2016届陕西省黄陵中学高三（下）第六次模拟数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}{}{}0,1,2,0,1,0,1,2,3A A B A B === ，则集合B 的子集的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】D【解析】试题分析：{}{}{}{}0,1,2,0,1,0,1,2,30,13A A B A B B ===⇒= ，，因此集合B 的子集的个数为32=8，选D.【考点】集合子集个数 【易错点睛】（1）认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件. （2）注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.（3）防范空集.在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2．已知复数1z i =-（i 为虚数单位），且11aiz++是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．3- C ．3 D ．1 【答案】C【解析】试题分析：因为113(1)1112ai ai a a iz i ++-+++=+=-是纯虚数，所以30,103a a a -=+≠⇒=，选C.【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi3．设:1,:ln 21xp x q >>，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：122ln 21;ln 21221x x x xx e x >⇒>⇒>>⇒>>⇒>，所以选B.【考点】充要关系【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法 （1）命题判断法：设“若p ，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件； ③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． （2）集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x|p （x ）成立}，q ：B ＝{x|q （x ）成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ≠⊂B 时，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B≠⊂A 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件． （3）等价转化法：p 是q 的什么条件等价于綈q 是綈p 的什么条件．4．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，且123,,2S S S -成等差数列，则4a =（ ） A ．8 B ．18 C ．16 D ．116【答案】A 【解析】试题分析：由题意得21323222422=+2222248S S S a a a a a a a -⇒=-⇒=-⇒=⇒==，选A.【考点】等比数列通项5．已知,x y 满足线性约束条件：10,220,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则目标函数2z x y =-的最小值是（ ）A ．6B ．6-C ．4D ．4- 【答案】D【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中14(2,3),(2,2),(,)33A B C -，则直线2z x y =-过点A 时取最小值4-，所以选D.【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．13πB ．14πC ．15πD ．16π 【答案】A【解析】试题分析：几何体为一个斜放的三棱柱，底面为一个等腰直角三角形，底长为2，底上高为1；三棱柱高为3，因此外接球半径为，外接球的表面积为2413ππ=，选A.【考点】三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 7．如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1316 B ．1312 C ．138 D ．134【答案】C【解析】试题分析：第一次循环：1,22S i ==；第二次循环：212,322S i =+=；第三次循环：23123,4222S i =++=；第四次循环：2341234,52222S i =+++=；结束循环输出23412341322228S =+++=，选C.【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，以右顶点为圆心，以c 为半径的圆与双曲线右支的交点横坐标为32a ，该双曲线的离心率为（ ） A．3 D ．2【答案】D【解析】试题分析：由交点既在圆上，又在双曲线上得：22222222222222223,192,54,444191,4a a y c a a b c a b c c a ya ab ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⇒+=++==⎨⎪⋅-=⎪⎩，∴2c =．所以选D.【考点】双曲线的离心率 【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 9．若()()*nx yn N +∈的展开式的二项式系数最大的项只有第4项，则1n x +⎛ ⎝展开式中，4x 的系数为（ ）A ．21B ．35-C ．35D ．21-【答案】A【解析】试题分析：由题意得：41,2n=-()()727227776,1,74,2,1212rr r r r rr r n C x C x r r C ---⎛==---==-= ⎝．【考点】二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略（1）求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.（2）已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 10．对于函数()21sin 22f x x x =有以下三种说法： ①,06π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()y f x =的图象的一个对称中心； ②函数()y f x =的最小正周期是π；③函数()y f x =在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 其中说法正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：()211sin 2sin 22sin(2)222232f x x x x x x π==-+=+-，所以,62π⎛-- ⎝⎭是函数()y f x =的图象的一个对称中心；函数()y f x =的最小正周期是π；函数()y f x =在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．