二元函数极值存在的充分条件

§ 4泰勒公式与极值问题教学计划：6课时.教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二 元函数取极值的必要和充分条件.教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件.教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式. 教学方法：讲授法. 教学步骤： 一 高阶偏导数由于z = f(x, y)的偏导函数f x (x, y), f y (x, y)仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们 关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：.:x : yfy ；：x但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数22 x - y22xy 飞 2，x y - 0, x y0,x 2+y 2=0.它的一阶偏导数为y(x 4+4x 2y 2_y 4 )2 + 2」o (x 2+ y 22,x y ,. 0,x 2+y 2=0,,仪4 _4x 2y 2 _ y 4 ) 2 + 2* (x 2 + y 22 ,x 『2 2L 0,x +y =0, 进而求f 在(0, 0)处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数，得f x 0, y - f x 0,0y 4f xy O,o =啊— 厂 啊可=7以0,0)=慎 ------------ Zx ------------ 瓦"由此看到，这里的f x, y 在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么 条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此， 我们按定义先把f xy x 0, y 0与f yx x 0, y 0表成极限形式•由于；2Z.\jy ?z -：y ；：x-y 2 2创 l x +yx * +这些函数关于一 x 2 y 2 2,2 2x - y =~ (2 . 2 2 , x y-2xy.:y : y注意 从上面两个例子看到， 种既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为 已2z o y 丿(x 2+y 2)x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等(这 混合偏导数),即-2:zf x x, y =f y x, y =fxx,y =寸 f因此有f x x o ,y oy - f x x o , y of xy &, y o二 li y m .o ---------------------------------- y --------------------------------------.. 1 f (x o +^x, y o + 也y )—f (x o ,y °+A y) =lim lim.y 】o Ay |[A )of X o ：x,y o - f (x °,y °)Z一f(X o +A x, y o +3 卜 f (X o , y o +A y) — f(X o +A x,yo )+ f (x °, y o ) =lim lim -.y o .x -p类似地有f yx X o , y o_ li m H m f (x o 中A x, y ° + 也y)— f (x °+ A x, y °) — f (x °, y o + 也y)+ f (x °, y o )x o二x i y 为使f xy X o , y o 二f yx X o ,y o 成立，必须使(1),(2)这两个累次极限相等，即以交换累次极限的极限次序•下述定理给出了使极限(1), (2)相等的一个充分条件.定理17.7 若f xy . X, y 和f yx . X, y 都在点连续，则f xy X o，y o fyx X o ,y o令F( X ：y)二 f(x ° xy °：y)— f(x ° xy 。

§10–7 二元函数的极值基础知识导学1. 二元函数的极值与驻点⑴ 极值与驻点①极值 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除点),(000y x P 外的任意点),(y x P ，均有),(),(00y x f y x f <（或),(),(00y x f y x f >），则称点),(000y x P 为函数),(y x f z =的极大值点（或极小值点）.),(00y x f 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. ②驻点 使0),(,0),(==y x f y x f y x 同时成立的点),(y x 称为函数),(y x f z =的驻点.⑵ 极值存在的必要条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果),(000y x P 是极值点，则必有 0),( ,0),(0000==y x f y x f y x .注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数),(y x f z =的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且),(000y x P 是驻点.设),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =，则①当02<-AC B 时，点),(000y x P 是极值点，且当0<A 时，点),(000y x P 是极大值点；当0>A 时，点),(000y x P 是极小值点； ②当02>-AC B 时，点),(000y x P 不是极值点；③当02=-AC B 时，点),(000y x P 有可能是极值点也可能不是极值点.2．条件极值与拉格朗日乘数法⑴ 条件极值求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.⑵ 拉格朗日乘数法求函数),,(z y x f u =在满足约束条件0),,(=z y x ϕ下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法。