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平面几何竞赛题的解题策略

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·２２·　中学教研（数学）　评注构造与论证是组合极值的２个方面，构　造是构造合乎条件的对象或构造使命题不成立的　反例．论证是论证某种量满足某个不等式或论证某　些对象具有某种性质，两者都需要灵活的思维、丰　富的想象及创造性的构想．　数学竞赛是解题的竞赛，只有通过问题才能学　会解题．要提高组合解题能力，必须反复练习，在解　各类题中，善于总结，不仅要寻找各种不同的解法，　更要找出最佳的方法．我们应当注意数学思想与数　学审美，不断提高鉴赏能力．　

平面几何竞赛题的解题策略　●李建泉　（天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所天津３００３８７）　每年全国高中数学联赛的二试中都有一道平　面几何题，能否完整地解答出这道题，往往成为获　奖等级高低的关键，从而平面几何题也就成为考生　重点关注的题型．如何在全国高中数学联赛中成功　解答平面几何题，也是我们需要研究的课题．解答　平面几何题的方法很多，使用的知识点也很多，下　面将２００６～２０１１年全国高中数学联赛中的６个平　面几何题所涉及的知识点和常用方法进行总结，为　参加数学竞赛的学生提供学习和训练的模式，供大　家参考．　例１　以Ｂ。和Ｂ　为焦点的椭圆与△Ａ　Ｂ　的　边ＡＢ　交于点Ｃ　（ｉ：０，１）．在ＡＢ。的延长线上任取　

点Ｐ。，以Ｂ。为圆心，Ｂ。Ｐ。为半径作Ｐ。Ｑ。交ｃ　的　，　‘～　延长线于点Ｑ。；以ｃ　为圆心，ｃ　Ｑ。为半径作Ｑ。Ｐ　

交Ｂ　Ａ的延长线于点Ｐ　；以　为圆心，Ｂ。Ｐ。为半　

径作Ｐ　Ｑ　交Ｂ　ｃ。的延长线于点Ｑ　；以Ｃ。为圆心，　ＣｏＱ。为半径作Ｑ　Ｐｏ　交ＡＢ。的延长线于点　．试　证：　，　’、　。、　（１）点Ｐ。　与点Ｐ。重合，且Ｐ。Ｑ。与Ｐ。Ｑ　相内切　

于点Ｐ０；　（２）点Ｐｏ，Ｑ０，Ｑ　，Ｐ　共圆…．　（２００６年全国高中数学联赛试题）　这是一个多次旋转变换的问题，关于２次旋转　变换有下面的性质：　对于不同的旋转中心连续进行２次旋转变换　Ｒ（Ｏ１，０１），Ｒ（０２，０２）．若０１＋０２≠２ｒｒ，则可以用一　次旋转变换尺（０，０　＋０：）来代替，旋转中心０是　分别过点Ｏ　，Ｏ　的直线２，ｍ的交点，其中直线ｆ经　，　，１、　旋转变换Ｒ《Ｏ　，　１７１　１得到直线０　０　，直线０　０　经　

旋转变换Ｒ《０：，　１得到直线ｍ．　、　，　下面给出上述性质的证明　Ｊ：　

证明　如图１，／Ｑ。Ｂ。Ｐ。的角平分线与　￣ＡＣ。Ｂ。的角平分线的交点０即为由点Ｐ。到点　Ｐ　的旋转变换的旋转中心，旋转角度（逆时针）为　／ＰｏＢ０Ｑ０十　Ｑ０Ｃ１Ｐ１，且ＯＰ０＝ｏＰ１．　同理，　Ｐ　Ｂ。Ｑ　的角平　分线与／Ｑ　Ｃ。Ｐ。　的角平分线　的交点０　即为由点Ｐ　到点　Ｐ。　的旋转变换的旋转中心，　旋转角度（顺时针）为　／Ｐ１Ｂ１Ｑ１＋　Ｑ１ｃ０Ｐｏ　，且　ｏ　Ｐ】＝ｏ　Ｐ０　．于是，有　Ｐ０　０Ｑ０＋／Ｑ０Ｃ１Ｐ１＝　

Ｐ　图ｌ　１８０。一　Ｂ１ＡＢ０＝　Ｐ１Ｂ１Ｑ１＋／Ｑ１ｃｏＰ０　．　设点０，０　在ＡＢ　上的投影分别为Ｄ，Ｄ　，则　１　ＡＤ＝÷（ＡＣ１＋ＡＢ０一Ｂ０Ｃ１），　

１　ＡＤ　＝÷（ａｎ１＋Ａｃｏ—Ｂ１ｃｏ）．　

因为曰１Ｃ１＋　ｏｃ１＝Ｂ１Ｃ０＋ＢｏＣ０，所以ＡＤ＝ＡＤ　，即　点Ｄ　与　重合．又因为点０，０　均在／Ｂ　ＡＢ。的角　平分线上，所以点０　，０重合．从而，点Ｐ。　与点Ｐ。　，　。‘、，　‘　、　重合．圆弧Ｐ。Ｑ。与Ｐ。Ｑ。相内切于点Ｐ。，且点Ｐ。，　