正确的个数是②③这两个，选C. 【考点】三角函数性质11．已知,a b 为正实数，直线0x y a ++=与圆()()2212x b y -+-=相切，则()2322b a-的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】0,0a b =>>，∴()2232441110,01,224,222b a a b a a a aa a -++=-><<==++≥当且仅当12a =时取等号，选B ．【考点】直线与圆相切，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 12．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,e 【答案】A【解析】试题分析：由题意得()ln 120f x x ax '=+-=有两个不相等的实数根，所以()120f x a x ''=-=必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，∴102a <<． 【考点】利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f ′（x ）―→求方程f ′（x ）＝0的根―→列表检验f ′（x ）在f ′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f ′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.二、填空题13．已知两个单位向量a 、b 满足12⋅=-a b ，向量2-a b 与b 的夹角为θ，则cos θ=______．【答案】7-【解析】试题分析：21|2|414()72-=+-⨯-=a b ，1(2)()122-⋅⨯--=-a b b =2，所以(2)|2|7co s θ-⋅--⋅=a b b ==a b |b | 【考点】向量夹角【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14．已知数列{}n a 是公差为整数的等差数列，前n 项和为n S ，且1520a a ++=，1232,3,8S S S 成等比数列，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为______．【答案】1051-【解析】试题分析：因为1520a a ++=，所以112420,12,a d a d ++==--因为1232,3,8S S S 成等比数列，所以22132169,16(12d)(1d)3(23d)S S S =----=--()12,3,32152n d d a a n n=-==---∴= 为整数．因为111111()(52)(32)22523n n a a n n n n +==-----，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为11111111111110()()()()23121121517231751-+-++-=-=----- 【考点】等差数列通项，裂项相消求和15．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且当0x >时，()232f x x x =-+，若函数()y f x a =-有2个零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】112,,244⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】试题分析：因为奇函数()f x 的定义域为R ，所以()00f =；又当0x >时，()21324f x x x =-+≥-，所以当0x <时，()21324f x x x =---≤，因此要使函数()y f x a =-有2个零点，则实数a 的取值范围是112,,244⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【考点】函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.16．已知F 是抛物线24y x =的焦点，过F 作一直线l 交抛物线于,A B 两点，若3FB AF =，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为______．【答案】2【解析】试题分析：(1,0)F ，设()()1122,,,A x y B xy，则()()11221,,1,A F x y F B x y=--=-，依题意有()2121131,3,x x y y ⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩①②由②得：2221212194949y y x x x x =⇔=⨯⇔=，③ 由①③可得：121,33x x ==，∴(3,B或(3,B -．当(3,B 时，l方程为)1y x =-，与坐标轴交点为()1,0,(0,当(3,B -时，l方程为)1y x =-，与坐标轴交点为()1,0 ∴直线l与坐标轴围成的三角形的面积为．【考点】直线与抛物线位置关系三、解答题17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()12cos c b A =+． （Ⅰ）求证：2A B =；（Ⅱ）若12a B π==，求ABC ∆的面积． 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理，将边化为角得()sin sin 12cos C B A =⋅+，再根据三角形内角关系及诱导公式、两角差正弦公式得()sin sin A B B-=，最后根据角的范围得A B B -=（Ⅱ）由于三角形三角已知，所以先根据正弦定理求边sin 1sin a C c A ==+，再根据三角形面积公式及1234B πππ==-求面积：1s i n B 2ABC S ac ∆==试题解析：（Ⅰ）由正弦定理sin sin b cB C =及()12cos c b A =+可知，()sin sin 12cos C B A =⋅+，又在ABC ∆中，A B C π++=， 所以()sin sin sin cos sin cos C B A A B B A=+=+，从而sin cos cos sin sin A B A B B -=， 所以()sin sin A B B-=，所以A B B -=，∴2A B =．（Ⅱ）∵12B π=，∴3,61264A C πππππ==--=由正弦定理得sin 1sin a Cc A ==+()12cos c b A =+，∴1b =，∴1sin 2ABC S bc A ∆==【考点】正弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，点E 是11A D 的中点，点F 是CE 的中点．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BDF ；（Ⅱ）求二面角B DE C --的余弦值的大小．