相似三角形的判定()

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）平行于三角形一边的直线和三角形其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；（3）如果两个三角形的两条对应边之比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．AE AC AD AB = B ．DEBCAD AB = C ．∠B=∠D D ．∠C=∠AED如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=14CD ，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4如图，在△ABC 中．∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对在△ABC 中，∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC ，则∠BCA 的度数为_____如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5如图，∠BAD=∠C，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE：AF=学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。

（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。

类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似”。

（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。

相似三角形的判定（一）一、判定（1）平行于三角形的一边的直线与两边相交，所截得的三角形与原三角形相似。

（2）平行于三角形一边的直线与另两边的延长线相交，所得的三角形与原三角形相似。

例一（1）如图，DE//BC,EF//AB,则图中有个相似三角形。

（2图中EF//GH//IJ∥BC，找出图中所有的相似三角形。

例二（1）如图，在∆ABC中，DE//BC,AD=EC,BD=1,AE=4,BC=5,则DE= 。

（2）如图，在∆ABC中，∠ACB的平分线交AB于D，DE//AC交BC于E，若AC=9，CE=3，则BE= 。

例三(1)如图，平行四边形ABCD中，E是BC边上的点，AE交BD于点F，如果BE:BC=2:3,求BF:FD。

(2)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,EF交AC于G,那么AG:GC的值是多少？（3）如图，已知AB//EF//CD，且AB=3，CD=2，求EF的值相似三角形的判定（二）一、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

二、如果两个三角形中两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形相似。

例一：如图，E是平行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ上一点，且,且AB/AE=AC/AD.∠1=∠2,求证:∠ABC=∠AED。

例二：如图，在等边∆ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD/AC=⅓,AE=BE,则有（）A、∆ADE∽∆BEDB、∆AED∽∆CBDC、∆AED∽∆ABDD、∆BAD∽∆BCD例三:(1)如图，点D是△ABC内一点，连结BD并延长到E，连结AD、AE，若∠BAD＝20°，AB /AD=BC/DE=AC/AE ，则∠EAC＝。

(2)如图，在正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD上一点，且BP：CP=3:1，Q是CD的中点，求证：（1）∆ADQ∽∆QCP；（2）∆APQ∽∆QPC。

相似三角形的判定（三）如果两个三角形有两组对应角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形的五种判定方法SSASSA是根据两条边加上它们之间的夹角来判断三角形是否相似的方法。

如果两个三角形的两条边加上它们之间的夹角相等，则这两个三角形是相似的，即满足SSA。

例如，两个三角形A的两边长分别为4 cm、6 cm，它们之间的夹角为60°；而三角形B的两边长也分别为4 cm、6 cm，它们之间的夹角也为60°，则A和B是相似的三角形。

第二种判定方法：SAS(Side-Angle-Side)SAS是根据一条边的长度及它两旁角的大小来判断三角形是否相似的方法。

如果两个三角形有一条边的长度及它两旁夹角的大小相等，则这两个三角形是相似的，即满足SAS。

例如，两个三角形A的边长分别为2 cm、4 cm，它们的夹角分别为60°和30°；而三角形B的边长也分别为2 cm、4 cm，它们的夹角也分别为60°和30°，则A和B是相似的三角形。

第三种判定方法：AAA(Angle-Angle-Angle)AAA是根据三角形的三个内角的大小来判断三角形是否相似的方法。

如果两个三角形的三内角大小相等，则这两个三角形是相似的，即满足AAA。

例如，三角形A的角的大小分别为30°、60°、90°；而三角形B的角的大小也分别为30°、60°、90°，则A和B是相似的三角形。

第四种判定方法：AAS(Angle-Angle-Side)AAS是根据两个内角的大小加上它们之间一条边的长度来判断三角形是否相似的方法。

如果两个三角形有两个内角的大小及它们之间一条边长度相等，则这两个三角形是相似的，即满足AAS。

例如，两个三角形A的角分别为30°、60°，它们之间一条边长度为3 cm；而三角形B的角分别为30°、60°，它们之间一条边长度也为3 cm，则A和B是相似的三角形。

A D BC （E ）图4相似三角形：是形状相同的三角形，它们的对应角都相等、对应边都成比例。

如△DEF 、△ABC 相似，表示为△DEF ∽△ABC 。

相似比：两个三角形相似，对应边的比叫相似比。

如：若△DEF 、△ABC 相似，则DFAC EFBC DEAB ==相似三角形判定定义法：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。

判定定理①：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

判定定理②：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（三边对应成比例，两三角形相似） 判定定理③：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）判定定理④：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（两角对应相等，两个三角形相似）特殊情况：第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。

第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形中的基本图形： （1）平行型：（A 型，X 型）（2）交错型：（3）旋转型：（4）母子三角形： 1，D 、E 分别是△ABC 的边BA ，CA 延长线上的点，DE ∥BC 。

（1）图中有哪些相等的角？（2）找出图中的相似三角形，并说明理由； （3）写出三组成比例的线段。

（1） （2） 。

理由是：（3）变形一：把上图中的直线DE 向平行于BC 方向移动到现在的位置，变为图2，回答上面的问题。

（1） （2） （3） 变形二：移动线段DE ，使∠AED ＝∠B ，变为图3，回答上面的问题。

（1） （2） （3） 。

知识点：相似三角形1、相似三角形1）概念：若是两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形必然相似。

