反比例函数中k的几何意义

一、课题 反比例函数中k 的几何意义
无锡市羊尖中学 陈国忠
二、教学目标
1．理解并掌握反比例函数中k 的几何意义；
2．能灵活运用k 的几何意义求图形面积；
3．能根据图形面积求出反比例函数中k 的值．
三、教学重点与难点
重点：理解并掌握反比例函数中k 的几何意义；难点：解决反比例函数图像中的面积计算问题；
四、教学过程
〖新知探究〗
1．矩形面积引发的思考
已知点P 是双曲线y ＝5x
在第一象限内分支上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线P A 、PB ，垂足分别为A 、B ．
你能求出矩形OAPB 的面积吗？
2．k 与矩形面积
过双曲线y ＝k x
上一点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ． 求矩形OAPB 的面积．
设点P (m ，n )，则mn ＝k ，
∴S 矩形OAPB ＝PB ⋅P A ＝|m |⋅|n |＝|mn |＝|k |．
k 的几何意义：
过双曲线y ＝k x 上任意一点作两坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为|k |．
3．k 与三角形面积
连接OP ，则S △OAP ＝S △OBP ＝12S 矩形OAPB ＝|k |2
． 〖热身练习〗
1．已知点P 是反比例函数y ＝k x
(k ≠0)的图像上任一点，过P 点分别作x 轴，y 轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．±2
D ．4
2．如图，点P 是双曲线上的一点，过P 点分别向x 轴，y 轴引垂线，得到图中的阴影部分的矩形面积为3，则这个反比例函数的表达式为________．
3．如图，点P 是反比例函数y ＝－4x
上的一点，PD ⊥x 轴于点D ，点 C 为y 轴上任意一点，则△PCD 的面积为________．
4．如图，反比例函数与正比例函数的图像相交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ．若△ABC 的面积是4，则这个反比例函数的解析式为( )
A ．y ＝2x
B ．y ＝4x
C ．y ＝8x
D ．y ＝16x
5．双曲线y ＝5x 与y ＝3x
在第一象限内的图像如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为__________．
x y
O
P D C x y
O P
x
y P A
B y =k x
O
〖例题解析〗
已知反比例函数y ＝k x
(x ＞0)的图像经过矩形ABCD 边BC 的中点F ，交CD 于点E ，四边形AFCE 的面积为2．求k 的值．
解：∵反比例函数y ＝k x
(x ＞0)的图像经过矩形ABCD 边BC 的中点F ， ∴设点F 的坐标为⎝⎛⎭
⎫m ,k m ， 则点B (m ,0)，点C ⎝⎛⎭
⎫m ,2k m ， 在y ＝k x (x ＞0)中，令y ＝2k m ，得x ＝m 2，∴点E ⎝⎛⎭
⎫m 2,2k m ． ∵S 四边形AFCE ＝S 梯形AECB －S △AFB
＝12⎝⎛⎭⎫m －m 2＋m ×2k m －12
k ＝k ，
∵S 四边形AFCE ＝2，∴k ＝2．
〖反馈练习〗
1．如图，反比例函数的图像与矩形ABCD 交于点M 、N ，连接OM 、ON ，已知M (3，2)，S 四边形OMBN ＝6．
（1）求反比例函数的解析式；（2）求B 、N 的坐标．
解：（1）设反比例函数的解析式为y ＝k x
， 把M (3,2)代入y ＝k x ，得k ＝6，∴反比例函数的解析式为y ＝6x
． （2）易得S △OMA ＝S △ONC ＝3，
∵S 四边形OMBN ＝6，∴S 矩形OABC ＝6＋3＋3＝12，
∵OA ＝3，∴AB ＝4，∴B (3,4)，
∵OC ﹒CN ＝6，∴CN ＝32，∴N ⎝⎛⎭⎫32,4．
2．如图，第一象限内的点A 在反比例函数y ＝4x 的图像上，第四象限内的点B 在反比例函数y ＝k x
的图像上，且OA ＝OB ，∠AOB ＝90°．
（1）k 的值为__________；
（2）随着点A 的移动，OB 的中点C 也在某条双曲线上移动，请直接写出这条双曲线的解析式．
〖归纳总结〗
反比例函数中k 的三个技能：
1. k 的符号：双曲线所在象限
2. |k |：离原点的远近程度
3. k 的几何意义：S 矩形＝|k |
教学后记
〖课后作业〗
1．如图，函数y ＝x 与y ＝4x
的图像相交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作x 轴垂线，垂足分别为点C 、D ，则四边形ACBD 的面积为________．
2．如图，若点M 是x 轴正半轴上的任意一点，过点M 作PQ ⊥x 轴，分别交函数y ＝4x
(x ＞0)和y ＝－6x
(x ＞0)的图像于点P 和Q ，连接OP 、OQ ，则△POQ 的面积为________．
3．如图，在反比例函数y ＝2x
(x ＞0)的图像上，有点P 1、P 2、P 3、P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1、S 2、S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝( )
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．无法确定
4．如图，A （2，3）、B 是双曲线y ＝k x
(k ＞0)上的两点． （1）求k 的值；
（2）若点B 的横坐标为4，连接OA 、OB 、AB ，求△AOB 的面积；
5．如图，直线y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝k x
(x ＜0)的图象交于点A 、B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－2,4)，点B 的横坐标为－4．
(1)试确定反比例函数的关系式；(2)求一次函数的关系式；(3)求△AOC 的面积． x
y
O A
B
解：(1)把A (－2,4)代入y ＝k x 得k ＝－2×4＝－8， 所以反比例函数解析式为y ＝－8x
； (2)把x ＝－4代入y ＝－8x
，得y ＝2， 所以B 点坐标为(－4,2)，
把A (－2,4)和B (－4,2)代入y ＝kx ＋b 得：⎩⎨⎧－2k ＋b ＝4－4k ＋b ＝2
， 解得⎩⎨⎧k ＝1b ＝6
， 所以一次函数的解析式为y ＝x ＋6； (3)对y ＝x ＋6，令y ＝0，则x ＋6＝0，解得x ＝－6，
所以C 点坐标为(－6,0)，
所以S △AOC ＝12
×6×4＝12． 6．如图，P 是反比例函数y ＝k x
(k ＞0)的图象上的任意一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，已知S △OPM ＝3．
(1)求k 的值；
(2)若直线y ＝ax (a ＞0)与上述反比例图象在第三象限交于一点A ，Q 为反比例函数图象上一点，过Q 作y 轴的垂线，垂足为N (0,3)．假设四边形AOQN 的面积为21，求a 的值．
解：(1)∵S △OPM ＝3，∴12
|k |＝3，而k ＞0，∴k ＝6； (2)设A 点坐标为(t ,at ),(t ＜0)，
∵S 四边形AOQN ＝S △AON ＋S △ONQ ，∴12
×3×(－t )＋3＝21，解得t ＝－12， ∴A 点坐标为(－12,－12a )，
把A 点坐标为(－12,－12a )代入y ＝6x 得－12a ＝6－12，∴a ＝124．。