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，一般需结合平几条件，如三角形中位线性质：连AC 交BD 于G ，则G 是AC 中点，∵F 是CE 是中点，∴AE FG ∥．（Ⅱ）利用空间向量求二面角，首先利用垂直关系建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解两个平面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据向量夹角与二面角之间关系得结论试题解析：（Ⅰ）证明：连AC 交BD 于G ，连FG ．∵ABCD 是正方形，∴G 是AC 中点．∵F 是CE 是中点，∴AE FG ∥．∵AE ⊄平面BDF ，FG ⊂平面BDF ，∴AE ∥平面BDF ．（Ⅱ）解：分别以DC 、DA 、1DD 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()()()110,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0,2,2,0,1,2,2,0,0D A B D A E C ，∴()()()0,1,2,2,0,0,2,2,0DE DC DB ===，设平面BDE 的一个法向量(),,x y z =m ，则0DE DB ⋅=⋅=m m ，即2220y z x y +=+=，取1z =-得()2,2,1=--m ，同样可求得平面CDE 的一个法向量()0,2,1=-n ，cos ,3⋅==⋅m n m n m n ，∴二面角B DE C --的余弦值为3【考点】线面平行判定定理，利用空间向量求二面角【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19．某师范院校志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中有部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“中文专业’的概率为15．现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的概率；（Ⅲ）设ξ为选出的3名同学中“女生”的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．【答案】（Ⅰ）1m =，3n =（Ⅱ）715（Ⅲ）65E ξ=【解析】试题分析：（Ⅰ）根据古典概型概率求法列方程：11105m +=，解出1m =，再根据总人数确定3n =（Ⅱ）先确定从这10名同学中随机选取3名同学的取法共有310C ，再确定3名同学为专业互不相同的取法，分四种情况，最后根据古典概型概率求法求结果（Ⅲ）先确定随机变量的取法0,1,2,3，再依次求各自的概率，列表得概率分布，最后根据公式求数学期望试题解析：（Ⅰ）设事件A ：从10名学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“中文专业”． 由题意可知，“中文专业”的学生共有()1m +人，则()11105m P A +==，解得1m =，所以3n =．（Ⅱ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同．则()11101101101101112242224222422242310715C C C C C C C C C C C C C C C C P B C +++==．（Ⅲ）由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3， 由题意可知，“女生”共有4人． 所以()()()()336431010,6C C P P C ξξ==．所以ξ的分布列为所以1131601236210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【考点】古典概型概率，概率分布及数学期望【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.20．已知点()0,1A 与12B ⎫⎪⎭都在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，直线AB 交x轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标；（Ⅱ）设O 为原点，点D 与点B 关于x 轴对称，直线AD 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠？若存在，求点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）2214x y +=，()M （Ⅱ）在y 轴上存在点E ，使得O E M O N E ∠=∠，且点E 的坐标为()0,2或()0,2-．【解析】试题分析：（Ⅰ）将两点坐标代入椭圆方程22211,311,4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解方程组得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩（Ⅱ）求定点问题，一般以算代定. 解几中角的问题，一般转化成坐标问题：OEM ONE∠=∠OM OEOEON ⇒=2E M Ny x x ⇒=，从而确定2E y =±试题解析：（Ⅰ）由题意得22211,311,4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程为2214x y +=．直线AB方程为1y x =+，与x轴交点()M ．（Ⅱ）因为点D 与点B 关于x轴对称，所以12D ⎫-⎪⎭， 直线AD的方程为1y x =+，与x轴交于点3N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． “存在点()0,E E y 使得O E M O N E ∠=∠”等价于“存在点()0,E E y 使得O M O E O EO N=”，即E y 满足2EM N y x x =，∴24E y ==，∴2Ey =±， 故在y 轴上存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠，且点E 的坐标为()0,2或()0,2-．【考点】椭圆方程，定点问题 【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．设函数()()ln ,xf x a x xg x ae x =-=-，其中a 为正实数．