高中数学直线与圆精选题目(附答案)

高考数学直线与圆的方程复习题及参考答案：一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.(2009•重庆市高三联合诊断性考试)将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y-3=0的角为 ( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案：A解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=-1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.2.(2009•湖北荆州质检二)过点P(1,2)，且方向向量v=(-1,1)的直线的方程为( )A.x-y-3=0B.x+y+3=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案：C解析：方向向量为v=(-1,1)，则直线的斜率为-1，直线方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0，故选C.3.(2009•东城3月)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程x-y+1=0，则直线PB的方程为 ( )A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0C.x-2y+4=0D.x+y-5=0答案：D解析：因kPA=1，则kPB=-1，又A(-1,0)，点P的横坐标为2，则B(5,0)，直线PB的方程为x+y-5=0，故选D.4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )A.-32B.32C.3D.-3答案：A解析：由两点式，得y-31-3=x-0-1-0，即2x-y+3=0，令y=0，得x=-32，即在x轴上的截距为-32.5.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是 ( )A.3B.0C.-1D.0或-1答案：D解析：当a=0时，两直线方程分别为x+6=0和x=0，显然无公共点;当a≠0时，-1a2=-a-23a，∴a=-1或a=3.而当a=3时，两直线重合，∴a=0或-1.6.两直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )A.-32≤m≤2B.-32C.-32≤m<2D.-32答案：B解析：由2x-my+4=0，2mx+3y-6=0，解得两直线的交点坐标为(3m-6m2+3，4m+6m2+3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0⇒-327.(2009•福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ( )A.-5B.1C.2D.3答案：D解析：不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0所围成的区域如图所示.∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为(1,4)，代入ax-y+1=0，得a=3.故选D.8.(2009•陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为( )A.3B.2C.6D.23答案：D解析：∵直线的方程为y=3x，圆心为(0,2)，半径r=2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222-12=23.故选D.9.(2009•西城4月，6)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y+1)=4答案：C解析：圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1)，半径为2，过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32，则所求的圆的半径为2，故选C.10.(2009•安阳，6)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，其中O为原点，则实数a的值为 ( )A.2B.-2C.2或-2D.6或-6答案：C解析：由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2，OA→•OB→=0，OA→⊥OB→，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a|2=2，a=±2，故选C.11.(2009•河南实验中学3月)若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是 ( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定答案：C解析：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则1a2+b2<1，a2+b2>1，点P(a，b)在圆C外部，故选C.12.(2010•保定市高三摸底考试)从原点向圆x2+(y-6)2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )A.π6B.π2C.arccos79D.arcsin229答案：C解析：如图，sin∠AOB=26=13，cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79，∴∠BOC=arccos79，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

高中数学-直线与圆的位置关系练习题5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y 2=4相切,那么a 的值是( )A.5B.4C.3D.2解析：考查直线与圆的位置关系及平面几何知识.结合图形,可知直线x=a 要与圆(x-1)2+y 2=4相切,则a=3或-1,因为a ＞0,所以a=3. 答案：C2.直线l:4x-3y+5=0与圆C:x 2+y 2-4x-2y+m=0无公共点的条件是m 属于( )A.(-∞,0)B.(0,5)C.(1,5)D.(1,+∞) 解析：由圆心(2,1)到直线l:4x-3y+5=0的距离大于圆的半径可得. 答案：C3.过点M(3，2)作⊙O：x 2+y 2+4x-2y+4=0的切线方程是____________.解析：作图知,所求切线不可能垂直x 轴,故切线斜率必定存在.设切线方程为y-2=k(x-3)，即kx-y+2-3k=0,由22)1(|3212|-+-+--k k k =1,得k=125或k=0,代入即可求得. 答案：y=2或5x-12y+9=010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知直线l:ax-y-b=0,圆C:x 2+y 2-2ax-2by=0,则l 与C 在同一坐标系中的图形只可能是( )图2-3-1解析：考查对直线与圆的方程的认识,直线与圆位置关系的判断.注意到圆的方程的特点,易知圆C 过原点,所以A 、C 均不正确;再由B 、D 两选项和圆心、直线的斜率知B 正确. 答案：B2.直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)与圆x 2+y 2=2的位置关系是( )A.相切B.相离C.相交D.不确定解析：方法一,考查直线与圆的位置关系的判定方法.直线方程可化为mx+ny+m+n=0.由于圆心(0,0)到该直线的距离为22||nm n m ++,又222222)(2)(n m n m n m n m +--=-++＜0(m≠n),∴d＜r,即直线与圆相交.方法二:易知直线m(x+1)+n(y+1)=0(m≠n)恒过点(-1，-1)，且点(-1，-1)在圆上，又m≠n，所以直线与圆不相切.所以直线与圆相交. 答案：C3.过点(2,1)的所有直线中,被圆x 2+y 2-2x+4y=0截得的弦最长的直线方程为( ) A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0 C.3x-y-1=0 D.3x+y-5=0 解析：考查直线与圆的位置关系及圆的性质.直线被圆截得的最长弦应是直径,故问题即求过(2,1)和圆心的直线方程.圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=5,直线被圆截得的弦最长时,应过圆心(1,-2).由两点式,得直线方程为3x-y-5=0. 答案：A4.已知圆C ：(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R ). (1)证明不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.(1)证明:∵直线过定点(3，1)，(3-1)2+(1-2)2=5＜25, ∴点(3，1)在圆的内部.∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交. (2)解:从(1)的结论知当直线l 过定点M(3，1)且与过此点的圆O 的半径垂直时，l 被圆所截得的弦长d(A,B)最短，由垂径定理知d(A,B)=54])21()13[(25222222=-+--=-OM r ,此时k l =OMk -1. 由31121112---=++-m m =2,得m=43-,代入得l 的方程为2x-y-5=0.5.已知圆x 2+y 2-6mx-2(m-1)y+10m 2-2m-24=0(m∈R ). (1)求证：不论m 为何值，圆心总在同一条直线l 上. (2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离?(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等.(1)证明:将圆的方程配方得(x-3m)2+［y-(m-1)］2=25. 设圆心为(x,y),则⎩⎨⎧-==,1,3m y m x消去m 得l:x-3y-3=0.∴圆心恒在直线l:x-3y-3=0上.(2)解：设与l 平行的直线是l′:x -3y+b=0,圆心(3m,m-1)到直线l′的距离为d=10|3|10|)1(33|b b m m +=+--.∵半径r=5,∴当d ＜r ，即3105--＜b ＜3105-时，直线与圆相交；当d=r ，即b=±3105-时，直线与圆相切；当d ＞r 时，即b ＜3105--或b ＞3105-时，直线与圆相离.(3)证明:设对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1:x-3y+b=0，由于圆心到直线l 1的距离d=10|3|b +，则弦长=222d r -与m 无关，故截得的弦长相等.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.圆x 2+y 2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程是( )A.x+y 3-2=0B.x+y 3-4=0C.x-y 3+4=0D.x-y 3+2=0 解：点P(1,3)在圆x 2+y 2-4x=0上,所以点P 为切点, 从而圆心与P 的连线应与切线垂直. 又因为圆心为(2,0),所以1230--·k=-1,解得k=33,所以切线方程为x-3y+2=0. 答案：D2.已知直线l 过点(-2，0)，当直线l 与圆x 2+y 2=2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A.(22,22-)B.(2,2-)C.(42,42-) D.(81,81-) 解析：圆x 2+y 2=2x 可化为(x-1)2+y 2=1,当直线l 的斜率不存在时,显然直线与圆不相交,不合题意;当直线的斜率存在时,设直线的点斜式方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.因为直线和圆相交,故圆心到直线的距离小于半径,即1|3|2+k k ＜1,解得k 2＜81,所以k∈(42,42-). 答案：C3.过点(1,2)的直线l 将圆(x-2)2+y 2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=_____________.解析：由数形结合思想可知满足题设条件的直线与圆心(2,0)和点(1,2)垂直,由两点间连线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1,2)的直线的斜率为2212-=-,故所求直线的斜率为22. 答案：22 4.直线3x+y-23=0截圆x 2+y 2=4所得的弦长是( )A.1B.3C.2D.32解析：本题考查点到直线的距离公式和圆的弦长公式.圆心(0,0)到直线323-+y x =0的距离为3232=,由圆的半径为2,结合圆中弦长公式可得:所求圆的弦长为22)3(22-=2.答案：C5.直线l 过点P(0，2)，且被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2，则直线l 的斜率为( ) A.22 B.±2 C.±3 D.±33解析：设直线l:y-2=kx,即kx-y+2=0，由题意,得［22)1(|200|-++-k ］2+12=22,解得k=±33. 答案：D6.若点P(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=r 2内一点,则直线x 0x+y 0y=r 2和该圆的位置关系是______________.解析：考查点与圆、线与圆的位置关系的判断方法.由已知x 02+y 02＜r 2,又(0,0)到x 0x+y 0y=r2的距离为d=r r y x r 220202>+=r,∴直线与圆相离.答案：相离7.由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B,∠APB=60°,则动点P 的轨迹方程为______________.解：因为∠APB=60°,故∠APO=30°,设P(x,y),因为sin∠APO=||||PO AO ,即22121yx +=,所以x 2+y 2=4.答案：x 2+y 2=48.已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x-3y=0上,且被直线y=x 截得的弦长为72，求圆C 的方程.解：设圆心坐标为(3m ，m),∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y=x 的距离为22|2|=m |m|.由半径、弦心距的关系得9m 2=7+2m 2,∴m=±1.∴所求圆C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=3,(x+3)2+(y+1)2=3.9.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70 km 处,受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 解：以台风中心为原点O,东西方向为x 轴,建立如图所示坐标系,其中,取10 km 为长度单位.这样,受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2+y 2=9.轮船航线所在直线l 的方程为4x+7y-28=0,问题转化为圆O 与直线l 有无公共点问题.由于d=65|2800|-+≈3.5＞半径3,所以这艘轮船不用改变航线,不会受到台风影响.。

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【考点梳理】考点一：直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <r d ＝r d >r代数法：由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考点二：直线与圆的方程解决实际问题审题→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．【题型归纳】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2021·全国高二单元测试）直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关2．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关3．（2021·北京房山·高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2021·云南省云天化中学高二期末（文））直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．（2021·内蒙古赤峰市·）若直线()200,0ax by a b --=>>被圆22 2210x y x y +-++=截得的弦长为2，则11a b+的最小值为（）A ．14B ．4C ．12D ．26．（2020·大连市红旗高级中学）若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定题型三：圆的弦长问题7．（2021·汕头市澄海中学高二月考）若圆22:160C x x y m +++=被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则m =（）A ．26B ．31C ．39D ．438．（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（）A ．1B ．2C ．2D ．229．（2021·湖北十堰市·高二期末）直线3410x y ++=被圆220x y x y +-+=所截得的弦长为（）A ．710B ．57C ．75D ．145题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2021·上海闵行中学高二期末）圆()()22134x y -+-=截直线10ax y +-=所得的弦长为23，则a =（）A ．43-B ．34-C ．3D ．211．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知斜率为1-的直线l 被圆C ：222430x y x y ++-+=截得的弦长为6，则直线l 的方程为（）A ．2210x y ++=或2230x y +-=B ．0x y +=或20x y +-=C ．2220x y +-=或22320x y ++=D ．20x y +-=或220x y ++=12．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（）A ．9B ．4C ．12D ．14题型五：直线与圆的应用13．（2021·广东深圳市·高三月考）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（）A ．13.1米B ．13.7米C ．13.2米D ．13.6米14．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A ．230米B ．202米C ．430米D ．125米15．（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时A ．1B ．2C ．3D ．4题型六：直线与圆的位置关系的综合应用16．（2021·贵州遵义市·高二期末（理））已知O 圆心在直线2y x =+上，且过点()1,0A 、()2,1B ．（1）求O 的标准方程；（2）已知过点()3,1的直线l 被所截得的弦长为4，求直线l 的方程．17．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））已知圆C 经过点()()1,0,2,1A B ，且圆心在直线:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求22y x +-的取值范围．18．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（文））已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点()1,0.（1）求点M 的轨迹方程；（2）记（1）中求得的图形的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于,P Q 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【双基达标】一、单选题19．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）直线:1l y x =-截圆22:1O x y +=所得的弦长是（）A ．2B ．3C ．2D ．120．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）经过点()2,3P -作圆22:224C x y x ++=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为（）A ．50x y --=B ．50x y +-=C ．50x y -+=D ．50x y ++=21．（2021·云南保山市·高二期末（文））若直线m ：0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．2322．（2021·四川省乐至中学高二期末）圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=(),a b R ∈对称，则ab 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭23．（2021·全国高二专题练习）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN =，则k 的值是（）A ．34-B ．0C ．0或34-D ．3424．（2021·广西桂林市·（理））圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个25．（2021·全国）已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线．若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为（）A ．4B ．-4C ．34-D ．43-26．（2021·全国高二期中）在平面直角坐标系中，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=与直线1(2)()y m x m R +=-∈相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)4x y -+-=B ．22(1)(1)5x y -+-=C ．22(1)(1)6x y -+-=D ．22(1)(1)8x y -+-=27．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．2210x y -+=D ．2210x y ++=28．（2021·克拉玛依市第一中学高二月考）已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为（）A ．42B ．22C ．8D ．82【高分突破】一：单选题29．（2021·全国高二专题练习）已知圆()()22224244100x y mx m y m m m +--++++=≠的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π30．（2021·南昌市豫章中学（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（）A ．2921,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭31．（2021·浙江丽水·高二期中）已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，点P 为l 上一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB （切点为A ，B ），当四边形PAOB 的面积最小时，直线AB的方程为（）A ．10x y -+=B ．20x y -+=C ．10x y ++=D ．20x y +-=32．（2021·云南师大附中（理））已知在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，则r =（）A ．23B ．26C ．42D ．833．（2021·四川（理））已知圆221x y +=与直线310ax by ++=（a ，b 为非零实数）相切，则2213a b+的最小值为（）A ．10B ．12C ．13D ．1634．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．()3,3-C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭35．（2021·全国高二专题练习）已知三条直线1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，3:0l ax by c ++=，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且2a c b +=．设直线1l ，2l 交于点P ，则点P 到直线3l 的距离的最大值是（）A ．52102+B ．105822+C ．58102+D ．105222+二、多选题36．（2021·全国高二专题练习）已知直线:20l kx y k -+=和圆22:16O x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为437．（2020·河北武强中学高二月考）直线l 经过点()5,5P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为45，则直线l 的方程为（）A ．250x y --=B ．250x y -+=C ．250x y -+=D ．250x y --=38．（2021·全国高二专题练习）设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（）A ．l 与C 可能相离B ．l 不可能将C 的周长平分C ．当1k =时，l 被C 截得的弦长为322D ．l 被C 截得的最短弦长为439．（2021·山东菏泽·高二期末）已知直线:(2)10l mx m y m --+-=，圆22:20C x y x +-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 恒有两个公共点B ．圆心C 到直线l 的最大距离是2C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心CD ．当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称三、填空题40．（2021·合肥百花中学高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于,A B 两点，则AB =__________．41．（2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学（文））已知点(),x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上，则x y +的最大值是________．42．（2021·上海高二期中）在平面直角坐标系中，过点()2,2M 且与圆2220x y x +-=相切的直线方程为__________．43．（2021·江苏南京市·南京一中高二期末）已知直线1l ：()0kx y k R +=∈与直线2l ：220x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()22232x y +++=上的动点，则AB 的最大值为___________.四、解答题44．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知圆22:20C x y x my +-+=，其圆心C 在直线y x =上．（1）求m 的值；（2）若过点(1,1)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．45．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程.46．（2021·台州市书生中学高二期中）已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为12AP PB =，求此时直线l 的方程．47．（2020·安徽六安市·立人中学高二期中（理））已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交；（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．48．（2020·吉安县立中学（文））已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【答案详解】1．A 【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交.故选：A 2．A 【详解】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内，故直线与圆必然相交．故选：A ．3．A 【详解】直线方程整理为(1)10k x y --+=，即直线过定点(1,1)P ，而22114120+-⨯=-<，P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 相交．故选：A ．4．B 【详解】由22240x y x y ++-=，得22(1)(2)5x y ++-=，则圆心坐标为(12)-，，又直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心(12)-，在直线30x y a ++=上，则3(1)121a =-⨯--⨯=，故选：B ．5．D 【详解】由圆的方程22 2210x y x y +-++=，可得圆心坐标为(1,1)-，半径为1r =，因为直线20ax by --=被圆截得的弦长为2，可直线20ax by --=必过圆心(1,1)-，代入可得2a b +=，又因为0,0a b >>，则1111111()()(2)(22)2222b a b aa b a b a b a b a b+=⋅++=⋅++≥⋅+⋅=，当且仅当b aab=时，即1a b ==时，等号成立，所以11a b+的最小值为2.故选：D.6．A 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C ，半径为2，直线l 与圆C 相切，221121k k --∴=+，解得：23k =±，由圆D 方程知其圆心()2,0D ，半径3r =，∴圆心D 到直线l 距离2211k d k -=+；当23k =+时，()()2222323330843231d r +-=-=-<+++，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当23k =-时，()()2222323330843231d r --=-=-<--+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；综上所述：圆D 与直线l 相交.故选：A.7．C 【详解】将圆化为22(8)64(64)x y m m ++=-<，所以圆心到直线3440x y ++=的距离d =24445-+=，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以224364m +=-，解得39.m =8．D 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为204211d --==+，故弦长为：24222-=，故选：D.9．C 【详解】由220x y x y +-+=可得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则圆心坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径22r =，所以圆心到直线3410x y ++=的距离为22113412211034d ⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭==+，所以所求弦长为22725r d -=.故选：C.10．B 【详解】由题意圆心到直线的距离为()()2222222222232241111a a a d r d a a a a +++=∴=-=-∴=∴=+++34-故选：B 11．B 【详解】圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y ++-=，设直线l 的方程为0x y m ++=，可知圆心到直线l 的距离为2262(2)22⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，有|1|222m +=，有0m =或2-，直线l 的方程为0x y +=或20x y +-=．故选：B【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D.13．C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r ，则圆的方程为222(+)x y r r +=，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点(6,3)-,∴2236(3+)r r +-=，∴152r =∴圆的方程为2215225(+)24x y +=，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为(,4)t -，则244t =，∴211t =±，∴当水面下降1米后，水面宽度为411，约为13.2，故选：C.14．C 【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ；由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =，所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-，所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为22120430CD x ===米.故选：C.15．B根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=，因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时，故选：B.16．（1）()2225x y +-=；（2）1y =或34130x y +-=.由点()1,0A 、()2,1B 可得AB 中点坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，10121AB k -==-，所以直线AB 的垂直平分线的斜率为1-，可得直线AB 的垂直平分线的方程为：1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即20x y +-=，由202x y y x +-=⎧⎨=+⎩可得：02x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()0,2O ，()()2210025r OA ==-+-=，所以O 的标准方程为()2225x y +-=，（2）设直线的方程为()13y k x -=-即310kx y k --+=，圆心()0,2O 到直线的距离2131k d k --=+，则()2222134521k k ⎛⎫--⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭可得()222135211k k +=-=+，即2430k k +=，解得：0k =或34k =-，所以直线l 的方程为10y -=或()3134y x -=--，即1y =或34130x y +-=17．（1）22(1)(1)1x y -+-=；（2）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【详解】（1）设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=由题意得222222(1)(0)(2)(1)a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩，解得1a b r ===所以，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=（2）由（1）得()()22111x y -+-=，则圆心为()1,1，半径为1；而22y x +-表示圆上的点(,)P x y 与定点()2,2M -连线的斜率，当过点()2,2M -的直线与圆相切时，不妨设直线方程为：()22y k x +=-，即220kx y k ---=，则圆心()1,1到直线220kx y k ---=的距离为212211k k k ---=+，解得43k =-，因此22y x +-的取值范围是4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；18．【详解】（1）设(),M x y ，()00,A x y ，M 是线段AB 中点，006282x x y y+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，整理可得：002628x x y y =-⎧⎨=-⎩，A 在圆2216x y +=上，()()22262816x y ∴-+-=，整理可得M 点轨迹方程为：()()22344x y -+-=.（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离23421k k d k --==+，解得：34k =，:3430l x y ∴--=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于,P Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离22342411k k k d k k ---==++，()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=.19．C圆心（0,0）到直线10x y --=的距离|1|122d -==，因为圆的半径为1，则弦长为2212122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.20．A 【详解】由题意，圆22:224C x y x ++=，可得圆心坐标为(1,0)C -，点()2,3P -在圆C 内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又由3012(1)CP k --==---，所以所求直线的斜率为1，且过点()2,3P -，可得所求直线方程为(3)1(2)y x --=-⨯-，即50x y --=．故选：A 21．B 【详解】根据题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，设圆心到直线0kx y +=的距离为d ，则221k d k =+，若直线0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则2222r d =-，所以214d +=，又0d >，解得3d =，所以2321k d k==+，解得3k =±，点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的最小值为点到直线的距离122331d k ==+，故选:B ．22．A 【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：22(1)(2)4x y ++-=，∴圆心坐标为(1,2)-，半径2r =，根据题意可知：圆心在已知直线220ax by -+=上，把圆心坐标代入直线方程得：2220a b --+=，即1b a =-，则设2211(1)24m ab a a a a a ⎛⎫==-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当12a =时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为14，则ab 的取值范围是(-∞，1]4．故选：A ．23．C由题意，知23MN =，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则2r =，所以圆心到直线的距离224312MN d r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由点到直线的距高公式，得232311k k -+=+，解得0k =或34k =-.故选：C.24．B 【详解】由222420x x y y -+++=，得22(1)(2)3x y -++=，则圆心为(1,2)-，半径3r =，因为圆心(1,2)-到直线2220x y -+=的距离为22222243381d +++==>+，且2242243333133d ++--=-=<，所以圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有2个，故选：B25．C 【详解】解：由22(3)(4)1x y -+-=，得圆心(3,4)C ，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线l 的距离最小，根据题意作图，如图所示：圆的半径为1，切线长为15，∴圆心到直线l 的距离等于221(15)4+=，∴由点到直线的距离公式得2|3345|49a a ⨯+-=+，解得4a =，此时直线l 的斜率为34-．故选：C ．26．B 【详解】解：根据题意，直线1(2)y m x +=-，恒过定点(2,1)-，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=，其圆心为(1,1)，半径为r ，若圆的面积最大，即圆心到直线l 的距离最大，且其最大值22(12)(11)5CP =-++=，即圆的面积最大时，圆的半径5r =，此时圆的方程为：22(1)(1)5x y -+-=，故选：B ．27．A 【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而21PA PC =-，当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A28．A 【详解】将圆C 方程整理为：()()22214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，21112MN k -==-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ 的距离为21122-+==d ，22224222PQ r d ∴=-=-=；∴四边形PMQN 的面积114224222S MN PQ =⋅=⨯⨯=.故选：A.29．A 【详解】圆的方程可化为()()()222210x m y m m m -+--=≠，其圆心为(),21m m +.依题意得，2170m m ++-=，解得2m =，∴圆的半径为2，面积为4π，故选：A 30．A 【详解】解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22216x a y -++=,所以圆心坐标为(),2a -,半径为4r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455a d +=≤,解得:2921,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:A31．C 【详解】设四边形PAOB 的面积为S ，2||||||PAO S S AO AP AP === ，222||||||||1AP OP OA OP =-=-，所以，当||OP 最小时，||AP 就最小，|002|||22min o l OP d -++===，所以||211min min S AP ==-=．此时OP l ⊥.所以||||||||1OA AP PB OB ====，四边形PAOB 是正方形，由题得直线OP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩得(1,1)--P ，所以线段OP 的中点坐标为11(,)22--，由题得直线AB 的斜率为1,-所以直线AB 的方程为11()[()]22y x --=---，化简得直线AB 的方程为10x y ++=.故选：C 32．C 【详解】解：因为圆()2222x y r ++=的圆心为()2,0-，半径为r ，圆心()2,0-到直线40x y +-=的距离22432d --==，因为在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，所以32242r =+=．故选：C ．33．D 【详解】因为圆221x y +=与直线310ax by ++=相切，所以2200113a b++=+，所以2231a b +=，所以()2222222222222213133310616310a b a b a b ab b a b b a a ⎛⎫+=+=++≥+⋅= ⎪⎭+⎝，取等号时2214a b ==，所以2213a b +的最小值为16.故选：D.34．C 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-=曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，2233411k kk-+-∴≤+，即221k k -≤+，解得3333k -≤≤.故选：C.35．D 【详解】由于1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，且()0mn n m +⋅-=，12l l ∴⊥，易知直线1l 过原点，将直线2l 的方程化为()()130n x m y ---=，由1030x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以，直线2l 过定点()1,3M ，所以10OM =，因为2a c b +=，则2a cb +=，直线3l 的方程为02a c ax y c +++=，直线3l 的方程可化为1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由02102y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线3l 过定点()1,2N -，如下图所示：设线段OM 的中点为点E ，则13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，若点P 不与O 或M 重合，由于OP PM ⊥，由直角三角形的性质可得EP EO EM ==；若点P 与O 或M 重合，满足12l l ⊥.由上可知，点P 的轨迹是以OM 为直径的圆E ，该圆圆心为13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为102.设点E 到直线3l 的距离为d ，当3EN l ⊥时，d EN =；当EN 不与3l 垂直时，d EN <.综上，22135212222d EN ⎛⎫⎛⎫≤=-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，点P 到直线3l 的距离的最大值为521022OM EN ++=.故选：D.36．BC 【详解】解：对于A 、C ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,0)-，故A 错误；因为直线l 恒过定点(2,0)-，而()2220416-+=<，即(2,0)-在圆22:16O x y +=内，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；对于D ，1k =-时，直线:20l x y ++=，圆心到直线的距离为22002211d ++==+，所以直线l 被圆O 截得的弦长为()22222242214r d -=-=，故D 错误.故选：BC.37．BD 【详解】圆心为原点，半径为5，依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()55y k x -=-，即550kx y k -+-=，所以()2225552521k k k -=-⇒=+或12k =.所以直线l 的方程为25520x y -+-⨯=或1155022x y -+-⨯=，即250x y --=或250x y -+=.故选：BD38．BD 【详解】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为22d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为2225322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为2111d k =≤+，所以，直线l 被C 截得的弦长为2254d -≥，D 选项正确.故选：BD.39．AD 【详解】解：由直线:(2)10l mx m y m --+-=，即(1)210m x y y +--+=，得10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线l 过定点1(2P ，1)2，圆22:20C x y x +-=化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)C ，22112||(1)(0)1222PC =-+-=< ，点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 恒有两个公共点，故A正确；圆心C 到直线l 的最大距离为2||2PC =，故B 错误； 直线系方程(2)10mx m y m --+-=不包含直线10x y +-=（无论m 取何值），而经过1(2P ，1)2的直线只有10x y +-=过(1,0)C ，故C 错误；当1m =时，直线l 为0x y -=，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1，圆22(1)1y x +-=的圆心坐标为(0,1)，半径为1，两圆的圆心关于直线0x y -=对称，半径相等，则当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称，故D 正确．故选：AD ．40．22【详解】圆22(1)4x y ++=的圆心为()0,1-，半径为2，则圆心()0,1-到直线的距离为()22011211++=+-，所以()2222222AB =-=，故答案为：2241．21-【详解】令t x y =+，则y x t =-+，t 表示直线在y 轴上的截距，所以x y +的最大值是直线在y 轴上截距的最大值，此时直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2312td --==，解得21t =-.故答案为：21-42．x =2或3420x y +=-.【详解】圆2220x y x +-=的标准式为：()2211x y -+=，容易验证x =2与圆相切，若切线的斜率存在，则设其方程为：()22220y k x kx y k -=-⇒-+-=，于是圆心到直线的距离2|2|3141k d k k -+==⇒=+，则切线：310342042x y x y -+=⇒-+=.故答案为：x =2或3420x y +=-.43．522+解：因为直线1l ：()0kx y k R +=∈恒过定点(0,0)O ，直线2l ：220x ky k -+-=恒过定点(2,2)C ，且12l l ⊥，所以两直线的交点A 在以OC 为直径的圆D 上，且圆的方程为22:(1)(1)2D x y -+-=，要求AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找上一点A ，在()()22232x y +++=上找一点B ，使AB 最大，根据题意可知两圆的圆心距为22(12)(13)5+++=，所以AB 的最大值为522+，故答案为：522+44．（1）2m =-；（2）20x y -+=或0x y +=．【详解】解：（1）圆C 的标准方程为：222(1)()124m m x y -++=+，所以，圆心为(1,)2m -由圆心C 在直线y x =上，得2m =-．所以，圆C 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=．（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=，由于直线l 和圆C 相切，得2|2|21k k =+解得：1k =±所以，直线方程为：20x y -+=或0x y +=．45．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+.【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-=（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并整理，得22(1)4(1)70k x k x +-++=，∴1224(1)1k x x k++=+，12271x x k =+∴()()()212121212241118121k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=+=+ ，即()24141k k k +=+，解得1k =，又当1k =时0∆>，∴1k =，∴直线l 的方程为1y x =+46．（1）圆()22:15C x y +-=的圆心()0,1C ，半径为5，所以圆心()0,1C 到直线l 的距离为22151m m d m m --=<=<+，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222CM MP CP +=，设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，整理得()222101x y x y x +--+=≠，当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=，故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=;（3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12AP PB = ，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+，将21231m x m+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±，所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.47．（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则2222225L r d d =-=-，∵0||d CM ≤≤，即05d ≤≤，∴4510L ≤≤，即弦长的取值范围是[45,10]．48．（1）224x y +=；（2）15±；（3）存在，(1,1)-.（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，因为||2||PA PB =，即2222(4)2(1)x y x y +-=+-，整理得224x y +=，所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠= ，由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离为2411k =+，解得15k =±，所以所求直线l 的斜率为15±．（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--=，即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 过定点(1,1)-．。

