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高等数学微分方程的基本概念教学ppt讲解

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微分方程—微分方程的基本概念(高等数学课件)

微分方程—微分方程的基本概念(高等数学课件)
2

2
把 2 、x的表达式代入方程后成为一个恒等式，

这说明： = 1 + 2 ,是微分方程的解，并且是通解.
课程小结
微分方程的定义
微分方程的阶
（常微分方程，偏
微分方程）
微分方程的解
（通解，特解，
定解条件）
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
例1：验证函数 = 1 +
2
2 ,是微分方程 2

+ 2 = 0的解.
解：求出所给函数的导数

= −1 + 2 ,

2
2
2
=
−


−
2
1
其中 ，−1 ⋯ ，1 ， ()， 是关于的函数.
微分方程的阶，解
微分方程的阶：方程中所含有未知函数导数（或微分）的最高阶数.
一般的，n阶微分方程的形式：
, , ′ ， ⋯ () = 0, 或 () = , , ′ , ⋯ (−1) .
等式，那么函数 = 是微分方程的解.
例：
通解：


2
= −0.4
2
= 3,
=
3 2

2
3
+ ，
3
2
特解： = 2 + 2 .
= −0.2 2 + 1 + 2 ，
= −0.2 2 + 20.
微分方程的阶，解
通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意的常数的个数
等于该方程的阶数.
特解：当通解中各任意常数都取定值时所得的解.

高等数学同济件 微分方程总结PPT课件

高等数学同济件 微分方程总结PPT课件

2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程, 使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.
第14页/共21页
四、设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x) f ( x) f ( x) 0
证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0， 则f(x)在该两点之间恒为零。
设x1, x2使f ( x1 ) f ( x2 ) 0
第7页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
第9页/共21页
定理2：若 y1( x)与 y2( x)是方程
y p( x) yq( x) y 0 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解. 五、二阶常系数线性微分方程的解法
第10页/共21页
一、填空题
综合练习
1.曲线族 y Cx2 所满足的一阶微分方程是_x_y__ 2 y
f ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x1 x x2 )
r2 r 1 0
r1,2
1 (1 2
5)
第15页/共21页
故f ( x) C1er1x C2er2x f ( x1) f ( x2 ) 0 C1er1x1 C2er2x1 0
C1er1x2 C2er2x2 0 C1 C2 பைடு நூலகம் 故f(x)=0
第8页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) (3) y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f2( x) (4) 定理4 设 y1* , y2* 分别是方程(3)与(4)的特解, 则 y1* y2* 是方程 y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) f2( x) 的特解。

高等数学(第三版)课件：常微分方程的基本概念

高等数学(第三版)课件：常微分方程的基本概念

y 1 (e2x e2x ). 4
y' |xx0 y'0 , 或 y'(x0 ) y'0 , 其中x0 , y0 , y'0都是已知值. 一般地，对于n阶微分方程需给出n个初值条件：
y(x0 ) y0，y'(x0 ) y'0 ,，y(n1) (x0 ) y0(n1) .
4.微分方程的解的几何意义 微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通
(11)
的特解.
解 将函数y C1e2x C2e2x分别求一阶及二阶导数， 得 y' 2C1e2x 2C2e2x，
y" 4C1e2x 4C2e2x，
把它们代入微分方程(10)的左端，得
y" 4 y 4C1e2x 4C2e2x 4C1e2x 4C2e2x 0
所以函数y C1e2x C2e2x是所给微分方程(10)的解. 又因这个解中含有两个独立的任意常数，任意常数
微分方程的基本概念
一、引例 二、微分方程的一般概念
一、引例
例1 一曲线通过点 (1,2),且该曲线上任意点P(x,y)处的切
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为y y(x).由导数的几何意义得
dy 3x2 , d(1,2)，故y y(x)应满足条件：
解 设物体在时刻t所经过的路程为s s(t), 根据牛顿 第二定律可知，作用在物体上的外力mg(重力) 应等于物体的质量m 与加 速度的乘积，于是得
m d2s mg，即 d2s g
(5)
dt 2
dt 2
其中g是重力加速度.
将上式改写为
d dt
ds dt
g，
因此可得