Ｑ。，Ｑ　，Ｐ。共圆，圆心为０．　文献［１］中给出的标准答案用到了椭圆的定　义和线段、角度的推导，文献［３］中还给出了其他５　种证法，其中用的较多的方法是角和关于线段的长　度的计算．同时下述相关知识点和方法需要重视：　几何变换（包括平移、对称、旋转、位似及这些变换　的复合）及相关的公式（如与三角形有关的有：包　第６期　李建泉：平面几何竞赛题的解题策略　·２３·　括角、边或线段、内切圆半径、外接圆半径、旁切圆　半径、面积及与五心有关的性质）．　例２在锐角ＡＡＢＣ中，ＡＢ＜ＡＣ，ＡＤ是边ＢＣ　上的高，Ｐ是线段ＡＤ内一点，过点Ｐ作ＰＥ上ＡＣ，　垂足为Ｅ，作　上ＡＢ，垂足为Ｆ，０。，０：分别是　ＡＢＤＦ，ａＣＤＥ的外心．求证：点０　，０　，Ｅ，Ｆ共圆　的充要条件为Ｐ是ＡＡＢＣ的垂心　Ｊ．　（２００７年全国高中数学联赛试题）　例２涉及的知识点很多，有多种解答，文献　［４］中给出的解答用到的是轴对称变换．通过比　较，例１中给出的条件中就有旋转，考虑旋转变换　比较自然，例２中的条件没有轴对称，应用轴对称　变换的目的是将分散的条件集中到一起，这种手段　在其他变换中具有类似的意义．　九点圆定理在ＡＡＢＣ中，３条边的中点、从　顶点向３条边作垂线所得的垂足、３个顶点与垂心　所连线段的中点，这９个点在同一个圆上，这个圆　称为九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆．　阿波罗尼斯定理与２个定点的距离之比等　于定比（不等于１）的点的轨迹是一个以其内、外定　比分点所连线段为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼　斯圆．　下面给出应用上述２个定理的解答　：　证明　（充分性）若点Ｐ是ＡＡＢＣ的垂心，由　于ａＢＤＦ，ａＣＤＥ的外心分别是　，ＣＰ的中点，因　此ＡＡＢＣ的九点圆过点０　，０　，Ｅ，Ｆ，即这４个点　共圆．　（必要性）若点０　，　０：，Ｅ，Ｆ共圆，则　Ｄ１Ｄ２　＋Ｚ．ＥＦＯ１＝１８０。．　因为Ｏ，，Ｏ　分别是　，　ｃＰ的中点，０１　０　∥ＢＣ，且　／＿ＡＦＥ＝　ＰＥ：／＿ＢＣＡ．　所以　

＼　／　＼　图２　Ｄ１Ｄ２Ｅ＝　０１０２Ｐ＋Ｚ．Ｐ０２Ｅ＝　ＰＣＢ＋２　ＰＣＥ＝　ＢＣＡ＋　ＰＣＥ．　ＥＦＯ　＝１８０。一　Ａ朋一　曰ＦＤ　＝　１８０Ｑ一厶ＢＣＡ一厶ＰＢＦ、　故　ＦＢＰ＝　ＥＣＰ．　由△ＢＰ　一△ＣＰＥ，得　ＢＰ　ＰＦ　ｓｉｎ　ＤＡＢ　ｃｏｓＢ　ＣＰ　ＰＥ　ｓｉｎ　ＤＡＣ　ｃｏｓＣ　

因为ＡＢ＜ＡＣ，所以　≠１，故点Ｐ在关于点Ｂ，Ｃ　的阿波罗尼斯圆上．　注意到ＡＤ在ＢＣ的上方与该圆恰有１个交　点，且ＡＡＢＣ的垂心日满足　

．Ｂ．　．．Ｈ——．ｓ　．　ｉ　ｎ／．＿．．．　．Ｈ　．．．．．Ｃ．　．Ｄ————．ｃ．．．ｏ。．　ｓ．．—Ｂ—　ＣＨ—ｓｉｎ　ＨＢＤ—ｃｏｓＣ’　

故点Ｐ即为点Ｈ，即Ｐ是ＡＡＢＣ的垂心．　除了文献［４］中给出的标准答案外，文献［５］　还给出了其他２种证法，其中用到了面积公式、余　弦定理及三角公式等．由于充分性比较简单，文献　［６］中只给出了必要性的１０种证法，用到的知识　点有：角元塞瓦定理、塞瓦定理、分角线定理、三角　形的相似、三角形的全等、积化和差公式及三角形　五心的性质等，方法涉及到“同一法、反证法、向量　法、解析法”等．　例３　给定凸四边形ＡＢＣＤ，　＋／＿Ｄ＜　１８０。，Ｐ是平面上的动点，令　，（Ｐ）＝ＰＡ·ＢＣ＋ＰＤ·ＣＡ＋ＰＣ·ＡＢ．　（１）求证：当　Ｐ）达到最小值时，点Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ　共圆．　