直线和圆的方程一、选择题1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（ ）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A.95B.91C.88D.75 3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A.x －y =0 B.x +y =0 C.|x |－y =0 D.|x |－|y |=04.（2002京皖春理，8）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的5.（2002全国文）若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ）A.1，－1B.2，－2C.1D.－16.（2002全国理）圆（x －1）2＋y 2＝1的圆心到直线y =33x 的距离是（ ） A.21 B.23 C.1D.37.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A （co s 80°,sin80°）,B （co s 20°，sin20°），则|AB |的值是（ ）A.21B.22C.23D.18.（2002北京文，6）若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.)3,6[ππB.)2,6(ππC.)2,3(ππD.]2,6[ππ9.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x 2＋y 2＝25，②4922y x +＝1，③x 2＋42y ＝1，④42x ＋y 2＝1．其中与直线x +y －5=0仅有一个交点的曲线是（ ）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④10.（2001全国文，2）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 11.（2001上海春，14）若直线x =1的倾斜角为α，则α（ ）A.等于0B.等于4π C.等于2π D.不存在12.（2001天津理，6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |=|PB |，若直线P A 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程是（ ）A.x +y －5=0B.2x －y －1=0C.2y －x －4=0D.2x +y －7=013.（2001京皖春，6）设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是（ ）A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线14.（2000京皖春，4）下列方程的曲线关于x =y 对称的是（ ） A.x 2－x ＋y 2＝1 B.x 2y ＋xy 2＝1 C.x －y =1 D.x 2－y 2＝115.（2000京皖春，6）直线（23-）x +y =3和直线x +（32-）y =2的位置关系是（ ） A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）A.y =3xB.y =－3xC.y =33xD.y =－33x17.（2000全国文，8）已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，12π）内变动时，a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（3,33） C.（33，1）∪（1，3） D.（1，3）18.（1999全国文，6）曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于（ ） A.直线x =2轴对称B.直线y =－x 轴对称C.点（－2，2）中心对称D.点（－2，0）中心对称19.（1999上海，13）直线y =33x 绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆（x －2）2+y 2=3的位置关系是（ ）A.直线过圆心B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切D.直线与圆没有公共点20.（1999全国，9）直线3x +y －23=0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为（ ）A.6πB.4π C ．3πD.2π21.（1998全国，4）两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ）A.A 1A 2＋B 1B 2＝0B.A 1A 2－B 1B 2＝0C.12121-=B B A A D.2121A A B B =122.（1998上海）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x +ay +c =0与bx －sin B ·y +sin C =0的位置关系是（ ）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直23.（1998全国文，3）已知直线x =a （a >0）和圆（x －1）2+y 2=4相切，那么a 的值是（ ）A.5B.4C.3D.224.（1997全国，2）如果直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a 等于（ ）A.－3B.－6C.－23 D.32 25.（1997全国文，9）如果直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（ ）A.［0，2］B.［0，1］C.［0，21］ D.［0，21） 26.（1995上海，8）下列四个命题中的真命题是（ ）A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 D.经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示 27.（1995全国文，8）圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是（ ） A.相离 B.外切 C.相交 D.内切28.（1995全国，5）图7—1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 29.（1994全国文，3）点（0，5）到直线y =2x 的距离是（ ） A.25B.5C.23D.25图7—130.（2003上海春，2）直线y=1与直线y=3x+3的夹角为_____.31.（2003上海春，7）若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x －1）2+（y－a）2=1相切，则a=_____.32.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y ＋8＝0距离的最小值为．33.（2002北京理，16）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为．34.（2002上海文，6）已知圆x2＋（y－1）2＝1的圆外一点P（－2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．35.（2002上海理，6）已知圆（x＋1）2＋y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．36.（2002上海春，8）设曲线C1和C2的方程分别为F1（x，y）＝0和F2（x，y）＝0，则点P（a，b） C1∩C2的一个充分条件为．37.（2001上海，11）已知两个圆：x2＋y2＝1①与x2＋（y－3）2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为：38.（2001上海春，6）圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为.39.（2000上海春，11）集合A＝｛（x，y）|x2＋y2＝4｝，B＝｛（x，y）|(x－3)2＋(y－4)2＝r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是_____.40.（1997上海）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是.41.（1994上海）以点C（－2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是.42.（2003京春文，20）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.43.（2003京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A、B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.44.（2002全国文，21）已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．45.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为55，求该圆的方程.46.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.47.（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=lo g8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝lo g2x的图象交于C、D 两点.（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.48.（1994上海，25）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.答案解析1.答案：B解析：圆心坐标为（0，0），半径为 1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d =22||b a c +=1，即a 2+b 2=c 2.所以，以|a |，|b |，|c |为边的三角形是直角三角形.评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a 、b 、c 之间的关系，以确定三角形形状.2.答案：B 解析一：由y =10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）转化为求满足不等式y ≤10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）所有整数y 的值.然后再求其总数.令x =0，y 有11个整数，x =1，y 有10个，x =2或x =3时，y 分别有9个，x =4时，y 有8个，x =5或6时，y 分别有7个，类推：x =13时y 有2个，x =14或15时，y 分别有1个，共91个整点.故选B.解析二：将x =0，y =0和2x +3y =30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB 内部和边上的整点共有26176+=91（个） 评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.3.答案：D解析：设到坐标轴距离相等的点为（x ，y ） ∴|x |＝|y | ∴|x |－|y |＝0 4.答案：C解析：圆2x 2＋2y 2＝1的圆心为原点（0，0）半径r 为22，圆心到直线x sin θ＋y －1＝0的距离为：1sin 11sin |1|22+=+=θθd∵θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z∴0≤sin 2θ＜1 ∴d ＞22∴d ＞r ∴圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是相离．图7—2解析：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1 ∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d 等于圆的半径r∴11)1(|11|2=++++a a ∴a ＝－16.答案：A解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A 答案． 7.答案：D解析：如图7—3所示，∠AOB ＝60°，又|OA |＝|OB |＝1 ∴|AB |＝1 8.答案：B方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎩⎨⎧=-+-=k k y kx y x kx y 3232632)32(306323 ∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧>>00y x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->++032326032)32(3kk k∴k ∈（33，＋∞）∴倾斜角范围为（2,6ππ）方法二：如图7—4，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l 必过点（0，－3），当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.评述：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.9.答案：D解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D. 10.答案：C解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件,再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程.A 不满足条件.∴选C.解析二:设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ,因为圆心C 在直线x +y －2=0上,∴b =2－a . 由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1 因此所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视.图7—3图7—4解析：直线x =1垂直于x 轴，其倾斜角为90°. 12.答案：A解析：由已知得点A （－1，0）、P （2，3）、B （5，0），可得直线PB 的方程是x +y －5=0. 评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征. 13.答案：B解析一：设P =1+bi ，则Q =P （±i ）， ∴Q =（1+bi ）（±i ）=±b i ，∴y =±1 解析二：设P 、Q 点坐标分别为（1，t ），（x ，y ）， ∵OP ⊥OQ ，∴1t·xy=－1，得x +ty =0 ①∵|OP |=|OQ |，∴2221y x t +=+，得x 2+y 2=t 2+1②由①得t =－y x ，将其代入②，得x 2+y 2=22y x +1，（x 2+y 2）（1－21y）=0.∵x 2+y 2≠0，∴1－21y=0，得y =±1. ∴动点Q 的轨迹为y =±1，为两条平行线. 评述：本题考查动点轨迹的基本求法. 14.答案：B解析：∵点（x ，y ）关于x =y 对称的点为(y ，x ),可知x 2y ＋xy 2＝1的曲线关于x =y 对称． 15.答案：B 解析：直线（23-）x +y =3的斜率k 1＝32-，直线x +（32-）y =2的斜率k 2＝23+，∴k 1·k 2＝)23)(32(+-＝－1．16.答案：C解析一：圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式（x +2）2＋y 2＝1，圆心C （－2，0）．设过原点的直线方程为y =kx ，即kx －y =0.由1|2|2+-k k ＝1，解得k =±33，∵切点在第三象限， ∴k ＞0，所求直线方程为y =33x ． 解析二：设T 为切点，因为圆心C （－2，0），因此CT =1，OC =2，△OCT 为Rt △.如图7—5，∴∠CO T=30°，∴直线OT 的方程为y =33x . 评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美图7—5结合，可迅速、准确得到结果.17.答案：C解析：直线l 1的倾斜角为4π，依题意l 2的倾斜角的取值范围为（4π－12π，4π）∪（4π，4π+12π）即:（6π，4π）∪（4π，3π）,从而l 2的斜率k 2的取值范围为:（33，1）∪（1,3）. 评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.18.答案：B解析：由方程（x +2）2+（y －2）2=4如图7—6所示，故圆关于y =－x 对称 故选B.评述：本题考查了圆方程，以及数形结合思想.应注意任何一条直径都是圆的对称轴.19.答案：C解析：直线y =33x 绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y =3x .已知圆的圆心（2，0）到y =3x 的距离d =3，又因圆的半径r =3，故直线y =3x 与已知圆相切.评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系. 20.答案：C解析：如图7—7所示，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+4032322y x y x消y 得：x 2－3x +2=0 ∴x 1=2，x 2=1 ∴A （2，0），B （1，3）∴|AB |=22)30()12(-+-=2又|OB |＝|OA |=2∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =3π，故选C.评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB 的倾斜角为120°.则等腰△OAB 的底角为60°.因此∠AOB =60°.更加体现出平面几何的意义.21.答案：A图7—6图7—7解法一：当两直线的斜率都存在时，－11B A ·（22B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==0001221B A B A 或， 同样适合A 1A 2＋B 1B 2＝0，故选A. 解法二：取特例验证排除.如直线x +y =0与x －y =0垂直，A 1A 2＝1，B 1B 2＝－1，可排除B 、D. 直线x =1与y =1垂直，A 1A 2＝0，B 1B 2＝0，可排除C ，故选A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.22.答案：C解析：由题意知a ≠0，s i n B ≠0，两直线的斜率分别是k 1=－a A sin ，k 2=Bbsin . 由正弦定理知k 1·k 2=－a A sin ·Bbsin =－1，故两直线垂直. 评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.23.答案：C解析:方程（x －1）2+y 2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x =a 表示与x 轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程分别为x =－1和x =3，由于a >0，取a =3.故选C.评述：本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题. 24.答案：B解析一：若两直线平行，则22123-≠-=a ， 解得a ＝－6，故选B.解析二：利用代入法检验，也可判断B 正确.评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力. 25.答案：A解析：圆的标准方程为：（x －1）2+（y －2）2=5.圆过坐标原点.直线l 将圆平分，也就是直线l 过圆心C （1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x 轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.当直线l 过圆心与x 轴平行时，k =0， 当直线l 过圆心与原点时，k =2. ∴当k ∈［0，2］时，满足题意.评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法. 26.答案：B解析：A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）图7—8不能用方程bya x +=1表示；D 中过A （0，b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 27.答案：C解析：将两圆方程分别配方得（x －1）2＋y 2＝1和x 2＋（y －2）2＝4，两圆圆心分别为O 1（1，0），O 2（0，2），r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝52122=+，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以应选C.评述：本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法. 28.答案：D解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D.评述：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力. 29.答案：B解析：直线方程可化为2x －y =0，d =55|5|=-. 评述：本题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等基本知识点，考查运算能力.30.答案：60°解析：因为直线y =3x +3的倾斜角为60°，而y =1与x 轴平行，所以y =1与y =3x +3的夹角为60°.评述：考查直线方程的基本知识及几何知识，考查数形结合的数学思想.31.答案：a =4±5解析：因过A （－1，0）、B （0，2）的直线方程为：2x －y +2=0.圆的圆心坐标为C （1，a ），半径r =1.又圆和直线相切，因此，有：d =5|22|+-a =1，解得a =4±5. 评述：本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识. 32.答案：2解析：圆心到直线的距离d ＝5|843|++＝3 ∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2 33.答案：22解法一：∵点P 在直线3x +4y +8=0上.如图7—9. ∴设P （x ，432-- x ），C 点坐标为（1，1）， S 四边形P ACB ＝2S △P AC图7—9＝2·21·|AP |·|AC |＝|AP |·|AC |＝|AP | ∵|AP |2＝|PC |2－|AC |2＝|PC |2－1∴当|PC |最小时，|AP |最小，四边形P ACB 的面积最小． ∴|PC |2＝（1－x ）2＋（1＋2＋43x ）2＝9)145(1025162522++=++x x x ∴|PC |min ＝3 ∴四边形P ACB 面积的最小值为22．解法二：由法一知需求|PC |最小值，即求C 到直线3x +4y +8=0的距离，∵C （1，1），∴|PC |=5|843|++=3，S P ACD =22. 34.答案：34解法一：圆的圆心为（0，1）设切线的方程为y ＝k （x ＋2）.如图7—10. ∴kx ＋2k －y ＝0 ∴圆心到直线的距离为1|12|2+-k k ＝1∴解得k ＝34或k ＝0， ∴两切线交角的正切值为34． 解法二：设两切线的交角为α∵tan212=α，∴tan α＝3441112tan 12tan22=-=-αα． 35.答案：34解析：圆的圆心为（－1，0），如图7—11. 当斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2 ∴kx －y ＋2＝0 ∴圆心到切线的距离为1|2|2++-k k ＝1 ∴k ＝43， 图7—10图7—11即tan α＝43 当斜率不存在时，直线x ＝0是圆的切线 又∵两切线的夹角为∠α的余角 ∴两切线夹角的正切值为34 36.答案：F 1（a ，b ）≠0，或F 2（a ，b ）≠0，或F 1（a ，b ）≠0且F 2（a ，b ）≠0或C 1∩C 2=∅或P ∉C 1等解析：点P （a ，b ）∉C 1∩C 2，则 可能点P 不在曲线C 1上； 可能点P 不在曲线C 2上；可能点P 既不在曲线C 1上也不在曲线C 2上； 可能曲线C 1与曲线C 2不存在交点.37.答案：可得两圆对称轴的方程2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0 解析：设圆方程（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2 ① （x －c ）2＋（y －d ）2＝r 2 ② （a ≠c 或b ≠d ），则由①－②，得两圆的对称轴方程为： （x －a ）2－（x －c ）2+（y －b ）2－（y －d ）2=0， 即2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0.评述：本题考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念，考查抽象思维能力和推广数学命题的能力.38.答案：（x －1）2+（y －1）2=1 解析一：设所求圆心为（a ，b ），半径为r . 由已知，得a =b ，r =|b |=|a |.∴所求方程为（x －a ）2+（y －a ）2=a 2又知点（1，0）在所求圆上，∴有（1－a ）2+a 2=a 2，∴a =b =r =1. 故所求圆的方程为：（x －1）2+（y －1）2=1. 解析二：因为直线y =x 与x 轴夹角为45°. 又圆与x 轴切于（1，0），因此圆心横坐标为1，纵坐标为1，r =1.评述：本题考查圆的方程等基础知识，要注意利用几何图形的性质，迅速得到结果. 39.答案：3或7解析：当两圆外切时，r =3，两圆内切时r =7，所以r 的值是3或7．评述：本题考查集合的知识和两圆的位置关系，要特别注意集合代表元素的意义. 40.答案：x +y －4=0解析一：已知圆的方程为（x －2）2+y 2=9，可知圆心C 的坐标是（2，0），又知AB 弦的中点是P （3，1），所以k CP =2301--=1，而AB 垂直CP ，所以k AB =－1.故直线AB 的方程是x +y －4=0.解析二：设所求直线方程为y －1=k （x －3）.代入圆的方程，得关于x 的二次方程：（1+k 2）x 2－（6k 2－2k +4）x +9k 2－6k －4=0，由韦达定理：x 1+x 2=221426k k k ++-=6，解得k =1.解析三：设所求直线与圆交于A 、B 两点，其坐标分别为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-9)2(9)2(22222121y x y x②－①得（x 2+x 1－4）（x 2－x 1）+（y 2－y 1）（y 2+y 1）=0 又AB 的中点坐标为（3，1），∴x 1+x 2=6，y 1+y 2=2. ∴1212x x y y --=－1，即AB 的斜率为－1，故所求方程为x +y －4=0.评述：本题考查直线的方程与圆的有关知识.要特别注意圆所特有的几何性质. 41.答案：（x +2）2+（y －3）2=4 解析：因为圆心为（－2，3），且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2.故所求圆的方程为（x +2）2+（y －3）2=4.42.解：设动点P 的坐标为P （x ，y ）由||||PB PA =a （a >0），得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得：（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a ≠1时，得x 2+221)1(2aa c -+x +c 2+y 2=0.整理， 得：（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2当a =1时，化简得x =0.所以当a ≠1时，P 点的轨迹是以（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆；当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.评述：本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.43.（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x .解法二：设M （x ，y ），依题意有|MP |=|MN |，所以|x +1|=22)1(y x +-.化简得：y 2=4x .（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为y =－3（x －1）.由⎪⎩⎪⎨⎧=--=.4),1(32x y x y 消y 得3x 2－10x +3=0，解得x 1=31，x 2=3. ① ②图7—12所以A 点坐标为（332,31），B 点坐标为（3，－23）， |AB |=x 1+x 2+2=316. 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC |=|AB |且|AC |=|AB |，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++.)316()32()131()316()32()13(222222y y 由①－②得42+（y +23）2=（34）2+（y －332）2，解得y =－9314. 但y =－9314不符合①， 所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.（ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 得y =23，即当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23.又|AC |2=（－1－31）2+（y －332）2=334928y -+y 2， |BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，|AB |2=（316）2=9256.当∠CAB 为钝角时，co sA =||||2||||||222AC AB BC AC AB ⋅-+<0.即|BC |2 >|AC |2+|AB |2，即9256334928342822++->++y y y y ，即y >392时，∠CAB 为钝角. 当|AC |2>|BC |2+|AB |2，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即y <－3310时，∠CBA 为钝角. 又|AB |2>|AC |2+|BC |2，即2234283349289256y y y y++++->， 即0)32(,03433422<+<++y y y. 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. 解法二：以AB 为直径的圆的方程为（x －35）2+（y +332）2=（38）2. 圆心（332,35-）到直线l ：x =－1的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G （－1，－332）. 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A 、B 、C 三点不共线时，∠ACB 为锐角，即△ABC 中，∠ACB 不可能是钝角.因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.过点A 且与AB 垂直的直线方程为)31(33332-=-x y . 令x =－1得y =932. 过点B 且与AB 垂直的直线方程为y +2333=（x －3）. 令x =－1得y =－3310.又由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 解得y =23，所以，当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <－3310或y >932（y ≠23）.评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.44.解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++．整理得 x 2+y 2－6x +1=0． ①因为点N 到PM 的距离为1，|M Ｎ|＝2， 所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33， 直线PM 的方程为y =±33（x ＋1）．② 将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0． 解得x ＝2＋3，x ＝2－3．代入②式得点P 的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－1－3）或（2－3，1－3）．直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1．45.解：设圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 令x =0，得y 2－2by +b 2+a 2－r 2=0. |y 1－y 2|=222122124)(a r y y y y -=-+=2，得r 2=a 2+1①令y =0，得x 2－2ax +a 2+b 2－r 2=0， |x 1－x 2|=r b r x x x x 224)(2221221=-=-+，得r 2=2b 2②由①、②，得2b 2－a 2=1又因为P （a ，b ）到直线x －2y =0的距离为55， 得d =555|2|=-b a ，即a －2b =±1. 综上可得⎩⎨⎧=-=-;12,1222b a a b 或⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解得⎩⎨⎧-=-=11b a 或⎩⎨⎧==11b a于是r 2=2b 2=2.所求圆的方程为（x +1）2+（y +1）2=2或（x －1）2+（y －1）2=2. 46.解：设所求圆的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |. 由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P 截x 轴所得弦长为2r ，故r 2＝2b 2，又圆P 截y 轴所得弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1， 从而有2b 2－a 2＝1又点P （a ，b ）到直线x －2y =0距离为d ＝5|2|b a -， 所以5d 2＝|a －2b |2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2（a 2＋b 2）＝2b 2－a 2＝1 当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2＝1，从而d 取得最小值，由此有⎩⎨⎧=-=1222a b b a 解方程得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 由于r 2＝2b 2，知r ＝2，于是所求圆的方程为（x －1）2＋（y －1）2＝2或（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝2评述：本题考查了圆的方程，函数与方程，求最小值问题，进一步考查了待定系数法、函数与方程思想.题中求圆的方程给出的三个条件比较新颖脱俗，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，即合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.47.（1）证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知x 1＞1，x 2＞1，点A （x 1，lo g 8x 1），B （x 2，lo g 8x 2）.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =， 又点C 、D 的坐标分别为（x 1，lo g 2x 1），（x 2，lo g 2x 2） 由于lo g 2x 1＝2log log 818x ＝3lo g 8x 1，lo g 2x 2＝2log log 828x ＝3lo g 8x 2，所以OC 的斜率和OD 的斜率分别为228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====.由此得k OC ＝k OD ，即O 、C 、D 在同一条直线上.（2）解：由BC 平行于x 轴，有lo g 2x 1＝lo g 8x 2，解得 x 2＝x 13 将其代入228118log log x x x x =，得x 13lo g 8x 1＝3x 1lo g 8x 1. 由于x 1＞1，知lo g 8x 1≠0，故x 13＝3x 1，x 1＝3，于是点A 的坐标为（3，lo g 83）.评述：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力.48.解：（1）当1－2t ＞0即0＜t ＜21时，如图7—13，点Q 在第一象限时，此时S （t ）为四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y －2= t （x +2t ）.令x =0，得y =2t 2＋2，点K 的坐标为（P ，2t 2＋2）.t t t S S S OKR OPQR OPQK 2)22(21)1(2222⋅+-+=-=)1(232t t t -+-=当－2t +1≤0，即t ≥21时，如图7—14，点Q 在y 轴上或第二象限，S （t ）为△OP Ｌ的面积，直线PQ 的方程为y －t =－t1（x －1），令x =0得y =t +t 1，点L 的坐标为（0，t +t 1），S △OPL ＝1)1(21⋅+t t)1(21tt += 所以S （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-21 )1(21210 )1(232t t t t t t t（2）当0＜t ＜21时，对于任何0＜t 1＜t 2＜21，有S （t 1）－S （t 2）＝2（t 2－t 1）［1－（t 1＋t 2）＋（t 12＋t 1t 2＋t 22）］＞0，即S （t 1）＞ S （t 2），所以S （t ）在区间（0，21）内是减函数. 图7—13图7—14当t ≥21时，对于任何21≤t 1≤t 2，有S （t 1）－S （t 2）＝21（t 1－t 2）（1－211t t ）， 所以若21≤t 1≤t 2≤1时，S （t 1）＞S （t 2）；若1≤t 1≤t 2时，S （t 1）＜S （t 2），所以S （t ）在区间［21，1］上是减函数，在区间［1，＋∞)内是增函数，由2［121＋（21）2－(21)3］＝45＝S （21）以及上面的证明过程可得，对于任何0＜t 1＜21≤t 2＜1，S （t 2）＜45≤S （t 1），于是S （t ）的单调区间分别为（0，1］及［1，＋∞)，且S （t ）在（0，1]内是减函数，在［1，＋∞)内是增函数.49.解：如图7—15，设直线MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是：P ={M ||MN |=λ|MQ |}，（λ>0为常数）因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.设点M 的坐标为（x ，y ），则2222)2(1y x y x +-=-+λ整理得（λ2－1）（x 2+y 2）－4λ2x +（1+4λ2）=0当λ=1时，方程化为x =45，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直，交x 轴于点（45，0）； 当λ≠1时，方程化为（x －1222-λλ）2+y 2=)1(3122-+λλ它表示圆心在（1222-λλ，0），半径为|1|3122-+λλ的圆. 评述：本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.图7—15。

