江苏省丹阳市高中数学第二章平面解析几何初步直线与圆、圆与圆的位置关系专题练习苏教版必修2

1 直线与圆、圆与圆的位置关系

导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．

自主梳理

1．直线与圆的位置关系

位置关系有三种：________、________、________.

判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：

①代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b2－4ac >0⇔

，＝0⇔ ，<0⇔

.

②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：

dr⇔________.

2．圆的切线方程

若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为______________________．

注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．

经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________．

3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法

(1)几何方法

运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．

(2)代数方法

运用韦达定理及弦长公式

AB＝1＋k2|xA－xB|＝1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].

说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．

4．圆与圆的位置关系

(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________.

判断圆与圆的位置关系常用方法：

(几何法)设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2 (r1≠r2)，则O1O2>r1＋r2________；O1O2＝r1＋r2________；|r1－r2|

(2)已知两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为____________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．

当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.

自我检测

1．(2010²江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若MN≥23，则k的取值范围是________．

2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为______________．

3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有________条．

4．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则AB的最小值为________．

5．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是______________. 2

探究点一 直线与圆的位置关系

例1 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值时点P的坐标．

变式迁移1 从圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．

探究点二 圆的弦长、中点弦问题

例2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.

(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；

(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．

变式迁移2 已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.

(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；

(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．

3

探究点三 圆与圆的位置关系

例3 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，

(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．

变式迁移3 已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：

(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；

(2)⊙B的半径最小时圆的方程．

探究点四 综合应用

例4 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

变式迁移4 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．

(1)求实数k的取值范围；

(2)若O为坐标原点，且OM→²ON→＝12，求k的值．

4

1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．

2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”．

3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．

一、填空题(每小题6分，共48分)

1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是________．

2．直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝______________.

3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．

4．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是______________．

5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________.

6．已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一点，A点关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________.

7．设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值是________．

8．(2010²全国Ⅰ改编)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA→²PB→的最小值为____________．

二、解答题(共42分)

9．(14分)圆x2＋y2＝8内一点P(－1,2)，过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点．

(1)当α＝3π4时，求AB的长；

(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．

自主梳理

1．相切 相交 相离 ①相交 相切 相离 ②相交 相切 相离 2.x0x＋y0y＝r2 5 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 4.(1)外离 外切 相交 内切 内含 外离 外切

相交 内切 内含 (2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0

自我检测

1.－34，0 2.x－3y＋2＝0 3.2 4.23

5．x－y－3＝0

课堂活动区

例1 解题导引 (1)过点P作圆的切线有三种类型：

当P在圆外时，有2条切线；

当P在圆上时，有1条切线；

当P在圆内时，不存在．

(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．

(3)切线长的求法：

过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，

则PM＝PC2－R2.

解 (1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.

①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，

由|k＋2|1＋k2＝2，解得k＝2±6，得y＝(2±6)x.

②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，

设直线方程为x＋y－a＝0，

由|－1＋2－a|2＝2，

得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3.

∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.

综上，圆的切线方程为y＝(2＋6)x，或y＝(2－6)x，

或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.

(2)由PO＝PM，

得x21＋y21＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，

整理得2x1－4y1＋3＝0.

即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．

当PM取最小值时，即OP取得最小值，直线OP⊥l，

∴直线OP的方程为2x＋y＝0.

解方程组 2x＋y＝0，2x－4y＋3＝0，得点P的坐标为－310，35.

变式迁移1 解 设圆切线方程为y－3＝k(x－2)，

即kx－y＋3－2k＝0，∴1＝|k＋2－2k|k2＋1，

∴k＝34，另一条斜率不存在，方程为x＝2.

∴切线方程为x＝2和3x－4y＋6＝0.

圆心C为(1,1)，∴kPC＝3－12－1＝2，

∴过两切点的直线斜率为－12，又x＝2与圆交于(2,1)，

∴过切点的直线为x＋2y－4＝0.

例2 解题导引 (1)有关圆的弦长的求法：

已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为