1）平行于三角形的一边的直线与两边相交，所截得的三角形与原三角形相似。
（2）平行于三角形一边的直线与另两边的延长线相交，所得的三角形与原三角形相似。
例一（1）如图，DE//BC,EF//AB,则图中有个相似三角形。
（2图中EF//GH//IJ∥BC，找出图中所有的相似三角形。
例二（1）如图，在∆ABC中，DE//BC,AD=EC,BD=1,AE=4,BC=5,则DE= 。
（2）如图，在∆ABC中，∠ACB的平分线交AB于D，DE//AC交BC于E，若AC=9，CE=3，则BE= 。
例三(1)如图，平行四边形ABCD中，E是BC边上的点，AE交BD于点F，如果BE:BC=2:3,求BF:FD。
(2)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,EF交AC于G,那么AG:GC的值是多少？（3）如图，已知AB//EF//CD，且AB=3，CD=2，求EF的值相似三角形的判定（二）一、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
二、如果两个三角形中两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
例一：如图，E是平行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ上一点，且,且AB/AE=AC/AD.∠1=∠2,求证:∠ABC=∠AED。
例二：如图，在等边∆ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD/AC=⅓,AE=BE,则有（）A、∆ADE∽∆BEDB、∆AED∽∆CBDC、∆AED∽∆ABDD、∆BAD∽∆BCD例三:(1)如图，点D是△ABC内一点，连结BD并延长到E，连结AD、AE，若∠BAD＝20°，AB /AD=BC/DE=AC/AE ，则∠EAC＝。
(2)如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上一点，且BP：CP=3:1，Q是CD的中点，求证：（1）∆ADQ∽∆QCP；（2）∆APQ∽∆QPC。
相似三角形的判定（三）如果两个三角形有两组对应角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的五种判定方法SSASSA是根据两条边加上它们之间的夹角来判断三角形是否相似的方法。
如果两个三角形的两条边加上它们之间的夹角相等，则这两个三角形是相似的，即满足SSA。
例如，两个三角形A的两边长分别为4 cm、6 cm，它们之间的夹角为60°；而三角形B的两边长也分别为4 cm、6 cm，它们之间的夹角也为60°，则A和B是相似的三角形。
第二种判定方法：SAS(Side-Angle-Side)SAS是根据一条边的长度及它两旁角的大小来判断三角形是否相似的方法。
如果两个三角形有一条边的长度及它两旁夹角的大小相等，则这两个三角形是相似的，即满足SAS。
例如，两个三角形A的边长分别为2 cm、4 cm，它们的夹角分别为60°和30°；而三角形B的边长也分别为2 cm、4 cm，它们的夹角也分别为60°和30°，则A和B是相似的三角形。
第三种判定方法：AAA(Angle-Angle-Angle)AAA是根据三角形的三个内角的大小来判断三角形是否相似的方法。
如果两个三角形的三内角大小相等，则这两个三角形是相似的，即满足AAA。
例如，三角形A的角的大小分别为30°、60°、90°；而三角形B的角的大小也分别为30°、60°、90°，则A和B是相似的三角形。
第四种判定方法：AAS(Angle-Angle-Side)AAS是根据两个内角的大小加上它们之间一条边的长度来判断三角形是否相似的方法。
如果两个三角形有两个内角的大小及它们之间一条边长度相等，则这两个三角形是相似的，即满足AAS。
例如，两个三角形A的角分别为30°、60°，它们之间一条边长度为3 cm；而三角形B的角分别为30°、60°，它们之间一条边长度也为3 cm，则A和B是相似的三角形。
A D BC （E ）图4相似三角形：是形状相同的三角形，它们的对应角都相等、对应边都成比例。
如△DEF 、△ABC 相似，表示为△DEF ∽△ABC 。
相似比：两个三角形相似，对应边的比叫相似比。
如：若△DEF 、△ABC 相似，则DFAC EFBC DEAB ==相似三角形判定定义法：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。
判定定理①：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定定理②：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（三边对应成比例，两三角形相似） 判定定理③：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）判定定理④：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（两角对应相等，两个三角形相似）特殊情况：第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。
第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形中的基本图形： （1）平行型：（A 型，X 型）（2）交错型：（3）旋转型：（4）母子三角形： 1，D 、E 分别是△ABC 的边BA ，CA 延长线上的点，DE ∥BC 。
（1）图中有哪些相等的角？（2）找出图中的相似三角形，并说明理由； （3）写出三组成比例的线段。
（1） （2） 。
理由是：（3）变形一：把上图中的直线DE 向平行于BC 方向移动到现在的位置，变为图2，回答上面的问题。
（1） （2） （3） 变形二：移动线段DE ，使∠AED ＝∠B ，变为图3，回答上面的问题。
（1） （2） （3） 。
知识点：相似三角形1、相似三角形1）概念：若是两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形必然相似。
两个等腰直角三角形必然相似。
两个等边三角形必然相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不必然相似。
补充：关于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。
相似比为k。
4）判定：①概念法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所组成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：若是一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：若是一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，而且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：若是一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，而且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有普遍的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
年 级 九年级 课题 27.2.1相似三角形的判定（第一课时）
课型 新授
教学媒体 多媒体
教 学 目 标
知识 技能
1． 了解相似三角形及相似比的概念； 2． 掌握平行线分线段成比例定理和推论；
3． 掌握相似三角形两种判定方法：平行线法，三边法.