（２）设Ｅ是ＡＡＢＣ外接圆ＧＯ的ＡＢ上一点，满　足　＝譬，甏＝　－１，／＿　＝　ＥＣＡ．Ｙ．．ＤＡ，　

ＤＣ是ｏＤ的切线，Ａｃ＝　，求　Ｐ）的最小值　．　（２００８年全国高中数学联赛试题）　这个题目用到的是广义托勒密定理，广义托勒　密定理的形式有很多，这里用到的是其中的一个，　也称为托勒密不等式：　对于平面上任意４个点　，Ｂ，Ｃ，Ｐ，有　ＰＡ·ＢＣ＋ＰＣ·ＡＢ＞ＩＰＢ·ＡＣ．　我们用的比较多的是下面的２个形式：　广义托勒密定理对于任意凸四边形ＡＢＣＤ，　有　ＡＢ·ＣＤ＋ＢＣ·ＤＡ≥ＡＣ·ＢＤ．　当且仅当四边形ＡＢＣＤ为圆的内接四边形时取到　等号．　托勒密定理若凸四边形ＡＢＣＤ为圆内接四　边形，则　ＡＢ·ＣＤ＋　Ｃ·ＤＡ＝ＡＣ·ＢＤ．　下面给出例３的解答　８　Ｊ：　·２４·　中学教研（数学）　（１）证明　在四边形ＰＡＢＣ（含凹四边形和广　义四边形）中，由广义托勒密定理，可得　ＰＡ·ＢＣ＋ＰＣ·ＡＢ＞－ＰＢ·ＡＣ．　因此　Ｐ）＞－ＰＢ·ＡＣ＋ＰＤ·ＣＡ＝ＡＣ（ＢＰ＋ＰＤ）≥　ＡＣ·ＢＤ，　当且仅当Ｐ为Ｚ￣ＡＢＣ的外接圆与ＢＤ的交点时取　到等号　Ｐ）的最小值为ＡＣ·ＢＤ．　（２）解　如图３，设ＡＥ＝　，ＡＢ＝２ｘ，ＢＣ＝　（√§一１）），，ＥＣ＝ｙ，ＡＥ的中点为Ｆ，则　ＢＦ＝ＡＥ　，ＢＥ＝ＥＦ＝ＦＡ．　在四边形ＡＢＥＦ中，由托勒密定理得　ＡＦ·ＢＥ＋ＥＦ·ＡＢ＝ＡＥ·ＢＦ．　于是　ＢＥ　＋ＢＥ·２ｘ＝（　）　，　即　（ＢＥ—　）（ＢＥ＋３　）＝０，　从而　ＢＥ＝　．　因为Ａ　＋ＢＥ　＝４ｘ　＝ＡＢ　，所以Ｚ．ＡＥＢ＝９０。，ＡＢ　为直径．在四边形ＡＣＢＥ中，由托勒密定理有　ＡＥ·ＢＣ＋ＢＥ·ＡＣ＝ＥＣ·ＡＢ．　即　·（　一１）ｙ＋　·　＝，，·２ｘ，　得　ｙ：堡　．　

因为ＢＣ＝（　一１）Ｙ＝　√２＝ＡＣ，／ＡＣＢ＝９０。，所以　ＡＡＢＣ是等腰直角三角形，　且ＡＢ＝　ＡＣ＝２．又因为　ＤＣＡ＝　ＤＡＣ＝　Ａ８Ｃ＝　４５。，所以ＡＡＣＤ也是等腰直　

角三角形，从而ＡＤ：　：１．　

Ａ　Ｂ　图３　

由于ＤＡ是切线，ＡＢ是直径，于是／＿ＤＡＢ＝９０。，即　ＢＤ：、　＝　因此．　Ｐ）的最小值为　ＡＣ·ＢＤ：　·，／ｇ＝ｖ／而　文献［７］中给出了３个标准答案：第１种证法　用到的是广义托勒密定理和解三角方程；第２种证　法用到的是三角形的相似和面积公式；第３种证法　用的是复数法．文献［９］中给出了一种证法，用到　的知识点有：三角形的相似、三角不等式、托勒密定　理、勾股定理等．　

例４　Ｍ，Ｎ分别为锐角ＡＡＢＣ（　Ａ＜／＿Ｂ）的　外接圆ｆ上弧ＢＣ，ＡＣ的中点，过点Ｃ作Ｐｃ∥ＭＮ　交圆厂于点Ｐ，，为ＡＡＢＣ的内心，联结Ｐ，并延长　交圆，于点　求证：　（１）　·ＭＴ＝ＮＰ·　

（２）在弧ＡＢ（不含点Ｃ）上任取一点Ｑ（Ｑ≠Ａ，　，Ｂ），记ＡＡ（２Ｃ，△ＱｃＢ的内心分别为，　，，２，则点　Ｑ，Ｉｌ，，２，Ｔ共圆　。。。　（２００９年全国高中数学联赛试题）　例４最关健的一步是用到了三角形内心的性　质：　已知，为ＡＡＢＣ的内心，　１为　Ａ内的旁心，　Ａ的角平分线与ＡＡＢＣ的外接圆交于点Ｄ，则　ＤＩ＝ＤＢ＝ＤＣ＝ＤＩ　；若　Ａ的角平分线与ＡＡＢＣ的　外接圆交于点Ｄ，在ＡＤ及ＡＤ的延长线上分别存　在点，及　。，使得ＤＩ＝Ｄ１　＝ＤＢ，则，和，　分别为　ＡＡＢＣ的内心和　内的旁心ｒ】　．　下面给出该性质的证明：　证明　（１）如图４，联结ＮＩ，ＭＩ．由于ＰＣ∥ＭＮ　且点Ｐ，Ｃ，Ｍ，Ｎ共圆，从而四边形ＰＣＭＮ是等腰梯　形，因此　ＮＰ＝ＭＣ．ＰＭ＝Ⅳｃ．　联结ＡＭ，ＣＩ，则ＡＭ与　交于点Ｌ因为ＭＣ＝ＭＩ，　ＮＣ＝ＮＩ，所以ＮＰ＝ＭＩ，ＰＭ＝ＮＩ，从而四边形ＭＰＮＩ　为平行四边形，故ＳＡ　＝Ｓｚｘ删　又因为点Ｐ，Ｎ，Ｔ，　共圆，所以　删　＋／＿ＰＭＴ＝１８０。．　由三角形面积公式得　１　ｓ△　ｒ＝÷　Ｐ·ＭＴ。ｓｉｎ　，　

