∴函数)(x f 的单调递减区间为(1,2).
3.函数定义域为).)((11)(,022b x b x x x b x f x +-=-
='≠ 令0)(>'x f ,得b x >或b x -<.
∴函数)(x f 的单调递增区间为),(b --∞和),(+∞b ;
令0)(<'x f ,得b x b <<-且0≠x ,
∴函数)(x f 的单调递减区间是)0,(b -和),0(b .
说明:依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间,体现了形象思维的直观性和运动性.解决这类问题,如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间,运算显得繁琐,区间难以找准.学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增(或递减)区间写成并集的形式,如将例1函数)(x f 的单调递增区间和递减区间分别写成),1()0,1(+∞-Y 和)1,0()1,(Y --∞ 的错误结果.这里我们可以看出,除函数思想方法在本题中的重要作用之外,还要注意转化的思想方法的应用.
求解析式并根据单调性确定参数
例 已知c x x f +=2)(,且).1()]([2
+=x f x f f
1.设)]([)(x f f x g =,求)(x g 的解析式;
2.设)()()(x f x g x λϕ-=,试问:是否存在实数λ,使)(x ϕ在()1,-∞-内为减函数,且在(-1,0)内是增函数.
分析:根据题设条件可以求出)(x ϕ的表达式,对于探索性问题,一般先对结论做肯定存在的假设,然后由此肯定的假设出发,结合已知条件进行推理论证,由推证结果是否出现矛盾来作出判断.解题的过程实质是一种转化的过程,由于函数)(x ϕ是可导函数,因此选择好解题的突破口,要充分利用函数的单调性构造等价的不等式,确定适合条件的参数λ的取值范围,使问题获解.
解:1.由题意得c c x c x f x f f ++=+=222)()()]([, )1()]([.)1()1(2222+=++=+x f x f f c x x f Θ,
∴.1,1,)1()(2
22222=∴+=+∴++=++c x c x c x c c x
∴.1)1()1()]([)(,1)(2222++=+==+=x x f x f f x g x x f
2.)2()2()()()(24λλλϕ-+-+=-=x x x f x g x .
若满足条件的λ存在,则.)2(24)(3x x x λϕ-+='
∵函数)(x ϕ在()1,-∞-内是减函数,∴当1-即0)2(243<-+x x λ对于)1,(--∞∈x 恒成立.
∴.44,1,4)2(222-<-∴-<∴->-x x x λ
∴4)2(2-≥-λ,解得4≤λ.
又函数)(x ϕ在(-1,0)上是增函数,∴当01<<-x 时,0)(>'x ϕ
即0)2(243>-+x x λ对于)0,1(-∈x 恒成立,