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材料力学计算机计算惯性矩和抗弯截面系数方法Hessen was revised in January 2021材料力学—计算机计算惯性矩和抗弯截面系数方法1 在AutoCAD中绘制需要计算的截面图形或导入图形，如图1所示。
图12 创建面域面域创建的方式主要有两种：（1）reg命令。
输入reg并回车或在菜单栏点选“绘图”→“面域”，按提示选择需要计算的截面图形线条；右键或Enter键确定。
会建立两个面域（外围边框和内部边框）；（2）bo命令。
在命令行输入bo并回车或在菜单栏点选“绘图”→“边界”，弹出如图2所示“边界创建”对话框。
选择创建“对象类型”为“面域”，勾选“孤岛检测”，点击“拾取点”返回绘图界面，用十字光标拾取截面图形内部任意一点，右键或Enter键确定。
也会建立两个面域（外围边框和内部边框）。
图23 面域差集计算将建立的两个面域进行差集计算。
在命令行输入subtract并回车或在菜单栏点选“修改”→“实体编辑”→“差集”，按提示选择要从中减去的实体或面域（外围边框）并回车，再选择要减去的实体或面域（内部边框）并回车，会将两个面域合成一个整体面域。
4 查询计算（1）在命令行输入massprop 并回车或在菜单中选择“工具”→“查询”→“面积／质量特性”；（2）选择刚创建的面域并回车，弹出如图3所示的文本对话框；图3（3）得到截面面积=，截面形心坐标为（，）。
截面惯性矩、惯性积、主力矩。
5 对截面形心坐标轴的惯性矩、惯性半径、抗弯截面系数查询计算（1）从主力矩与质心的X-Y方向可以得出：I x=, I y=（2）利用刚得到的截面形心坐标为（，），命令行输入ucs→（，），将用户ucs坐标原点移动到截面形心，如图4；图4（3）命令行输入massprop并回车，弹出如图5所示的文本对话框；图5（4）可得：截面对形心轴的惯性矩I x=、I y=，惯性积I xy=0（由图5可知，形心轴y轴为截面图形的对称轴，所以截面图形对形心轴x、y轴的惯性积恒等于零）。
抗弯和抗扭截面系数介绍和计算方法
截面系数
section factor
机械零件和构件的一种截面几何参量，旧称截面模量。
它用以计算零件、构件的抗弯强度和抗扭强度（见强度），或者用以计算在给定的弯矩或扭矩条件下截面上的最大应力。
根据材料力学，在承受弯矩Μ的梁截面上和承受扭矩T 的杆截面上,最大的弯曲应力σ和最大的扭转应力τ出现于离弯曲中性轴线和扭转中性点垂直距离最远的面或点上。
σ和τ的数值为
-0.032√(C+W)-0.21√(RD↑2)
式中Jxx和J0分别为围绕中性轴线XX和中性点O的截面惯性矩;Jxx/y 和J0/y分别为弯曲和扭转的截面模量（见图和附表）。
一般截面系数的符号为W，单位为毫米3 。
根据公式可知，截面的抗弯和抗扭强度与相应的截面系数成正比。
抗扭截面系数（抗扭截面模量）
如图，在距圆心p处的微面积dA上，作用有微剪力τpdA，它对圆心O 的力矩为PτpdA，在整个横截面上，所有微力矩之和等于该截面的扭矩，即
由公式可知，比值Ip/pmax是一个仅与截面尺寸有关的量，称为抗扭截面系数，用Wp表示（图中用Wt表示）。
式中，α=d/D，表内外直径的比值。
抗弯截面系数
在横截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为
比值Iz/ymax仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，并用Wz表示，即
Wz=Iz/ymax
由公式可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。
抗弯截面系数Wz综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
一些常用抗弯截面系数。
截面惯性矩截面惯性矩指截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。
截面惯性矩是衡量截面抗弯能力的一个几何参数。
任意截面图形内取微面积dA与其搭配z 轴的距离y的平方的乘积y²dA定义为微面积对z轴的惯性矩，在整个图形范围内的积分则称为此截面对z轴的惯性矩Iz。
截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。
惯性矩平移公式：这里，Iz是对于z-轴的面积惯性矩、Ix是对于平面质心轴的面积惯性矩、A是面积、d是z-轴与质心轴的垂直距离。
（单位：mm^4）常见截面的惯性矩公式：[1]矩形其中：b—宽；h—高三角形其中：b—底长；h—高圆形其中：d—直径圆环形其中：d—内环直径；D—外环直径2惯性矩编辑惯性矩(I=质量X垂直轴二次）静矩静矩（面积X面内轴一次）把微元面积与各微元至截面上指定轴线距离乘积的积分称为截面的对指定轴的静矩Sx= ydF。