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数学竞赛中的解题策略与技巧

数学竞赛中的解题策略与技巧

数学竞赛中的解题策略与技巧教案：数学竞赛中的解题策略与技巧引言：数学竞赛作为一项智力竞赛活动，对学生的逻辑思维和问题解决能力提出了很高的要求。

为了取得好成绩，学生需要掌握一些解题策略和技巧。

本教案将介绍数学竞赛中的解题策略与技巧，并且通过具体的例子来说明。

一、寻找数学问题的关键点在解决数学问题时，首先要确定问题的关键点。

关键点是指问题中起决定作用的因素或条件。

通过找出关键点，可以将问题简化，从而更容易找到解题思路。

例如，对于一个几何问题，关键点可以是“等边三角形”、“垂直平分线”等。

通过找出这些关键点，可以更好地理解问题，进而解决问题。

二、运用归纳和演绎法归纳和演绎法是数学思维中重要的方法。

归纳法是通过观察已知的特例或模式，得出一般性规律。

演绎法则是根据已知的一般规律，得出特定情况的结论。

例如，在数列问题中，可以通过观察前几项的差值或比值，猜测数列的通项公式。

然后再通过演绎法验证所猜测的公式是否正确。

三、灵活运用数学定理与公式数学定理与公式是解决问题的有力工具。

学生应该熟练掌握一些常用的数学定理与公式，并能够灵活运用。

例如，在解决三角函数问题时，学生需要熟悉三角函数的性质和基本公式，运用它们来求解问题。

四、锻炼逻辑推理能力逻辑推理是解决数学问题的重要方法之一。

通过锻炼逻辑推理能力，学生可以更好地理解问题，找到解决问题的方法和策略。

例如，在解决逻辑推理问题时，学生需要注意提取问题中的信息，运用已有的知识和条件进行推理。

通过不断练习和思考，可以提高逻辑推理能力。

五、学会分析问题的多种解法对于同一个问题，可能存在多种解法。

学生需要学会分析不同的解法，并选用最合适的解法。

通过多种解法的比较和分析，可以提高问题解决的效率和质量。

例如，在解决方程问题时，可以采用因式分解法、配方法、二次根式法等多种方法。

学生可以根据具体情况选择不同的方法。

六、注重反思与总结在完成一道题目后，学生应该进行反思和总结。

通过反思和总结，可以发现解题过程中的不足和问题，进一步提升解题能力。

山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第14章完全四边形

山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第14章完全四边形

第14章 完全四边形我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形．六个交点可分成三对相对的顶点，它们的连线是三条对角线．如图14-1，直线ABC ，BDE ，CDF ，AFE 两两相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，即为完全四边形ABCDEF ．线段AD 、BF 、CE 为其三条对角线．设AD 与BF 交于点G ，则GCE △称其为对角三角形．完全四边形中，既有凸四边形，凹四边形，还有折四边形以及四个三角形．即凸四边形ABDF ，凹四边形ACDE ，折四边形BCFE ，四个三角形是ACF △，BCD △，DEF △，ABE △．每个四边形的对边称为完全四边形的对节，一个完全四边形共有六对对节．完全四边形有一系列有趣的性质12345．性质1 完全四边形的三条对角线的中点共线，此线称为牛顿线．此即完全四边形ABCDEF 的三条对角线AD ，BF ，CE 的中点M ，N ，P 共线． 证明 如图14-1，分别取CD ，BD ，BC 的中点Q ，R ，S ． 于是，在ACD △中，M ，R ，Q 三点共线；在BCF △中，S ，R ，N 三点共线；在BCE △中，S ，Q ，P 三点共线．SQN A B CDEFM R图14-1由平行线性质，有,,MQ AC NR FD PS EBMR AB NS FC PQ ED===． 对BCD △及截线AFE 应用梅涅劳斯定理，有1AC FD EBAB FC ED⋅⋅=，即有1MQ NR PS MR NS PQ ⋅⋅=．①沈文选．完全四边形的有没性质[J]．中等数学，2006（8）：17-20． ②沈文选．完全四边形的性质应用举例[J]．中等数学，2006（10）：16-20．③沈文选．有约束条件的完全四边形的有没性质与竞赛命题[J]．中等数学，2007（2）：17-22． ④沈文选．完全四边形的Miquel 点及其应用[J]．中学教学，2006（4）：36-39．⑤沈文选．走向国际教学奥林匹克的平面结合试题诠释（下）[]M ．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2007：204-217．再对QRS △应用梅内劳斯定理的逆定理，知M ，N ，P 三点共线． 注：此性质还可有10余种证法67．性质2 完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割．如图14-2，在完全四边形ABCDEF 中，若对角线AD 所在直线分别与对角线BF ，CE 所在直线交于点M ，N ，则AM ND AN MD ⋅=⋅． ①（1）（2）PNABC DEFMNABCDEF M图14-2若BF CE ∥，则由AM BF MDAN CE ND==，即证． （此时，也可看做直线BF ，CE 相交于无穷远点P ，也有下面的②，③两式）若BF 不平行于CE ，则可设两直线相交于点P ，此时，还有BM MFBP PF=， ② CN NECP PE=． ③ 下面仅证明当BF 不平行于CE 时，有AM MDAN ND=，其余两式可类似证明． 证明 对ADF △及点B 应用赛瓦定理，有1AM DC FEMD CF EA⋅⋅=．④ 对ADF △及截线CNE 应用梅涅劳斯定理，有1AN DC FEND CF EA⋅⋅=．⑤ 上述两式相除（即④÷⑤），可得AM MDAN ND=． 注：对ABF △及点D 和截线CEP 分别应用赛瓦定理和梅涅劳斯定理可得BM MFBP PF=．对ACE △及点D 和截线BFP 分别应用赛瓦定理和梅涅劳斯定理可得CN NECP PE=． 性质 3 完全四边形ABCDEF 的四个三角形ACF △，BCD △，DEF △，ABE △的外接圆共点M ，点M 称为它的密克尔点．证明如图14-3，设BCD △与DEF △的外接圆交于点D 外，还交于点M ．