《高数全微分方程》课件

《高数全微分方程》课件
《高数全微分方程》PPT 课件
# 高数全微分方程 PPT课件
这是一份关于《高数全微分方程》的PPT课件，旨在向大家介绍微分方程的概 念、求解方法和应用。让我们一起探索微分方程的神奇世界吧！
前言
在本节中，我们将概述微分方程的含义和分类，并引入本次课程的主要内容：全微分方程。
概述微分方程
介绍微分方程的定义和基本性质，以及它们 在数学和科学中的重要性。
求解方法和应用
回顾全微分方程的不同求解方法，并强调它 们在数学和科学领域中的广泛应用。
重要性
强调全微分方程在实际问题中的重要性，以 及进一步学习和应用的必要性。
参考资料
在这一部分中，我们推荐相关教材和参考资料，以供进一步学习和深入研究。 总计token数量为340。
求解全微分方程
在本节中，我们将介绍三种方法来求解全微分方程。
1Leabharlann 方法一：求解常微分方程利用已知的常微分方程解法，结合全微分方程的性质，进行求解。
2
方法二：变量分离法
利用变量分离法将全微分方程转化为常微分方程，并求解。
3
方法三：积分因子法
介绍积分因子法的原理和步骤，并应用于求解全微分方程。
全微分方程的应用
全微分方程
解释什么是全微分方程，并与一阶常微分方 程进行对比。
全微分方程的概念
这一部分将为大家定义全微分方程，并介绍它与一阶常微分方程的区别。
1 定义全微分方程
2 与一阶常微分方程的区别
解释全微分方程是什么，并探讨它们的特 性和应用领域。
比较全微分方程与一阶常微分方程的异同 点，以及它们在求解方法上的差异。
在本节中，我们将探讨全微分方程的物理意义和应用实例。
全微分方程的物理意义

高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt

高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.

高等数学第十一章课件.ppt

高等数学第十一章课件.ppt

这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下：
(1) 分离变量 将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两 端 积 分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ； 则 G( y) F(x) C 称为隐式通解，隐式解有时可以
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xerx ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2x)erx;
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y py qy f1(x) f2 (x)
的特解．
定理 4 若 Y 是线性齐次方程 y py qy 0 的
通解， y 是线性非齐次方程 y py qy f (x) 的一个
解，则Y y 是 y py qy f (x) 的通解．
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
形如
dy f (x)g( y)(g( y) 0) dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．

高等数学之微分方程课件

高等数学之微分方程课件
8-4 二阶微分方程
精品课程
例８ 求微分方程 的通解
解 特征方程为 共轭虚根为 原方程的通解 （共轭虚根时，由欧拉公式有 再根据该方程 的线性组合仍是解而消去i ）
8-5 数学建模：微分方程应用(2)
精品课程
战争模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的兵力，可视为双方的士兵人数，一个简化模型是,假设一支军队参站人数减少（死亡或受伤）的比率(如 ) 是与另一支军队集中向其开火的次数成正比，而这开火的次数又与该方军队中参战人数成正比。 于是x、y服从微分方程： （１） 下面分析求解此微分方程组
《高等数学》 教学课件
旅游旅行攻略
汇报人姓名
CLICK TO ADD TITLE来自八章 微分方程精品课程
8-1 什么是微分方程
精品课程
引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程? 解 设所求曲线y=f ( x ) ，根据导数的几何意义得 （1） 此外还应满足条件 把方程（1）两边积分，得 即 把条件 代入（2），得C=1 把 C=1代入（2）式，即得所求曲线方程
8-4 二阶微分方程
精品课程
解 解特征方程 得 于是微分方程的通解 （可以证明，二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解 ，只要他们不成比例，则 为该方程的通解） 例7 求方程 的通解 解 特征方程 则通解为 重根时，得一个特解 ，再用待定法令 或 等等，求得另一个特解
3、如果把某个函数代入微分方程，能使方程恒等，这个方程称为微分方程的解；求微分方程的解的过程，叫做解微分方程
4、微分方程的解有不同的形式，常用的两种形式是：一种是解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解；另一种是解不含任意常数，称为特解

高等数学微分方程总结ppt课件.pptx

高等数学微分方程总结ppt课件.pptx
y py qy 0,
y py qy f ( x)
代数法
求解二阶常系数线性方程
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
高阶常系数线性微分方程
P338
y(n) p1 y(n1) pn1 y pn y 0
代数特征方程 r n p1r n1 pn1r pn 0
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F (x) 2F (x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F (x) e 2d x 4e2x e 2d x d x C
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F (0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
齐次通解
非齐特解
难点：如何求特解？
方法：待定系数法.
y py qy f ( x)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y* xkexQm ( x);
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0 变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0

高等数学 常微分方程PPT课件

高等数学 常微分方程PPT课件
第12页/共35页
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx

《微分方程 》课件

《微分方程 》课件
总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积 分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为 更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量 代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程 简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程，通过微分来描述函 数的变化率。