一、选择题1．直线()()()230x m x y m -+-+=∈R 过下面哪个定点（ ） A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,5D ．()3,22．设点(1,2),(2,3)A B -，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,2]- B ．[2,3]-C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．(,3][2,)-∞-⋃+∞3．已知两点()1,2A -、()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦4．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为A 、B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．10米B ．米C ．米D ．6．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤D ．46m ≤≤7．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交11．直线:210l x my m +--=与圆22:(2)4C x y +-=交于A B 、两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为（ ） A ．2410x y +-= B ．2430x y -+= C ．2410x y ++= D ．2430x y ++=12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．已知三条直线的方程分别为0y=0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．14．已知点(4,0),(0,2)A B ，对于直线:0l x y m -+=的任意一点P ，都有22||||18PA PB +>，则实数m 的取值范围是__________.15．若实数x ，y 满足关系10x y ++=，则式子S =______．16．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.17．已知定点A 到动直线l ：()221420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，则定点A 的坐标为________．18．已知点A (0，2)，O (0，0)，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在点M ，使3MA MO ⋅=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________.19．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知ABC 的顶点(2,0),(0,4)A B ，其“欧拉线”的直线方程为20x y -+=，则ABC 的顶点C 的坐标__________.20．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离的最大值为________.三、解答题21．已知一圆经过点()3,1A ，()1,3B -，且它的圆心在直线320x y --=上. （1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点()3,0C ，求线段CD 的中点M 的轨迹方程. 22．在平面直角坐标系中，已知射线OA ：0(0)x y x -=≥，OB ：20(0)x y x +=≥．过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点A ，B ．（1）当AB 的中点在直线20x y -=上时，求直线AB 的方程； （2）当AOB 的面积取最小值时，求直线AB 的方程； （3）当||||PA PB ⋅取最小值时，求直线AB 的方程．23．已知直线l ：2830mx y m ---=和圆C ：22612200x y x y +-++=. （1）求圆C 的圆心、半径（2）求证：无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点；（3）m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短？求出此时的弦长.24．（1）已知点(,)a b 在直线3210x y ++=上，则直线20ax by ++=必过定点M ，求定点M 的坐标.（2）已知直线1l 过（1）中的定点M ，且与直线2:4l y x =相交于第一象限内的点A ，与x 正半轴交于点B ，求使△OAB 面积最小时的直线1l 的方程.25．△ABC 中∠C 的平分线所在直线方程为y x =，且A （－1，52），B （4，0）.（1）求直线AB 的截距式．．．方程； （2）求△ABC 边AB 的高所在直线的一般式．．．方程.26．在①经过直线1:20l x y -=与直线2:210l x y +-=的交点.②圆心在直线20x y -=上.③被y 轴截得弦长AB =；从上面这三个条件中任选一个，补充下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由.问题：是否存在圆Q ，且点()2,1A --，()1,1B -均在圆上？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由恒等式的思想得出2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解之可得选项.【详解】由2030x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：25x y =⎧⎨=⎩，故直线过恒过点()2,5，故选：C. 【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.2．D解析：D 【分析】求出线段AB 的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由21x -≤≤可求得a 的范围． 【详解】321213AB k -==---，∴AB 方程为12(1)3y x -=--，即370x y +-=，由10370ax y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得1013x a =-，（显然310a -≠），由102113a-≤≤-解得3a ≤-或2a ≥．【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：（1）求出直线AB 方程，由直线AB 方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；（2）求出直线过定点P ，再求出定点P 与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．3．C解析：C 【分析】作出图形，求出直线PA 、PB 的斜率，数形结合可得出直线l 的斜率的取值范围，进而可求得直线l 的倾斜角的取值范围. 【详解】 如下图所示：直线PA 的斜率为21110PA k -+==--，直线PB 的斜率为11120PB k +==-， 由图形可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-. 因此，直线l 的倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线PA 、PB 的斜率可得所要求的斜率的取值范围.4．D解析：D 【分析】设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①；由22PA PM MA =-②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为1322PM =，写出圆的方程可判断④；两圆相减可得直线AB 方【详解】可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即350kx y k ，=2+2440k k -=，可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又PM ==PA MA ⊥，PA ∴==故②正确；,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为22PM =， 故PAB △外接圆的方程为22713(2)()24x y -+-=，即2247130x y x y +--+=，故④正确；将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.5．C解析：C 【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解. 【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =，当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及|AB |的值，可得以AB 为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案． 【详解】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =， 设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =， 以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由22(14)(04)5MC =-+-=， 即有25m -≤且25m +≥,即37m ≤≤， 又0,37m m >∴≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题．7．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③． 【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．8．B解析：B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确；若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误．故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．C解析：C 【分析】将两圆化为标准形式,求出圆心距和两圆半径之和,判断即可. 【详解】圆221:(1)(2)4C x y +++=，圆心 1(1,2)C -- ，12r =， 圆222:(2)(2)9C x y -+-= ，圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+,∴两圆外切，有3条公切线.故选:C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,考查学生数形结合思想以及求解运算能力,属于基础题.10．C解析：C 【分析】由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行.11．B解析：B 【分析】先求出直线经过定点1(,1)2P ，圆的圆心为()0,2C ，根据直线与圆的位置关系可知，当CP l ⊥时弦AB 最短，根据1CP l k k ⋅=-求出m 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】解：由题得，(21)(1)0x m y -+-=，21010x y -=⎧∴⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线l 过定点1(,1)2P ，圆22:(2)4C x y +-=的圆心为()0,2C ，半径为2，当CP l ⊥时，弦AB 最短，此时1CP l k k ⋅=-， 由题得212102CP k -==--，12l k ∴=， 所以212m -=，4m ∴=-， 所以直线l 的方程为：2430x y -+=.故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查分析推理和化简运算能力.12．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离 解析：(0,3)30,33)(3)- 【分析】先画出图形，求出3),(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】 如图所示，由题得3),(1,0),(1,0)A B C -,CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD ：3(1)3y x =+的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组03(1)3xy x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为3(0,)； ACB ∠的外角平分线CE ：3(1)y x =-+和ABC ∠的外角平分线BF ：3(1)y x =-的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3(1)y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩得交点为(0,3)-；ACB ∠的外角平分线CG ：3(1)y x =-+和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3)-；ABC ∠的外角平分线BH ：3(1)y x =-和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3).故答案为：(0,3)-、30,3、(2,3)、(2,3)-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.14．【分析】设根据条件可得即点P 在圆外故圆与直线相离根据直线与圆的位置关系可得答案【详解】设由可得即所以点P 在圆外又点P 在直线上所以圆与直线相离所以解得：或故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与 解析：(,12)(221,)-∞--⋃+∞【分析】设(),P x y ，根据条件可得()()22214x y -+->，即点P 在圆()()22214x y -+-=外，故圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，根据直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】设(),P x y ，由22||||18PA PB +>可得()()22224218x y x y -+++->，即()()22214x y -+-> 所以点P 在圆()()22214x y -+-=外，又点P 在直线:0l x y m -+=上 所以圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离所以2d r =>=，解得：1m >或1m <--故答案为：(,11,)-∞--⋃+∞ 【点睛】关键点睛：本题考查根据直线与圆的位置关系求参数范围，解答本题的关键是根据条件得到点P 在圆()()22214x y -+-=外，即圆()()22214x y -+-=与直线:0l x y m -+=相离，属于中档题.15．【分析】化简看成是一个动点到一个定点的距离结合点到直线的距离公式即可求解【详解】由题意化简可得所以上式可看成是一个动点到一个定点的距离从而即为点与直线：上任意一点的距离由点到直线的距离公式可得所以的解析：2【分析】=，看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】=，所以上式可看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离， 从而S 即为点N 与直线l ：10x y ++=上任意一点(),M x y 的距离，由点到直线的距离公式，可得2d ==，所以S 的最小值为min 2S d ==故答案为：2. 【点睛】形如：22()()x a y b -+-的形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题，结合两点间的距离公式或点到直线的距离公式进行求解.16．【分析】先求得直线过定点分析可知当直线与CM 垂直时直线被圆截得的弦长最短进而利用斜率的关系即可求得m 的值【详解】直线的方程可化为所以直线会经过定点解得定点坐标为圆C 圆心坐标为当直线与CM 垂直时直线被解析：34-【分析】先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，进而利用斜率的关系即可求得m 的值． 【详解】直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-=所以直线l 会经过定点27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短211132CM k -==-- ，211l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解方程得34m =-【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．17．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1【解析】 【分析】设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令0,1,1m =-分析可得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离d =无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ． 当定点A 为()2,1时，22111m d m +===+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3 时，22131m d m -==+ ，显然d 的值随m 的变化而变化，不符题意，舍去．综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为2,1．故答案为：()2,1． 【点睛】本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．18．【解析】【分析】设利用可得的轨迹方程以为圆心2为半径的圆利用圆上存在点可得两圆相交或相切建立不等式即可求出实数的取值范围【详解】解：设因为A(02)O(00)所以因为所以化简得：所以点的轨迹是以为圆 解析：[0,3]【解析】 【分析】设(),M x y ，利用 3MA MO ⋅= ，可得M 的轨迹方程以()0,1 为圆心，2为半径的圆，利用圆C 上存在点M ，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：设(),M x y ，因为 A (0，2)，O (0，0)， 所以(,2)MA x y =-- ，(,)MO x y =-- . 因为3MA MO ⋅= ，所以()()()()23x x y y --+--= ，化简得：22(1)4x y +-= ，所以M 点的轨迹是以()0,1 为圆心，2为半径的圆. 因为M 在()()22:21C x a y a -+-+= 上， 所以两圆必须相交或相切.所以13≤≤ ，解得03a ≤≤.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为： [0,3]. 故答案为：[0,3]. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M 的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.19．【分析】设由题意结合重心的性质可得求得AB 的中垂线方程与欧拉线方程联立可得外心由外心的性质可得解方程即可得解【详解】设由重心坐标公式得的重心为代入欧拉线方程得整理得①因为AB 的中点为所以AB 的中垂线 解析：(4,0)-【分析】设(),C m n ，由题意结合重心的性质可得40m n -+=，求得AB 的中垂线方程，与欧拉=可得解. 【详解】设(),C m n ，由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①， 因为AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，所以AB 的中垂线的斜率为12，所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=， 联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴ABC 的外心为()1,1-，=，联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==， 当0,4m n ==时，点B 、C 两点重合，舍去； ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-. 故答案为：()4,0-. 【点睛】本题考查了直线方程的求解与应用，考查了两点间距离公式的应用，关键是对题意的正确转化，属于中档题.20．【分析】根据AOB 是直角三角形解得圆心O 到直线ax ＋by ＝1距离即得ab 关系式再根据两点间距离公式代入消去根据二次函数性质以及的范围求最值【详解】因为是直角三角形且所以O 到直线ax ＋by ＝1距离为因1【分析】根据AOB 是直角三角形，解得圆心O ax ＋by ＝1距离，即得a ，b 关系式，再根据两点间距离公式，代入消去a ，根据二次函数性质以及b 的范围求最值 【详解】因为AOB 是直角三角形，且||||1AO OB ==,所以O ax ＋by ＝1，因此22222a b =+= 设点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离为d ，d ====因为22,b b ≤≤≤b =d 取最大值为1=+1 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．(1) 22(2)(4)10x y -+-=(2) ()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M 的坐标，利用中点得到点D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M 的轨迹方程. 【详解】（1）由已知可设圆心N （a ，3a -2），又由已知得|NA |=|NB |，=，解得：a =2．于是圆N 的圆心N （2，4），半径r ==所以，圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=,(2) 设M （x ，y ），D ()11,x y ，则由C （3，0）及M 为线段CD 的中点得：113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y=-⎧⎨=⎩又点D 在圆N ：22(2)(4)10x y -+-=上，所以有()()222322410x y --+-=，化简得：()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 故所求的轨迹方程为()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：与圆相关的点的轨迹问题，一般可以考虑转移法（相关点法），设动点的坐标，根据条件，用动点坐标表示圆上点的坐标，再根据圆上点的坐标满足圆的方程求解即可.22．（1）7470x y --=（2）440x y --=（3）3)10x y --= 【分析】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，根据AB 的中点在直线20x y -=上求出125x x =，利用斜率公式求出直线AB 的斜率，再由点斜式可求出直线AB 的方程； （2）设直线AB 的方程为1x my =+，求出,A B 的坐标，利用AOBAOPBOPSSS=+求出面积关于m 的解析式，再根据基本不等式求最值可得m 和直线AB 的方程；（3）利用（2）中,A B 的坐标求出||PA 、||PB ，得到||||PA PB 关于m 的函数关系式，再换元利用基本不等式求出||||PA PB 取最小值时的m ，从而可得直线AB 的方程. 【详解】（1）设11(,)A x x ，22(,2)B x x -，则AB 的中点为12122(,)22x x x x +-， 因为AB 的中点在直线20x y -=上，所以121222022x x x x +--⨯=，即125x x =， 所以直线AB 的斜率12212227744x x x k x x x +===-， 所以直线AB 的方程为7(1)4y x =-，即7470x y --=. （2）设直线AB 的方程为1x my =+，联立10x my x y =+⎧⎨-=⎩，得11x y m ==-，所以11(,)11A m m --(1)m <， 联立120x my x y =+⎧⎨+=⎩，得121x m =+，221y m =-+1()2m >-，所以12(,)2121B m m -++， 所以AOB AOP BOP S S S =+112||()2121OP m m =+-+112221m m =+-+，因为220,210m m ->+>，所以112221m m +-+112221()22213m m m m -++=+⨯-+ 12122(11)32221m m m m +-=+++-+14(233≥+=， 当且仅当14m =时，等号成立， 所以AOB S的最小值为43，此时14m =，直线AB 的方程为114x y =+，即440x y --=.（3）由（2）知，||PA ==||PB =21m =+， 所以||||PA PB ⋅=222212121m m m m m +=-+-++222(1)2(1)3m m m +=-+++ 22321m m =+-++， 令53(,4)2m t +=∈，则2231(3)1m t m t +=+-+21106106t t t t t ==-++-≤=，当且仅当=t3m =时，231m m ++取得最大值，||||PA PB ⋅取得最小值，此时直线AB的方程为3)1x y =+，即3)10x y --=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．（1）圆心(3,6)C -，半径5R =（2）证明见解析（3）16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为【分析】（1）利用6,12,20D E F =-==可求得结果； （2）利用直线l 经过的定点在圆C 内可证结论成立；（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，根据弦长公式可知d 最大即CM l ⊥时，弦长最短，由此可求得结果. 【详解】（1）因为6,12,20D E F =-==所以6322D --=-=，12622E -=-=-，所以(3,6)C -，所以半径5R ===. （2）由2830mx y m ---=得(28)(3)0x m y --+=，由28030x y -=⎧⎨+=⎩得4,3x y ==-，所以直线l 经过定点M (4,3)-，5=<，所以定点M (4,3)-在圆C 内， 所以无论m 为何值，直线l 总与圆C 有交点.（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆C 截得的弦为AB ，则||AB =d 最大值时，弦长||AB 最小，因为||d CM ≤==，当且仅当CM l ⊥时，d ，||AB取最小值=111236343CMm k =-=-=--+-，所以16m =-.所以16m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短，弦长为 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键是证明直线经过的定点在圆内，第（3）问的关键是推出CM l ⊥时，弦长最短.24．（1）(6,4)；（2）10x y +=.【分析】（1）点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所以213b a +=-，代入直线20ax by ++=得6(32)0x b y x -+-=可得答案；（2）讨论直线的斜率存在和不存在情况，分别求出三角形的面积比较，并求较小时直线的【详解】（1）因为点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所有3210a b ++=，即213b a +=-， 代入直线20ax by ++=得21203b x by +-++=，整理得6(32)0x b y x -+-=， 所以60320x y x -=⎧⎨-=⎩解得64x y =⎧⎨=⎩，定点(6,4)M . （2）设(,)A m n (0,0)m n >>，(,0)(0)B c c >，所以M 、A 、B 三点共线， 当1l 与x 轴垂直时，(4,24)A ，(4,0)B ，112444822OAB SOB AB =⨯⨯=⨯⨯=， 当1l 与x 轴不垂直时，所以AM BM k k =，即44066n m c --=--，644n m c n -=-， 因为在直线2:4l y x =上，所以4n m =，所以64541n m m c n m -==--， 因为0,0m c >>，所以501m c m =>-，所以1m ， 2115101101222111OAB A m m S y OB n m m m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯==-++ ⎪---⎝⎭()102240≥⨯+=，当且仅当111m m -=-即2m =时等号成立，此时48n m ==，所以(2,8)A ，因为48>40，所以△OAB 面积最小时直线1l 与x 轴不垂直，且1l 的斜率为84126AM k -==--，所以直线1l 的方程为8(2)y x -=--，即为100x y +-=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.25．（1）142x y +=；（2）280x y -+=. 【分析】（1）设出直线的截距式方程1x y a b+=，代入点的坐标，求解出参数的值，从而截距式方程可求；（2）先求解出A 关于直线y x =的对称点A '，然后根据A '在BC 上求解出C 点坐标，再根据高所在直线的斜率与AB 斜率的关系，从而可求解出AB 的高所在直线的一般式方程.（1）设AB 的方程为1x y a b +=，代入点()51,,4,02A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以1512401a b a b-⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以AB 的截距式方程为：142x y +=； （2）设A 关于y x =的对称点为A '，所以5,12A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭且A '在直线BC 上， 又因为()4,0B ，所以()()01:04542A B l y x '---=--，即2833y x =-， 又因为C 在y x =上，也在2833y x =-上，所以2833y x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以88x y =-⎧⎨=-⎩，所以()8,8C --， 又因为5012142AB k -==---，设AB 的高所在直线的一般式方程为20x y m -+=，代入点()8,8C --，所以1680m -++=，所以8m =，所以AB 的高所在直线的一般式方程为280x y -+=.【点睛】思路点睛：点关于直线l 的对称点坐标的求解步骤（直线的斜率存在且不为零，已知点()11,A x y ，直线l 的斜率k ）：（1）设出对称点的坐标(),A a b '；（2）AA '的中点11,22x a y b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭必在l 上，由此得到第一个方程； （3）根据1AA k k '=-得到第二个方程；（4）两个方程联立可求解出(),A a b '.26．答案见解析【分析】由点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，可知圆心在直线AB ：1y =-的垂直平分线上，即12x =-，设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为r ，若选①，求出直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知得圆心1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再利用两点之间的距离求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长AB =，可得半径及圆心，即可求出圆的方程.【详解】因为点()2,1A --，()1,1B -均在圆上，所以圆心在直线AB 的垂直平分线上， 又直线AB 的方程为1y =-，直线AB 垂直平分线所在直线方程为：21122x -+==-，则可设圆心坐标为1,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；设圆的半径为r ， 若选①，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上.由20210x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线1l 和2l 的交点为21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆过点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()222221211112552r b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1b =-，则294r =， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选②，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 由圆心在直线20x y -=上可得1202b ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭，则1b =-， 所以()2221911124r ⎛⎫=--+-+= ⎪⎝⎭， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭； 若选③，存在圆Q ，使得点()2,1A --，()1,1B -均在圆上. 若圆被y轴截得弦长AB =，根据圆的性质可得，22219224AB r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()222191124r b ⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭，解得1b =-， 即存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭；综上，存在圆Q ，且圆Q 的方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ 【点睛】方法点睛：本题考查求圆的标准方程，常用的方法有：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：若已知条件与圆心(),a b 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；。

高中数学选修一直线与圆单元测试卷题目一：（选择题）1. 设直线L过点A(3,2)，斜率为3/2，则直线L的解析式为：A. y = 3/2x + 1B. y = 2/3x + 1C. y = 3/2x - 1D. y = 2/3x - 12. 设直线L过点A(2,1)和点B(-3,5)，则直线L的斜率为：A. 3/7B. -7/3C. -4/5D. 5/43. 设直线L过点A(4,1)且垂直于直线y = 2x - 3，则直线L的解析式为：A. y = -1/2x + 3B. y = -1/2x - 5C. y = 2x - 7D. y = -2x + 7题目二：（填空题）1. 设直线L过点A(2,3)和点B(-1,-4)，则直线L的斜率为__________。

2. 设直线L过点A(5,2)且平行于直线y = 3x - 5，则直线L的解析式为__________。

3. 设直线L过点A(-2,3)且垂直于直线y = -2x + 4，则直线L 的解析式为__________。

题目三：（解答题）1. 两条直线分别为L1：2x - 3y + 4 = 0和L2：x + 5y - 7 = 0，求直线L1和直线L2的交点坐标。

2. 圆C的圆心为(2,-1)，半径为3。

求证直线y = 2x + 1与圆C 有且仅有一个交点，并求出该交点坐标。

3. 直线L过点A(1,2)且垂直于直线y = -3x + 5，求直线L的解析式。

参考答案：题目一：1. A2. C3. B题目二：1. -7/32. y = 3x - 133. y = 1/2x + 4题目三：1. 直线L1和直线L2的交点坐标为(-11/13, -1/13)。

2. a) 将直线代入圆的方程，得到4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 3 = 0b) 解该方程得到唯一解为(2,3)。

3. 直线L的解析式为 y = 1/3x + 5/3。

直线与圆的方程综合复习（含答案）一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是（ C ） A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B （m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ C ） A 0 B 2 C -8 D 103.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于（ D ）A -1或2B 23C 2D -14.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 （a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=05.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”的（ B ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B （-5,6），则直线L 的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点（0,5）且1l 2l ，则直线2l 的方程为（ B ）A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为（ A ）A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是（A ）A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ C ）A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D ）， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 914.若直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ B ）A 1B -1C 3D -315.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba11+的最小值是（ C ）A.41B.2C.4D.2116.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 （ A ）A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于（ C ）A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 （ C ） A.2B.5C.3D.3519.若直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211ba +≤1 D.2211ba +≥120.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为（ B ） A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x+2(2)y =4相交于M 、N 两点，若︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是（ A ）A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞） C [-33,33] D [-23,0] 22.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为（C ）A ．0B ．1C ．2D ．3 23.（江西理科9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。