设点M 在直线CB ．CD ，BD 上的射影分别为P ，Q ，R ，则对BCD △应用西姆松定理，知P ，Q ，R 共线．⑥沈文选．完全四边形的有没性质[J]．中等数学，2006（8）：17-20． ⑦沈文选．完全四边形的性质应用举例[J]．中等数学，2006（10）：16-20．图14-3P MQR SAB CD EF又设点M 在AE 上的射影为S ，则对DEF △应用西姆松定理，知Q ，R ，S 共线，故P ，Q ，R ，S 四点共线．对ACF △和ABE △分别应用西姆松定理的逆定理，知M 在ACF △，ABE △的外接圆上，故四个三角形的外接圆共点．注：直线PQRS 又称为完全四边形的西姆松线．此性质也称为完全四边形的密克尔定理． 性质4 过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行对角线的同一端点所在的边（或其延长线）相交，所得线段被此对角线所在直线的交点平分．（可参见第15章线段的调和分割定理2的推论3）．证明如图14-4，设O ，G ，H 分别为完全四边形ABCDEF 的三条对角线所在直线的交点． （i ）过O 作与CE 平行的直线交EB 于I ，交EA 于J ，交AC 于M ，与CF 的延长线交于点N ，则须证OI OJ =，OM ON =．图14-4QL'N 'M 'I TGD S L H NEF JO CM B A P事实上，由完全四边形对角线调和分割定理有AO DOAG DG=． 又IJ CE ∥，则OI DO AO OJGE DG AG GE===． 从而OI OJ =．由MN CE ∥，则ON DO AO OMCG DG AG CG===． 从而OM ON =．(ii)过G 作与BF 平行的直线，交FC 于S ，交FE 的延长线于点T ，交BE 的延长线于L ，变BC 于M '．同（1）的证明一样，可得,GS GT GM GL '==．（iii ）过点H 作与AD 平行的直线，交CA 的延长线于P ，交AE 的延长线于Q ，交DF 的延长线于N '，交DE 的延长线于L '．同（1）的证明，可得,HN HL HP HQ ''==． 综上，我们便完成了结论的证明．注：由上述优美的性质，容易想到蝴蝶定理，在这里，我们不妨也把它称为完全四边形的蝴蝶定理．性质5 如图14-5，完全四边形ABCDEF 中，图14-5（1）四个三角形BCC △，DEF △，ABE △，ACF △的垂心四点共线．（2）四个三角形BCD △，DEF △，ABE △，ACF △的外心四点共圆（施坦纳圆）． （3）以三角对角线为直径的圆共轴，且与四个三角形的垂心乎共线．证明 （1）由密克尔定理，设其密克尔点为M ，即BCD △，DEF △，ABE △，ACF △的外接圆的公共点为M ，则点M 关于四个三角形的西姆松线为同一条直线l ．由施坦纳定理（设ABE △的垂心为H ，其外接圆上任一点P ．则P 关于ABE △的西姆松线通过线段PH 的中点）．l 通过点M 分别与BCD △，DEF △，ABE △，ACF △的垂心的连线段的中点，从而这四个三角形的垂心共线．注：该线称为完全四边形的垂心线，它平行于完全四边形的西姆松线． （2）设其密克尔点为M ，四个三角形BCD △，DEF △，ABE △，ACF △的外心分别为1O ，2O ，3O ，4O ．由于ME 与圆2O 和圆3O 的公共弦，则23O O ME ⊥． 设23O O 交ME 于H ，则2MO H MDE ∠=∠．同理13MO O MCB ∠=∠．又B ，D ，M ，C 四点共圆，则MDE MCB ∠=∠． 故213MO H MO O ∠=∠，即1O ，2O ，3O ，M 四点共圆．同理，1O ，2O ，4O ，M 四点共圆，故1O ， 2O ，3O ，4O ，M 五点圆．（3）我们证明以完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴，且完全四边形的四个三角形的垂心在这条根轴上．如图14-6，在完全四边形ABCDEF 中，以对角线AD ，BF ，CE 为直径作圆．图14-6EC这三个圆的圆心就是三条对角线的中点M ，N ，P ．设1H ，2H ，3H ，4H 分别为FDE △，ACF △，ABE △，BCD △的垂心，注意到三角形垂心的性质：三角形的垂线是所有过任一条高的两个端点的圆的根心．在完全四边形ABCDEF 中，显然FDE △，ACF △，ABE △，BCD △的垂心不重合． 由于DEF △的垂心1H 是三个圆的根心，而对于DEF △，在它的边所在直线上的点，C ，B ，A ，DEF △的垂心1H 关于以CE ，BF ，AD 为直径的远的幂相等，即1H 在这三个圆两两的根轴上．同样，对于ACF △，在它的边所在直线上的点B ，D ，E ，其垂心2H 关于以CE ，BF ，AD 为直径的圆的相等，以及3H ，4H 均关于以CE ，BF ，AD 为直径的圆的幂相等．故1H ，2H ，3H ，4H 均在这三个圆两两的根轴上，即这三个圆两两的根轴重合，亦即共轴，且四个三角形的垂心在这条根轴上．注：此结论又称为高斯定理：分别以一完全四边形的对角线为直径所作的三圆共轴，它们的等幂轴就是完全四边形的垂心线．性质6 如图14-7，在完全四边形ABCDEF 中，点G 是对角线AD 所在直线上的一点，联结BG ，CG ，FG ． 若AGC AGE ∠=∠，则AGB AGF ∠=∠． 证明 如图14-7所示的各种情形，过点G 作直线a AD ⊥，过B ，F 分别作直线BM a ⊥于M ，交CD 于1M ，交CG 于2M ；作直线FN a ⊥于N ，交DE 于1N ，交GD 于2N ，则BM AG FN ∥∥．图14-7（5）（3）（4）（1）（2）aaM1M2N 1N 2N MD GECF B A M2N 2M 1N 1M NGCDF E BA a（M 2）（N 2）N 1M1DN MGC FBA aaN 1M1G F BEDCAMN N 2M2N 2N 1M1M2F BDEENG M A于是由AGC AGE ∠=∠，知22Rt Rt GMM GNN △∽△．从而21122211122MM M B M B M B M B MG BD DA GA NN NG DN N F DA N F GA N F N F======⋅=． （*） 由等比性质，得2222M B MM MG BMNG N F NN FN±==±， 所以Rt Rt MBG NFG △∽△． 即有BGM FGN ∠=∠． 故AGB AGF ∠=∠．