2019-2020学年高中数学人教A版(2019)必修一教案：5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 Word版含答案

5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 学 习 任 务 核 心 素 养 1．理解匀速圆周运动的数学模型．(重点)

2．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．(重点) 3．掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点) 1．通过匀速圆周运动的数学模型的学习，培养数学建模的素养． 2．借助函数图象的变换，培养数学抽象的素养.

在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．

(1) (2) 将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？ 知识点 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响

(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响

(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？ [提示] ∵y＝sin(ωx＋φ)＝sin ωx＋φω，∴由y＝sin ωx的图象向左(右)平移φω个单位． 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)y＝sin 3x的图象向左平移π4个单位所得图象的解析式是y＝sin3x＋π4.( ) (2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x.( )

(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝12sin x．( ) [答案] (1)× (2)× (3)×

2.把函数y＝sin x的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为( ) A．y＝sin x－π3 B．y＝sin x＋π3 C．y＝sinx－π3 D．y＝sinx＋π3 D [根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移π3个单位长度后得到y＝sinx＋π3的图象．]

高一物理教案：解析匀速圆周运动的数学模型匀速圆周运动作为一种经典的运动形式，在物理学中具有重要的地位。

在解析匀速圆周运动的过程中，正弦函数和余弦函数被广泛应用。

本教案通过对匀速圆周运动的数学模型进行分析，旨在帮助学生深入理解这一运动形式的特性。

1.圆周运动基本概念（1）圆周的概念圆周是由一个定点O和到该点的距离等于定值的点P所构成的图形。

定点O称为圆心，定值称为圆的半径。

圆周上的每一点P均与圆心O的距离相等。

（2）圆周运动的概念当一个质点以半径为r的圆周作匀速运动时，其圆心角的大小是恒定的，即该运动是匀速圆周运动。

匀速圆周运动也称为等速圆周运动。

2.解析匀速圆周运动的数学模型（1）描述匀速圆周运动的物理量匀速圆周运动可以通过以下物理量进行全面描述：-角速度ω-线速度v-周期T-频率f-圆周位移s-圆周位移角度θ-圆周位移速度vθ-圆周位移加速度aθ这些物理量的表示方法如下：-角速度ω：单位时间内圆周位移角度θ的大小，通常用弧度数计量，即ω=θ/T。

-线速度v：单位时间内质点在圆周上运动的线路长度，通常用m/s表示，即v=2πr/T。

-周期T：质点绕圆周一周所需的时间，通常用秒数计量。

-频率f：质点绕圆周所做的运动在单位时间内重复的次数，通常用Hz计量，即f=1/T。

-圆周位移s：质点在圆周上的位移长度，通常用m表示，即s=rθ，其中r为圆的半径。

-圆周位移角度θ：质点在圆周上所绕的角度大小，通常用弧度表示，即θ=ωt。

-圆周位移速度vθ：质点在圆周运动中的位移速度，通常用m/s表示，即vθ=rsin(θ)/t。

-圆周位移加速度aθ：质点在圆周运动中的位移加速度，通常用m/s²表示，即aθ=rω²cos(θ)。

（2）运用数学模型描述匀速圆周运动匀速圆周运动的数学模型由一个以圆心为原点的直角坐标系形成。

以运动方向为正方向，将质点在$t=0$时刻所处的位置记为$(r,0)$，$t$时刻质点的位置为$(r\cos{\theta},r\sin{\theta})$。

《5.6.2函数y ＝A sin(ωx ＋φ)》教学设计（一）教学内容建立一般的匀速圆周运动的函数模型；参数ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响.（二）教材分析1. 教材来源人教版（2019）第五章第六节. 2.地位与作用是研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像和性质的基础.（三）学情分析1.认知基础：学生经历了利用单位圆建立正弦函数模型的过程，而且初中研究过二次函数2()y a x h k =-+中参数,,a h k 对函数图象的影响.2.认知障碍：建立函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的模型时研究质点运动时间x 与质点到达位置之间的关系有一定的困难.（四）教学目标1.知识目标：理解参数ω，φ在圆周运动中的实际意义，掌握参数ω，φ对函数y ＝A sin(ωx＋φ)图象的影响；2.能力目标：通过对筒车介绍，发现三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的模型，通过参数ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响提高学生分析问题，解决问题的能力；3.素养目标：发展学生的数学建模、数学抽象、逻辑推理与直观想象的数学素养.（五）教学重难点：1. 重点：用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程；参数ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响.2. 难点：将实际问题抽象为数学问题的过程与方法；参数ω，φ对函数y =sin(x +φ)图象的影响的研究过程.（六）教学思路与方法本节课先由筒车问题建立一般圆周运动的函数模型，再借助二次函数中参数对函数图象的影响的研究方法，研究ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响. （七）课前准备PPT ，视频问题1：筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农村至今还在大量使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图示描绘了人们利用筒车轮的圆周运动进行灌溉的工作原理（用信息技术呈现筒车运动的实际情境）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运动．如果将这个桶车抽象成一个圆，水筒抽象成一个质点，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系吗？预设答案：筒车运动模型中，盛水桶的运动周而复始，具有周期性，可考虑用三角函数模型去刻画它的运动规律.教学环节：新知探究自主探究获得函数关系h t r H ++=)sin(ϕω 3．明确函数y =A sin(ωx +φ)研究思路 问题3：从解析式看，函数y ＝sin x就是函数y =A sin(ωx +φ)在A ＝1，ω＝1，φ＝0时的特殊情形．（1）能否借助我们熟悉的函数y ＝sin x 的图象与性质研究参数A ，ω，φ对函数y =A sin(ωx +φ)的影响呢？ （2）函数y =A sin(ωx +φ)中含有三个不同参数，类比以往研究函数的经验，对于含有多个参数的函数，你认为应按怎样的思路进行研究？预设答案：类比对二次函数y ＝a (x－h )2＋k ，图象用“控制变量法”的研究过程，具体的操作办法是：可以分别将其中的两个变量特殊化，研究另一个变量对图象的影响，最后，综合分析由一个特别简单的二次函数如何一步一步通过变换得到一个较复杂的二次函数图象的过程．4．探究φ对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响．问题4：观察当参数φ变化时，函数y ＝sin(x ＋φ)的图象有什么影响？追问1：φ的不同值表示什么含义？结合筒车说明．预设答案：在筒车例子中，φ的不同值表示是初始位置所对应的角不同． 追问2：如果在单位圆上将起点Q 0绕O 1旋转6π到Q 1，让动点P 1以Q 1为起点，按照与P 0一样的方式，运动到点P ，需要多长时间？对应的函数y ＝sin(x ＋6π)图象上的点G 的坐标是多少？。