选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (1)一、单选题1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，P 、Q 分别为面1111D C B A 和线段1B C 上的动点，则EPQ △周长的最小值为（ ）A ．BC ．D ．2．已知直线l 过定点()0,1，则“直线l 与圆()2224x y -+=相切”是“直线l 的斜率为34”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．一束光线，从点A (-2，2)出发，经x 轴反射到圆C ：()()22331x y -+-=上的最短路径的长度是（ ）A ．1B ．1C ．1D ．14．已知圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线方程为（ ） A ．1y x =-+ B ．1y x =+ C ．2y x =-+ D ．2y x =+5．已知点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积是（ ）A ．πB ．2π+C ．1π+D ．4π+6．已知点(7,3)P ，Q 为圆22:210250M x y x y +--+=上一点，点S 在x 轴上，则||||SP SQ +的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．107．已知直线()10,0ax by c b c ++-=>经过圆22250x y y +--=的圆心，则41b c+的最小值是（ ）. A ．9 B ．8 C ．4 D ．28．在[2-，2]上随机取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”发生的概率为（ ） A ．14B ．12C ．23D ．349．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:29C x y -+=，,E F 是直线:2l y x =+上的两点，若对线段EF 上任意一点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得cos 0APB ∠≤，则线段EF 长度的最大值为（ ）A ．2BC ．D ．4二、多选题10．定义点()00,P x y 到直线l :()2200ax by c a b ++=+≠的有向距离为=d 已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d .以下命题不正确的是（ ） A ．若121d d ==，则直线12PP 与直线l 平行 B ．若11d =，21d =-，则直线12PP 与直线l 垂直 C ．若120d d +=，则直线12PP 与直线l 垂直 D ．若120d d ⋅≤，则直线12PP 与直线l 相交11．已知直线l ：20ax y +-=与C ：()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，若△ABC 为钝角三角形，则满足条件的实数a 的值可能是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．412．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是（ ） A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0，1)和B (－1，0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ．点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =D ．C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为114．已知点P 在圆C ：()()22455x y -+-=上，点()4,0A ，()0,2B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于6 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．cos APB ∠的最大值为45D ．APB ∠的最大值为2π 15．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是2B ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- C ．点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(0,2)D ．经过点(3,4)P ，且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线条数共有6条三、填空题16．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角，过点()1,0P 作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线12y x =上时，则直线AB 的方程是______．17．已知点Q 是直线l ：40x y --=上的动点，过点Q 作圆O ：224x y +=的切线，切点分别为A ，18．已知直线:l y x b =+，曲线:C y b 的取值范围是______． 19．已知()3,1A -，()5,2B -，点P 在直线0x y +=上，若使PA PB +取最小值，则点P 的坐标是___________.20．已知圆心为()()1,0m m <的圆与x 轴相切，且与直线20x y -=相交于,A B 两点，若AB 4=，则实数m =___________.21．已知直线l 经过点()4,3P ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程______． 22．已知(),P x y 为圆221x y +=上的动点，则3410x y ++的最大值为________．23．设点P (x ，y )是圆C ：x 2+(y -2)2=1上的动点，定点A (1，0)，B (－1，0)，则PA PB ⋅的最大值为_____24．已知(),0C m ，若以C 为圆心的圆C 与直线310x y +-=相切于点()1,T n ，则圆C 的标准方程是______．25．点P 在曲线21y x =+上，当点P 到直线25y x =-的距离最小时，P 的坐标是______. 26．已知直线:(1)(1)(3)0l m x m y m ++-+-=，则原点到直线l 的距离的最大值等于___________. 27．已知复数z 满足1i z z -=-（其中i 为虚数单位），则2i z +-的最小值为________． 28．设直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -+++=∈与圆222(1)(0)x y r r -+=>交于A ，B 两点，C 为圆心，当实数m 变化时，ABC 面积的最大值为4，则2mr =______.29．圆2221: 290C x y ax a +++-=和圆2222: 4140C x y by b +--+=只有一条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2241a b +的最小值为___________. 30．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.四、解答题31．已知点(P 在以坐标原点为圆心的圆O 上，直线1l 0y +-=与圆O 相交于A ，B 两点，且A 在第一象限（1）求圆O 在点P 处的切线方程；（2）设()()000,1Q x y x ≠±是圆O 上的一个动点，点Q 关于原点O 的对称点为1Q ，点Q 关于x 轴的对称点为2Q ，如果直线1AQ ，2AQ 与y 轴分别交于()0,m 和()0,n 两点，问mn 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.32．已知点()1,3M ，圆C ：()()22214x y -++=.（1）若直线l 过点M ，且被圆C 截得的弦长为l 的方程；（2）设O 为坐标原点，点N 在圆C 上运动，线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 33．已知圆C ：22230x y x ++-=.（1）求斜率为1且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）已知点()4,0A ，()0,4B ，P 是圆C 上的动点，求ABP △面积的最大值.34．以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC 的正等角中心．当ABC 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质： （1）120APBAPC BPC ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．35．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长AB 为2，宽AD 为1，AB ，AD 边分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，以A 为坐标原点，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上(包括端点).（1）若折痕所在直线的斜率为k ，求折痕所在直线方程；（2）当20k -+≤≤时，求折痕长的最大值；（3）当21k -≤≤-时，折痕为线段PQ ，设()221t k PQ =-，试求t 的最大值36．已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. （1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程. 37．如图，已知圆()22:19M x y -+=，点()2,1A -．（1）求经过点A 且与圆M 相切的直线l 的方程；（2）过点()3,2P -的直线与圆M 相交于D 、E 两点，F 为线段DE 的中点，求线段AF 长度的取值范围．38．已知直线l ：450x ay +-=与直线l ′：20x y -=相互垂直，圆C 的圆心与点(2，1)关于直线l 对称，且圆C 过点M (-1，-1)． （1）求直线l 与圆C 的方程．（2）过点M 作两条直线分别与圆C 交于P ，Q 两点，若直线MP ，MQ 的斜率满足k MP ＋k MQ =0，求证：直线PQ 的斜率为1．39．已知直线l ：10x y -+=，点()12，A --． （1）求过点A 且与l 垂直的直线方程； （2）求点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；40．已知直线180l mx y n ++=：，直线2210l x my +-=：，12//l l ()(00)A m n m n >>，，的直线l 被1l 、2l（1）A 点坐标； （2）直线l 的方程．41．已知点(1,0),(4,0)A B ，曲线C 上任意一点P 满足2PB PA =． （1）求曲线C 的方程；（2）设点(3,0)D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分∠EDF ，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由．42．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()30A -,. （1）设动点(),M x y ，满足2=MA MO ，求动点M 的轨迹C 的方程； （2）已知Q 点的坐标为()3,3-，求过点Q 且与C 相切的直线方程.43．已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交； （3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．44．如图直线l 过点(3，4)，与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，AOB 的面积为24.点P 为线段AB 上一动点，且//PQ OB 交OA 于点Q .（1）求直线AB 斜率的大小； （2）若APQ 的面积APQS与四边形OQPB 的面积OQPB S 满足：13APQ OQPB S S =△时，请你确定P 点在AB 上的位置，并求出线段PQ 的长；（3）在y 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.45．已知ABC 的三个顶点()30A -，，2(3)B -，，(01)C ，. （1）求ABC 外接圆的方程； （2）求ABC 内切圆的方程.46．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==.从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y .（1）求切点1P 坐标和切点n P 的坐标；（2）已知()f x x x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭n n x y <.47．如果()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，（1）求AB 所在圆与CB 所在圆的公共弦方程； （2）求CB 与BA 的公切线方程.48．如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45︒的方向做匀速直线航行，速度为/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东1tan 2θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方向作匀速直线航行，速度为/小时.（1）求出发后3小时两船相距多少海里？ （2）求两船出发后多长时间距离最近？49．已知圆()22:11M x y -+=，15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,B t ，()()0,404C t t -<<，直线,PB PC 都是圆M 的切线，且点P 在y 轴右侧.（1）过点A 的直线l 被圆M l 的方程； （2）当1t =时，求点P 的横坐标； （3）求PBC 面积的最小值.五、双空题50．已知直线1:30l x y -+=，2:20l x y +=相交于点A ，则点A 的坐标为_________，圆22:+C x y 2410x y -++=，过点A 作圆C 的切线，则切线方程为__________.【答案与解析】1．B 【解析】先分析出P 在B 1C 1上时,△PEQ 的周长更短.过E 点作关于B 1C 1的对称点N ,关于B 1C 的对称点M ,则,EQ MQ EP NP ==，过P 作在平面BCC 1B 1的投影P ',连接,P Q P E '',则,PQ P Q PE P E ''>>,所以只有P 在B 1C 1上时,△PEQ 的周长更短.过E 点作关于B 1C 1的对称点N ,关于B 1C 的对称点M ,则,EQ MQ EP NP ==，把△PEQ 的周长转化为PQ PN QM ++，当,,,N P Q M 共线时，周长最短，即可求解.所以△PEQ 的周长可以转化为PQ PN QM ++. 当,,,N P Q M 共线时，周长最短.则=PQ PN QM MN ++.因为E 为中点,所以111,1C N C E CM CE ====，所以△PEQ 的周长为MN即EPQ △. 故选:B距离的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 2．B 【解析】首先根据题意求直线l ，再判断充分，必要条件. 当直线斜率存在时，直线l 的方程是1y kx =+，圆心()2,0到直线10kx y -+=的距离2d =，解得：34k =，当直线斜率不存在时，直线l 的方程是0x =与圆()2224x y -+=相切，综上可知，“直线l 与圆()2224x y -+=相切”是“直线l 的斜率为34”的必要不充分条件.故选：B 3．A 【解析】求出点A 关于x 轴对称点A '，再求点A '与圆C 上的点距离最小值即可. 依题意，圆C 的圆心(3,3)C ，半径1r =，点A (-2，2)关于x 轴对称点(2,2)A '--，连A C '交x 轴于点O ，交圆C 于点B ，如图，圆外一点与圆上的点距离最小值是圆外这点到圆心距离减去圆的半径，于是得点A '与圆C 上的点距离最小值为1A B A C r ''=-=1=， 在x 轴上任取点P ，连,,AP A P PC '，PC 交圆C 于点B '，而,AO A O AP A P ''==，AO OB A O OB A B A C r A P PC r AP PB '''''+=+==-≤+-=+，当且仅当点P 与O 重合时取“=”，所以最短路径的长度是1. 故选：A 4．D 【解析】本题首先可求出两圆的圆心，然后根据题意得出直线l 过两圆心连接而成的线段的中点且互相垂直，最后根据直线的点斜式方程即可得出结果. 224x y +=，圆心为()0,0，半径为2，224440x y x y ++-+=，即()()22224x y ++-=，圆心为()2,2-，半径为2，因为圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称， 所以直线l 过两圆心连接而成的线段的中点且互相垂直， 则直线l 过点()1,1-，斜率112020k，故直线方程为11y x -=+，即2y x =+， 故选：D. 5．A 【解析】根据题意S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，当α取遍任何实数时，点集S 对应的图形如图，为矩形与两个半圆的组合图形，从而可得答案. 根据题意，点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，设M ()22cos ,sin αα又由22220cos 10sin 1sin cos 1a a αα⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+=⎩，则圆心M 在线段()101x y x +=≤≤上，则点集S 对应的图形如图，为矩形ABCD 与两个半圆的组合图形， 其中AB＝2，BC ，则当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积S＝2ππ=；故选：A ．6．C【解析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将SP 转换为'SP ，连接'MP ，找到S 点的位置，从而求出线段和的最小值将圆方程化为标准方程为：()()22151x y -+-=，如下图所示：作点(7,3)P 关于x 轴的对称点'(7,3)P -，连接'MP 与圆相交于点Q ，与x 轴相交于点S ，此时，||||SP SQ +的值最小，且'''||||||||SP SQ SP SQ P Q P M r +=+==-，由圆的标准方程得：M 点坐标为()1,5，半径1r =，所以'10P M ==，'9P M r -=，所以||||SP SQ +最小值为9 故选：C 7．A 【解析】直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．解：圆22250x y y +--= 即22(1)6x y +-=，表示以(0,1)C 的圆． 由于直线()10,0ax by c b c ++-=>经过圆22250x y y +--=的圆心，故有1b c +=．∴()()5414152494c b c b b c b cb c +=+=++++= 当且仅当223b c ==时，取等号， 故41b c+的最小值为9， 故选：A ． 8．B 【解析】先求出直线与圆有公共点的k 值区间，再利用几何概型即可求出概率.显然，圆(224x y -+=的圆心坐标为0)，半径为2，直线y kx =与圆(224x y -+=2≤，解得11k -≤≤，在[2-，2]上随机取一个数k 的试验的全部结果构成的区间长度为4，“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”的事件A 的区间长度为2，于是得21()42P A ==，事件“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”发生的概率为12.故选：B 9．C 【解析】设圆的切线为PM 、PN ，由cos 0APB ∠≤得90APB ∠≥，即90MPN ∠≥， 再求得PC 的取值范围，求得点P 的坐标，即可求得EF 的最大值． 由题意，圆心到直线:2l y x =+的距离为3d =<（半径）故直线l 和圆相交；当点P 在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角， 当且仅当两条线均为切线时，APB ∠才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，则由cos 0APB ∠≤， 得90APB ∠≥， 90MPN ∴∠≥；当90MPN ∠=时，32sin sin 452MPC PC ∠===，PC ∴=设()00,2P x x +，PC ==解得：0x =设())2,2E F，如图，EF 之间的任何一个点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得90APB ∠≥，线段EF 长度的最大值为EF ==故选：C 10．BCD 【解析】要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可 设()111,P x y , ()222,P x y ,选项A, 若121d d ==, 则1122ax by c ax by c ++=++=则点12,P P 在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线12PP 与直线l 平行, 所以正确;选项B, 点12,P P 在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等, 直线12PP 不一定与l 垂直, 所以错误; 选项C, 若120d d ==, 满足120d d +=, 即11220ax by c ax by c ++=++=, 则点12,P P 都在直线l 上, 所以此时直线12PP 与直线l 重合, 所以错误; 选项D, 若120d d ⋅≤, 即()()11220ax by c ax by c ++++≤, 所以点12,P P 分别位于直线l 的两侧或在直线l 上, 所以直线12PP 与直线l 相交或重合, 所以错误. 故选：BCD 11．AC 【解析】根据ABC 的形状先判断出CAB ∠的大小，然后结合圆心到直线的距离d 以及sin CAB ∠的取值范围求解出a 的取值范围.由题意，圆C 的圆心为()1,a ，半径为2r，由于△ABC 为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则045CAB ︒<∠<︒， 设圆心C 到直线l 的距离为d，则d =则0sin 2d CAB r <∠==<， 且直线不经过圆心，即20a a +-≠，整理可得24101a a a ⎧-+<⎨≠⎩，解得22a <<+，且1a ≠.所以()(21,2a ∈⋃. 故选：AC. 12．ABD 【解析】对A ，根据斜率相乘为1-可判断；对B ，可直接求出定点可判断；对C ，取特殊的点代入即可判断；对D ，联立直线求出交点即可表示出MO 即可求出最值.对于A ，1(1)0a a ⨯+-⨯=恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1，0)，故B 正确． 对于C ，在l 1上任取点(,1)x ax +，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(1,)ax x ---，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不等于0，故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO MO，故D 正确. 故选：ABD. 13．ABD 【解析】对于A ，设点(),P x y ，由||1||2PA PB =结合两点间的距离公式化简即可判断，对于B ，由A 可知曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，从而可求出圆上的点到点()1,1的距离的范围，进而进行判断，对于C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，由距离公式可得方程，再结点()00,M x y 在曲线C 上，得到一个方程，两方程联立求解判断，对于D ，由于曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，所以只要求出圆心到直线的距离减去圆的半径可得答案由题意可设点(),P x y ，由()2,0A -，()4,0B ，||1||2PA PB =，12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，所以选项A 正确；对于选项B ，曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，点()1,1与圆心的距离为44，而34]∈，所以选项B 正确；对于选项C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，又()2200416x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解，所以选项C 错误； 对于选项D ，C 的圆心()4,0-到直线34130x y --=的距离为|3(4)13|55d ⨯--==，且曲线C 的半径为4，则C 上的点到直线34130x y --=的最小距离541d r -=-=故选项D 正确； 故选：ABD ． 14．BCD 【解析】首先求出线段AB 的中点，即可求出线段AB 的垂直平分线，再由圆心在直线上，即可求出P 到直线AB 的距离的最值，当ABP △的外接圆与圆C 相内切时，APB ∠最小，当ABP △的外接圆与圆C 相外切时，APB ∠最大，数形结合即可求出cos APB ∠的最大值； 解：(4,0)A ，(0,2)B ，所以线段AB 的中点为()2,1M ，201042AB k -==--，所以线段AB 的垂直平分线为()122y x -=-，即23y x =-，因为圆C ：()()22455x y -+-=，圆心()4,5C ，半径r = 又点()4,5C 恰在直线23y x =-上，所以点P 到直线AB 的距离最小值为2CM r -=，最大值为6CM r +=，由正弦定理可知，当ABP △的外接圆与圆C 相内切时，APB ∠最小，此时cos APB ∠最大，此时P 恰在23y x =-与()()22455x y -+-=的一个交点上，由()()2245523x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩解得57x y =⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=⎩，所以()5,7P ，所以AP =PMcos PM APM AP ∠==24cos cos 22cos 15APB APM APM ∠=∠=∠-=，当ABP △的外接圆与圆C 相外切时，APB ∠最大，此时2APB π∠=，故C 、D 正确；故选：BCD15．AC 【解析】选项A 先求出直线20x y -+=与两坐标轴的交点坐标，再求面积；选项B 利用直线方程的条件限制判定；选项C 利用求一点关于直线对称的点的步骤求解；选项D 分截距为零和截距不为零讨论，对于截距不为零的利用截距式方程求解.选项A ：因为直线20x y -+=与两坐标轴的交点为()2,0A -，()0,2B ，所以直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是12222⨯-⨯=，故选项A 正确；选项B ：直线方程写成11y y x x y y x x --=--的条件为1212,y y x x ≠≠，故选项B 错误；选项C ：设点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(),m n ，由1110,221111m n n m ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得0,2m n =⎧⎨=⎩，故选项C 正确；选项D ：当截距为零时，有一条43y x =；当截距不为零时，设直线方程为1x ya b+=， 因为过定点(3,4)P ，所以341a b +=，即1243b a =+-，又a ，b 均为正整数，所以3a -必为12的正因数1，2，3，4，6，12，共6种情况， 故综合起来应该有7条，故选项D 错误． 故选：AC.16．(3230x y -- 【解析】先求出射线OA ，OB 的方程，(),A m m，(),B n ，可得点C 的坐标，利用点C 在直线12y x =以及Ap BP k k =列方程组可得m 的值，再求出Ap k ，由点斜式可得直线方程. 由题意可得tan 451OA k ==，()3tan 18030tan1503OB k =-==-，所以直线OA 的方程：y x =，直线OB 的方程：y =， 设(),A m m ，(),B n ，所以AB 的中点2m n C ⎫+⎪⎪⎝⎭， 由点C 在直线12y x =上，且,,A P B 三点共线得：12201m n m m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得：m ，所以A又()1,0P，所以AB AP k k =，所以直线AB 的方程是：)1y x =-，即(3230xy --=， 故答案为：(3230x y --=. 17．(1，－1) 【解析】恒过的定点坐标.由题意可设Q 的坐标为(m ，n )，则m －n －4＝0，即m ＝n ＋4，过点Q 作圆O ：224x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为mx ＋ny －4＝0，又由m ＝n ＋4，则直线AB 的方程变形可得nx ＋ny ＋4x －4＝0，则有0440x y x +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，则直线AB 恒过定点(1，－1).故答案为：(1，－1).18．1b ≤<【解析】由直线、曲线方程画出对应的图形，应用数形结合法，确定对应图形有两个交点时参数b 的取值范围.y x b =+表示斜率为1的平行直线系；y x 轴及其上方的半圆，如图所示．当l 通过()1,0A -，()0,1B 时，l 与C 有两交点，此时1b =，记为1l ；当l 与半圆相切时，此时b =2l ； 当l 夹在1l 与2l 之间时，l 和C 有两个不同的公共点．综上，1b ≤<故答案为：1b ≤<19．1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】求出点A 关于直线0x y +=的对称点E ，则直线BE 与0x y +=的交点即为所求. 点()3,1A -关于直线0x y +=的对称点为()1,3E -，又()5,2B -， 则直线BE 的方程为135123x y -+=--+，即4130x y --=，联立41300x y x y --=⎧⎨+=⎩，解得135x =，135y =-，所以使PA PB +取最小值的点P 的坐标是1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．-7 【解析】根据题意可知半径r m =-，进而算出圆心到直线的距离，再根据弦长为4，通过勾股定理列出等式即可解出.因为圆心为()()1,0m m <的圆与x 轴相切，所以半径r m =-，圆心到直线20x y -=的距离d =又因为AB 4=，由()2222212||425m AB r d m -⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭，因为0m <，所以7m =-. 故答案为：-7.21．7y x =-+或34y x = 【解析】直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况，斜率为1-，或直线过原点，结合直线过点()4,3P 即可求解，有两种情况因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为1-，或直线过原点，当直线斜率为1-时，因为直线过点()4,3P ，根据点斜式，直线方程为：()34y x -=--，化简得：7y x =-+； 当直线过原点时，34k =，所以直线方程为34y x =故答案为：7y x =-+或3y x =22．15 【解析】设3410t x y =++，即34100x y t ++-=，由直线与圆相切可得t 的范围，即可求解. 设3410t x y =++，则34100x y t ++-=，直线与圆相切时圆心()0,0到直线34100x y t ++-=的距离1d =，1=，解得：5t =或15t =，所以515t ≤≤，所以5341015x y ≤++≤， 所以3410x y ++的最大值为15， 故答案为：15. 23．8 【解析】用点P 的坐标表示出PA ，PB ，再求出PA PB ⋅并借助点P 在圆C 上的条件即可作答. 因点(,)P x y 在圆C 上，即22(2)1x y +-=，则22(1)2x y =--，且13y ≤≤， 而(1,),(1,)P PA x y x y B =--=---，于是得22221(2)44PA x y y y y PB ⋅=-+=--+=-，显然44y -在[1,3]y ∈上单调递增，则当3y =时，max (44)8y -=，即max ()8P PA B ⋅=， 所以PA PB ⋅的最大值为8. 故答案为：824．()22740x y -+=． 【解析】根据题意直接可求出n ，再根据切线的性质可得直线CT 与直线310x y +-=垂直，从而求出m ，进而求得半径，即可得出答案.解：根据题意，圆C 与直线310x y +-=相切于点()1,T n ， 则()1,T n 在直线310x y +-=上，则有310n +-=，解可得2n =-， 又由圆心C 的坐标为(),0m ，直线310x y +-=的斜率为3-， 则有0113n m -=-，解可得7m =，圆的半径r TC == 故圆C 的标准方程是()22740x y -+=； 故答案为：()22740x y -+=． 25．(1,2) 【解析】任取曲线上一点()00,x y ，利用点到直线的距离公式可得d =求出d 取最小值时，01x =，即可得到答案；解：任取曲线上一点()00,x y ，则0021y x =+直线:25,l y x =-即250x y --= 点()00,x y 到直线l的距离为d===()20150y x =-+>在01x =时，min d ==02y =，故答案为：(1,2) 26【解析】根据题意,设原点到直线的距离为d ,将直线变形分析可得直线经过定点(1,2),设M (1,2),分析可得d OM ≤，即可得答案.根据题意，设原点到直线的距离为d .直线()()():1130l m x m y m ++-+-=,即()130m x y x y -+++-=则有1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,即直线l 恒过定点(1,2).设M (1,2),则d OM ≤即原点到直线l故答案为:.27【解析】由复数的几何意义可得满足题意的复数z 对应的点P 到复数1和i 对应点(1,0)A ，(0,1)B 距离相等，即轨迹为线段AB 的垂直平分线,则2i z +-的最小值即可转化为点(2,1)-到垂直平分线的距离求解．如图所示,设复数z ，1，i 对应的点分别为(),P x y ，(1,0)A ，(0,1)B , 由题意1i z z -=-得PA PB =即点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线l ,由平面几何知识可求得垂直平分线l 的方程为:0x y -=, 由|i 2i ||(2)(1)i |2i z x y x y =++-=+-++-,所以2i z +-的最小值即为点(2,1)C -到直线l 的距离,则由d CP ==,即2i z +-的故答案为:本题考查了复数的几何意义,复数模的几何意义及其运算,重点考查了运算能力,属于中档题． 28．4-或28-． 【解析】求出圆心C 到直线l 的距离，利用勾股定理求出弦长，计算ABC 的面积，从而求出直线的斜率与方程．解：直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -+++=∈， 直线l 的方程可化为：()(23)0x y m x y -++++=， 可得230y xx y =⎧⎨++=⎩，直线恒过：(1,1)--．圆222(1)(0)x y r r -+=>的圆心(1,0)，半径为：r ． 圆心C 到直线l 的距离为：d ；所以三角形ABC 的面积为211||22ABCS AB d r =⋅⋅≤，2142r =，解得r =2d =．2，解得12m =-或72m =-所以，24mr =-或28-． 故答案为：4-或28-． 29．4 【解析】首先将两圆方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意可得两圆相内切，即可得到31-，从而得到2244a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；解：因为圆2221:290C x y ax a +++-=和圆2222:4140C x y by b +--+=，所以圆()221:9C x a y ++=和圆()222:21C x y b +-=，圆心分别为()1,0C a -，()20,2C b ，半径分别为3和1，依题意可知两圆31=-，所以2244a b +=，因为a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，所以()22222222224416411111884444a b a b a a b b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝+⎝⎭，当且仅当222216b a a b =时，等号成立，所以2241a b +的最小值为4； 故答案为：430．【解析】建立直角坐标系，根据条件将B 点轨迹转化为阿氏圆的问题来解决如上图所示，以AC 的中点为原点，AC 边所在直线为x 轴建立直角坐标系，因为6AC =，所以()30A -,，()3,0C ，设点(),B x y ，因为sin 2sin C A =，由正弦定理可得：2c a =，即2AB BC =， 所以：()()22223434x y x y ++=-+，化简得：()22516x y -+=，且1x ≠，9x ≠， 圆的位置如上图所示，圆心为()5,0，半径4r =，观察可得，三角形底边长AC 不变的情况下，当B 点位于圆心D 的正上方时，高最大， 此时ABC 的面积最大，B 点坐标为()5,4，所以BC ==故答案为：31．（1）40x -=；（2）是定值，理由见解析. 【解析】（1）算出OP k ，然后可算出答案；（2）可得()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，然后表示出直线1AQ ，2AQ 的方程，然后可得0m =n =，然后可算出mn 的值.（1）因为OP k ==O 在点P处的切线斜率为所以圆O在点P处的切线方程为)1y x =-，即40x -= （2）是定值，理由如下解方程组224y x y +-=+=⎪⎩，可得A ， 因为()000,(1)Q x y x ≠±，所以()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，由10:1)AQ y x -，令0x=，得0m =由20:1)AQ y x -，令0x =，得0n =∴2020004(1)41x mn x --===-． 32．（1）158390x y +-=或1x =；（2）()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【解析】（1）由条件求出圆心到直线l 的距离，然后分直线l 的斜率不存在、直线l 的斜率存在两种情况求解即可；（2）设()00,N x y ，(),P x y ，然后由()()2200214x y -++=，中点坐标公式可得答案.（1）因为直线l 被圆C截得的弦长为所以圆心到直线l1=当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，满足 当直线l 的斜率存在时，则其方程为()13y k x =-+所以1518d k ==⇒=-，此时直线方程为158390x y +-= 综上：直线方程为158390x y +-=或1x = （2）设()00,N x y ，(),P x y 则()()2200214x y -++= 因为P 是MN 中点，则满足000012122332x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩代入方程得：()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭33．（1）1y x =±；（2）10+【解析】（1）设直线方程为：y x b =+，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解. （2）易得点P 到直线AB 的距离的最大值为圆心到直线的距离d 与圆的半径之和，即max h d r =+，然后()()max12ABP SAB d r =⨯⨯+求解. （1）设直线方程为：y x b =+， 圆C ：()2214x y ++=， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即21d b ==⇒=±，所以直线l 方程为：1y x =±.（2）AB == 直线AB 的方程为：4y x =-+，圆心到到直线AB 的距离为：d ==所以点P 到直线AB 的距离的最大值为max 2h d r =+，所以()max 12102ABP S⎫=⨯=+⎪⎪⎝⎭.34．2【解析】由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果． 根据题意，在平面直角坐标系中，令点(0,1)A ，(0,1)B -，(2,0)C ，(,)x y 到点A 、B 、C 的距离之和，因为ABC 是等腰三角形，AC BC =，所以C '点在x 轴负半轴上，所以CC '与x 轴重合， 令ABC 的费马点为(,)P a b ，则P 在CC '上，则0b =，因为ABC 是锐角三角形，由性质（1）得120APC ∠=︒，所以60APO ∠=︒，所以1a =a =P ⎫∴⎪⎪⎝⎭到A 、B 、C 的距离分别为PA PB =2PC =，,即为费马点P 到点A 、B 、C 的距离之和，则2PA PB PC ++=35．（1）2122k y kx =++；（2）2；（3）-【解析】（1）根据对折的对称性可得，若折叠后A 点落在G 点，则斜率相乘为1-，从而得到G 点的坐标关于k 的表达式，写出折痕所在的直线方程（2）当20k -+≤≤，分析可得折痕交在BC 和y 轴上，求出交点坐标，求出折痕长度关于k 的表达式，结合k 的范围求出最大值（3）当21k -≤≤-时，折痕交在DC 和x 轴上，求出PQ 的表达式，代入求出t 关于k 的表达式，结合k 的范围求出t 的最大值（1）①当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12y =； ②当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ， 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有111OG k k k a k a⋅=-⇒⋅=-⇒=-， 故G 点坐标为(),1G k -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标，即线段OG 的中点为122k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，折痕所在的直线方程122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即2122k y kx =++，由①②得折痕所在的直线方程为：2122k y kx =++；（2）当0k =时，折痕的长为2，当折痕刚好经过B 点时，将()2,0代入直线方程得：2410k k ，2k =-+2k =-时，A 点不在线段DC 上，舍）当20k -<时，折痕两个端点一定在BC 和y 轴上，直线交BC 于点212,222k P k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，交y轴于210,2k Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(22222211||224444732222k k PQ k k ⎡⎤⎛⎫+=+-++=+≤+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴2= ，而22>，故折痕长度的最大值为2；()3当21k -≤≤-时，折痕的两个端点一定在DC 和x 轴上，直线交DC 于1,122kP k ⎛⎫-⎪⎝⎭，交x 轴于21,02k Q k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，2222111||11222k k PQ k k k ⎡⎤+⎛⎫=---+=+⎢ ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，22(2||1)t k PQ k k∴=-=+， 21k -≤≤-，2k k∴+≤-当且仅当()21k =--，时取“=”号)，∴当k =t 取最大值，t 的最大值是-本题综合考查了直线方程、函数的最值、均值不等式，考查了数形结合和分类讨论的数学思想，属难题．36．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+. 【解析】（1）设圆C 的圆心和半径，根据已知条件用待定系数法列方程求解（2）设设直线方程1y kx =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则121212OM ON x x y y ⋅=+=，所以需要含参直线与圆联立方程，根据韦达定理进行计算，一个方程求解一个未知数 解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-= （2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并。