两个等腰直角三角形必然相似。

两个等边三角形必然相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不必然相似。

补充：关于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。

相似比为k。

4）判定：①概念法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所组成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：判定定理1：若是一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：若是一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，而且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：若是一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，而且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有普遍的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。

二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法主要有以下几种：
1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。

2. SSS判定法：如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，而且两个相邻边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

4. 共边判定法：如果两个三角形有一条边是相等的，并且其他两边的比值相等，则这两个三角形是相似的。

需要注意的是，以上判定方法只能判断两个三角形是否相似，不能得出相似三角形的具体比例关系。

若要确定相似三角形的比例关系，需要通过对应边长的比值来确定。

相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。

相似比为k。

判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

相似三角形的判定（一）【知识要点】1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似三角形．ABC ∆与DEF ∆相似，记作ABC ∆∽DEF ∆ 2．相似三角形的判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．在ABC ∆和///C B A ∆中，,,//B B A A ∠=∠∠=∠则ABC ∆∽///C B A ∆，【经典例题】例1．如图1，若ABE ∆与ACD ∆中，AD=AE 且AB=AC ，求证：BOD ∆∽COE ∆．例2．如图所示，已知点D 、E 在等边ABC ∆的边BC 所在直线上，且满足AB=AC ，求证：ABD ∆∽ACE ∆．例3．如图，已知在ABC ∆中，AE=AC ，CE AH ⊥，垂足为K ，且AH BH ⊥，垂足为H ，AH 交BC 于D ，试证明ABH ∆∽ACK ∆． ABDOC EBCC例4．在平行四边形ABCD 中，过点B 作CD BE ⊥于E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且C BFE ∠=∠，求证：ABF ∆∽EAD ∆．例5．如图所示，ABC ∆中，2,90==︒=∠AC AB BAC ，点D 在BC 上，DE ADE ,45︒=∠交AC 于E ，求证ABD ∆∽DCE ∆．【经典练习】1．下面能够相似的一组三角形为（ ）A 、两个等腰三角形B 、两个直角三角形C 、两个等边三角形D 、以上都不对 2．下列说法正确的是（ ）A 、不全等的三角形一事实上不是相似三角形B 、不相似的三角形一定不是全等三角形C 、相似三角形一定不是全等三角形D 、全等三角形不一事实上是相似三角形 3．下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的直角三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤顶角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个 4．已知ABC ∆∽///C B A ∆，若︒=∠︒=∠100,55B A ，则/C ∠等于（ ）DC EA EBC D5．如图所示，已知B ADE ∠=∠，则ABC ∆∽∆ ，理由是 .6．ABC ∆中，D 是AB 上一个固定点，E 是AC 上的一个动点，若使ADE ∆与ABC ∆相似，则这样的点E 有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、很多7．如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ， 则图中共有相似三角形（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对8．如图，ABC ∆中，AB=AC ，AD 为高，EF ∥BC ，写出图中与ADC ∆相似的三角形．9．如图所示，D 为ABC ∆内任意一点，E 为ABC ∆外一点，且43,21∠=∠∠=∠，求证：DEB ACB ∠=∠．10．满足条件：︒=∠︒=∠︒=∠︒=∠60,80,80,40//B A B A 的两三角形ABC ∆和///C B A ∆是否相似？BEBE11．如图，正方形ABCD ，AB=2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，AP DQ ⊥于Q ．求证DAQ ∆∽APB ∆．12．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EC EF ⊥交AB 于F ，连结FC （AB>AE ）．试问：AEF ∆与EFC ∆是否相似？若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由．13．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD<BC, AD=5,AB=DC=2,如图所示，P 为AD 上的一点，满足A BPC ∠=∠．求证：ABP ∆∽OPC ∆．14． ABC ∆为等边三角形，︒=∠120DAE ，利用三角形相似的关系来说明．ADB ∆∽DAC ∆．BCC相似三角形判定作业1．在ABC ∆和111C B A ∆中，︒=∠︒=∠72,68/C A ，这两个三角形（ ） A 、既全等又相似 B 、相似 C 、全等 D 、无法判定 2．下列说法正确的是（ ）①相似三角形一定全等；②不相似的三角形一定不是全等三角形；③全等三角形不一定是相似三角形；④全等三角形一定是相似三角形A 、①②B 、②③C 、②④D 、③④ 3．下列命题中，正确的是（ ）A 、相似三角形是全等三角形B 、一个角为︒30的两个等腰三角形相似C 、全等三角形都是相似三角形D 、所有等腰直角三角形不一事实上相似 4．已知ABC ∆∽DEF ∆，若︒=∠︒=∠80,30B A ，则F ∠的度数是（ ） A 、︒30 B 、︒80 C 、︒70 D 、︒605．两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别为︒︒60,40，那么另一个三角形最大内角的度数为 ，最少内角的度数为 ．6．已知OAB ∆∽OCD ∆，AO=9，AB=7，AC=15，︒=∠140AOD ，︒=∠65B ，求C ∠和D ∠的度数．7．已知ADE ∆∽ABC ∆，︒=∠70A ，︒=∠45B ，求AED ∠的度数．。

三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。

判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。

本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。

一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。

原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。

三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。

图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。

例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。

判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。

二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。

这是基于比例关系的相似判定方法。

原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。

比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。

图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。

例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。