全等三角形培优竞赛题精选

初中数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案一、全等三角形截长补短1．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝62，AD＝42，tan∠ABC＝2时，求CQ＋10BQ的最小值．102．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．3．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．4．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ．（1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC 交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．5．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D ∠+∠=︒，CE AB ⊥于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．6．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．⊥交AD于7．如图，四边形ABCD为矩形，F为对角线BD上一点，过点F作FE BD点H，交BA的延长线于点E，连接AF，当FD FE=时，求证：2+=．AH AB AF8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M，点G是线段CE上一点，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．9．已知平行四边形ABCD 中，N 是边BC 上一点，延长DN 、AB 交于点Q ，过A 作AM ⊥DN 于点M ，连接AN ，则AD ⊥AN ．（1）如图①，若tan ∠ADM ＝34，MN ＝3，求BC 的长； （2）如图②，过点B 作BH ∥DQ 交AN 于点H ，若AM ＝CN ，求证：DM ＝BH +NH ．10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）3923S BCE =△证明见解析（3）CQ 10BQ 的最小值为5【分析】（1）根据点E 是BD 的中点，可得BCE CDE S S =△△ ,在作边CE 的高DF ,根据等边三角形三线合一DF 也是AED 的高，根据勾股定理计算出DF 的长度，在直角三角形DFC 中利用勾股定理计算出CF ,得出CE 的值，利用三角形的面积公式计算出面积．（2）延长AF ,是2AF =AG ,证明ADF CF ≅△△G ,得出CM=AD ，再根据ACD BDC ∠+∠= 60°，得出ACG ∠ =ABE ∠ ,从而证明ABE AMC ≅△△ ,得出AB=AG ，得出结论．（3）根据APD ∠ =90°，知道点P 的运动轨迹是以AD 为直径的圆，圆心记为N ，点Q 是BP 的中点，得到点Q 的运动轨迹是以BN 的中点为圆心，半径为2 的圆。

《全等三角形》培优题型全集题型一：倍长中线（线段）造全等1.已知：如图,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,求证：AC=BFC2.如图,△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值规模是______.D CBA3.在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值规模是( )A.1<AB<29B.4<AB<24C.5<AB<19D.9<AB<194.已知：AD.AE分离是△ABC和△ABD的中线,且BA=BD,求证：AE=21ACC E5.已知：如图,在ABC∆中,ACAB≠,D.E在BC上,且DE=EC,过D作BADF//交AE于点F,DF=AC.求证：AE等分BAC∠ABFD E C题型二：截长补短1.已知,四边形ABCD中,AB∥CD,∠1＝∠2,∠3＝∠4. 求证：BC＝AB＋CD.2.已知：如图,在△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2,求证：AB=AC+CD.3.如图,在△ABC中,∠BAC=60°, AD是∠BAC的等分线,且AC=AB+BD,求∠ABC 的度数D CBA4.已知ABC∆中,60A∠=,BD.CE分离等分ABC∠和.ACB∠,BD.CE交于点O,试断定BE.CD.BC的数目关系,并加以证实．DOECBA题型三：角等分线上的点向角双方引垂线段1.如图,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD＝CD,求证：∠BAD+∠C=180°2.如图,四边形ABCD中,AC等分∠BAD,CE⊥AB于D CBA12姓名E,AD+AB=2AE,则∠B 与∠ADC 互补,为什么？3.如图,△ABD 和△ACD,BD=CD,∠ABD=∠ACD,求证AD 等分∠BAC.4.已知,AB ＞AD,∠1＝∠2,CD ＝BC. 求证：∠ADC ＋∠B ＝180°.图九21CBAD5.如图,在△ABC 中∠A BC,∠A CB 的外角等分线订交于点P,求证：AP 是∠BAC 的角等分线图十一4321PABC6.如图,∠B=∠C=90°,AM 等分∠DAB,DM 等分∠ADC. 求证:点M 为BC 的中点题型四：衔接法（结构全等三角形）1.已知：如图,AB ＝AD,BC ＝DC,E.F 分离是DC.BC 的中点,求证： AE ＝AF.2.如图,直线AD 与BC 订交于点O,且AC=BD,AD=BC ． 求证：CO=DO ．AOD CB3.已知：如图,AB=AE,BC=ED,点F 是CD 的中点,AF ⊥CD ． 求证：∠B=∠E ．DAFEABCDAF DC BE4.在等边ABC ∆内取一点D ,使DA DB =,在ABC ∆外取一点E ,使DBE DBC ∠=∠,且BE BA =,求BED ∠.题型五：全等+角等分线性质 1.