一、选择题1．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C ．3D 2．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A．B ．C ．D ．3．过点()1,0P 作圆22(2)(2)1x y -+-=的切线，则切线方程为（ ） A ．1x =或3430x y +-= B ．1x =或3430x y --= C ．1y =或4340x y -+=D ．1y =或3430x y --=4．已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．95．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ）A ．1B ．2CD ．6．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ）A ．4B ．2C ．D7．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．48．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=9．已知圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,32⎡-⎣ B ．(2,32⎡-⎣C ．2,32⎡⎡-⎣⎣D ．((2,32-10．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ）A．5B．5CD11．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,12412．若圆()2220x y r r +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ）A ．)1,+∞B．)1-C ．()1-D ．()1二、填空题13．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________．（1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上； （2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行； （3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 14．已知点M 是直线l ：22y x =--上的动点，过点M 作圆C ：()()22114x y -+-=的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，则当四边形MACB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.15．已知点(3,1)A -，点M ､N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则AM MN +的最小值等于_________.16．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为_________．17．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个18．已知k ∈R ，过定点A 的动直线10kx y +-=和过定点B 的动直线30x ky k --+=交于点P ，则22PA PB +的值为__________.19．直线:20180l x y +-=的倾斜角为__________； 20．已知定点A 到动直线l ：()221420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，则定点A 的坐标为________．三、解答题21．在ABC 中，(2,5)A ，()1,3B （1）求AB 边的垂直平分线所在的直线方程；（2）若BAC ∠的角平分线所在的直线方程为30x y -+=，求AC 所在直线的方程. 22．以点1(),C m m为圆心的圆与x 轴相交于点O ，A ，与y 轴相交于点,O B （O 为坐标原点）.（1）求证OAB 的面积为定值，并求出这个定值；（2）设直线23y x =-+与圆C 相交于点,P Q ，且||||OP OQ =，求圆C 的方程. 23．已知三条直线123121323:20,:20,:210,,,l x y l x l x y l l A l l B l l C -=+=+-=⋂=⋂=⋂=．（1）求ABC 外接圆的方程；（2）若圆22:20D x y ax +-=与ABC 的外接圆相交，求a 的取值范围．24．圆心为C 的圆经过点(4,1)A -和(3,2)B -，且圆心C 在直线:20l x y --=上. （1）求圆心为C 的圆的方程；（2）过点(5,8)P 作圆C 的切线，求切线的方程.25．当实数m 的值为多少时，关于,x y 的方程()()222221220m m x m m y m +-+-+++=表示的图形是一个圆?26．已知圆C 方程222410x y x y +-++= （1）求圆C 的圆心，半径；（2）直线l 经过(2,0)，并且被圆C 截得的弦长为l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan 2α=，y x 的最大值为5，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.2．C解析：C 【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r+≥-即可求解. 【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --， 由图得AC BC AP r +≥-52242=-=.故选：C. 【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.3．B解析：B 【分析】按照过点P 的直线斜率是否存在讨论，结合直线与圆相切的性质及点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆22(2)(2)1x y -+-=的圆心为()2,2，半径为1，点P 在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，点()2,2到该直线的距离等于1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-即kx y k 0--=，1=，解得34k =，所以该切线方程为3430x y --=； 所以切线方程为1x =或3430x y --=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程的方法几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程;代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.4．D解析：D 【分析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b +与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ，所以12121C C r r ==-=，可得2241a b +=，()2222222222111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=∴++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切； （3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.5．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.6．A解析：A 【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可． 【详解】因为226240x y x y +-++= 所以22(3)(1)6x y -++=，圆心到直线的距离为d ==直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长4l =；故选：A ． 【点睛】计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.7．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上 代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c +=本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.8．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．9．D【分析】先判断圆心到直线的距离()1,3d ∈，再利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆C ：224x y +=的圆心是()0,0C ，半径2r，而圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，所以圆心()0,0C 到直线l ：0x y m -+=的距离()1,3d ∈，即()1,3d ==，解得m -<<m <<.故选：D. 【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离问题和点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为15d ==圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为25d ==圆心到直线230x y -+=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y -+=. 故选：C.关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.11．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围． 【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行， 且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线， 圆222x y r +=的圆心为原点， 原点到直线20x y --=的距离为22d ==，∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为21d '=+，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>， 即21r >+，实数r 的取值范围是()21,++∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．14．【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 面积要使四边形MACB 面积最小则需最小此时CM 与直线垂直求得以CM 为直径的圆的方程再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程【详解】由圆的标准方程可知圆 解析：210x y ++=【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，求得以CM 为直径的圆的方程，再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心C (1，1) ，半径r =2.因为四边形MACB的面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△ 要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直. 直线CM 的方程为11(x 1)2y -=- ，即11.22y x =+联立112222y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得(1,0)M -则以CM 为直径的圆的方程为2215()24x y +-=， 联立222215(),24(1)(1)4x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪-+-=⎩消去二次项可得直线AB 的方程为210x y ++=， 故答案为：210x y ++= 【点睛】关键点点睛：根据四边形的面积表达式可以看出要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，此时所做圆的直径为CM ，写出圆的方程，两圆方程相减即可求出过AB 的直线方程.15．【分析】利用对称性作点关于轴的对称点利用数形结合求的最小值【详解】作点关于轴的对称点则最小值即为到直线的距离所以的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性作点关于轴的对称点则再利解析：5【分析】利用对称性，作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，||||||||AM MN A M MN '+=+，利用数形结合求AM MN +的最小值.【详解】作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，则||||||||AM MN A M MN '+=+，最小值即为(3,1)A '--到直线250x y +-=的距离，12555d ==，所以||||AM MN +的最小值为55. 125【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，则AM A N '=，再利用点到直线的距离比其他折线都短，计算||||AM MN +的最小值. 16．x ＋4y －4＝0【分析】设l1与l 的交点为A(a8－2a)求得关于的对称点坐标利用对称点在直线上求得即得点坐标从而得直线方程【详解】设l1与l 的交点为A(a8－2a)则由题意知点A 关于点P 的对称点B解析：x ＋4y －4＝0【分析】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，求得A 关于P 的对称点坐标，利用对称点在直线2l 上求得a ，即得A 点坐标，从而得直线l 方程．【详解】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4， 即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 故答案为：x ＋4y －4＝0. 【点睛】本题考查求直线方程，解题方法是根据点关于点的对称点求解，直线l 与已知两直线各有一个交点，P 是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另一点坐标，代入第二条直线方程可求得交点坐标，从而得直线方程．17．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点解析：7 【分析】根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个．【详解】解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，222:(2)1O x y -+=是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即229x y +=；与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b 4b =⇒=±∴22(9x y +±=，同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；分别为223()(92x y ++±=和223()(92x y -+=，共7个， 故答案为：7． 【点睛】由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.18．13【分析】由两直线方程可得定点再联立两直线方程解出的坐标然后由两点间距离公式可得进而可以求解【详解】动直线过定点动直线过定点联立方程解得则由两点间距离公式可得：故答案为：13【点睛】本题考查了直线解析：13 【分析】由两直线方程可得定点(0,1)A ，(3,1)B --，再联立两直线方程解出P 的坐标，然后由两点间距离公式可得2PA ，2PB ，进而可以求解． 【详解】动直线10kx y +-=过定点(0,1)A 动直线30x ky k --+=过定点(3,1)B --联立方程1030kx y x ky k +-=⎧⎨--+=⎩，解得223(1k P k -+，2231)1k k k -+++， 则由两点间距离公式可得：PA =PB =2432432222222222224129412991249124()()(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k PA PB k k k k -+-+++++∴+=+++++++422213(21)13(1)k k k ++==+，故答案为：13． 【点睛】本题考查了直线中定点问题以及两点间距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．19．【分析】把直线的一般方程化为斜截式方程得到斜率即可求出倾斜角【详解】由可得：所以斜率即所以倾斜角为故填【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角属于基础题解析：34π 【分析】 把直线的一般方程化为斜截式方程，得到斜率，即可求出倾斜角. 【详解】由20180x y +-=可得：2008y x =-+ ，所以斜率1k =-，即tan 1α=-，所以倾斜角为34π，故填34π. 【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角，属于基础题.20．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1【解析】 【分析】设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令0,1,1m =-分析可得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离d =无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ．当定点A 为()2,1 时，22111m d m +===+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3时，22131m d m -==+ ，显然d 的值随m 的变化而变化，不符题意，舍去．综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为2,1．故答案为：()2,1． 【点睛】本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）11924y x =-+；（2）280x y -+=. 【分析】（1）设AB 边的垂直平分线为l ，求出12l k =-，即得AB 边的垂直平分线所在的直线方程；（2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ，求出(0,4)M 即得解. 【详解】（1）设AB 边的垂直平分线为l ， 有题可知53221AB k -==-，12lk ， 又可知AB 中点为3,42⎛⎫⎪⎝⎭，∴l 的方程为13422y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即11924y x =-+， （2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ；则311133022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩，所以(0,4)M ，由题可知A ，M 两点都在直线AC 上，所以直线AC 的斜率为541202-=-，所以直线AC 的方程为14(0)2y x -=-， 所以AC 所在直线方程为280x y -+=.【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.22．（1）证明见解析；定值为2；（2）225((2x y -+=. 【分析】（1）由题可得出圆的方程，即可得出,A B 坐标，进而可求出面积； （2）由题可得OC PQ ⊥，利用斜率可求出m . 【详解】解：（1）由已知圆的半径r OC ==， 故圆C 的方程为222211()()x m y m m m-+-=+， 即22220x y mx y m +--=， ∴(2,0)A m ，2(0,)B m， ∴112||||2222OABSOA OB m m=⋅=⨯⋅=， ∴OAB 的面积为定值2.（2）∵||||OP OQ =，||||CP CQ =，∴OC PQ ⊥，而2PQ k =-，∴2112OC k m==，∴m =∴圆C 的方程为225((22x y +-=或225(()22x y +++=当圆C 为225((22x y ++=时，圆心到直线23y x =-+的距离|3|352d --==>， 此时直线与圆相离，故舍去.∴圆C 的方程为225((22x y +-=. 【点睛】关键点睛：本题考查圆中三角形面积的定值问题以及求圆的标准方程，解题的关键是将点A ，B 都用m 表示出来，根据||||OP OQ =得出OC PQ ⊥. 23．（1）22(2)(2)9x y ++-=；（2）11,,210⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【分析】（1）由三条直线得到三交点,,A B C 构成直角三角形，联立方程组，求得,A C 点的坐标，得到圆心坐标和半径，进而求得圆的方程；（2）由两圆相交，得到|3|||43||a a -<<+，即可求得a 的取值范围． 【详解】（1）由题意，三条直线123:20,:20,:210l x y l x l x y -=+=+-=， 可得2l 平行于y 轴，1l 与3l 互相垂直，三交点,,A B C 构成直角三角形， 经过,,A B C 三点的圆就是以AC 为直径的圆． 由方程组2020x y x -=⎧⎨+=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标是(2,1)--．由方程组20210x x y +=⎧⎨+-=⎩，解得25x y =-⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标是(2,5)-．可得线段AC 的中点坐标是(2,2)-，又由||6AC =，所以ABC 外接圆的方程为22(2)(2)9x y ++-=．（2）由圆222:()D x a y a -+=与22(2)(2)9x y ++-=相交，所以|3|||43||a a -<<+，化简得6||146||1a a a -+<<+， 当0a <时，12a <-；当0a >时，110a >． 综上可得，a 的取值范围是11,,210⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】圆与圆的位置关系问题的解题策略：判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.24．（1）22(2)25x y ++=；（2）5x =或34170x y -+=. 【分析】（1）联立点A 和B 的中垂线与直线l ，求出圆心坐标，算出圆心与A 距离，写出圆的标准方程即可；（2）讨论斜率存在与不存在，将直线与圆相切转化为d r =，解出k ，代回直线方程化简即可. 【详解】（1）根据题意可得2113(4)AB k -==---，,A B 中点坐标为73(,)22-，所以AB 的中垂线为7322y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即2y x =--， 联立方程202x y y x --=⎧⎨=--⎩可得圆心坐标(0,2)-，又222(0(3))(22)25r =--+--=， 所以圆C 的方程为22(2)25x y ++=.（2）①过点P 斜率不存在的直线为5x =，与圆C 相切； ②过点P 斜率存在的直线设斜率为k ， 则(5)8y k x =-+，即580kx y k --+= 圆心(0,2)-到切线的距离为5=，解得34k =综上，切线的方程为5x =或34170x y -+=. 【点睛】求圆的方程的两种方法：（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； （2）待定系数法：①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ③解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程.25．3m =-【分析】圆的方程中22,x y 系数需相等，可得22212m m m m +-=-+，解方程即可得答案； 【详解】要使方程()()222221220m m x m m y m +-+-+++=表示的图形是一个圆，需满足22212m m m m +-=-+，得2230m m +-=， 所以3m =-或1m =．①当1m =时，方程为2232x y +=-不合题意，舍去；②当3m =-时，方程为2214141x y +=，即22114x y +=为半径的圆．综上，3m =-满足题意． 【点睛】圆的一般方程形式为2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->，注意方程的特点是求解的关键.26．（1）圆心(1,2)-；半径2；（2）2x =或3460x y --=. 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，直接求圆心和半径；（2）利用弦长公式，得到圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在两种情况，求直线方程. 【详解】（1）()()22222410124x y x y x y +-++=⇔-++=圆心(1,2)- 半径2；（2）圆222410x y x y +-++=可化为22(1)(2)4x y -++=.所以圆心到直线的距离为1d ==当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =， 此时直线l被圆C 截得的弦长为当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=1= 解得34k =∴直线的方程为3460x y --=综上所述，直线l 的方程为2x =或3460x y --=.【点睛】易错点睛：本题第二问，根据弦长求直线方程时，不要忽略过定点直线，其中包含斜率存在和不存在两种情况，否则容易丢根.。

直线与圆的方程综合复习〔含答案〕一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是〔 C 〕 A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B 〔m,4〕的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为〔 C 〕 A 0 B 2 C -8 D 103.假设直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于〔 D 〕A -1或2 B23C 2D -1 4.假设点A 〔2，-3〕是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 〔a 1，b 1〕和〔a 2，b 2〕所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0 5.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m= 12〞是“直线〔m+2〕x+3my+1=0与直线〔m-2〕x+(m+2y)-3=0相互垂直〞的〔 B 〕A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B 〔-5,6〕，则直线L 的方程为〔B 〕 A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).假设直线2l 经过点〔0,5〕且1l 2l ，则直线2l 的方程为〔 B 〕A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为〔 A 〕A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是〔A 〕A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是〔 C 〕A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为〔D 〕， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于〔 B 〕A B 4 C 8 D 914.假设直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为〔 B 〕A 1B -1C 3D -315.假设直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba 11+的最小值是〔 C 〕 A.41B.2C.4D.2116.假设直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 〔 A 〕A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,0 17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点〔4,1〕，则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于〔 C 〕A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 〔 C 〕 A.2B.5C.3D.3519.假设直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211b a +≤1 D.2211b a +≥120.已知A 〔-3，8〕和B 〔2，2〕，在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为〔 B 〕A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x +2(2)y =4相交于M 、N 两点，假设︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是〔 A 〕A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞〕 C [-33,33] D [-23,0] 22.〔X 理科2〕已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为〔 C 〕A ．0B ．1C ．2D ．3 23.〔X 理科9〕假设曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以了解，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。

直线与圆的位置关系（北京习题集）（教师版）一．选择题（共8小题）1．（2020•东城区模拟）已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为( ) A ．22(1)(1)2x y -+-= B ．22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)4x y ++-=D ．22(1)(1)4x y +++=2．（2020•房山区一模）已知直线:(2)2l y m x =-+与圆22:9C x y +=交于A ，B 两点，则使弦长||AB 为整数的直线l 共有( )A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条3．（2019秋•西城区期末）已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=有公共点，则实数a 的取值范围为()A ．(-∞，0]B ．[0，)+∞C ．[0，2)D ．(,2)-∞4．（2019春•东城区期末）若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为( ) A ．5B ．3C ．1D ．1-5．（2018秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，点B 在圆224x y +=上，则||OA OB -的最大值为()A ．3B ．1C ．2+D ．46．（2019•延庆区一模）圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为( ) A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=7．（2018秋•海淀区期末）直线1y kx =+被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为( )A ．0B ．12±C ．1±D ．8．（2019春•大兴区期末）已知直线2y kx =+被圆224x y +=截得的弦长是(k = )A ．1B C ．2D ．3二．填空题（共5小题）9．（2019秋•顺义区期末）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积达到最大时，k = ．10．（2019秋•东城区期末）能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为 ．11．（2019秋•通州区期末）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径）．湖的一侧有一条直线型公路l ，规划在公路l 上选一个点P ，并修建一段直线型道路PB ．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC ，BD ，测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长． 某同学设计了下面的解题思路，请你将其补充完整．如图3，过O 作OH l ⊥，垂足为H ，以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系． 由已知10AB =，6AC =，12BD =， 计算得出9OH =，(4,3)A ，(4,3)B --．从而得到直线l 的方程为9y =，直线AB 的斜率为 ．由PB AB ⊥，得直线PB 的斜率为 ，进而得到直线PB 的方程为 ，得到点P 的坐标为 ，计算得出PB 的长为 百米．12．（2019•房山区二模）已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=与直线:(1)l y k x =+，则圆心C 的坐标为 ，若圆C 关于直线l 对称，则k = ．13．（2019•大兴区一模）若直线220x y +-=与圆22(1)()1x y a -+-=相切，则a = ． 三．解答题（共2小题）14．（2019•北京模拟）已知直线l 经过(1,0)P ，(2,1)Q -两点，圆C 的方程是22(1)(1)4x y -++=． （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求||AB 的值 下面是某同学的解答过程：解：（Ⅰ）因为直线l 经过两点(1,0)P ，(2,1)Q - 所以直线l 的斜率10121k --==--． 所以直线l 的方程是0(1)y x -=--，即10x y +-=． （Ⅱ）因为直线l 与圆C 交于A ，B 两点， 所以2210(1)(1)4x y x y +-=⎧⎨-++=⎩． 消去y ，整理得22410x x -+=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则122x x +=，1212x x =．所以||AB=2=．所以||AB 的值为2．指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程． 15．（2019春•西城区期末）已知圆心为(4,3)C 的圆经过原点O ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线34150x y -+=与圆C 交于A ，B 两点，求ABC ∆的面积．直线与圆的位置关系（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020•东城区模拟）已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为( ) A ．22(1)(1)2x y -+-= B ．22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)4x y ++-=D ．22(1)(1)4x y +++=【分析】根据圆心在直线y x =上，设出圆心坐标为(,)a a ，利用圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程． 【解答】解：圆心在y x =上，设圆心为(,)a a ， 圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，∴圆心到两直线y x =-及40x y +-=的距离相等，1a ⇒=，∴圆心坐标为(1,1)，R ==圆C 的标准方程为22(1)(1)2x y -+-=． 故选：A ．【点评】考查了圆的方程的求法，一般情况下：求圆C 的方程，就是求圆心、求半径．同时考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．2．（2020•房山区一模）已知直线:(2)2l y m x =-+与圆22:9C x y +=交于A ，B 两点，则使弦长||AB 为整数的直线l 共有( )A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条【分析】根据题意，直线过点(2,2)M ，圆C 的圆心(0,0)，半径3r =，则可得当CM 与AB 垂直时，即M 为AB 的中点时，弦长||AB 最短，求出直线CM 的斜率，由直线垂直与斜率的关系分析可得直线AB 的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线恒过点(2,2)M ，圆22:9C x y +=的圆心C 为(0,0)，半径3r =，则CM =当直线与AB 垂直时，M 为||AB 中点，此时||2AB =，符合题意，此时直线有一条， 当直线过圆心C 时，||26AB r ==，满足题意，此时直线有一条，则当||3AB =，4，5时，各对应两条直线， 综上，共8条直线． 故选：C ．【点评】本题考查了直线与圆的方程的应用问题，考查点到直线距离公式，弦长公式，是综合性题目．3．（2019秋•西城区期末）已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=有公共点，则实数a 的取值范围为()A ．(-∞，0]B ．[0，)+∞C ．[0，2)D ．(,2)-∞【分析】依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出． 【解答】解：依题意可知，直线与圆相交或相切． 圆22220x y x y a ++-+=即为22(1)(1)2x y a ++-=-． 2a -，解得0a ．∴实数a 的取值范围为(-∞，0]．故选：A ．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．4．（2019春•东城区期末）若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为( ) A ．5B ．3C ．1D ．1-【分析】把圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2)-代入直线30x y a -+=，解方程求得a 的值． 【解答】解：圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2)-， 代入直线30x y a -+=得：320a --+=， 5a ∴=，故选：A ．【点评】本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围．5．（2018秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，点B 在圆224x y +=上，则||OA OB -的最大值为()A ．3B ．1C ．2+D ．4【分析】根据向量减法的三角形法则转化为求||BA ，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．【解答】解：||||||||22OA OB BA OB OA -=+=+=+，故选：C ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．6．（2019•延庆区一模）圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为( ) A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=【分析】根据题意设圆方程为222(1)x y r +-=，由圆心到直线的距离得到半径r ，代入即可得到所求圆的方程 【解答】解：设圆方程为222(1)x y r +-=，直线2y =与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r ，1r ∴= 故圆的方程为：22(1)1x y +-=，故选：C【点评】本题考查了点到直线的距离公式和圆的方程等知识，属于基础题．7．（2018秋•海淀区期末）直线1y kx =+被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为( )A ．0B ．12±C ．1±D ． 【分析】分别根据垂径定理和点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离列等式解得0k =【解答】解：由垂径定理得圆心(0,0)到直线10kx y -+=的距离1d ===， 又由点到直线的距离公式得d =，故1=，解得0k =故选：A ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．8．（2019春•大兴区期末）已知直线2y kx =+被圆224x y +=截得的弦长是(k = )A ．1B C ．2D ．3【分析】由圆心到直线的距离求得弦心距，再由垂径定理列式求k 值． 【解答】解：圆224x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为2， 圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离d ==．由题意，=1k =-（舍)或1k =．故选：A ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题． 二．填空题（共5小题）9．（2019秋•顺义区期末）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积达到最大时，k =1± ．【分析】求出圆心(0,0)O 到直线AB 的距离d =，和||AB ，根据面积最大，求出k 的值．【解答】解：圆22:1O x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径1r =， 把直线l 的方程为1y kx =+化为一般式方程得：10kx y -+=，∴圆心(0,0)O 到直线AB 的距离d =，弦AB 的长度||AB =，22111||222AOB d d S AB d ∆-+∴===， 当且仅当212d =时取等号，ABC S ∆取得最大值，最大值为12，此时21k =，即1k =±， 故答案为：1±．【点评】考查直线和圆的位置关系，弦长公式，点到直线的距离，面积的最值，中档题．10．（2019秋•东城区期末）能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为 0 ．【分析】把圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r ，根据直线与圆有两个不同交点得到直线与圆相交，即圆心到直线的距离d 小于半径r ，求出m 的范围，即可作出判断． 【解答】解：圆方程整理得：22(2)(1)5x y ++-=，∴圆心(2,1)-，半径r =直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同交点，∴直线与圆相交，即d r <，∴<|3|m -<解得：33m <<，故能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值可以为0． 故答案为0．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆有两个不同的交点即为直线与圆相交．11．（2019秋•通州区期末）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径）．湖的一侧有一条直线型公路l ，规划在公路l 上选一个点P ，并修建一段直线型道路PB ．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC ，BD ，测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长． 某同学设计了下面的解题思路，请你将其补充完整．如图3，过O 作OH l ⊥，垂足为H ，以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系． 由已知10AB =，6AC =，12BD =， 计算得出9OH =，(4,3)A ，(4,3)B --．从而得到直线l 的方程为9y =，直线AB 的斜率为34． 由PB AB ⊥，得直线PB 的斜率为 ，进而得到直线PB 的方程为 ，得到点P 的坐标为 ，计算得出PB 的长为 百米．【分析】由A ，B 的坐标直接求出直线AB 的斜率，再由PB AB ⊥，斜率互为负倒数求出直线PB 的斜率，进而求出过B 的直线方程，再由直线PB 的方程与9y =求出交点坐标P ，最后由两点间的距离公式求出PB 的长． 【解答】解：由A ，B 的坐标直接求出AB 的斜率3(3)34(4)4k --==--；PB AB ⊥，所以143PB k k =-=-，所以直线PB 的方程为：4(3)[(4)]3y x --=---，整理得：43250x y ++=；联立直线PB 与直线l 的方程：943250y x y =⎧⎨++=⎩解得：139x y =-⎧⎨=⎩，即P 的坐标：(13,9)-；由两点间的距离公式22(134)(93)15d -+++=； 故答案分别为：34，43-，43250x y ++=，(13,9)-，15． 【点评】考查两点式求斜率，互相垂直的直线的斜率关系，直线的点斜式方程，两条直线的交点即两点间的距离公式，属于基础题．12．（2019•房山区二模）已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=与直线:(1)l y k x =+，则圆心C 的坐标为 (1,2) ，若圆C 关于直线l 对称，则k = ．【分析】根据圆C 的标准方程可得圆心坐标，根据圆C 关于直线l 对称可得圆心在直线上． 【解答】解：由圆C 的标准方程可得圆心坐标为(1,2)； 因为圆C 关于直线l 对称，所以圆心在直线l 上， 2(11)k ∴=+，解得1k =．故答案为：(1,2)，1．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．13．（2019•大兴区一模）若直线220x y +-=与圆22(1)()1x y a -+-=相切，则a = 【分析】利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径列式可得． 【解答】解：因为直线220x y +-=与圆22(1)()1x y a -+-=相切，1=，解得a =故答案为：【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题． 三．解答题（共2小题）14．（2019•北京模拟）已知直线l 经过(1,0)P ，(2,1)Q -两点，圆C 的方程是22(1)(1)4x y -++=． （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求||AB 的值 下面是某同学的解答过程：解：（Ⅰ）因为直线l 经过两点(1,0)P ，(2,1)Q - 所以直线l 的斜率10121k --==--． 所以直线l 的方程是0(1)y x -=--，即10x y +-=． （Ⅱ）因为直线l 与圆C 交于A ，B 两点， 所以2210(1)(1)4x y x y +-=⎧⎨-++=⎩． 消去y ，整理得22410x x -+=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则122x x +=，1212x x =．所以||AB=2=．所以||AB 的值为2．指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程． 【分析】第（Ⅱ）问联立方程组消去y 时，结果计算错误． 【解答】解：第（Ⅱ）问联立方程组消去y 时，结果计算错误．正确的解答过程如下：（Ⅰ）因为直线l 经过两点(1,0)P ，(2,1)Q - 所以直线l 的斜率10121k --==--． 所以直线l 的方程是0(1)y x -=--，即10x y +-=． （Ⅱ）因为直线l 与圆C 交于A ，B 两点， 所以2210(1)(1)4x y x y +-=⎧⎨-++=⎩． 消去y ，整理得22610x x -+= 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则123x x +=，1212x x =．所以||AB==所以||AB【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．15．（2019春•西城区期末）已知圆心为(4,3)C 的圆经过原点O ． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线34150x y -+=与圆C 交于A ，B 两点，求ABC ∆的面积．【分析】点到圆心的距离为半径，用圆心和半径写出圆的标准方程，求圆心到AB 的距离，再用勾股定理求出弦长，最后用面积公式求出答案．【解答】解：圆C 的半径为||5OC =， 从而圆C 的方程为22(4)(3)25x y -+-=．（Ⅱ）解：作CD AB ⊥于D ，则CD 平分线段AB ．在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得||3CD =，所以||4AD =． 所以||2||8AB AD ==．所以ABC∆的面积1||||122S AB CD==．【点评】本题主要考察对圆的标准方程的运用，以及点到直线的距离和勾股定理的运用，以及三角形面积的求解，属于中档题第11页（共11页）。

