2018版高考数学一轮复习第十一章统计与概率第6讲离散型随机变量的分布列理

1 第6讲 离散型随机变量的分布列

一、选择题

1．已知随机变量X的分布列如下表：

X 1 2 3 4

5

P 115 215 m 415 13

则m的值为( )

A.115 B.215 C.15 D.415

解析 利用概率之和等于1，得m＝315＝15.

答案 C

2．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于 ( )．

A.19 B.16 C.13 D.14

解析 ∵12a＋22a＋32a＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝22×3＝13.

答案

C

3．若随机变量X的概率分布列为

X x1 x2

P p1 p2

且p1＝12p2，则p1等于 (

)．

A.12 B.13 C.14 D.16

解析 由p1＋p2＝1且p2＝2p1可解得p1＝13.

答案 B

4．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1,2，„，则P(2

A.316 B.14 C.116 D.516

解析 P(2

答案 A

5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于( )． 2 A.15 B.25 C.35 D.45

解析 P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－C14C22C36＝45.

答案 D

6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于

( )．

A．C10123810582 B．C91238958238

C．C911589382 D．C9113810582

解析 “X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X＝12)＝38C911389582＝C9113810582.

答案 D

二、填空题

7．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i10，(i＝1,2,3,4)，则P12＜X＜72＝________.

解析 P12＜X＜72＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝35.

答案 35

8．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．

解析 η的所有可能值为0,1,2.P(η＝0)＝C12C12C14C14＝14，P(η＝1)＝2C12C12C14C14＝12，P(η＝2)＝C12C12C14C14＝14.

答案

η 0 1 2

P 14 12 14

9. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为____________． 3 解析 由251612p得53p

答案 35

10．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．

解析 X＝－1，甲抢到一题但答错了，或抢到三题只答对一题；X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错；X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对；X＝2时，甲抢到2题均答对；X＝3时，甲抢到3题均答对．

答案 －1,0,1,2,3

三、解答题

11．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：

(1)该顾客中奖的概率；

(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．

解 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率

P＝C14C16＋C24C210＝3045＝23.

或用间接法，即P＝1－C26C210＝1－1545＝23.

(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且

P(X＝0)＝C04C26C210＝13，P(X＝10)＝C13C16C210＝25，

P(X＝20)＝C23C210＝115，P(X＝50)＝C11C16C210＝215，

P(X＝60)＝C11C13C210＝115.

所以X的分布列为：

X 0 10 20 50 60

P 13 25 115 215 115

12. 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ 4 ＝0 ；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.

(1)求概率P(ξ＝0)；

(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．

解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C23对相交棱，因此P(ξ＝0)＝8C23C212＝8×366＝411.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P(ξ＝2)＝6C212＝111，

于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝1－411－111＝611，

所以随机变量ξ的分布列是

ξ 0 1

2

P 411 611 111

因此E(ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.

13．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.

(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；

(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．

解 (1)∵X的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为

P(X＝0)＝1－12×1－13×1－23＝19，

P(X＝1)＝12×1－13×1－23＋1－12×13×1－23＋1－12×1－13×23＝718，

P(X＝2)＝12×13×1－23＋1－12×13×23＋12×1－13×23＝718，

P(X＝3)＝12×13×23＝19.

∴X的分布列为

X 0 1 2 3

P 19 718 718 19 5 (2)∵得分η＝5X＋2(3－X)＝6＋3X，

∵X的可能取值为0,1,2,3.

∴η的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为

P(η＝6)＝P(X＝0)＝19，P(η＝9)＝P(X＝1)＝718，

P(η＝12)＝P(X＝2)＝718，P(η＝15)＝P(X＝3)＝19.

∴得分η的分布列为

η 6 9 12 15

P 19 718 718 19

14. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率．

解 X的取值分别为1,2,3,4.

X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，

故P(X＝1)＝0.6.

X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，

故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.

X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，

故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.

X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，

故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.

∴李明实际参加考试次数X的分布列为

X 1 2 3 4

P 0.6 0.28 0.096 0.024

李明在一年内领到驾照的概率为

1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.