习题一答案
1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
（1）
1
32i
+
（2）
(1)(2)
i
i i
--
（3）13
1
i
i i
-
-
（4）821
4
i i i
-+-
解：（1）
132
3213
i z
i
-
==
+
，
因此：
32 Re, Im
1313 z z
==-，
232
arg arctan,
31313
z z z i
==-=+
（2）
3
(1)(2)1310
i i i
z
i i i
-+
===
---
，
因此，
31
Re, Im
1010
z z
=-=，
131
arg arctan,
31010
z z z i
π
==-=--
（3）
133335
122
i i i
z i
i i
--
=-=-+=
-
，
因此，
35
Re, Im
32
z z
==-，
535
,arg arctan,
232
i
z z z
+
==-=
（4）821
41413
z i i i i i i
=-+-=-+-=-+
因此，Re1,Im3
z z
=-=，
arg arctan3,13
z z z i
π
==-=--
2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：
（1）i（2
）1
-+（3）(sin cos)
r i
θθ
+
（4）(cos sin)
r i
θθ
-（5）1cos sin (02)
i
θθθπ
-+≤≤解：（1）2
cos sin
22
i
i i e
π
ππ
=+=
（2
）1-+23
222(cos sin )233
i i e πππ=+=
（3）(sin cos )r i θθ+()2
[cos()sin()]22
i
r i re
π
θππ
θθ-=-+-=
（4）(cos sin )r i θ
θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=
（5）2
1cos sin 2sin 2sin cos 222
i i θ
θθ
θθ-+=+ 2
2sin [cos
sin
]2sin 22
22
i
i e
πθ
θπθ
πθ
θ
---=+=
3． 求下列各式的值：
（1
）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )
i i i θθθθ-+-- （4）
23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-
（5
（6
解：（1
）5)i -5[2(cos()sin())]66
i ππ
=-+-
5
552(cos()sin()))66
i i ππ
=-+-=-+
（2）100
100(1)
(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--
2[cos()sin()](cos sin )
33)sin()][cos()sin()]44
i i i i ππ
θθππ
θθ-+-+=
-+--+-
)sin()](cos2sin 2)12
12
i i π
π
θθ=-
+-
+
(2)12
)sin(2)]12
12
i
i π
θπ
π
θθ-
=-
+-
=
（4）2
3
(cos5sin 5)(cos3sin 3)
i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)
i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5
=
11cos (2)sin (2)3232k i k ππ
ππ=++
+1
, 0221, 122
, 2i k i k i k +=⎪
⎪⎪=-
+=⎨⎪-=⎪⎪⎩
（6
=
11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++8
8, 0, 1
i i e k e k π
π
==⎪=⎩
4．
设1
2 ,z z i =
=-试用三角形式表示12z z 与12z z
解：1
2cos
sin
, 2[cos()sin()]4
466
z i z i π
π
ππ
=+=-+-，所以
12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212
i i ππππππ
=-+-=+，
12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212
i i ππππππ
=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5
()
1z i += （2）440 (0)z a a +=>
解：（1
）z i += 由此