过程 方法 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法. 情感 态度
发展学生的探究能力,渗透类比思想,体会特殊与一般的关系.
教学重点 掌握相似三角形的概念,能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似. 教学难点
能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容
师生行为 设计意图
一、复习引入
1.什么是相似多边形?
2.怎样判断两个多边形相似?
3.三角形也属于多边形吗？相似三角形属于相似多边形吗？
4.给相似三角形下定义.
5.怎么样判断两个三角形相似？ 二、自主探究
（一）平行线分线段成比例定理及其推论
教材40页探究1
● 平行线分线段成比例定理 分析:
1.线段AB,BC,DE,EF 的长度随着直线5,43,l l l 的位置的变化而变化吗？
2.猜测BC
AB 与EF
DE 相等吗？
3.通过画图，测量，计算验证你的猜想.
4.用数学语言描述你的发现. 得到：平行线分线段成比例定理
教师点拨：其它成比例的线段还有哪些？实际上，线段左上、左下、左全，右上、右下、右全只要写在对应位置， 所得比就是相等的. ●
平行线分线段成比例定理的推论
1.定理图形中的直线21,l l 交点在直线43,l l 上时，对应线段还成比例吗？
2.擦去四周的部分，只留下△ABC 和△ADE ，原来的对应线段还成比例吗？
你可以得到什么结论？
得到：平行线分线段成比例定理构的推论 （二）相似三角形的判定方法 ●
平行线法
在上面的两幅图形中，△ABC 和△ADE 相似吗？你能用学过的知识说明吗？
教师提出问题，学生回忆，思考，并回答 教师组织学生按照探究要求进行活动，并回答教师设计的问题，逐步完善探究到的结论.
教师进行必要点拨，让学生认识到所有的成比例线段以及他们的内在联系. 教师利用图形的变化自然将教学内容过渡到推论的探究，引导学生思考问题，逐步认识到定理内容在三角形中体现，从而得到推论，学生尝试叙述，教师引导完善，规范. 复习相关知识，引出课题。
建立新旧知识之间的联系，感知事物之间由一般到特殊，由特殊到一般的关系.
激起学生的好奇心，探索欲望.
通过实践，建立感性认识，再通过语言描述建立理性认识(定理).
让学生亲自进行观察，分析，探究，得到结论，培养学生的观察能力,再次体会由一般到特殊的思想方法.
23
教师点拨：利用相似三角形的定义，说明△ABC 和△ADE 的三边对应成比例，三角对应相等.
得到：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
三边法
上面得到了一个关于三角形相似的判定方法，类似于三角形的全等的判定方法，探究三角形相似的判定方法，三角形全等有SSS 方法，那么能否通过三边来判断三角形相似呢？
教材42页探究2
分析： 1.按要求画图，度量，初步体会结论的正确性
2.尝试进行几何证明
得到：如果两个三角形的三组对边的比相等，那么这两个三角形相似. （三）应用
1.已知，如图，在△ABC 中，DE ∥BC,DF ∥AC,求证：△ADE ∽△DBF
2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个的三边长为3、4、5，另一个三角形的一边长为2，它的另两条边长为多少？你有几个答案？
三、课堂训练
1. △ABC 和 △C B A '''中，BC=2, AC=3, AB=4；2=''B A ，2=''C B ,3=''C A ,，判断△ABC 和C B A '''是否相似
2. 如图，在正方形网格上有两个三角形ABC 和DEF,求证△ABC ∽△DEF
四、课堂小结
1相似三角形及相似比的概念；
2平行线分线段成比例定理和推论； 3相似三角形两种判定方法：平行线法，三边法 4用到的数学思想方法，你这节课有什么感悟？ 五、作业设计
教材习题27.2 必做题2(1),3(1)
选做题：4,5
回忆、思路迁移
按要求画图，度量，
初步体会结论的正
确性 尝试证明
分析已知条件，独立
尝试进行证明，一生
板演，之后师视情况点拨
独立尝试后小组讨
论
学生独立分析解决
练习,教师巡视指导,学生回答问题并说明原因,师生达成一致
学生回顾总结，归纳本节课所学知识，这
节课感悟，教师系统归纳
体会知识之间的联系
通过实践，建立感性认识，再通过语言描述建立理性认识(定理)
通过分析、解决问题巩固所学知识，培养学生解决问题的意识和能力
兵教兵、广参与，同提高，通过练习进一步加深对相似多边形的特征等所学知识的理解和应用，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力，并为此获得成功的体验.
帮助学生归纳总结，巩固所学知识，加深对数学思想方法的认识.
27.2 相似三角形的判定
平行线分线段成比例定理 相似三角形的判定： 平行线法 应用1 推论 三边法 应用2
教 学 反 思
24。