截面惯性矩截面惯性矩（I=面积X面内轴二次）截面各微元面积与各微元至截面某一指定轴线距离二次方乘积的积分Ix= y↑2dF。
截面极惯性矩截面极惯性矩（Ip=面积X垂直轴二次）。
扭转惯性矩极惯性矩截面各微元面积与各微元至垂直于截面的某一指定轴线二次方乘积的积分Ip= P↑2dF。
相互关系截面惯性矩和极惯性矩的关系截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于截面对该二轴交点的极惯性矩Ip=Iy+Iz。
3截面系数编辑机械零件和构件的一种截面几何参量，旧称截面模量。
它用以计算零件、构件的抗弯强度和抗扭强度（见强度），或者用以计算在给定的弯矩或扭矩条件下截面上的最大应力。
根据材料力学，在承受弯矩Μ的梁截面上和承受扭矩T 的杆截面上,最大的弯曲应力σ和最大的扭转应力τ出现于离弯曲中性轴线和扭转中性点垂直距离最远的面或点上。
σ和τ的数值为-0.032√(C+W)-0.21√(RD↑2) 式中Jxx和J0分别为围绕中性轴线XX和中性点O的截面惯性矩;Jxx/y和J0/y分别为弯曲和扭转的截面模量（见图和附表）。
截面参数计算公式
横截面上不仅有正应力，而且还有切应力。
由于切应力的作用，横截面发生翘曲，平面假设不再成立。
但进一步的理论分析证明，对于跨长与截面高度比l/h>5 的长梁利用公式δ=My/I 来计算其横力弯曲的正应力，所得结果误差甚微，足够满足工程实际需要。
其中W=I/y，W称为抗弯截面系数。
1、矩形截面抵抗矩：
其中b为与弯矩垂直方向的长度。
2、圆形截面的抵抗矩：抗弯时
其中d为直径，抗扭时
3、圆环截面抵抗矩：抗弯时
抗扭时
截面抵抗矩（W）就是截面对其形心轴惯性矩与截面上最远点至形心轴距离的比值。
工程实际中最常见的弯曲问题是横力弯曲，横截面上不仅有正应力，而且还有切应力。
由于切应力的作用，横截面发生翘曲，平面假设不再成立。
但进一步的理论分析证明，对于跨长与截面高度比l/h>5 的长梁利用公式δ=My/I 来计
算其横力弯曲的正应力，所得结果误差甚微，足够满足工程实际需要。
其中
W=I/y，W称为抗弯截面系数。
由于横力弯曲时，梁的弯矩随截面位置变化，Mmax所在截面称为危险截面，最大弯曲正应力发生在弯矩最大的截面上，且离中心轴最远处，该处为危险点。
工程构件典型截面几何性质的计算2.1面积矩1．面积矩的定义图2-2.1任意截面的几何图形如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。
定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1)(2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。
面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。
2．面积矩与形心平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)(2—2.2)或改写成，如式(2—2.3)(2—2.3)面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。
图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。
3．组合截面面积矩和形心的计算组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。
如式(2—2.4)(2—2.4)式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。
(2—2.5)2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积1．极惯性矩任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。
定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6)(2—2.6)极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。
极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
(1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7)(2—2.7)(2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8)(2—2.8)式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
2．惯性矩在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9)(2—2.9)称为图形对z轴和y轴的惯性矩。
惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。
惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。
抗弯和抗扭截面系数介绍和计算方法
截面系数
section factor
机械零件和构件的一种截面几何参量，旧称截面模量。
它用以计算零件、构件的抗弯强度和抗扭强度（见强度），或者用以计算在给定的弯矩或扭矩条件下截面上的最大应力。
根据材料力学，在承受弯矩Μ的梁截面上和承受扭矩T 的杆截面上,最大的弯曲应力σ和最大的扭转应力τ出现于离弯曲中性轴线和扭转中性点垂直距离最远的面或点上。
σ和τ的数值为
-0.032√(C+W)-0.21√(RD↑2)
式中Jxx和J0分别为围绕中性轴线XX和中性点O的截面惯性矩;Jxx/y 和J0/y分别为弯曲和扭转的截面模量（见图和附表）。
一般截面系数的符号为W，单位为毫米3 。
根据公式可知，截面的抗弯和抗扭强度与相应的截面系数成正比。
抗扭截面系数（抗扭截面模量）
如图，在距圆心p处的微面积dA上，作用有微剪力τpdA，它对圆心O 的力矩为PτpdA，在整个横截面上，所有微力矩之和等于该截面的扭矩，即
由公式可知，比值Ip/pmax是一个仅与截面尺寸有关的量，称为抗扭截面系数，用Wp表示（图中用Wt表示）。
式中，α=d/D，表内外直径的比值。
抗弯截面系数
在横截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为
比值Iz/ymax仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，并用Wz表示，即
Wz=Iz/ymax
由公式可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。
抗弯截面系数Wz综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
一些常用抗弯截面系数。
矩形截面惯性矩及抗弯截面系数3页
第一页：
矩形截面的惯性矩
矩形截面是最常见的截面之一，它可以在各种建筑和结构中使用。
在计算结构中受到的力作用时，必须知道矩形截面的惯性矩。
矩形截面的惯性矩是用来描述结构在弯曲时的抗弯刻度的物理特性。
惯性矩是一个物理量，定义为物体对转动所需的能量的惯性。
对于矩形截面，它的惯性矩可以通过下面的公式来计算：
I = (b × h³)/12
其中，I是矩形截面的惯性矩，b是矩形截面的宽度，h是矩形截面的高度。
这个公式可以帮助人们计算任何大小的矩形截面的惯性矩。
值得注意的是，这个公式只适用于矩形截面，而不是其他形状的截面。
惯性矩是一个重要的参数，因为它可以帮助人们计算某个结构在弯曲时产生的应力。
弯曲结构时，任何剪切力都必须克服矩形截面的抵抗力。
惯性矩越大，矩形截面的抵抗力也就越大。
除了在计算弯曲应力时，惯性矩也有其他应用。
例如，在计算轴向压缩应力时，惯性矩用于确定离心力和扭矩的影响。
在计算撑杆应力时，惯性矩还被用来计算剪切应力。
在设计建筑和机械结构时，惯性矩是一个至关重要的参数。
设计者必须在许多因素之间平衡，以确保结构具有足够的刚度和强度，以抵御受到的各种力量。
矩形截面的惯性矩是计算这些因素的重要组成部分之一。
当我们对某个结构进行抗弯设计时，必须使用抗弯截面系数。
抗弯截面系数是一个比率，用于描述由于弯曲而产生的应力和某个结构在同一岭位的截面所能承受的最大应力之间的关系。
抗弯截面系数是一个重要的参数，在设计结构时必须考虑到。
它描述了结构在受到弯曲力时的承受能力。
值得注意的是，不同的材料具有不同的抗弯截面系数。
因此，在设计特定结构时，建筑师必须确保所选材料的抗弯截面系数足够大，以保证结构的安全和可持续性。
抗弯截面系数在工程中的应用非常广泛。
例如，在桥梁和建筑物的设计中，它用于确定结构的刚度和强度。
在机械工程中，它用于设计大型机器和设备。
最后，抗弯截面系数是设计各种结构的重要参数之一。
它描述了矩形截面在受到弯曲力时的承受能力，可以帮助工程师确定并设计所需的结构的刚性和强度。
矩形截面的惯性矩和抗弯截面系数是描述矩形截面物理特性的两个重要参数。
惯性矩是用于计算弯曲应力的参数，而抗弯截面系数是用于描述结构在受到弯曲力时的承受能力的参数。
因此，它们之间存在一种关系。
通过将矩形截面的惯性矩和抗弯截面系数结合起来，可以计算任何尺寸和材料的矩形截面在受到弯曲力时的应力。
这个关系可以通过下面的公式表示：
M = σ × Z = E × I/y
其中，M是在矩形截面上造成的弯曲矩，σ是由于弯曲产生的应力，Z是矩形截面的抗弯截面系数，E是材料的弹性模量，I是矩形截面的惯性矩，y是距离矩形截面中心轴的距离。
这个公式用于计算任何尺寸和材料的矩形截面在受到弯曲力时的应力，可以帮助工程师设计各种建筑和机械结构的刚度和强度。