人教A版（2019）选择性必修第一册《第二章直线和圆的方程》章节练习一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）直线l经过两条直线3x+4y−5=0和3x−4y−13=0的交点，且与直线x+ 2y+1=0垂直，则l的方程是()A. 2x+y−7=0B. 2x−y−7=0C. 2x+y+7=0D. 2x−y+7=02.（5分）到直线2x+y+1=0的距离为√55的点的集合是()A. 直线2x+y−2=0B. 直线2x+y=0C. 直线2x+y=0和2x+y−2=0D. 直线2x+y=0和2x+y+2=03.（5分）直线√3x+y−1=0的倾斜角是()A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘4.（5分）过P(2,−2)的直线l与圆(x−1)2+y2=1相切，则直线l的方程为()A. 3x+4y+2=0或y=−2B. 4x+3y−2=0或y=−2C. 3x+4y+2=0或x=2D. 4x+3y−2=0或x=25.（5分）若方程x2+y2−x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是()A. m<12B. m>12C. m<0D. m⩽126.（5分）直线x+√2y−1=0的斜率是()A. √2B. −√2C. √22D. −√227.（5分）已知直线m过点A(2,−3)，且在两个坐标轴上的截距相等，则直线m的方程是()A. 3x+2y=0B. x+y+1=0C. x+y+1=0或3x+2y=0D. x+y−1=0或3x−2y=08.（5分）直线x+2y+3=0在y轴上的截距为()A. 32B. 3 C. −3 D. −32二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A、B为平面上相异的两点，则所有满足：|PA||PB|=λ(λ>0,且λ≠1)的点P的轨迹是圆“，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0)，若λ=12，则下列关于动点P的结论正确的是()A. 点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0B. ΔAPB面积的最大值为6C. 在x轴上必存在异于A、B的两定点M、N，使得|PM||PN|=12D. 若点Q(−3,1)，则2|PA|+|PQ|的最小值为5√210.（5分）已知双曲线C：x2−y24=1，则()A. 双曲线C的离心率等于焦距的长B. 双曲线y2−x24=1与双曲线C有相同的渐近线C. 双曲线C的一条准线被圆x2+y2=1截得的弦长为4√55D. 直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，211.（5分）已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0.下列命题正确的有()A. 直线l与圆C可能相切B. y轴被圆C截得的弦长为4√6C. 直线l被圆C截得的最短弦长为2√5D. 直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x−y−5=012.（5分）设有一组圆C k:(x−1)2+(y−k)2=k4(k∈N∗).下列四个命题正确的是()A. 存在k，使圆与x轴相切B. 存在一条直线与所有的圆均相交C. 存在一条直线与所有的圆均不相交D. 所有的圆均不经过原点13.（5分）过点P(-1,1)的直线l与圆x2+y2+4x=0相交于A,B两点，当|AB|取得最值时，直线l的方程是()A. x-y+2=0B. x-y=0C. x-y-2=0D. x+y=0三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）圆x2+y2+x=0与圆x2+y2−2y=0的公共弦所在的直线方程为______．15.（5分）已知点A(0,2)关于直线l的对称点为B(4,0)，点C(6,3)关于直线l的对称点为D(m,n)，则m+n= ______ ．16.（5分）已知点P(1,3)，点Q(−1,2)，点M为直线x−y+1=0上一动点，则|PM|+|QM|的最小值为______ .17.（5分）设直线l：3x+4y+4=0，圆C：(x−2)2+y2=r2(r>0)，若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则r的取值范围是______.18.（5分）过点P(3,4)且与直线2x−y+1=0平行的直线方程为 ______.四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知线段AB两个端点的坐标为A(2,4)，B(3,2)，点P(x,y)是线段AB上一个动点．(1)求yx 的最大值和最小值． (2)求y−x y+x 的取值范围．20.（12分）已知圆心在原点的圆被直线y =x +1截得的弦长为√14． (1)求圆的方程；(2)设动直线y =k(x −1)(k ≠0)与圆C 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得AN 与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（12分）圆心为C 的圆经过点A (0,2)和点B (2,0)，且圆心C 在直线l 1:2x −y −4=0上.(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅰ)求直线l 2:3x +4y −8=0被圆C 截得的弦的长度.22.（12分）如图，A(m,√3m)和B(n,−√3n)两点分别在射线OS 、OT 上移动，且OA →.OB →=−12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →=OA →+OB →． (Ⅰ)求m ⋅n 的值；(Ⅱ)求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？(Ⅲ)若直线l 过点E(2,0)交(Ⅱ)中曲线C 于M 、N 两点，且ME →=3EN →，求l 的方程．23.（12分）已知圆M ：x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线L 过点P(2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |=2√3，求直线L 的方程．答案和解析1.【答案】B;【解析】该题考查直线方程的求解，涉及直线的交点和直线的垂直问题，属基础题．先解方程组求出交点，然后利用垂直得到斜率，然后求出方程即可．解：联立方程{3x+4y−5=03x−4y−13=0，解得x=3，y=−1，故所求直线l过点(3,−1)，由直线x+2y+1=0的斜率为−12，可知l的斜率为2，由点斜式方程可得：y+1=2(x−3)，即2x−y−7=0，故选B．2.【答案】D;【解析】设点(x,y)满足条件，则√22+1=√55，整理得2x+y=0和2x+y+2=0，故选D.3.【答案】C;【解析】此题主要考查直线的倾斜角的求法，是基本知识的应用.首先求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可.解：设直线的倾斜角为α.因为直线√3x+y−1=0的斜率为−√3，所以tanα=−√3，α=120∘，故选C.4.【答案】D;【解析】解：圆(x−1)2+y2=1的圆心为(1,0)，半径为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，圆心(1,0)到l的距离为1，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)−2，即kx−y−2k−2=0，因为直线l与圆(x−1)2+y2=1相切，所以√k2+1=1，解得k=−34，此时直线l的方程为4x+3y−2=0，综上，直线l的方程为4x+3y−2=0或x=2.故选：D.分直线l的斜率不存在和存在两种情况分类讨论，从而可得直线l的方程．此题主要考查圆的切线方程，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：方程x2+y2−x+y+m=0即(x−12)2+(y+12)2=12−m，此方程表示圆时，应有12−m>0，解得m<12，故选：A．方程x2+y2−x+y+m=0即(x−12)2+(y+12)2=12−m，此方程表示圆时，应有12−m>0，由此求得实数m的取值范围．这道题主要考查求圆的标准方程，二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．6.【答案】D;【解析】由直线一般式的斜率计算公式即可得出．该题考查了直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：直线x+√2y−1=0的斜率k=√2=−√22．故选：D．7.【答案】C;【解析】解：①当直线经过原点时，直线方程为y=−32x，即3x+2y=0；②当直线不经过原点时，设所求的直线方程为x+y=a，则a=2−3=−1，因此所求的直线方程为x+y+1=0．综上所述，直线m的方程是3x+2y=0或x+y+1=0．故选：C．分类讨论：当直线经过原点时，当直线不经过原点时两种情况，求出即可．该题考查了截距式、分类讨论等基础知识，属于基础题．8.【答案】D;【解析】此题主要考查直线方程的截距的概念，属于基础题.利用直线方程的截距的概念，令x=0，则y=−32，即可求解；解：因为直线x +2y +3=0， 令x =0，则y =−32，所以在y 轴上的截距为−32. 故选D.9.【答案】ACD;【解析】解：对于选项A ，设P(x,y)，因为P 满足|PA ||PB |=12，所以√(x+2)2+y 2√(x−4)2+y2=12， 化简得x 2+8x +y 2=0，故A 正确；对于选项B ，由选项A 可知，点P 的轨迹方程为x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以点P 的轨迹是以(−4,0)为圆心，4为半径的圆， 又|AB |=6，且点A ，B 在直径上，故当点P 到圆的直径距离最大的时候，ΔPAB 的面积最大值， 因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即ΔPAB 的高的最大值为4， 所以ΔPAB 面积的最大值为12×6×4=12，故B 错误；对于选项C ，假设在x 轴上存在异于A ，B 的两定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12， 设M(m,0)，N(n,0)， 故√(x−m)2+y 2√(x−n)2+y 2=12，即√(x −n)2+y 2=2√(x −m)2+y 2，化简可得x 2+y 2=8m −2n 3x +4m 2−n 23=0.又点P 的轨迹方程为x 2+y 2+8x =0，可得{−8m −2n3=84m 2−n 23=0，解得{n =−12或{n −4(舍去)，故存在异于A ，B 的两定点M(−6,0)，N(−12,0)，使得|PM ||PN |=12，故C 正确；对于选项D ，因为|PA ||PB |=12，所以2|PA |=|PB |，所以2|PA |+|PQ |=|PB |+|PQ |，又点P 在圆x 2+8x +y 2=0上， 如图所示，所以当P，Q，B三点共线时2|PA|+|PQ|取最小值，此时(2|PA|+|PQ|)min=|BQ|=√[4−(−3)]2+(0−1)2=5√2，故D正确．故选：ACD.设出点P的坐标，根据|PA||PB|=12即可求出点P的轨迹方程，即可判断选项A是否正确；根据点A(−2,0)，B(4,0)的位置关系和圆的性质，即可求出ΔAPB面积的最大值，进而判断选项B是否正确；设M(m,0)，N(n,0)，根据|PM||PV|=12可求出点P的轨迹方程，再与x2+y2+8x=0方程进行对比，根据系数关系，列出方程组，即可求出m，n值，进而判断选项C是否正确；由题意可知2|PA|=PB，所以2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|，当P，Q，B三点共线时，2|PA|+|PQ|取最小值，最小值为|BQ|，由此即可判断选项D是否正确．此题主要考查了轨迹方程，圆的方程以及与圆有关的最值问题，属于中档题．10.【答案】CD;【解析】此题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆相交所得弦的弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题.根据双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，直线和圆的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.解：由双曲线C方程可知，a=1，b=2，c=√5，所以离心率e=ca=c≠2c，故A不正确;双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±2x，而双曲线y2−x24=1的焦点在y轴上，渐近线方程为y=±12x，二者渐近线方程不同，所以B错误;圆x2+y2=1的圆心(0,0)到双曲线C的准线y=±a2c =±√55的距离为√55，所以准线被圆x 2+y 2=1截得的弦长为2×√12−(√55)2=2√45=4√55， 故C 正确;由直线与双曲线的位置关系可知直线y =kx +b 与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，2，故D 正确. 故选：CD .11.【答案】BD;【解析】解：将直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0整理为(x +y −4)+m(2x +y −7)=0，令{2x +y −7=0，解得{y =1， 故无论m 为何值，直线l 恒过定点D(3,1)， ∵圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25， ∴圆C(1,2)，半径r =5，∵|CD |=√(1−3)2+(2−1)2<5， ∴定点D 在圆内，直线l 与圆相交，故A 错误， ∵圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25，∴令x =0，则(y −2)2=24，解得y =2±2√6， 故y 轴被圆C 截得的弦长为4√6，故B 正确， 圆心C(1,2)，r =5，CD =√5，当截得的弦长最短时，l ⊥CD ，k CD =−12，则直线l 的斜率为2，最短弦长为2√52−(√5)2=4√5，故C 错误，故此时直线l 的方程为y −1=2(x −3)，即2x −y −5=0，故D 正确． 故选：BD .先求出直线l 的定点，通过两点之间的距离公式，可判断该定点在圆内，即可求解A 选项，令x =0，则(y −2)2=24，解得y =2±2√6，即可求解B 选择，结合椭圆最短弦的性质，即可求解CD 选项．此题主要考查直线与圆的位置关系，考查最短弦问题，属于中档题．12.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，考查推理能力和计算能力，属于一般题．当k =1时A 正确；对于B 、存在直线 x =1；由于所有直线与圆都相交，故C 错误；将(0,0)代入即可判断D 错误.解：对于A：存在k，使圆与x轴相切⇔k=k2(k∈N∗)有正整数解⇔k=1，故A正确；对于B：因为圆心(1,k)恒在直线x=1上，故B正确；对于C：当k取无穷大的正数时，半径k2也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不正确；对于D：将(0,0)代入得1+k2=k4，即1=k2(k2−1)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D正确．故选ABD.13.【答案】AD;【解析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.分|AB|取得最小值和最大值两种情况，求出直线l的斜率，从而求得直线l的方程.解：圆x2+y2+4x=0即圆(x+2)2+y2=4，是以C(−2,0)为圆心，r=2为半径的圆，k PC=1=1，−1+2过点P(−1,1)的直线l与圆x2+y2+4x=0相交于A,B两点，点P(−1,1)在圆内，当|AB|取得最小值时，AB⊥PC,即k PC.k AB=−1，∴k AB=−1，直线l的方程是y−1=−(x+1)，即x+y=0，当|AB|取得最大值时，直线l经过圆心C，k AB=k PC=1，∴直线l的方程是y−1=x+1，即x−y+2=0，故选AD.14.【答案】x+2y=0;【解析】解：圆x2+y2+x=0与圆x2+y2−2y=0的公共弦所在的直线方程即为两圆方程相减可得：即为x+2y=0．故答案为：x+2y=0．两圆公共弦即为方程相减．该题考查公共弦方程，为基础题．;15.【答案】335【解析】该题考查直线关于点、直线对称的方程，根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n的值，得到答案．解：根据题意，得到折痕为A(0,2)，B(4,0)的对称轴；也是C(6,3)，D(m,n)的对称轴，AB的斜率为k AB=−12，其中点为(2,1)，所以图纸的折痕所在的直线方程为y−1=2(x−2)所以k CD=n−3m−6=−12，①CD的中点为(m+62,n+32)，所以n+32−1=2(m+62−2)②由①②解得m=65，n=275，所以m+n=335．故答案为：335．16.【答案】3;【解析】利用对称思想方法求距离最值问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题．由已知可判断P，Q在已知直线的两侧，求出P关于直线的对称点P′的坐标，根据对称性转化为|P′M|+|QM|的最小值的问题，利用两点之间的路程已知线段为最短得到问题的答案．解：设P(1,3)关于直线的对称点的坐标为P′(a,b)，根据PP′与已知直线垂直，并且线段PP′的中点做已知直线上，∴{b−3a−1=−11+a 2−3+b2+1=0，∴a=2，b=2，∴P′(2,2)，由于P′与Q的纵坐标相同，∴|PM|+|QM|=|P′M|+|QM|的最小值为|P′Q|=2+1= 3，故答案为3.17.【答案】[√2,+∞);【解析】此题主要考查直线和圆的位置关系，转化思想是解决问题的关键，属中档题.由切线的对称性和圆的知识将问题转化为MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°即可．解：圆C：(x−2)2+y2=r2，圆心为：(2,0)，半径为r，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°，∴只需MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°即可∵C到直线l：3x+4y+4=0的距离2，则r⩾2×sin45°=√2.故答案为[√2,+∞).18.【答案】2x-y-2=0;【解析】解：设与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为2x−y+c=0，由点P(3,4)在直线2x−y+c=0上，可得c=−2，故直线的方程为2x−y−2=0.故答案为：2x−y−2=0.设与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为2x−y+c=0，由点P(3,4)在直线2x−y+c=0上，求出c，再确定直线的方程．此题主要考查的知识要点：直线的方程的求法，平行直线系的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)如图所示，其中A(2,4)，B(3,2)，则yx =y−0x−0可看作是直线OP的斜率，由图知，k OB⩽k OP⩽k OA，而k OB=23，k OA=2，所以(yx )max=2，(yx)min=23；(2)因为yx ∈[23,2]，所以y−xy+x=yx−1yx+1=yx+1−2yx+1=1−2yx+1∈[−15,13]，所以y−xy+x 的取值范围是[−15,13].;【解析】此题主要考查直线斜率几何意义的应用，(1)依题意，yx =y−0x−0可看作是直线OP的斜率，由图知，k OB⩽k OP⩽k OA，从而求得最值.(2)由(1)知y x∈[23,2]，所以y−x y+x=1−2y x+1，从而求得结果.20.【答案】解：（1）圆心（0，0）到直线y=x+1的距离为d=√2由圆的性质可得r 2=d 2+（√142）2=4 ∴圆的方程为：x 2+y 2=4．（2）设N （t ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得（k 2+1）x 2-2k 2x+k 2-4=0． ∴x 1+x 2=2k 21+k2，x 1x 2=k 2−4k 2+1若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则k AN =-k BN ⇒y 1x 1−t+y 2x 2−t=0⇒k(x 1−1)x 1−t+k(x 2−1)x 2−t=⇒2x 1x 2-（t+1）（x 1+x 2）+2t=0⇒2(k 2−4)k 2+1−2k 2(t+1)k 2+1+2t =0，⇒t=4．∴在x 轴正半轴上存在定点N （4，0），使得AN 与直线BN 关于x 轴对称．; 【解析】(1)圆心(0,0)到直线y =x +1的距离为d =√2由圆的性质可得r 2=d 2+(√142)2=4，即可；(2)设N(t,0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).由{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得(k 2+1)x 2−2k 2x +k 2−4=0．x 1+x 2=2k 21+k 2，x 1x 2=k 2−4k 2+1， 若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则k AN =−k BN ⇒y 1x 1−t+y 2x 2−t=0⇒k(x 1−1)x 1−t+k(x 2−1)x 2−t=0即可求得t ．该题考查了圆的方程，圆的弦长的计算，定点问题，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. 由{4+2E +F =04+2D +F =02×(−D 2)−(−E2)−4=0， 解得：{D =−8E =−8F =12，故所求圆C 的方程为x 2+y 2−8x −8y +12=0.(Ⅰ)圆心到l 2的距离为d =√32+42=4，所以弦长的一半为√20−16=2， 于是直线l 2被圆C 截得的弦的长度为4.; 【解析】此题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆相交时弦长公式的计算，考查学生的运算能力.(Ⅰ)利用待定系数法即可求圆C 的方程；(Ⅰ)根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．22.【答案】解：（Ⅰ）由已知得 OA →.OB →=(m ，√3m).(n ，−√3n)(1分) =−2mn =−12∴m.n =14（4分）（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP →=OA →+OB →得(x ，y )=(m ，√3m)+(n ，−√3n)=(m +n ，√3(m −n))（5分） ∴{x =m +n y =√3(m −n)消去m ，n 可得x 2−y 23=4mn ，又因mn =14（8分） ∴P 点的轨迹方程为x 2−y 23=1(x ＞0)它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2−y 23=1的右支（9分）（Ⅲ）设直线l 的方程为x=ty+2，将其代入C 的方程得3（ty+2）2-y 2=3 即（3t 2-1）y 2+12ty+9=0易知（3t 2-1）≠0（否则，直线l 的斜率为±√3，它与渐近线平行，不符合题意） 又△=144t 2-36（3t 2-1）=36（t 2+1）＞0设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=−12t3t 2−1，y 1y 2=93t 2−1 ∵l 与C 的两个交点M ，N 在y 轴的右侧 x 1x 2=（t y 1+2）（t y 2+2） =t 2y 1y 2+2t （y 1+y 2）+4 =t 2.93t 2−1+2t .−12t 3t 2−1+4=−3t 2+43t 2−1＞0∴3t 2-1＜0，即0＜t 2＜13又由x 1+x 2＞0同理可得0＜t 2＜13（11分） 由ME →=3EN →得（2-x 1，-y 1）=3（2-x 2，y 2） ∴{2−x 1=3(2−x 2)−y 1=3y 2由y 1+y 2=−3y 2+y 2=−2y 2=−12t3t 2−1得y 2=6t3t 2−1由y 1y 2=(−3y 2)y 2=−3y 22=93t 2−1得y 22=−33t 2−1消去y 2得36t 2(3t 2−1)2=−33t 2−1解之得：t 2=115，满足0＜t 2＜13（13分）故所求直线l 存在，其方程为：√15x −y −2√5=0或√15x +y −2√5=0（14分）; 【解析】(I)由向量数量积OA →.OB →=−12的坐标运算即可求得m ⋅n 的值；(II )欲求P 点的轨迹C 的方程，设点P(x,y)，只须求出其坐标x ，y 的关系式即可，由题意向量关系将x ，y 用m ，n 表示，最后消去m ，n 得到一个关系式，即得点P 的轨迹方程． (III )设直线l 的方程为x =ty +2，将其代入C 的方程得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量运算即可求得t 值，从而求得l 的方程．本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求直线方程的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．23.【答案】解：当直线L 的斜率存在时，设直线L 的方程为y −3=k(x −2)，即kx −y +3−2k =0，作MC ⊥AB 于C ，在直角三角形MBC 中，BC =√3，MB =2， 所以MC =1，又因为MC =√k 2+1=1，解得k =34，所以直线方程为3x −4y +6=0.当直线斜率不存在时，其方程为x =2，圆心到此直线的距离也为1， 所以也符合题意，综上可知，直线L 的方程为3x −4y +6=0或x =2.; 【解析】分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别由条件利用点到直线的距离公式，弦长公式求出斜率，可得直线L 的方程．此题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．。