注：当2M 与M 重合，2N 与N 重合时，式（*）变为11111M B M B MG BD DA MB GA MBNG DN N F DA N F GA NF NF ===⋅=⋅=． 由此，即知Rt Rt MBG NFG △∽△．性质7 在完全四边形ABCDEF 中，点G 是对角线AD 所在直线上异于A 的任意一点，则 cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠．8⑧沈文选．善用平台，揭示性质[J]．中学生数学，2009（5）：45-46．证明 联结CE 与直线AD 交于点K ． 在ACE △中及点D 应用塞瓦定理，有1AB CK EF BC KE FA⋅⋅=． ①注意到sin sin GAB GBC S AB AG AGBBC S AG BGC⋅∠==⋅∠△△． sin sin GCK GKE S CK CG AGCKE S EG AGE ⋅∠==⋅∠△△． sin sin GEF GFA S EF EG EGFFA S AG AGF⋅∠==⋅∠△△． 将以上三式代入式（*）得sin sin sin sin sin sin BGC EGFAGC AGB AGE AGF∠∠=∠⋅∠∠⋅∠ ② 又sin sin()sin cos cos sin BGC AGC AGB AGC AGB AGC AGB ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠ sin sin()sin cos cos sin EGF AGE AGF AGE AGF AGE AGF ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠． 将上两式代入式②，得cot cot cot cot AGB AGC AGF AGE ∠-∠=∠-∠． 故cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠． 注：显然性质7是性质6的推广．性质7的前部分证明也可对ACF △及截线BDE 或对ABE △及截线CDF 应用梅涅劳斯定理得到类似于①的式子．性质8在完全四边形ABCDEF 中，1234,,,O O O O 分别为ACF △，BCD △，DEF △，ABE △的外心，1234H H H H 、、、分别为423O O O △，413O O O △，241O O O △，123O O O △的垂心，则（1）423O O O ACF △∽△，123O O O ABE △∽△，241O O O DEF △∽，413O O O BCD △∽△． （2）1234H H H H 、、、分别在BE ，AE ，AC ，CF 上，且四边形12342143H H H H O O O O ≌四边形 ． 证明如图14-8所示．图14-8O 2O 3O 1H'H 2H 3'H 1H 1'H 2'DO F EMCBA（1）设M 为其密克尔点，则BM 为圆2O 与圆4O 的公共弦，即知24O O BM ⊥． 同理，23O O DM ⊥．于是，423O O O BMD BCD ACF ∠=∠=∠=∠．又24323180180O O O O MO BME BAF CAF ∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠，故423O O O ACF △∽△． 或者，考虑4O ，2O 在边AC 上的射影分别为AB ，BC 的中点，即42O O 在边AC 上的射影为AC 的12．同理，23O O 在CF 上的射影为CF 的12．又43O O 在AE 上的射影为11()22AE EF AF -=，即为AF 的12，故423O O O ACF ∽△．同理123O O O ABE △∽△．此时241231O O O O O O BEA DEF ∠=∠=∠=∠．又214213314213324O O O O O O O O O O O O O O O CAF ACF DFE ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，从而241O O O DEF △∽△． 413O O O BCD △∽△．（2）自2O 作34O O 的垂线交BE 于点1H '，联结4BO ，2BO ，41O H '，由ABE △的外心，知 1490H BO BAE '∠=︒-∠及1242439090H O O O O O BAE '∠=︒-∠=︒-∠，则14124H BO H O O ''∠=∠，从而1H '，2O ，B ，4O 四点共圆，于是14212H O O H BO ''∠=∠． 又2O 为BCD △的外心，知12290H BO O BE BCD '∠=∠=︒-∠． 于是1424290903H O O BCD O O O '∠=︒-∠=︒-∠． 即14242390H O O O O O '∠+∠=︒．这说明41O H '也垂直于23O O ，即知1H '为423O O O △的垂心，即1H '与1H 重合，从而1H 在BE 上．过3O 作14O O 的垂线交AE 于2H '，联结4O E ，3O E ，42O H '，则4290O EH ABE '∠=︒-∠， 43214314390(180)90(180)9090O O H O O O O O O ABE ABE '∠=︒-︒-∠=∠-︒=︒-∠-︒=︒-∠． 从而2H '，4O ，E 四点共圆，即有42343O H O O EO '∠=∠． 又132134432429090O O H O O O O O H BDC O EH BDC ABE ACF '''∠=∠+∠=∠+∠=∠+︒-∠=︒-∠． 423433442(90)()O H O O EO DEO DEO DFE DEF O EH ''∠=∠=∠+∠=∠-︒+∠+∠ 90(90)(180)180DFE DEF ABE ABE EDF ACF =∠-︒+∠-︒-∠=∠+︒-∠-︒=∠，即13242390O O H O H O ''∠+∠=︒． 这说明2H '为134O O O △的垂心，即2H '与2H 重合，故2H 在AE 上． 过点2O 作14O O 的垂线交AC 于3H '，联结1CO ，2CO ，31H O '，则321214(180)H O O O O O '∠+︒-∠ 321180H O O DFE '=∠+︒-∠32190H O O AFC '=∠+∠=︒， 3190H CO AFC '∠=︒-∠． 