如图,AD 等分∠BAC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且DB=DC,求证：EB=FC2.已知：如图所示,BD 为∠ABC 的等分线,AB=BC,点P 在BD 上,PM ⊥AD 于M,•PN ⊥CD 于N,求证：PM= PNP D ACBM N题型六：全等+等腰三角形的性质1.如图,在△ABE 中,AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC.DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED; (2) OB ＝OE .OCEBDA2..已知：如图,B.E.F.C 四点在统一条直线上,AB ＝DC, BE ＝CF,∠B ＝∠C ．求证：OA ＝OD ．题型七：两次全等1.如图,AB=AC,DB=DC,F 是AD 的延伸线上的一点.求证：BF=CFFDCBA2.如图,D.E.F.B 在一条直线上AB=CD, ∠B=∠D,BF=DE. 求证：（1）AE=CF;（2）AE ∥CF （3）∠AFE=∠CEF3.如图：A.E.F.B 四点在一条直线上,AC ⊥CE,BD ⊥DF,AE=BF,AC=BD.求证：△ACF ≌△BDEACEF4.如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6．654321E D CBA5.已知如图,E.F 在BD 上,且AB ＝CD,BF ＝DE,AE ＝CF,求证：AC 与BD 互相等分ADFECBDECBA6.如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F,交BC 于点G,交AB 的延伸线于点E,且AE=AC.求证：BG=FG题型八：直角三角形全等（余角性质）1.如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C ＝90°,D 是斜边上AB 上任一点,AE ⊥CD 于E ,BF ⊥CD 交CD 的延伸线于F ,CH ⊥AB 于H 点,交AE 于G ．求证：BD ＝CG ．2.如图,将等腰Rt △ABC 的直角极点置于直线l 上,且过A,B 两点分离作直线l 的垂线,垂足分离为D,E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证实它们全等的进程．3.如图,∠ABC ＝90°,AB ＝BC,D 为AC 上一点,分离过A.C 作BD 的垂线,垂足分离为E.F,求证：EF ＝CF －AE题型九：延伸角等分线的垂线段1.如图,在△ABC 中,AD 等分∠BAC,CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．AF DCBE2.如图,△ABC 中,∠BAC=90度,AB=AC,BD 是∠ABC 的等分线,BD 的延伸线垂直于过C 点的直线于E,直线CE 交BA 的延伸线于F ．求证：BD=2CE ．FE DCB A3.已知,如图34,△ABC 中,∠ABC=90º,AB=BC,AE 是∠A 的等分线,CD ⊥AE 于D ．求证：CD=21AE ．CEBAD题型十：面积法AB CFDEAFCBDEGABEO FDC1.如图,在△ABC 中,∠BAC 的角等分线AD 等分底边BC, 求证AB=AC.2.如图,在△ABC 中,∠A=90°,D 是AC 上的一点,BD=DC,P 是BC 上的任一点,PE ⊥BD,PF ⊥AC,E.F 为垂足． 求证：PE+PF=AB ．3.己知,△ABC 中,AB=AC,CD ⊥AB,垂足为D,P 是线段BC 上任一点,PE ⊥AB,PF ⊥AC 垂足分离为E.F,求证： PE+PF=CD.4.己知,△ABC 中,AB=AC,CD ⊥AB,垂足为D,P 是射线BC 上任一点,PE ⊥AB,PF ⊥AC 垂足分离为E.F,求证： PE – P F=CD.题型十一：扭转型1.如图,正方形ABCD 的边长为1,G 为CD 边上一动点（点G 与C.D 不重合）, 以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF,衔接DE 交BG 的延伸线于H.求证：①△BCG ≌△DCE,② BH ⊥DE2.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E 在统一条直线上,贯穿连接DC ． （1）请找出图2中的全等三角形,并赐与证实（解释：结论中不得含有未标识的字母）;（2）证实：DC ⊥BE ．3.（1）如图7,点O 是线段AD 的中点,分离以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD,贯穿连接AC 和BD,订交于点E,贯穿连接BC ．求∠AEB 的大小;（2）如图8,ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 外形和大小不变,将ΔOCD 绕着点O 扭转（ΔOAB 和ΔOCD 不重叠）,求∠AEB .4.如图,AE ⊥AB,AD ⊥AC,AB=AE,∠B=∠E, 求证：（1）BD=CE;（2）BD ⊥CE ．5.如图所示,已知AE ⊥AB,AF ⊥AC,AE=AB,AF=AC.BAODCE 图CBO D图7AE图1图2DABFEDCAB GHFEDC ABGPF EDCA BGP求证：（1）EC=BF;（2）EC⊥BF6. 正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.7.D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分离交BC,CA于点E,F.①当MDN∠绕点D迁移转变时,求证DE=DF.②若AB=2,求四边形DECF的面积. 8.五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°, 求证：AD等分∠CDECEDBA9.如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°, 求五边形ABCDE的面积10.