（Ⅰ）若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()2,+∞上有最小值，求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 与()g x 都没有零点，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（Ⅱ）1,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用导数转化函数单调问题：()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，因为0a xx a x -≤⇒≥，所以01a <≤；()g x 在开区间()2,+∞上有最小值，转化为()g x 在开区间()2,+∞上必有极小值，由()1=0xg x ae'=-得1lnx a =，所以1ln2a >，即210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（Ⅱ）先利用导数研究函数()f x 与()g x 的单调性，得x a =时，()f x 取得最大值，1lnx a =，()g x 取得最小值，因此要使函数()f x 与()g x 都没有零点，只要()0f a <且1ln 0g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得1,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 试题解析：（Ⅰ）()()0,0a xf x x a x -'=>>，∵0x a <<时，()0f x '>；x a >时，()0f x '<，∴()f x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数，又()f x 在()1,+∞上是减函数，∴01a <≤．又()1xg x ae '=-，∴1lnx a >时，()0g x '>；1lnx a <时，()0g x '<，∴1lnx a =时，()g x '最小，∴1ln 2a >时，∴210a e <<，∴210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）由（Ⅰ）知x a =时，()f x 取得最大值，1lnx a =，()g x 取得最小值，由题意可得()0f a <且1ln 0g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴ln 0,11ln 0,a a a a a a -<⎧⎪⎨⋅->⎪⎩∴1a e e <<即1,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【考点】利用导数研究函数单调性、极值、最值【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 22．选修4-1：几何证明选讲如图所示，AB 是的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是的割线，过点G作AB 的垂线，交AC 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ．求证：（Ⅰ）GB GA GE GF ⋅=⋅；（Ⅱ）若1AD GB OA ===，求GE ．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线段成比例，一般利用三角形相似或圆中切割线定理.首先由ADBC ，BCEG 四点共圆有G B G A G C G ⋅=⋅，FDC ABC ∠=∠，ABC AEG ∠=∠，从而FDC AEG ∠=∠，因此CDFE 四点共圆，GE GF GC GD ⋅=⋅，进而G B G AG E G F ⋅=⋅（Ⅱ）23AG GB OA =+=,在直角三角形AFG 中，60OAD ∠=︒，所以FG ==试题解析：（Ⅰ）连接BC ，∵AB 是的直径，∴90ACB ∠=︒，∵AG FG ⊥，∴90AGE ∠=︒，又EAG BAC ∠=∠，∴ABC AEG ∠=∠， 又FDC ABC ∠=∠，∴FDC AEG ∠=∠，∴180FDC CEF ∠+∠=︒，∴C 、D 、F 、E 四点共圆， ∴GE GF GC GD ⋅=⋅，又A 、B 、C 、D 在上，∴GB GA GC GD ⋅=⋅，∴GB GA GE GF ⋅=⋅．（Ⅱ）∵1AD OA ==，又OD OA =，∴60OAD ∠=︒， 又AG FG ⊥，∴30F ∠=︒，∴FG ==∴3GB GA GE GF ⋅===．【考点】切割线定理，四点共圆【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 （1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 23．选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为()2sin cos ρθθ=+，直线l 的参数方程为：2,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（Ⅰ）写出圆C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）点P 为圆C 上动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（Ⅰ）()()22112x y -+-=，30x y --=（Ⅱ）2【解析】试题分析：（Ⅰ）由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将极坐标方程化为直角坐标方程()()22112x y -+-=，利用加减消元法将参数方程化为普通方程30x y --=（Ⅱ）由点P 到直线l 的距离的最小值为圆心到直线l的距离减去半径得试题解析：（Ⅰ）由已知()2sin cos ρθθ=+得()22sin cos ρρθρθ=+．所以2222x yy x +=+，即圆C 的普通方程为()()22112x y -+-=．由2,1,x t y t =+⎧⎨=-+⎩得()12y x =-+-，所以直线l 的普通方程为30x y --=． （Ⅱ）由圆的几何性质知点P 到直线l 的距离的最小值为圆心C 到直线l 的距离减去圆的半径，令圆心C 到直线l 的距离为d，则2d ==>，所以最小值为22=． 【考点】极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x a =-+-．（Ⅰ）对任惫x R ∈，不等式()1f x >成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =-时，解不等式()3f x <．【答案】（Ⅰ）1a >或1a <-（Ⅱ）()3,0-【解析】试题分析：（Ⅰ）不等式()1f x >恒成立，等价于()min 1f x >，利用绝对值三角不等式得()()()22f x x a x a x a x a a=-+-≥---=，所以1a >，解得1a >或1a <-．（Ⅱ）利用绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，求它们的并集得解集. 试题解析：（Ⅰ）∵()()()22f x x a x a x a x a a=-+-≥---=，且()1f x >对任意x R ∈成立， ∴1a >，∴1a >或1a <-．（Ⅱ）1a =-时，()23,1,121,21,23, 2.x x f x x x x x x +≥-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪--≤-⎩∴()3f x <时，10x -≤<或21x -<<-或32x -<≤-， ∴()3f x <的解集为()3,0-．【考点】绝对值三角不等式, 绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