于是32131H O O H CO ''∠=∠． 从而3H '，C ，2O ，1O 四点共圆，有23121O H O O CO '∠=∠． 又3243211243112490H O O H O O O O O H CO O O O AFC FDE '''∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠-∠ 90()90FDE FED FDE FED =︒-∠+∠+∠=︒-∠，2311212O H O O CO ACF ACO FCO '∠=∠=∠-∠+∠ (90)(90)ACF AFC CBD ∠-︒-∠+∠-︒ 180180CAF CBD =︒-∠+∠-︒CAF FED CAF FED =∠+∠-∠=∠，即32423190H O O O H O ''∠+∠=︒，即知3H '为124O O O △的垂心． 从而3H '与3H 重合，故3H 在AC 上．过点3O 作12O O 的垂线交CF 于点4H '，联结1O F ，14O H '，3O F ．由1O 为ACF △的外心，有4190H FO FAC '∠=︒-及4312139090H O O O O O FAC '∠=︒-∠=︒-∠，知41431H FO H O O ''∠=∠，从而4H '，3O ，F ，1O 四点共圆，于是41343H O O H FO ''∠=∠． 又3O 为DEF △的外心，知43390H FO DFO FED '∠=∠=︒-∠，于是41390H O O FED '∠=︒-∠=， 13290O O O ︒-∠，即41313290H O O O O O '∠+∠=︒． 这表明14O H '也垂直于23O O ，即知4H '为123O O O △的垂心，即4H '与4H 重合，故4H 在CF 上．综上知，点1H ，2H ，3H ，4H 分别在BE ，AE ，AC ，CF 上． 下面证四边形12342143H H H H O O O O ≌四边形．由于1O ，2O ，3O ，4O 共圆，该圆圆心记为O ，设K 为23O O 的中点，如图14-9所示．图14-9注意到卡诺定理：三角形任一顶点至该三角形垂心的距离，等于外心至其对边的距离的2倍，则知412O H OK =，且41O H OK ∥；12O H OK =，且14O H OK ∥，从而1441O H O H ∥，即知1414O H H O 为平行四边形，于是4114H H O O ∥． 同理，1221H H O O ∥，2332H H O O ∥，3443H H O O ∥． 故四边形12342143H H H H O O O O ≌．性质9 在完全四边形ABCDEF 中，四边形ABDF 有内切圆的充要条件是下列有两条件之一：（1）BC BE FC FE +=+． （2）AC DE AE CD +=+． 证明（1）充分性． 如图14-10，在CF 上截取CG CB =，在EA 上截取EH EB =． 联结BG ，GH ，BH ，则FH EH EF EB EF =-=-．图14-10DG CFBHA又BC BE FC FE +=+， 则BE FE FC BC -=-，故FH FC BC FC CG GF =-=-=．分别作BCG ∠，BEH ∠，GFH ∠的平分线．因为CB CG =，EB EH =，FG FH =，所以这三个角的平分线所在的直线就是BGH △三边的垂直平分线，从而，这三个角的平分线交于一点，设为I ．由角平分线的性质知，I 到CB 与CF ，EB 与EF ，FC 与FA 的距离均相等，即I 到四边形ABDF 的四边距离相等，所以，四边形ABDF 有内切圆． 且I 为其内切圆的圆心． 必要性． 略．（2）充分性． 在AC 上截取CG CD =，在AE 上截取EH ED =，则AG AC CG AC CD =-=-=AE DE AE EH AH -=-=，则DCG ∠，DEH ∠，GAH ∠的平分线就是DGH △的三边的中垂线，同（1）知四边形ABDF 有内切圆．必要性． 略．性质10 在完全四边形ABCDEF 中，四边形ABDF 有内切圆的充要条件是ACD △与ADE △的内切圆相处切．证明 如图14-11，必要性． 当四边形ABDF 有内切圆圆I 时，设圆I 分别切BD ，DF 于点M ，N ，设ACD △的内切圆圆1I 切CD 于点P ，ADE △的内切圆圆2I 切DE 于点Q ，则PN CN CP =-图14-11A111()()()222AC CF AF AC CD AD AD DF AF =+--+-=+-． 同理1()2QM AD DB AB =+-．由四边形ABDF 有内切圆，知DF AF DB AB -=-，于是PN QM =． 再由DN DM =，可知DP DQ =． 从而圆1I 与圆2I 外切于AD 上某一点．充分性． 设ACD △的内切圆圆1I 与ADE △的内切圆圆2I 外切于AD 上一点，作AEB △的内切圆圆I ，过D 作圆I 的另一条切线分别交直线AB 于C '，交直线AE 于F '，作AC D '△的内切圆圆1I '，则由前面的证明可知圆1I '与圆2I 外切于AD 上一点，再由圆1I '与圆1I 的圆心同在CAD ∠的平分线上，知圆1I '与圆1I 重合． 从而C '与C 重合，F '与F 重合． 因此，四边形ABDF 有内切圆．性质11 在完全四边形ABCDEF 中，四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆的充要条件是下列有两条件之一：（1）AB BD AF FD +=+． （2）AC CD AE ED +=+． 证明（1）必要性． 略．充分性． 如图14-12，在射线AB 上取点K ，使得BK BD =，在射线AF 上取点L ，使得FL FD =．联结DK ，DL ，KL ，由AB BD AF FD +=+．图14-12A则AK AB BK AB BD AF FD AF FL AL =+=+=+=+= 从而BDK △，FDL △，AKL △均为等腰三角形． 设点O 为DLK △的外心，易知OB ，OF ，OA 分别为DLK △的三边DK ，DL ，KL 的中垂线，即它们分别是DBC ∠，DFE ∠，EAC ∠的平分线，则点O 到四边形ABDF 各边的距离相等，即知四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆，圆心为O ．（2）必要性． 设旁切圆与四边形分别相切于点M ，P ，Q ，N ，如图14-12所示。