已知Rt ABC△中,90AC BC C D==︒，∠，为AB边的中点,90EDF∠=°，EDF∠绕D点扭转,它的双方分离交AC.CB（或它们的延伸线）于E.F．（1）当EDF∠绕D点扭转到DE AC⊥于E时（如图1）,求证：12DEF CEF ABCS S S+=△△△．（2）当EDF∠绕D点扭转到DE AC和不垂直时（如图2）,求DEFS△.CEFS△.ABCS△之间的数目关系？（3）当EDF∠绕D点扭转到DE AC和不垂直时（如图3）,求DEFS△.CEFS△.ABCS△之间的数目关系？AEB MCF11.在△ABC 中,∠ACB =90°,AC=BC,直线MN 经由点C,且AD ⊥MN 于D,BE ⊥MN 于E. （1）.当直线MN 绕点C 扭转到图1的地位时,求证：①△ADC ≌△CEB;②DE=AD ＋BE; （2）.当直线MN 绕点C 扭转到图2的地位时,求证：DE=AD-BE;（3）.当直线MN 绕点C 扭转到图3的地位时,试问DE.AD.BE 具有如何的等量关系？ACBED NM 图3ACDEMN图2CBAED图1NMAECF BD图1图3ADFECBADBCE图2F。

全等三角形提升练习1. 如下图，△ ABC ≌△ ADE ，BC 的延伸线过点E ，∠ ACB=∠ AED=105°，∠ CAD=10°，∠ B=50°，求∠ DEF 的度数。

EDFCAB2. 如图，△ AOB 中，∠ B=30°，将△ AOB 绕点 O 顺时针旋转 52°，获得△ A ′ OB ′，边 A ′ B ′与边 OB交于点 C （A ′不在 OB 上），则∠ A ′ CO 的度数为多少BA'CB'AO3.如下图，在△ ABC 中，∠ A=90°， D 、 E 分别是 AC 、 BC 上的点，若△ ADB ≌△ EDB ≌△ EDC ，则∠ CA的度数是多少DB CE4.如下图， 把△ ABC 绕点 C 顺时针旋转 35°，获得△ A ′B ′ C ，A ′ B ′交 AC 于点 D ，若∠ A ′ DC=90°，则∠ A=A'ADB'B C5. 已知，如下图， AB=AC ， AD ⊥BC 于 D ，且 AB+AC+BC=50cm,而6.如图， Rt △ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=AC ，分别过点 B 、C 作过点若 BD=3， CE=2，则 DE=AB+BD+AD=40cm ，则 AD 是多少CADBA 的垂线 BC 、CE ，垂足分别为 D 、E ，BCD AE7. 如图， AD 是△ ABC 的角均分线， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别是E 、F ，连结 EF ，交 AD 于G ， AD 与EF 垂直吗证明你的结论。

AEGFBDC8. 如下图，在△ ABC 中， AD 为∠ BAC 的角均分线， DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F ，△ ABC 的面积是28cm 2 ,AB=20cm ， AC=8cm ，求 DE 的长。

北师大七下全等三角形的判定小题精炼培优版一、单选题1．如图，AD =BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是（ ）A ．AB //CD B ．△ABC =△CDA C ．△A =△CD ．AD //BC2．如图，PD △AB ，PE △AC ，垂足分别为D 、E ，且P A 平分△BAC ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA3．如图1，D ､E ､F 分别为△ABC 边AC ､AB ､BC 上的点，△A=△1=△C ，DE=DF ，下面的结论一定成立的是（ ）A ．AE=FCB ．AE=DEC ．AE+FC=ACD ．AD+FC=AB 4．如图，AB CD ，//AB CD ，判定ABC △CDA 的依据是( )A．SSS B．SAS C．ASA D．HL5．如图，AD△CD，AE△BE，垂足分别为D，E，且AB=AC，AD=AE,则下列结论△△ABE△△ACD△AM=AN：△△ABN△△ACM；△BO=EO;其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是（）A．AB=DE B．AC=DF C．△A=△D D．BF=EC7．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F，则△BFD的度数为（）A．45°B．90°C．60°D．30°8．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，△BAC＝△DAE，△1＝25°，△2＝30°，则△3＝()A．60°B．55°C．50°D．无法计算9．如图，AB//DE，AC//DF，AC＝DF，下列条件中，不能判定△ABC△△DEF的是A．AB＝DE B．△B＝△E C．EF＝BC D．EF//BC10．如图所示，Rt△ABE△Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：△AE=ED；△AE△DE；△BC=AB+CD；△AB△DC中成立的是（）A．仅△B．仅△△C．仅△△△D．仅△△△△11．如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（）A．AB△CD B．OA=OB C．△ACD=△BDC D．△ABC=△CAB12．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE△△BCD B．△BGC△△AFC C．△DCG△△ECF D．△ADB△△CEA13．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙14．正三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，△APE的度数为（）.A．45B．55C．60D．7515．如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点P，则△1+△2的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°16．