专题十六 直线与圆一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知ABC 的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（ ） A ．(4,0)- B ．(2,2)-- C ．(3,1)- D ．(4,2)--【答案】A 【分析】设(,)C m n ，计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于,m n 的方程，最后联立解方程即可. 【详解】设(,)C m n ，由重心坐标公式得， 三角形ABC 的重心为2(3m +，4)3n+， 代入欧拉线方程得：242033m n ++-+=， 整理得：40m n -+=①AB 的中点为(1,2)，40202AB k -==--， AB 的中垂线方程为12(1)2y x -=-，即230x y -+=．联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩．ABC ∴的外心为(1,1)-．则2222(1)(1)3110m n ++-=+=， 整理得：22228m n m n ++-=②联立①②得：4m =-，0n =或0m =，4n =． 当0m =，4n =时B ，C 重合，舍去．∴顶点C 的坐标是(4,0)-．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.2．（2021·全国高一课时练习）坐标原点(0,0)O 在动直线220mx ny m n +--=上的投影为点P ，若点(1,1)Q --，那么||PQ 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】先判断直线220mx ny m n +--=所经过的定点，根据圆的性质进行求解即可. 【详解】直线220mx ny m n +--=，可化为(2)(2)0m x n y -+-=， 故直线过定点(2,2)M ，坐标原点(0,0)O 在动直线220mx ny m n +--=上的投影为点P ， 故90OPM ∠=︒，所以P 在以OM 为直径的圆上，圆的圆心为2020(,)22++，即(1,1)=根据点与圆的关系，||OQ||222PQ -+故选：A. 【点睛】关键点睛：根据题意得到P 在以OM 为直径的圆上、动直线过定点是解题的关键.3．（2021·全国高一课时练习）在直角坐标平面内，与点(0,3)A 距离为2，且与点(4,0)B 距离为3的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C 【分析】根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.当直线不存在斜率时，设为x a =，由题意可知：02a -=且43a -=， 没有实数a 使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：0y kx b kx y b =+⇒-+=，点(0,3)A 到该直线的距离为22(1)=，点(4,0)B 到该直线的距离为33(2)=，由(1)(2)得：89b k =+或985k b -=， 当89b k =+时，代入(1)中，得2152480k k ++=，该方程的判别式2244158960∆=-⨯⨯=>，该方程有两个不相等的实数根， 当985kb -=时，代入(1)中，得2924160k k -+=， 该方程的判别式2(24)49160∆=--⨯⨯=，该方程有两个相等的实数根， 所以这样的直线共有三条， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是解方程组.4．（2021·全国高一课时练习）平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线3(1)y x x x=+上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是（ ） AB ．4CD．【答案】D 【分析】由题意得：当斜率为1-的直线与曲线3(1)y x x x=+相切时切点到直线的距离最小，求出切点坐标及距离即可. 【详解】由3(1)y x x x=+，得231y x '=-，设斜率为1-的直线与曲线3(1)y x x x=+切于点0(P x ，003)x x +，由20311x -=-，解得001)x x =； ∴曲线3(1)y x x x=+上，点P到直线0x y +=的距离最小，最小值为|d ==故选：D ． 【点睛】曲线上的动点到直线的距离的最值一般有两种方法：（1）等价转化为平行线与曲线相切时，切点到直线的距离取到最大值或最小值.（2）联立平行线与曲线的方程，通过判别式等于0求出平行线的方程，然后根据平行线间的距离求出最值，这种方法的弊端是要带二次方程求解切点坐标.5．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（理））若等边三角形一边所在直线的斜率为边所在直线斜率为（ ） A．4-，5 B．4-，2 C．，5D．，4【答案】C 【分析】根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为,k m ，且0m k <<，由直线的到角公式即可求出. 【详解】根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为,k m ，且0m k <<，则有3tan 60===，解得5k =，m =， 故另两条边所在直线斜率为.故选：C. 【点睛】关键点睛：解题的关键是正确利用直线的夹角公式. 6．（2021·广东广州市·高三一模）已知(1,0),(0,2)A B -，直线:2230l x ay a -++=上存在点P，满足||||PA PB +=l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30,,44πππ⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D 【分析】根据AB =||||PA PB +=p 在线段AB 上，其方程为[]22,1,0y x x =+∈-上，又点在直线l 上，联立其方程，求得2343x a x +=+，然后由143tan 23x a x α+==+求解. 【详解】将(1,0)A -代入2230x ay a -++=得1a =-， 将(0,2)B 代入2230x ay a -++=得1a =， 所以A，B 不在直线l 上，又AB =||||PA PB += 所以点p 在线段AB 上，直线AB 的方程为：[]22,1,0y x x =+∈-，由22223010y x x ay a x =+⎧⎪-++=⎨⎪-≤≤⎩，解得()23232321222143x x x a y x x +++===-+-+， 直线方程2230x ay a -++=，即为132ay x a a+=+， 设直线l 的倾斜角为α， 则1433tan 22323x a x x α+===-++， 因为10x -≤≤， 所以1233x ≤+≤，则31323x ≤≤+， 所以312123x -≤-≤+， 即ta 11n α-≤≤， 因为(0,)απ∈，所以3(0,][,)44ππαπ∈⋃，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到点P 在线段AB 上，再根据点P 的直线l 上，联立求得()23232321222143x x x a y x x +++===-+-+，再利用斜率与倾斜角的关系而得解. 7．（2021·全国高一课时练习）已知半径为M 与圆225x y +=外切于点()1,2P -，则圆心M 的坐标为（ ） A ．()3,6- B ．()6,3- C ．()3,6-D．()【答案】C 【分析】设(),M a b ，由两圆向外切可知,,M P O三点共线且OM =,a b ，舍去两圆内切的情况即可得到结果. 【详解】由题意知：圆225x y +=圆心为()0,0O，半径r =设所求圆M 的圆心(),M a b ，若圆M 与圆225x y +=外切于点()1,2P -，则必有,,M P O三点共线且OM =即2202001045b a a b ---⎧=⎪--⎨⎪+=⎩，解得：36a b =⎧⎨=-⎩或36a b =-⎧⎨=⎩； 当3a =-，6b =时，圆M 与圆225x y +=相内切，不合题意； 当3a =，6b =-时，圆M 与圆225x y +=相外切，符合题意；()3,6M ∴-.故选：C. 【点睛】易错点点睛：本题考查根据圆与圆的位置关系求解参数的问题，易错点是在求解出参数值后，忽略两圆内切也有满足三点共线且圆心距为的情况，造成增根.8．（2021·全国高三其他模拟）已知圆C ：()()223216x y -+-=，直线l ：y x t =+与圆C 交于A ，B 两点，且ABC 的面积为8，则直线l 的方程为( ) A ．3y x =-或5y x =- B ．3yx 或5y x =+C ．3yx 或5y x =- D ．3y x =-或5y x =+【答案】C 【分析】由三角形面积定理求出等腰三角形顶角，进而求出其高，再用点到直线距离得解. 【详解】由圆C 的方程可得圆心C 的坐标为()3,2，半径为4．∵ABC 的面积为144sin 82ACB ⨯⨯∠=，∴90ACB ∠=︒，∴⊥CB CA ，∴点C 到直线AB 的距离为由点到直线的距离公式可得点C 到直线AB =∴3t =或5t =-，∴l 的方程为3y x 或5y x =-.故选：C ． 【点睛】给定三角形面积的问题，可用三角形面积定理，也可用公式：12⨯底⨯高，本题用前者定角最佳.9．（2021·全国高三专题练习）已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是（ ）A B ．C D ．【答案】C 【分析】由圆C 的标准方程可得圆心为()1,1C ，半径为1，由于四边形P ACB 面积等于2APCS=，故求解PC 最小值即可，又PC 最小为圆心到直线的距离，即可得出四边形P ACB 面积的最小值.【详解】圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为()1,1C ，半径为r ＝1，圆心()1,1C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离10215d r ===>= 所以圆C 与直线l 相离.根据对称性可知，四边形P ACB 的面积为1222APCSPA r PA =⨯⨯⨯===要使四边形P ACB 的面积最小，则只需PC 最小.又PC 最小值为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离2d =．所以四边形P ACB ==．故选：C ．【点睛】关键点睛：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查圆心与直线上点的距离的最值，解答本题的关键是将四边形P ACB 面积化为2APCS =即解PC 最小值，转化为圆心到直线的距离，属于中档题.10．（2021·辽宁高三二模（理））已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，3OA OB OA OB +=-，则实数a 的值为（ ）A ．2±B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据向量关系可得2OA OB ⋅=，即AOB结果. 【详解】由3OA OB OA OB +=-得：()()223OA OBOA OB +=-，又O 为圆224x y +=的圆心，则2OA OB ==，所以2OA OB ⋅=，所以cos 2OA OB AOB ⋅⋅∠=，即1cos 2AOB ∠=，所以3AOB π∠=，所以AOB 为等边三角形， 则O 到直线xy a +=的距离为：d =即d == a ⇒=故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的相关问题，关键是能够利用向量的关系得到向量间的夹角，从而能将问题转化为点到直线的距离问题.11．（2021·全国高三其他模拟（理））知直线:0l x y m ++=，圆22:40C x y x +-=，若在直线l 上存在一点P ，使得过点P 作圆的切线PA ，PB (点A ，B 为切点)，满足60APB ∠=︒，则m 的取值范围为（ ）A ．[]22-,B．-⎡⎣C ．[]1,1-D．2⎡⎤-⎣⎦【答案】D 【分析】由圆的标准方程得圆心(2,0)C ，2r ，连接CA ，CB ，||4CP =，再由条件得点C 到直线l 的距离4d ≤，根据点到直线的距离公式可求得范围. 【详解】圆22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，2r ，连接CA ，CB ，则CA PA ⊥，CB PB ⊥，60APB ∠=︒，30APC ∴∠=︒，2r CA ==，||4CP ∴=，要使直线l 上存在一点P ，使其满足条件，只需点C 到直线l 的距离4d ≤，4≤，22m ∴-≤≤. 故选:D. 【点睛】关键点点睛：在解决直线与圆的位置关系相关问题，关键在于利用直线与圆相切、相交、相离时的几何性质，可以较容易地解决问题.12．（2021·全国高三月考（理））已知曲线y =与直线10kx y k -+-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【分析】作出曲线y =（上半圆），直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，求出图中两条的斜率可得所求范围． 【详解】解：曲线y 整理得22(2)1(0)x y y -+=≥，则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，如图，当[)12,k k k ∈时，曲线与直线有两个不同的交点，1=，得34k =或0k =，所以234k =， 1101112k --==--， 所以实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与曲线的位置关系，解题方法是数形结合思想，即作出曲线（半圆），而直线是过定点的动直线，由直线与半圆的交点个数可得直线的位置，求出临界点直线的斜率后可得结论．13．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高二期中（理））设曲线x =20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值为（ ）A ．2B C 1 D ．2【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，由d r -求出最小值，最大值为(0,2)到直线的距离，确定出a 与b 的值，即可求出-a b 的值． 【详解】将x =22(1)1y x +-=， 所以曲线是圆心(0,1)，半径1r =的右半圆，如图，圆心到直线20x y --=的距离2d =∴圆上的点到直线的最小距离12b =-，最大值为(0,2)到直线的距离，即a ==则12a b -=+． 故选：C ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，关键点是到圆上的点的问题转化为到圆心的距离的问题，考查了学生的转化能力和计算能力.14．（2020·绥化市第一中学高二月考（文））直线y x b =+与曲线x =有且只有一个交点，则b 的取值范围是（ ）A ．||b =B ．11b -<≤或b =C ．11b -<≤D ．11b -≤<或b =【答案】B 【分析】判断得曲线x =1的右半圆，作图像分析，可知当直线y x b =+与半圆相交于一个点或者与半圆相切时满足题意，结合图像求解b 的取值范围. 【详解】曲线x =1的右半圆，作出曲线x =y x b =+与x = 即为直线与半圆相交于一个点或与半圆相切两种情况，当相交于一个交点时可得11b -<≤；直线与半圆相切时可得b =. 故选：B.【点睛】关于直线与圆的位置关系的求解，一般需要数形结合，尤其需要注意变量,x y 的取值范围，然后利用图像分析，求解直线与圆相切的问题时，一般要利用d r =列式求解.15．（2021·湖北高三月考）圆1C ：()()22249x y -+-=与圆2C ：()22516x y -+=的公切线条数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】先找到两个圆的圆心和半径，计算圆心距，判断圆与圆的位置关系，求出公切线的条数. 【详解】依题意，圆1C 的圆心()12,4C ，半径R 1=3, 圆2C 的圆心()25,0C ，半径R 2=4,()1251,7C C ==∈，故圆1C 与2C 相交，有2条公切线.故选:B. 【点睛】圆C 1和圆C 2 的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，圆与圆的位置关系有5种：（1）相离d R r ⇔>+；（2）相外切=d R r ⇔+；（3）相交R r d R r ⇔-<<+；（4）相内切||d R r ⇔=-；（5）相内含||d R r ⇔<-；16．（2021·全国高三专题练习（文））已知过点()0,2的直线l 与圆心为C 的圆()()222110x y -+-=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，直线l 的方程为（ ） A ．220x y -+= B ．220x y -+=或220x y +-= C ．0x = D ．0x =或220x y +-=【答案】A 【分析】分析得出圆心C 到直线l的距离为d =，然后对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线l 的方程. 【详解】圆()()222110x y -+-=的圆心为()2,1C，半径为r =，由CA CB ⊥，且CA CB ==ABC 是以ACB ∠为直角的等腰直角三角形， 所以，点C 到直线l 的距离为cos 455d r ==若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为0x =，此时点C 到直线l 的距离为2，不合乎题意； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，则有d ==()220k -=，解得2k =，所以直线l 的方程为22y x =+. 故选：A. 【点睛】易错点点睛：本题利用直线与圆相交求直线的方程，在求解过定点的直线的方程时，要注意对直线斜率是否存在进行分类讨论，以防漏解.17．（2021·广西玉林市·高三其他模拟（理））过点()2,2P 的直线1l 与圆()2211x y -+=相切，则直线1l 的方程为（ ） A ．3420x y+=- B ．4320x y --= C ．3420x y+=-或2x = D ．4320x y --=或2x =【答案】C 【分析】当1l 斜率不存在时可知满足题意；当1l 斜率存在时，设其方程为()22y k x -=-，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得k ，由此可得切线方程. 【详解】当过()2,2P 的直线1l 斜率不存在时，方程为2x =，与圆()2211x y -+=相切，满足题意；当过()2,2P 的直线1l 斜率存在时，设方程为()22y k x -=-，即220kx y k --+=，∴圆()2211x y -+=的圆心到1l的距离1d ==，解得：34k =，131:042l x y ∴-+=，即3420x y+=-；∴直线1l 的方程为3420x y+=-或2x =.故选：C. 【点睛】易错点点睛：本题考查过圆外一点的圆的切线方程的求解，解决此类问题采用待定系数法，利用圆心到直线距离等于半径来进行求解；易错点是忽略切线斜率不存在的情况，造成丢根的情况出现. 18．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线22231x y 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A．⎡⎣B．(C．33⎡-⎢⎣⎦ D．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】先由题意，设直线l 的方程为()34y k x -=-，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-= 曲线22231x y 表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，1≤，即2k -≤，解得33k -≤≤.故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，判断直线与圆的位置关系用几何法—圆心到直线的距离d 与圆的半径r 比较，d r =相切；d r 相离；d r <相交，考查学生的运算求解能力，属于一般题.19．（2020·江苏南通市·金沙中学高二月考）已知圆221:20C x y kx y +-+=与圆222:40C x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过点(),P a b ，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】求出两圆的公共弦方程，求出点P 的坐标，可得出1m n +=，再利用基本不等式可求得mn 的取值范围. 【详解】将圆1C 与圆2C 的方程相减得公共弦所在直线的方程为()240kx k y +--=，即()()240k x y y +-+=，由2400y x y +=⎧⎨+=⎩，得22x y =⎧⎨=-⎩，即点()2,2P -， 因此，2220m n +-=，1m n ∴+=，由基本不等式可得2124m n mn +⎛⎫≤=⎪⎝⎭， 当且仅当12m n ==时，等号成立， 因此，mn 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D. 【点睛】方法点睛：当两圆相交时，把两圆方程（2x 、2y 项系数相同）相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.20．（2020·江苏高一期中）若直线y x b =+与曲线y =b 的取值范围为（ ）A ．[]22-,B ．2,⎡-⎣C ．-⎡⎣D ．(-【答案】B 【分析】直线y x b =+与曲线y =有公共点，转化为直线y x b =+与半圆()224,0x y y +=≥有交点，分析几何图形得出有交点的临界情况． 【详解】由y =()224,0x y y +=≥，表示圆心 (0,0),2r =的半圆，当y x b =+经过(2,0)时，此时2b =-；当y x b =+与此半圆相切时，2r b ==⇒=，作出半圆与直线的图象如下，由图象可知，要使直线y x b =+与曲线y =有公共点，则b ⎡∈-⎣.故选：B 【点睛】关键点点睛：由y =变形可知其图象为半圆，找出直线y x b =+与其有公共点的临界情况，是解决问题的关键.21．（2021·内蒙古包头市·高二期末（文））已知()1,0A -，()1,0B ，圆C ：()2224x y R +-=（0R >），若圆C 上存在点M ，使90AMB ∠=︒，则圆C 的半径R 的范围是（ ）A ．35R ≤≤B ．34R ≤≤C ．45R ≤≤D．2R ≤≤【答案】A 【分析】设00(,)M x y ，由90AMB ∠=︒得0MA MB ⋅=，即可知M 的轨迹为22001x y +=，要使圆C 上存在点M ，即圆C 与22001x y +=有交点，进而可得半径R 的范围.【详解】设00(,)M x y ，则00(1,)MA x y =---，00(1,)MB x y =--， ∵90AMB ∠=︒，即0MA MB ⋅=，∴22001x y +=，即M 在以原点为圆心，半径为1的圆上，而圆C 的圆心为(0,4)，半径为R ，∴圆C 上存在点M ，即圆C 与22001x y +=有交点，∴[]11,141,3,5R OC R R R R -≤≤+-≤≤+∈. 故选：A 【点睛】关键点点睛：由90AMB ∠=︒及向量垂直的数量积公式即可确定M 的轨迹，要使圆C 上存在点M ，只需保证圆C 与M 的轨迹有交点即可.22．（2020·江苏苏州市·星海实验中学高一期中）已知方程23-+=kx k 则实数k 的取值范围是（ ） A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．53,124C ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．53,124⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【分析】如图，当直线在AC 位置时，斜率303224k -==+，当直线和半圆相切时，由半径22=解得k 值，即得实数k 的取值范围．【详解】由题意得，半圆y =与直线32y kx k =+-有两个交点，又直线323(2)y kx k y k x =+-⇒-=-过定点C (2,3)，如图所示，又点(2,0),(2,0)A B -，当直线在AC 位置时，斜率303224k -==+.当直线和半圆相切时，由半径2=解得512k =， 故实数k 的取值范围为53(,]124故选：B 【点睛】关键点点睛：由函数解析式转化为直线与半圆有两个公共点，根据直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求出直线在AC 位置时的斜率k 值及切线CD 的斜率，是解题的关键． 23．（2021·全国高二课时练习）已知2，2m n +，6-成等差数列，则圆C：(()2214x y -++=上的点到点(),M m n 距离的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．5D．【答案】C 【分析】圆C的标准方程为：(()2214x y -++=，CM的最大值就是圆心()1-到直线220x y ++=的距离与半径的和. 【详解】因为2，2m n +，6-成等差数列，所以()2226m n +=-，可得220m n ++=，所以点M 的轨迹方程为220x y ++=，圆心()1-，则圆C 上的点到点M 的最大值为max 2325d =+=+=.故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查圆上点到直线的距离的最值，圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题，有时也可利用三角换元把最值问题转化为三角函数式的最值问题来处理，考查学的转化与化归思想与数形结合思想，属于一般题.24．（2021·铅山县第一中学高二月考（文））在平面直角坐标系中，直线10x y -+=与圆22:28130C x y x y +--+=相交于A 、B 两点，P 为圆C 上的动点，则PAB △面积的最大值为（ ）A ．2+B ．2C ．1+D ．2+【答案】A 【分析】计算出AB 以及点P 到直线AB 距离的最大值，由此可求得PAB △面积的最大值. 【详解】圆C 的标准方程为()()22144x y -+-=，圆心为()1,4C ，半径为2r，圆心C 到直线AB 的距离为d ==，AB ∴==，由于P 为圆C 上的动点，则点P 到直线AB 距离的最大值为2d r +=，因此，PAB △面积的最大值())112222AB d r ⋅+=⨯=+故选：A. 【点睛】结论点睛：若点P 为圆C 上任意一点，圆心C 到直线l 的距离为d ，圆C 的半径为r ，则点P 到直线l 的距离的最大值为d r +.二、多选题25．（2021·全国高三专题练习）（多选题）光线自点()2,4射入，经倾斜角为135的直线:1l y kx =+反射后经过点()5,0，则反射光线还经过下列哪个点（ ） A ．()14,2 B ．914,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()13,2D ．()13,1【答案】BD 【分析】求出点()2,4关于直线l 的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项. 【详解】因为直线l 的倾斜角为135，所以直线l 的斜率为1k =-， 设点()2,4关于直线:1l y x =-+的对称点为(),m n ，则41242122n m n m -⎧=⎪⎪-⎨++⎪=-+⎪⎩，解得31m n =-⎧⎨=-⎩，所以，反射光线经过点()3,1--和点()5,0，反射光线所在直线的斜率为101358--=--，则反射光线所在直线的方程为()158y x =-， 当14x =时，98y =；当13x =时，1y =. 故选：BD. 【点睛】结论点睛：若点()11,P x y 与点()222,P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，由方程组121222210221x x y y A B C y y A x x B ++⎧⋅+⋅+=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩可得到点1P 关于直线l 的对称点2P 的坐标()22,x y （其中0B ≠，12x x ≠）.26．（2020·江苏苏州市·高一期中）在平面直角坐标系中，定义()1212,d P Q x x y y =-+-为()()1122,,,P x y Q x y 两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（ ）A ．若点C 在线段AB 上，则有()()(),,,d AC d C B d A B +=B ．若、、A BC 是三角形的三个顶点，则有()()(),,,d A C d C B d A B +> C ．到()()1,0,1,0M N -两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线0x = D．若O 为坐标原点，点B 在直线+0x y -上，则(),d O B 的最小值为2 【答案】AC 【分析】对A ，根据“折线距离”的定义化简可得；对B ，由绝对值不等式可判断；对C ，设出点的坐标，根据定义列出方程即可求解；对D ，由(),d O B x y x x =+=+≥. 【详解】对A ，若点C 在线段AB 上，设()()()001122,,,,,C x y A x y B x y ， 则0x 在12,x x 之间，0y 在12,y y 之间，则()()01012020,,d A C d C B x x y y x x y y +=-+-+-+-()1212,x x y y d A B =-+-=，故A 正确；对B ，在ABC 中，()()01012020,,d A C d C B x x y y x x y y +=-+-+-+-()()()()01200120x x x x y y y y ≥-+-+-+-()1212,x x y y d A B =-+-=，故B 错误；对C ，设到()()1,0,1,0M N -两点的“折线距离”相等的点的坐标为(),x y ， 则11x y x y ++=-+，解得0x =，故C 正确；对D ，设(),B x y ，则(),d O B x y x x =+=+≥，即(),d O B 的最小值为D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查“折线距离”的应用，属于新定义问题，解题的关键是正确理解定义，并结合绝对值不等式进行化简判断.27．（2020·江苏苏州市·星海实验中学高一期中）下列结论正确的是（ ）A ．若直线1l 和2l 的斜率相等，则12l l //B ．已知直线1111:0l A x B yC ++=，2222:0l A x B y C ++=（1A 、1B 、1C 、2A 、2B 、2C 为常数），若直线12l l ⊥，则12120A A B B +=C ．点()00,P x y 到直线y kx b =+D ．直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 【答案】BD 【分析】根据两直线的位置关系与斜率的关系可判断A 选项的正误；利用两直线垂直与一般方程的关系可判断B 选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断C 选项的正误；利用点到直线距离的定义可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若直线1l 和2l 的斜率相等，则1l 与2l 平行或重合，A 选项错误；对于B 选项，已知直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=（1A 、1B 、1C 、2A 、2B 、2C 为常数）.当直线1l 和2l 的斜率都存在时，则10B ≠，20B ≠， 直线1l 的斜率为111A k B =-，直线2l 的斜率为222A k B =-，若12l l ⊥，则1212121A A k k B B ==-，可得12120A A B B +=；当直线1l 和2l 分别与两坐标轴垂直，设1l x ⊥轴，则2l y ⊥轴，则10B =，20A =，满足12120A A B B +=. 综上所述，若直线12l l ⊥，则12120A A B B +=，B 选项正确； 对于C 选项，直线y kx b =+的一般方程为0kx y b -+=， 所以，点()00,P x y 到直线y kx b =+，C 选项错误；对于D 选项，由点到直线的距离的定义可知，直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离，D 选项正确. 故选：BD.【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直： 已知直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=. （1）121221//l l A B A B ⇔=且1221A C A C ≠； （2）2112210A A l B B l +⇔=⊥.28．（2021·全国高二课时练习）(多选)已知圆A 、圆B 相切，圆心距为10 cm ，其中圆A 的半径为4 cm ，则圆B 的半径为（ ） A ．6 cm B ．10 cm C ．14 cm D ．18 cm【答案】AC 【分析】由两圆外切和内切分别求得结论． 【详解】令圆A 、圆B 的半径分别为r 1，r 2， 当两圆外切时，r 1＋r 2＝10， 所以r 2＝10－r 1＝10－4＝6； 当两圆内切时，|r 1－r 2|＝10， 即|4－r 2|＝10，r 2＝14或r 2＝－6(舍)， 即圆B 的半径为6 cm 或14 cm. 故选：AC ． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，解题关键是把问题转化为两圆相交．圆与圆的位置关系：两圆圆心距离为d ，半径分别为,r R ，则相离d R r ⇔>+，外切d R r ⇔=+，相交R r d R r ⇔-<<+，内切d R r ⇔=-，内含d R r ⇔<-．29．（2021·全国高三专题练习）设a ，b 为正数，若直线10ax by -+=被圆224210x y x y ++-+=截得弦长为4，则（ ） A ．1a b +=B ．21a b +=C ．18ab ≤D ．29a bab+≥ 【答案】BCD 【分析】根据直线与圆的位置关系可得21a b +=排除A ，再由均值不等式判断CD 即可. 【详解】由224210x y x y ++-+=可得22(2)(1)4x y ++-=，故圆的直径是4，所以直线过圆心()2,1-，即21a b +=，故B 正确； 又a ，b 均为正数，所以由均值不等式18ab ≤，当且仅当11,42a b 时等号成立；故C 正确；又2212a b a b ab ab ab b a +=+=+()1222214a b a b b a b a ⎫⎛=++=+++ ⎪⎝⎭59≥+=， 当且仅当22a b b a=，即a b =，即13a b ==时，等号成立，故D 正确.故选：BCD 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.30．（2021·全国高三专题练习）设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过()0,3，且与圆C 交于A 、B 两点，且AB =，则直线l 的方程是（ ）A ．4390x y -+=B ．34120x y +-=C ．0x =D ．4390x y +-=【答案】BC 【分析】求出圆C 的圆心坐标与半径，利用勾股定理求出圆心C 到直线l 的距离d ，然后对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线l 的方程. 【详解】圆C 的标准方程为()()22114x y -+-=，圆心为()1,1C ，半径为2r，AB =，所以，圆心C 到直线l的距离为1d ==.①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，此时圆心C 到直线l 的距离为1d =，合乎题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=， 圆心C 到直线l的距离为1d ==，解得34k =-，此时，直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=.综上所述，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=. 故选：BC. 【点睛】易错点点睛：本题考查利用直线截圆所得弦长求直线的方程，在求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.31．（2020·江苏南京市·南京一中高三月考）以下四个命题表述正确的是（ ） A ．直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -+=的距离都等于1C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点()1,2 【答案】BCD 【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A ；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B ；由题意知两圆外切；由圆心距等于半径即可求m 得值，即可判断选项C ；设出点P 坐标，求出以线段PC 为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线AB 的方程，即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：由()()34330m x y m m R ++-+=∈可得：()33430m x x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩可得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点()3,3-，故选项A 不正确；对于选项B ：圆心()0,0到直线:0l x y -+=的距离等于1，圆的半径2r ，平行于:0l x y -=且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B 正确；对于选项C ：由22120C :x y x ++=可得()2211x y ++=，圆心()11,0C -，11r =，由 222480C :x y x y m +--+=可得()()2224200x y m -+-=->，圆心()22,4C ，2r =1212C C r r =+，1=4m =，故选项C 正确；对于选项D ：设点P 坐标为(),m n ，所以142m n+=，即24m n +=， 因为PA 、PB 分别为过点P 所作的圆的两条切线，所以CA PA ⊥，CB PB ⊥，所以点,A B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的方程为22222m n x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理可得：220x y mx ny +--=，与已知圆22:4C x y +=相减可得4mx ny，消去m 可得：()424n x ny -+=即()2440n y x x -+-=，由20440y x x -=⎧⎨-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线AB 经过定点()1,2，故选项D 正确. 故选：BCD. 【点睛】 结论点睛：（1）圆221111:0C x y D x E y F ++++=和圆222222:0C x y D x E y F ++++=的公共弦的方程为两圆的方程相减即可.（2）已知()11,A x y ，()22,B x y ，以线段AB 为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=.第II 卷（非选择题）三、解答题32．（2021·全国高一课时练习）已知直线1l 经过点(0,1)，直线2l 过点(5,0)，且12l l //． （1）若1l 与2l 距离为5，求两直线的方程；（2）若1l 与2l 之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．【答案】（1）1:12550l x y -+=，2:125600l x y --=或1l ：0x =，2l ：5x =；（2，1:510l x y -+=，2:5250l x y --=． 【分析】（1）根据两直线平行，斜率存在一定相等或都不存在两种情况，写出直线方程求解即可； （2）当经过两点的直线与两点连线垂直时，距离最大，求出此时直线的方程即可. 【详解】（1）①若1l ，2l 的斜率都存在时，设直线的斜率为k ，由斜截式得1l 的方程1y kx =+，即10kx y -+=． 由点斜式可得2l 的方程(5)y k x =-，即50kx y k --=． 在直线1l 上取点(0,1)A ， 则点A 到直线2l 的距离5d ==，22251012525k k k ∴++=+， 125k ∴=． 1:12550l x y ∴-+=，2:125600l x y --=．②若1l 、2l 的斜率不存在，则1l 的方程为0x =，2l 的方程为5x =，它们之间的距离为5．同样满足条件． （2）当经过两点的直线与两点连线垂直时，距离最大，此时斜率5k =，1:510l x y-+=，2:5250l x y--=．【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．33．（2021·全国高二课时练习）一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？【答案】水电站建在P(90，0)处电线用料最省．【分析】如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，再求出点B的坐标，利用对称性求解. 【详解】解：如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，则点A(0，300)，B(x，700)．设点B在y轴上的射影为H，则x＝|BH|300，故点B(300，700)．设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，则直线A′B的斜率k＝103，直线A′B的方程为y＝103x－300.令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)，故水电站建在P(90，0)处电线用料最省．【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键，其一是：想到利用解析法来求解；其二是，能够利用数形结合利用对称性找到满足题意的位置.34．（2020·全国高二课时练习）已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围.。