高等数学PPT课件(共13章)第6章微分方程

高等数学PPT课件(共13章)第6章微分方程

(2)按实际问题写出初始条件; ．
(3)求微分方程的通解;
(4)由初始条件确定所求的特解.
第六章 微分方程
例6-2 【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的
速度行驶,制动时列车的加 速度为 -0.4m/s2,问制动后多长时
间列车才能停下? 这段时间内列车行驶了多少米?
解 设列车制动后t秒行驶了s米.由题意知,初始条件
例6-6-【电容器充电规律】如图6-1所示的RC 电路,已知
在开关S合上前电容C 上 没有电荷,电容C 两端的电压为零,
电源电压为E.把开关合上后,电源对电容充电,电容 C 上的电
压uC 逐渐升高,求电压uC 随时间t变化的规律.
图6-1
第六章 微分方程
第六章 微分方程
第六章 微分方程
图6-2
=α+iβ,r2 =α-iβ (其中α 与β是实数,且β≠0).容易验证,
y1=eαxcosβx、y2=eαxsinβx 是方程(6-30)的两 个线性无关的特
解,故齐次方程(6-30)的通解为
第六章 微分方程
求二阶常系数齐次线性微分方程y″+py'+qy=0的通解的
步骤如下:
第一步,写出微分方程的特征方程r2 +pr+q=0;
第六章 微分方程
定理6-1 若y1、y2 是二阶常系数齐次线性微分方程(6-30)
的两个解,则y=C1y1+ C2y2 也是方程(6-30)的解;如果y1与y2 线
性无关,则y=C1y1+C2y2 是方程(6-30)的 通解.
证明
第六章 微分方程
所以y=C1y1+ C2y2 是方程(6-30)的解.由于y1 与y2 线性无
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(9)
2
这就是初速度为0的物体垂直下落时距离
s与时间t之间的函数关系．
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9
第六章 常微分方程
二、微分方程的定义
第一节 微分方程的基本概念
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.
如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就 称为常微分方程。
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 , 都是常微分方程；
y(4) 4 y ' 4 y xex
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11
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数， 并且在方程中出现偏导数
如
2u x2

2u y2

2u z2

0
就是偏微分方程；
本章我们只介绍常微分方程。
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 可降阶的高阶微分方程 第四节 二阶线性微分方程解的结构 第五节 二阶常系数线性齐次微分方程
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由题意知 t = 0 时，
s 0, v ds 0 dt
(8)
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8
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
把(8)式分别代入(6)，(7)式，得
C1 = 0 , C2 = 0. 故(7)式为
s 1 gt 2
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3
第六章 常微分方程
一、问题引入
第一节 微分方程的基本概念
例1 一曲线过点(0, 0)，且曲线上各点处的切线斜率等 于该点横坐标的平方，求此曲线方程．
解 设所求曲线的方程为y=y(x)
(x,y)为曲线上的任意点，在该点曲线的切线的 斜率为y′,依题意有：
(3)
将(3)式代入(2)式，得C = 0，所以
y 1 x3 3
为所求的曲线方程．
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5
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例2 一物体由静止开始从高处自由下落，已知物体 下落时的重力加速度是g ，求物体下落的位置与时间 之间的函数关系。
1
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第一节 微分方程的基本概念
本节主要内容:
一.问题引入 二.微分方程的定义 三.求微分方程的解
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2
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
在力学、物理学及工程技术等领域中为 了对客观事物运动的规律性进行研究，往往 需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的 性质，常常只能得到待求函数的导数或微分 的关系式，这种关系式在数学上称之为微分 方程。
y xy2 0, xdy ydx 0 y 2 y y 3x2 1
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或 微分)之间的关系式.
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10
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
解 设物体的质量为m,由于下落过程中只受重力作用, 故物体所受之力为
F = mg，
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6
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
又根据牛顿第二定律， F = ma
及加速度
d2s a dt 2
,所以
d2s m dt 2 mg,
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
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13
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
分类2:按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、 二阶和高阶微分方程
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0,
12
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 ,
xdy + ydx = 0
都是一阶微分方程；
d2s dt 2

g,
y ''
2 y '
y

3x2

1
都是二阶微分方程.
y(4) 4 y ' 4 y xex 是四阶微分方程；…等等．
即
d2sLeabharlann dt 2 g(5)
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
现在来求s与t之间的函数关系，对(5)式
两端积分得
ds dt

gt

C1
(6)
再两端积分，得
s

1 2
gt 2

C1

C2
(7)
这里C1，C2都是任意的常数．
y f ( x, y);
高阶(n)微分方程
F ( x, y, y,, y(n) ) 0, y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
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第六章 常微分方程
y' x2
(1)
两边积分，得
y 1 x3 C
(2)
3
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
上式表示的是曲线上任意一点的切线的斜率为x2的所 有曲线．但要求的是过点(0,0)的曲线，即
x = 0时， y = 0