复变函数课后习题问题详解(全)85912

习题一答案

1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）132i （2）(1)(2)iii

（3）131iii （4）8214iii

解：（1）1323213izi，

因此：32Re, Im1313zz，

1232, argarctan, 3131313zzzi

（2）3(1)(2)1310iiiziii，

因此，31Re, Im1010zz，

1131, argarctan, 3101010zzzi

（3）133335122iiiziii，

因此，35Re, Im32zz，

34535, argarctan, 232izzz

（4）82141413ziiiiii

因此，Re1, Im3zz，

10, argarctan3, 13zzzi

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：

（1）i （2）13i （3）(sincos)ri

（4）(cossin)ri （5）1cossin (02)i

解：（1）2cossin22iiie （2）13i23222(cossin)233iie

（3）(sincos)ri()2[cos()sin()]22irire

（4）(cossin)ri[cos()sin()]irire

（5）21cossin2sin2sincos222ii

22sin[cossin]2sin2222iie

3． 求下列各式的值：

（1）5(3)i （2）100100(1)(1)ii

（3）(13)(cossin)(1)(cossin)iiii （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)ii

（5）3i （6）1i

解：（1）5(3)i5[2(cos()sin())]66i

5552(cos()sin())16(3)66ii

（2）100100(1)(1)ii50505051(2)(2)2(2)2ii

（3）(13)(cossin)(1)(cossin)iiii

2[cos()sin()](cossin)332[cos()sin()][cos()sin()]44iiii

2[cos()sin()](cos2sin2)1212ii

(2)122[cos(2)sin(2)]21212iie （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)ii

cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)iii

（5）3i3cossin22i

11cos(2)sin(2)3232kik31, 02231, 122, 2ikikik

（6）1i2(cossin)44i

4112[cos(2)sin(2)]2424kik48482, 02, 1iiekek

4． 设121, 3,2izzi试用三角形式表示12zz与12zz

解：12cossin, 2[cos()sin()]4466zizi，所以

12zz2[cos()sin()]2(cossin)46461212ii，

12zz1155[cos()sin()](cossin)2464621212ii

5． 解下列方程：

（1）5()1zi （2）440 (0)zaa

解：（1）51,zi 由此 2551kiziei， (0,1,2,3,4)k

（2）4444(cossin)zaai

11[cos(2)sin(2)]44akik，当0,1,2,3k时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222aaaaiiii

6． 证明下列各题：（1）设,zxiy则2xyzxy

证明：首先，显然有22zxyxy；

其次，因 222,xyxy 固此有

2222()(),xyxy

从而 222xyzxy。

（2）对任意复数12,,zz有2221212122Re()zzzzzz

证明：验证即可，首先左端221212()()xxyy，

而右端2222112211222Re[()()]xyxyxiyxiy

2222112212122()xyxyxxyy221212()()xxyy，

由此，左端=右端，即原式成立。

（3）若abi是实系数代数方程101100nnnazazaza

的一个根，那么abi也是它的一个根。

证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()nnzz，由此得到：10110()()0nnnazazaza

由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。结论得证。

（4）若1,a则,ba皆有1abaab 证明：根据已知条件，有1aa，因此：

11()abababaabaaabaaba，证毕。

（5）若1, 1ab，则有11abab

证明：222()()abababababab，

2221(1)(1)1abababababab，

因为1, 1ab，所以，

2222221(1)(1)0ababab ，

因而221abab，即11abab，结论得证。

7．设1,z试写出使nza达到最大的z的表达式，其中n为正整数，a为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有1nnzazaa，

在上面两个不等式都取等号时nza达到最大，为此，需要取nz与a同向且1nz，即nz应为a的单位化向量，由此，naza，

naza

8．试用123,,zzz来表述使这三个点共线的条件。

解：要使三点共线，那么用向量表示时，21zz与31zz应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差0或的整数倍，再由复数的除法运算规则知2131zzArgzz应为0或的整数倍，至此得到： 123,,zzz三个点共线的条件是2131zzzz为实数。

9．写出过1212, ()zzzz两点的直线的复参数方程。

解：过两点的直线的实参数方程为：

121121()()xxtxxyytyy，

因而，复参数方程为：

112121121()()zxiyxiytxxiyiyztzz

其中t为实参数。

10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t为实参数）

（1）(1)zit （2）cossinzatibt （3）iztt

解：只需化为实参数方程即可。

（1）,xtyt，因而表示直线yx

（2）cos,sinxatybt，因而表示椭圆22221xyab

（3）1,xtyt，因而表示双曲线1xy

11．证明复平面上的圆周方程可表示为 0zzazazc，

其中a为复常数，c为实常数

证明：圆周的实方程可表示为：220xyAxByc，

代入, 22zzzzxyi，并注意到222xyzzz，由此

022zzzzzzABci，

整理，得 022ABiABizzzzc

记2ABia，则2ABia，由此得到 0zzazazc，结论得证。

12．证明：幅角主值函数argz在原点及负实轴上不连续。

证明：首先，argz在原点无定义，因而不连续。

对于00x，由argz的定义不难看出，当z由实轴上方趋于0x时，argz，而当z由实轴下方趋于0x时，argz，由此说明0limargzxz不存在，因而argz在0x点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。

13．函数1wz把z平面上的曲线1x和224xy分别映成w平面中的什么曲线？

解：对于1x，其方程可表示为1zyi，代入映射函数中，得

211111iywuivziyy，

因而映成的像曲线的方程为 221, 11yuvyy，消去参数y，得

2221,1uvuy即22211()(),22uv表示一个圆周。

对于224xy，其方程可表示为2cos2sinzxiyi

代入映射函数中，得

11cossin2cos2sin2iwuivzi

因而映成的像曲线的方程为 11cos, sin22uv，消去参数，得2214uv，表示一半径为12的圆周。

14．指出下列各题中点z的轨迹或所表示的点集，并做图：

解：（1）0 (0)zzrr，说明动点到0z的距离为一常数，因而表示圆心为0z，半径为r的圆周。

（2）0,zzr是由到0z的距离大于或等于r的点构成的集合，即圆心为0z半径为r的圆周及圆周外部的点集。

（3）138,zz说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。代入,zxiy化为实方程得

22(2)11615xy

（4）,zizi说明动点到i和i的距离相等，因而是i和i连线的垂直平分线，即x轴。