高中数学直线与圆精选题目（附答案）一、两直线的位置关系1．求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2．判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2.(2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法(1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2.1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝－(－b )．④由③④联立，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2.经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23 ，b ＝2.注：已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去．(2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43C ．2D ．3解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D.3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )或0 C ．0D ．－2解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝32.故选A. 二、直线方程1．直线方程的五种形式2．常见的直线系方程(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.4.过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．[解] 当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，∴B(3,0)，C(3,6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，显然k≠0且k≠2.令y＝0，得x＝3＋1 k ，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1k ，0，由⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＋1＝kx －3，得点C 的横坐标x C ＝3k ＋1k －2. ∵|BC |＝2|AB |，∴|x B －x C |＝2|x A －x B |， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ＋1k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ， ∴3k ＋1k －2－1k －3＝2k 或3k ＋1k －2－1k －3＝－2k， 解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0. 注：求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．5．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．解：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行(否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13，d 2＝|m ＋13|13，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0. 6．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.三、圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C 2；②过圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ为参数，λ∈R)．7.在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)，经过这三个点的圆记为M .(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程； (2)求圆M 的方程．[解] (1)法一：由B (2,0)，C (0，－4)，知BC 的中点D 的坐标为(1，－2)．又A (－3,0)，所以直线AD 的方程为y －0－2－0＝x ＋31＋3，即中线AD 所在直线的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. 法二：由题意，得|AB |＝|AC |＝5， 则△ABC 是等腰三角形， 所以AD ⊥BC .因为直线BC 的斜率k BC ＝2， 所以直线AD 的斜率k AD ＝－12，由直线的点斜式方程，得y －0＝－12(x ＋3)，所以直线AD 的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. (2)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)三点的坐标分别代入方程，得⎩⎨⎧9－3D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，16－4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝52，F ＝－6.所以圆M 的方程是x 2＋y 2＋x ＋52y －6＝0.注：利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，从而求出D ，E ，F 的值．8．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.9．已知圆C 经过点A (2，－3)，B (－2，－5)，且圆心在直线l ：x －2y －3＝0上，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎨⎧2－a2＋－3－b 2＝r 2，－2－a 2＋－5－b2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.10．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：联立两圆的方程得方程组 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0. 再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径长为125＋12＋－6－22＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.四、直线与圆的位置关系1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离．2．过圆外一点(x 0，y 0)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y－kx0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k；②当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．3．圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解．(2)利用圆的弦长公式l＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2(其中x1，x2为两交点的横坐标)．(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d、圆的半径r与弦长的一半l2为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l＝2r2－d2.4．圆与圆的位置关系：(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．(2)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交．则两圆方程相减后得到的新方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．11.(1)直线x＋y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交于A，B两点，则|AB|＝( )(2)若直线x－my＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则m的值为( )A．1 B．±1C．± 3(3)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l过定点A(1,0)．①若l与圆C相切，求l的方程；②若l与圆C相交于P，Q两点，且|PQ|＝22，求此时直线l的方程．[解析] (1)∵圆心(1,2)到直线x＋y－2＝0的距离d＝22，∴|AB|＝212－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，故选D.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝± 3. 答案：(1)D (2)C(3)解：①若直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝1，符合题意． 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3,4)到直线l 的距离等于2，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y －3＝0.综上可得，所求直线l 的方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.②由直线l 与圆C 相交可知，直线l 的斜率必定存在，且不为0，设直线l 的方程为k 0x －y －k 0＝0，圆心(3,4)到直线l 的距离为d ，因为|PQ |＝24－d 2＝22，所以d ＝2， 即|3k 0－4－k 0|k 20＋1＝2，解得k 0＝1或k 0＝7，所以所求直线l 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0. 注：研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k 不存在情形，要注意作出图形进行判断．12．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．22D ．3解析：选C 切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.13．P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是( )B ．22D ．23解析：选C 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.根据对称性可知四边形PACB 的面积等于2S △APC ＝2×12×|PA |×r ＝|PA |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2，所以四边形PACB 面积的最小值为4－1＝ 3.14．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点．解：假设存在且设l ：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)，则过圆心C 垂直弦AB 的直线为y ＋2＝－x ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y ＋2＝－x ＋1得AB 的中点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－m ＋12，m －12， 由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |. 又|AN |＝|CA |2－|CN |2＝ 9－2×⎝⎛⎭⎪⎫m ＋322， |ON |＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122.所以9－2×⎝⎛⎭⎪⎫3＋m 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122， 解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的．。

2 2 2(Xa) (y b) r(圆心为 A(a,b),半径为 r )X 2 y 2 DXEyF 0( D 2 E 2 4F O )点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离 d与r 在大小关系判断直线与圆的位置关系判断方法（1） 几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。

d=r 为相切，d>r 为相交,离。

适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。

禾U 用这种方 法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、 最近距离等。

（2） 代数法：由直线与圆的方程联立得到关于 X 或y 的一元二次方程，然后由判别式△来判断。

相切，△ >0为相交，△ <0为相离。

禾U 用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。

4. 圆与圆的位置关系判断方法（1）几何法：两圆的连心线长为 I ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:1）当l r1 r2时，圆CI与圆C 2相离；2）当l r1 r2时，圆C I 与圆C 2外切；3）当|r1 r 21 l r1 r2时，圆C I 与圆C 2相交；4）当l |r1 r 21时，圆CI 与圆C 2内切；5）当l |r1 r2 |时，圆CI与圆C 2内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于 X 或y 的一元二次方程，然后由判别式△来判断。

△ 切或内切，△ >0为相交，△ <0为相离或内含。

若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。

5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系知识点圆与直线圆心（-2,-2 ）半径√D 2E 24F圆的方程：（1）标准方程:（2）圆的一般方程:d<r 为相=0为=0为外选择题1•圆（X 1）2（y 3）21的切线方程中有一个是（）A . x—y= 0B . x+ y = 0 C. X= 0 D. y= 02.若直线ax 2y 1 0与直线x y 2 0互相垂直，那么a的值等于（）1 2A. 1B. -C. -D. 23 33.设直线过点（0, a）,其斜率为1 ,且与圆x2y2 2相切，则a 的值为（）A. 4B. 2.2C. 2D.4 .平面的斜线AB交于点B ,过定点A的动直线I与AB垂直，且交于点C , 则动点C的轨迹是( )A .一条直线B .一个圆C. 一个椭圆D. 双曲线的一支X 5.参数方程2（为参数）所表示的曲线是( )y ta n COtA .圆B .直线C.两条射线 D .线段6.如果直线h,∣2的斜率分别为二次方程x2 4x 1 0的两个根，那么h与J的夹角为（）A .B .—3 4 C . D .-6 87.已知M {(x, y)| y 9 x2 ,y 0}, N {(x, y) | y X b},若MnN ,则b( ）A . [3ι2,3ι2]B . (3 一2,3「2)C . (3,3 &]D . [3,3、&]( ) A. 4 B . 5 C. 32 1 D . 2.69.若直线ax 2by 2 0(a,b 0)始终平分圆 2 2Xy 4x12y 8 0的周长，贝U -2a b的最小值为( )A. 1 B . 5 C. 42 D. 3 22& 一束光线从点A( 1,1)出发，经X轴反射到圆C :(X 2)2(y 3)21上的最短路径是穷多个点x, y可使目标函数Z X my取得最小值，则m ( )A . 2B . 1C . 1D . 410.已知平面区域D由以A 1,3、B 5,2、C 3,1为顶点的三角形内部和边界组成11、设M2000102001101,N 2001 ’10 12002101O20009102001 10010 20019102002100则M与N、P与Q的大小关系为( )A. M N, P QB. M N, P QC.M N, P QD. M N,P Q12、已知两圆相交于点A(1,3和点B(m, 1),两圆圆心都在直线I:XyC 0上，贝U m C的值等于A .-1B . 2C . 3D .013、三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为A.15B.30C.36D.以上都不对14、设m 0 ,则直线.2( X y) m 1 0与圆X22y m的位置关系为A.相切 C.相切或相离相交或相切B. 相交 D.15、已知向量(2cos ,2sin ), (3cos ,3sin ),若的夹角为60 ,则直线.若在区域D上有无它与两定点A(4, - 1), B(3, 4)的距离之差最大，贝U P 点坐标是2y 1 2 ,则C 上各点到l 的距离的最大值与最小值之差为l : XCoS ysin交但不过圆心 B1 2 2 1-0与圆C : (X cos ) (y Sin ) —的位置关系是(2 2•相交过圆心 C •相切 D •相离 )A •相2 2 -6、已知圆 O: (X 3) (y 5) 536和点A(2,2), B( 1, 2),若点C 在圆上且 ABC 的面积为兰,则满2( )A.1B.2C.3D.4 17、若圆 G : (X a)2 (y b)2足的关系是A • a 22a 2b 3 0 C • a 2 2b 2 2a 2b 1 0 足条件的点C 的个数是 18、在平面内,与点A(1,2)距离为 2 2b 1始终平分圆C 2: (X 1) (y ()2 B • a 2a 2b 5 0D • 3a 2 2b 22a 2b 1 1,与点B(3,1)距离为2的直线共有 21) 4的周长，则实数a, b 应满A.1 条B. 2条 C. 3 条 D. 4 条 填空题X 4、直线 2 1t 2(t 为参数)被圆1 1t 2 X 24截得的弦长为5、已知圆M :(X cos )2 (y Sin )2直线l :y kx ,以下命题成立的有①对任意实数 ,直线I 和圆M 相切;②对任意实数 ,直线I 和圆M 有公共点;③对任意实数,必存在实数k ,使得直线I 和圆 M 相切④对任意实数 k ,必存在实数 ，使得直线I 和圆 M 相切1、直线2x - y -4=0上有一点 P ,2、设不等式2x 1 m(x 21)对一切满足m2的值均成立，贝U X 的范围为3、已知直线l : X y 40与圆C :6、点A（— 3, 3）发出的光线I射到X轴上被X轴反射，反射光线与圆C :x2 y2 4x 4y 7 0相切，则光线I所在直线方程为一r , ∩∏ 2 27、直线y X与圆X y mx ny 4 O交于M、N两点，且M、N关于直线X y 0对称，2则弦MN的长为____________________ 。

一、选择题1．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为k 的值是（ ）A ．2-B ．2C ．2-或2D ．2-或02．过点)引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．B ．3±C ．D3．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，则a 的值为（ ）A ．6-B ．2-或6C ．2或6-D ．2-4．已知(1,1)P ，(2,3)Q --，点P ，Q 到直线l 的距离分别为2和4，则满足条件的直线l的条数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．45．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（ ） A ．9B ．4C ．12D ．146．已知圆C ：()()22232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．4-D ．14- 7．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（ ）A ．(4][4)-∞-⋃+∞，， B ．(22)-， C ．3[8]2-，D ．(4)+∞，8．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（ ） A ．226160x y y ++-= B ．226160x y y +--= C ．22890x y y ++-=D ．22890x y y +--=9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(4,3)A -处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．510．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交11．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值范围是（ ）A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．22⎡-⎢⎣⎦D ．2⎡⎢⎣⎦12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．直线360x y +-=和圆()2215x y +-=的位置关系为______.14．已知圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为，则m =______．15．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 16．已知k ∈R ，过定点A 的动直线10kx y +-=和过定点B 的动直线30x ky k --+=交于点P ，则22PA PB +的值为__________.17．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 18．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A -，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在一点M 满足2=MA MO ，则实数a 的取值范围是__________．19．直线l 过点()2,3P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为_________．20．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点()00,P x y 在直线2y x =上，且PA PB =，则0x 的取值范围为______．三、解答题21．已知一圆经过点()3,1A ，()1,3B -，且它的圆心在直线320x y --=上. （1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点()3,0C ，求线段CD 的中点M 的轨迹方程.22．如图，已知圆22:414450C x y x y +--+=及点(2,3)Q -.（1）若点(,1)P m m +在圆C 上，求直线PQ 的斜率以及直线PQ 与圆C 的相交弦PE 的长度；（2）若(,)N x y 是直线10x y ++=上任意一点，过N 作圆C 的切线，切点为A ，当切线长NA 最小时，求N 点的坐标，并求出这个最小值； （3）若(,)M x y 是圆上任意一点，求32y x -+的最大值和最小值. 23．已知一个动点M 在圆2216x y +=上运动，它与定点()8,0Q 所连线段的中点为P ． （1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程.24．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在直线方程．25．已知圆心为C 的圆经过A （1，1）和B （2，－2），且圆心C 在直线l ：10x y -+=上.（1）求圆心为C 的圆的一般式．．．方程； （2）是否存在过原点的直线l ′与⊙C 交于E 、F 两点且使EF 为直径的圆过点M （230），若存在，求出直线l ′方程，若不存在说明理由.26．已知圆C ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝16，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m －2)y －3m －4＝0(m ∈R ). （1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为211m 的值；（2）若圆C 与直线l 相离，设MN 为圆C 的动直径，作MP ⊥l ，NQ ⊥l ，垂足分别为P ，Q ，当m 变化时，求四边形MPQN 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】将圆的方程化成标准方程，求出圆心及半径r ，圆心到直线的距离为d ，则圆上的点到直线的最大距离为d r + 【详解】圆22220x y x y k +---=化成标准形式()()22112x y k -+-=+，圆心()1,1，半径r =2k >-；圆心()1,1到直线100x y +-=的距离===d圆上的点到直线的最大距离为+==d r=，解得：2k =或2k =-（舍去） 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的最大距离与最小距离常用的结论：设圆的半径r ，圆心到直线的距离为d ， （1）当dr 时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为d r -；（2）当d r ≤时，圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小距离为0； 2．A解析：A 【分析】由y =221x y +=()0y ≥，由题知直线斜率存在，设直线l 的斜率为k ，10k -<<，设直线l 为0(y k x -=，然后根据圆的弦长公式||AB =以及圆心O 到直线l 的距离d =12AOBSd AB =，进而化简求解即可 【详解】由y =221x y +=()0y ≥，∴曲线y =x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），由题知，直线斜率存在，设直线l 的斜率为k 若直线与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则10k -<<，∴直线l 的方程为：0(y k x -=-，即0kx y --=则圆心O 到直线l 的距离d ==直线l被半圆所截得的弦长为||AB===12AOBS d AB====令211tk=+则AOBS=，当3t4=，即21314k=+时，AOBS有最大值为12此时，21314k=+3k∴=±又10k-<<，k∴=综上所述，直线l的斜率是故答案为：A【点睛】关键点睛：通过圆的弦长公式||AB=和圆心O到直线l的距离d=得出12AOBS d AB==211tk=+，可得AOBS=，进而利用二次函数的性质求解即可，属于中档题3．B解析：B【分析】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2214x a y -++=，则本题等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2222344x a y x a y --+=-+，整理可得()2214x a y -++=，则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，2=，解得2a =-或6.故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线1x +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.4．B解析：B 【分析】以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，利用圆P 与圆Q 相交，两圆有两条公切线，可得结果.【详解】||5PQ ==，以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ， 因为42-<524<+，所以圆P 与圆Q 相交，所以两圆有两条公切线， 所以满足条件的直线l 的条数是2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：转化为判断两个圆的公切线的条数是解题关键.5．D解析：D 【分析】根据弦长可知直线过圆心，再利用基本不等式求ab 的最大值. 【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=， 故该圆圆心为(1,2)-，半径为3. 因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相交，基本不等式求最值，本题的关键是根据弦长判断直线过圆心，这样问题就变得简单易求.6．C解析：C 【分析】根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果. 【详解】圆C ：()()22232++-=x y ，圆心为()2,3C -，由已知，反射光线经过()2,3C -，故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．设(),M a b ，则31232122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即()2,1M -，且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13421k --==--， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心； （2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线.7．C解析：C 【分析】根据题意得直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，进而得直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，再根据32m k m +=--，解不等式即可得答案. 【详解】直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=.由103220x yx y+-=⎧⎨--=⎩得4515xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l恒过点4155C⎛⎫⎪⎝⎭，，11354725ACk+==+，121154625BCk+==--，由图可知直线l的斜率k的取值范围为：116k≤-或37k≥，又32mkm+=--，∴11263mm≤--+-或3273mm-≥+-，即28m<≤或322m-≤<，又2m=时直线的方程为45x=，仍与线段AB相交，∴m的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故选：C.【点睛】本题解题的关键在于根据直线系方程(1)(322)0x y m x y+-+--=得直线l恒过点4155C⎛⎫⎪⎝⎭，.考查数形结合思想，运算求解能力，是中档题.8．A解析：A【分析】求出点A、B的坐标，设圆心坐标为()0,b，由AC BC=可求出圆心C的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C的方程.【详解】易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2b =-，解得3b =-， 所以，圆C 的半径为325BC =--=，因此，圆C 的方程为()22325x y ++=，即为226160x y y ++-=.故选：A. 【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．9．C解析：C 【分析】求出A 关于y 4x +=的对称点A ',根据题意，1A C '-为最短距离，求出即可. 【详解】设点A 关于4x y +=的对称点(,)A a b '，设军营所在区域为的圆心为C ,根据题意，1A C '-为最短距离，∴AA '的中点为43,22a b +-⎛⎫⎪⎝⎭，，直线'AA 的斜率为1, ∴434,22,31,4a b b a +-⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得：7,0a b ==, ∴1716A C '-=-=，故选: C. 【点睛】本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.10．C解析：C 【分析】由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行.11．B解析：B 【分析】首先根据题中条件，可以判断出直线MN 与圆O 有公共点即可，从而可以断定圆心O 到直线MN 的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可， 即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ， 在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=， 故02sin 452OA OM ==1≤， 所以2OM ≤2012x +≤，解得011x -≤≤．故选：B. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.12．D解析：D 【分析】易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 23221k k -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．相交【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径根据圆心到直线的距离与半径的大小关系确定出直线与圆的位置关系【详解】解：圆的圆心坐标为半径则圆心到直线的距离直线与圆的位置关系是相交故答案为：相交【点睛】方法解析：相交 【分析】由圆的标准方程求出圆心和半径，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系，确定出直线与圆的位置关系 【详解】解：圆()2215x y +-=的圆心坐标为(0,1)，半径r =则圆心到直线360x y +-=的距离d =< ∴直线360x y +-=与圆()2215x y +-=的位置关系是相交.故答案为：相交. 【点睛】方法点睛：判断直线与圆的位置关系，常用圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小比较： （1）若d r =，则直线与圆相切； （2）若d r <，则直线与圆相交； （3）若dr ，则直线与圆相离.14．1【分析】根据题意求出圆的圆心与半径由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d 利用点到直线的距离公式可得解可得m 的值即可得答案【详解】根据题意圆即其圆心C 为半径若圆C 被直线截得的弦长为则圆心到直线解析：1 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d ，利用点到直线的距离公式可得d ==m 的值，即可得答案.【详解】根据题意，圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>，即()()2224-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r，若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为则圆心到直线l 的距离d ==圆心到直线l 的距离d ==，则有=1m =或-3（舍），故1m =， 故答案为：1． 【点睛】思路点睛：涉及直线与圆相交的弦长问题，主要是利用垂径定理，即圆心到直线的距离、弦长的一半以及圆的半径构成直角三角形来解.15．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直 解析：)1,2⎡⎣【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】曲线2x 1y =--有即221x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12=，求得2b =，或2b =-（舍去），故要求的实数b 的范围为12b <， 故答案为：)1,2⎡⎣【点睛】易错点睛：本题在把方程2x 1y =--化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.16．13【分析】由两直线方程可得定点再联立两直线方程解出的坐标然后由两点间距离公式可得进而可以求解【详解】动直线过定点动直线过定点联立方程解得则由两点间距离公式可得：故答案为：13【点睛】本题考查了直线解析：13【分析】由两直线方程可得定点(0,1)A ，(3,1)B --，再联立两直线方程解出P 的坐标，然后由两点间距离公式可得2PA ，2PB ，进而可以求解． 【详解】动直线10kx y +-=过定点(0,1)A 动直线30x ky k --+=过定点(3,1)B -- 联立方程1030kx y x ky k +-=⎧⎨--+=⎩，解得223(1k P k -+，2231)1k k k -+++， 则由两点间距离公式可得：222222331(0)(1)11k k k PA k k --++=-+-++， 222222331(0)(1)11k k k PB k k--++=-+-++ 2432432222222222224129412991249124()()(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k PA PB k k k k -+-+++++∴+=+++++++422213(21)13(1)k k k ++==+，故答案为：13． 【点睛】本题考查了直线中定点问题以及两点间距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．17．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可． 试题 因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；18．【分析】设点的坐标为根据可得点的轨迹方程为然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决根据圆心距和半径的关系可得结果【详解】由题意得圆的圆心为半径为1设点的坐标为∵∴整理得故点的轨迹是以为圆心2为半径的圆 解析：[0,3]【分析】设点M 的坐标为(),x y ，根据2MA MO =可得点M 的轨迹方程为()2214x y +-=，然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决，根据圆心距和半径的关系可得结果． 【详解】由题意得圆()()22:21C x a y a -+-+=的圆心为(),2a a -，半径为1．设点M 的坐标为(),x y ， ∵2MA MO =，∴=整理得()2214x y +-=，故点M 的轨迹是以()0,1为圆心，2为半径的圆． 由题意得圆C 和点M 的轨迹有公共点，∴13≤≤，解得03a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]0,3． 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断和利用，解题的关键是根据题意得到点M 的轨迹方程，然后将问题转化为两圆有公共点的问题出处理，再利用代数法求解可得所求的结果．19．3x ﹣2y+12=0【详解】设A （x0）B （0y ）由中点坐标公式得：解得：x=﹣4y=6由直线过点（﹣23）（﹣40）∴直线的方程为：即3x ﹣2y+12=0故答案为3x ﹣2y+12=0解析：3x ﹣2y+12=0 【详解】设A （x ，0）、B （0，y ），由中点坐标公式得：002322x y++=-=， 解得：x=﹣4，y=6，由直线l 过点（﹣2，3）、（﹣4，0），∴直线l 的方程为：320342y x -+=--+， 即3x ﹣2y+12=0． 故答案为3x ﹣2y+12=020．（﹣10）∪（02）【分析】由题意可得CP 垂直平分AB 且y0＝2x0由•a ＝﹣1解得x0把直线y ＝ax+3代入圆x2+y2+2x ﹣8＝0化为关于x 的一元二次方程由△＞0求得a 的范围从而可得x0的取值解析：（﹣1，0）∪（0，2） 【分析】由题意可得CP 垂直平分AB ，且 y 0＝2x 0．由00201x x -+•a ＝﹣1，解得x 0121a -=+，把直线y ＝ax +3代入圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0化为关于x 的一元二次方程，由△＞0，求得a 的范围，从而可得x 0的取值范围． 【详解】解：圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0 即 （x +1）2+y 2＝9，表示以C （﹣1，0）为圆心，半径等于3的圆．∵|PA |＝|PB |，∴CP 垂直平分AB ， ∵P （x 0，y 0）在直线y ＝2x 上，∴y 0＝2x 0．又CP 的斜率等于00201x x -+，∴00201x x -+•a ＝﹣1，解得x 0121a -=+．把直线y ＝ax +3代入圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0可得，（a 2+1）x 2+（6a +2）x +1＝0． 由△＝（6a +2）2﹣4（a 2+1）＞0，求得 a ＞0，或a 34-＜． ∴﹣1121a -+＜＜0，或 0121a -+＜＜2． 故x 0的取值范围为 （﹣1，0）∪（0，2）， 故答案为：（﹣1，0）∪（0，2）． 【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题．三、解答题21．(1) 22(2)(4)10x y -+-=(2) ()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M 的坐标，利用中点得到点D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M 的轨迹方程. 【详解】（1）由已知可设圆心N （a ，3a -2），又由已知得|NA |=|NB |，=，解得：a =2．于是圆N 的圆心N （2，4），半径r ==所以，圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=,(2) 设M （x ，y ），D ()11,x y ，则由C （3，0）及M 为线段CD 的中点得：113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y=-⎧⎨=⎩又点D 在圆N ：22(2)(4)10x y -+-=上，所以有()()222322410x y --+-=，化简得：()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 故所求的轨迹方程为()2255222x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：与圆相关的点的轨迹问题，一般可以考虑转移法（相关点法），设动点的坐标，根据条件，用动点坐标表示圆上点的坐标，再根据圆上点的坐标满足圆的方程求解即可.22．（1）13k =；5PE =；（2）()3,2N -，3）最大值为2+，最小值为2. 【分析】（1）通过点(,1)P m m +在圆C 上，求出4m =，推出P 的坐标，求出直线PQ 的斜率，得到直线PQ 的方程，利用圆心(2,7)到直线的距离d ，求解即可；（2）判断当NC 最小时，NA 最小，结合当NC l ⊥时，NC 最小，求出NC 的最小值，然后求解直线方程；（3）利用32MQ y k x -=+，题目所求即为直线MQ 的斜率k 的最值，且当直线MQ 为圆的切线时，斜率取最值.设直线MQ 的方程为3(2)y k x -=+，利用圆心到直线的距离求解即可.【详解】 （1）点(,1)P m m +在圆C 上，代入圆C 的方程，解得4m =，(4,5)P ∴，故直线PQ 的斜率5314(2)3k -==--.因此直线PQ 的方程为15(4)3y x -=-.即3110x y -+=，而圆心(2,7)到直线的距离5d ===所以||55PE ====.（2）NA ==∴当NC 最小时，NA 最小，又知当NC l ⊥时，NC 最小，∴NC d ==由题得过C 且与直线10x y ++=垂直的直线方程为50x y -+=，(3,2)N ∴-（3）32MQ y k x -=+， ∴题目所求即为直线MQ 的斜率k 的最值，且当直线MQ 为圆的切线时，斜率取最值.设直线MQ 的方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=.当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d r ===两边平方，即22(44)8(1)k k -=+，解得2k=2k =+所以32y x -+的最大值和最小值分别为2+2. 【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法（利用函数的单调性求解最值）；（2）导数法（利用导数求函数的单调性即得最值）；（3）数形结合法（通过“数”和“形”的有机结合求解最值）；（4）基本不等式法（利用基本不等式求解最值）.要根据数学情景灵活选择方法解答.本题的最值就利用了数形结合的方法. 23．（1）22(4)4x y -+=；（2）y x=或4x y +=± 【分析】（1）设(),P x y ，()00,M x y ，用,x y 表示出00,x y ，把00(,)x y 代入已知圆方程化简后可得P 点轨迹方程；（2）截距均为0时，设切线y kx =，截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠，由圆心到切线的距离等于半径求出参数即得切线方程． 【详解】解：（1）设(),P x y ，()00,M x y ，根据中点公式得008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得00282x x y y =-⎧⎨=⎩．由220016x y +=，得22(28)(2)16x y -+=∴点P 的轨迹方程是22(4)4x y -+=．（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线y kx =2=∴3k =±，所以切线方程为3y x =±，当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线(0)x y a a +=≠2=，∴4a =±4x y +=±综上：切线方程为3y x =±或4x y +=± 【点睛】关键点点睛：求动点轨迹方程的方法：直接法：设曲线上动点坐标为(,)x y 后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。

1 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3π C ．65π D ．32π 2 若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y xD ．1)2()1(22=-++y x4 已知直线21:+=x y l ，直线l 过点)1,2(-P ，且l 到l 的夹角为 45，则直线l 的方程是（ ）A 5 A 6 A 7）A 8 A 9 点(A 10 A C ．点)0,1(在区域x y 2>内D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内11 由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是 ( )A ．2B ．19C ．1D ．412 三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．113 已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ，若1l 到2l 的夹角为60，则k 的值是A ．03或B ．03或-C ．3D ．3-14 如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．31-C ．32-D ．2-15 若直线023022=--=++y x y ax 与直线 平行，那么系数a 等于( )A ．3-B ．6-C ．23-D ．3216 由y A ．4π17 A ．(x C ．2(18 A C 1.已知点2.过点A 3.已知圆4.圆2x +5._6、设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。

变式1：方程224(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。