如图，在下列条件中，不能证明△ABD△△ACD的是（）.A ．BD =DC ，AB =ACB ．△ADB =△ADC ，BD =DC C ．△B =△C ，△BAD =△CAD D ．△B =△C ，BD =DC17．如图，已知12AC AD ∠=∠=，，从下列条件：△AB AE =；△BC ED =；△C D ∠=∠；△B E ∠=∠中添加一个条件，能使ABC △△AED 的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．如图，在Rt△AEB 和Rt△AFC 中，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于N ，△E ＝△F ＝90°，△EAC ＝△FAB ，AE ＝AF,给出下列结论：△△B ＝△C ；△CD ＝DN ；△BE ＝CF ；△△ACN△△ABM;其中正确的结论是( )A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△19．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中△1+△2等于（ ）A．150°B．180°C．210°D．225°20．如图，已知△DCE=90°，△DAC=90°，BE△AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，则AD的长为（）A．3B．5C．4D．不确定21．如图，在△ABC中，AB=AC，△BAC=90°，直角△EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：△△APE△△CPF；△AE=CF；△△EAF是等腰直角三角形；△S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个22．如图，△ABC中，AB△BC，BE△AC，△1=△2，AD=AB，则下列结论不正确的是A．BF=DF B．△1=△EFD C．BF>EF D．FD△BC23．如图，已知AB ＝AC ，AF ＝AE ，△EAF ＝△BAC ，点C 、D 、E 、F 共线．则下列结论，其中正确的是（ ）△△AFB△△AEC ；△BF ＝CE ；△△BFC ＝△EAF ；△AB ＝BC ．A ．△△△B ．△△△C ．△△D ．△△△△二、填空题 24．如图，某同学把三角形玻璃打碎三块，现在他要去配一块完全一样的，你帮他想一想，带________片去，应用的原理是________（用字母表示）．25．如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF EC ⊥，EF EC =，2DE =，矩形的周长为16，则AE 的长是______ ．26．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过此正方形的顶点B ，D 作BF△a 于点F ，DE△a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为____．27．如图，△ACB=90°，AC=BC，AD△CE于D，BE△CD于E，AD=2.5cm，DE=1.6cm，则BE的长度为________．28．如图,已知△ABC中,AB=AC=20 cm,BC=16 cm,△B=△C,点D是AB的中点,点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由A点向C点运动,当△BPD与△CQP全等时,点Q的运动速度为______.29．如图所示，AB=AC，AD=AE，△BAC=△DAE，△1=25°，△2=30°，则△3=__________．30．在Rt△ABC中，△ACB=90°，BC=2cm，CD△AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF△AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．31．如图，CA=CB，CD=CE，△ACB=△DCE=40°，AD、BE交于点H，连接CH，则△CHE=__________．32．如图，△ACB＝90°，AC＝BC，BE△CE，AD△CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝______．33．如图，在△ABC中，AD△BC于D，BE△AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则△ABC ＝_____度．34．如图，AC△BC，AD△DB，要使△ABC△△BAD，还需添加条件_____．（只需写出符合条件一种情况）35．如图AB＝AC，AD＝AE，△BAC＝△DAE，△BAD＝25°，△ACE＝30°，则△ADE＝_____．36．如图，等边△ABC 边长为10，P 在AB 上，Q 在BC 延长线，CQ ＝P A ，过点P 作PE △AC 点E ，过点P 作PF △BQ ，交AC 边于点F ，连接PQ 交AC 于点D ，则DE 的长为_____．37．如图，△ABC 是等边三角形，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ△DA 于Q ，PQ ＝3，EP ＝1，则DA 的长是________.38．如图，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，AM AC ⊥，点P 和点Q 从A 点出发，分别在射线AC 和射线AM 上运动，且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍，当点P 运动至__________时，ABC △与APQ 全等．39．如图，AB ＝BC 且AB △BC ，点P 为线段BC 上一点，P A △PD 且P A ＝PD ，若△A ＝22°，则△D 的度数为_________．40．如图，在△ABC中，△A=58°，AB=AC，BD=CF，BE=CD，则△EDF=____________度。