平面几何解题的思路

平面几何解题的思路

平面几何解题的思路
解决平面几何问题可以遵循以下思路：
1. 了解题意：认真阅读问题，理解题目中所给出的条件和要求，明确题目所要求求解的内容。

2. 绘制图形：根据题目中的条件，绘制出相应的几何图形，包括给定的线段、角度、形状等。

绘制图形可以帮助我们更清晰地理解问题，并找到解题的思路。

3. 运用几何定理和性质：根据已知条件和几何图形中的性质，运用相关的几何定理和性质，推导出更多的信息。

例如，利用三角形的内角和定理、直角三角形的勾股定理等。

4. 建立方程或等式：根据题目的要求，建立相应的方程或等式，将未知数和已知条件联系起来。

方程可以是关于长度、角度、面积等的等式。

这样可以将问题转化为代数方程求解。

5. 进行计算和推导：根据建立的方程或等式，进行计算和推导，通过数学运算得出未知数的值或所要求的结果。

6. 检查和回答问题：在计算完成后，仔细检查计算过程和答案，确保结果的准确性和合理性。

回答问题时，可以给出具体的测量结果、角度大小、图形的性质等。

7. 总结和归纳：解题完成后，及时总结所用的方法和思路，归纳出解决类似问题的思考方式和步骤，以便下次遇到类似问题时能够灵活应用。

以上是解决平面几何问题的一般思路和步骤，具体解题时应结合题目的特点和条件进行灵活运用。

多进行练习和实践，不断提高分析问题和解决问题的能力。

解决几何构造问题的四十四大策略

解决几何构造问题的四十四大策略

解决几何构造问题的四十四大策略在咱们学习数学的漫漫长路中，几何构造问题就像是一个个调皮的小怪兽，时不时地跳出来给咱们制造点儿麻烦。

不过别担心，今天我就来给大家分享解决几何构造问题的四十四大策略，让这些小怪兽都乖乖听话！先来说说第一大策略——“火眼金睛找关键”。

这就好比有一天我在路上看到一个小朋友在玩拼图，那拼图乱糟糟的一堆，可小朋友愣是能一下子找到关键的那几块，迅速拼出个大概。

咱们解几何题也是这样，得先有一双能快速找到关键信息的“火眼金睛”。

比如给出一个三角形，告诉你两条边的长度和一个角的度数，那这两条边和这个角往往就是解题的关键突破口。

第二大策略是“巧用对称妙无穷”。

我记得有一次我去公园散步，看到湖面上一座桥的倒影和桥本身形成了完美的对称，那画面美极了。

在几何里，对称也是个神奇的法宝。

比如说，一个不规则图形，通过找到它的对称轴，就能让问题变得简单许多。

接下来是“相似比例巧帮忙”。

有一回我在家做蛋糕，发现配方里各种材料的比例搭配得好，蛋糕才能做得美味。

几何里的相似三角形也是这个道理，通过相似比和对应边的比例关系，能帮咱们求出很多未知的边长。

再说说“添加辅助线有妙招”。

这就像走迷宫的时候，给自己画一条特别的路线。

比如遇到一个复杂的四边形，咱们通过添加一条对角线，把它分成两个三角形，问题可能就迎刃而解啦。

“构造全等显神通”也是个厉害的策略。

有次我看装修师傅贴瓷砖，每块瓷砖的形状大小都一模一样，严丝合缝，这就跟全等图形似的。

在解题时，巧妙构造全等图形，能让原本复杂的条件变得清晰明了。

“转化思想要记牢”也不能忘。

就像我把一堆乱七八糟的衣服分类整理好，把复杂的问题转化为我们熟悉的、容易解决的形式。

比如说把一个立体图形的问题转化为平面图形的问题。

“割补法来解难题”也挺好用。

我想起有次我裁剪布料做桌布，多出来的部分我就剪掉，不够的地方就补上一块。

在几何里，通过割补图形，也能让计算变得轻松。

“逆向思维破难关”也是个不错的办法。