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学生毕业论文
（ 2012 届）
题目（中文）矩阵的秩的性质与应用
（英文）The properties and applications of matrix rank 专业：数学与应用数学班级：姓名：学号: 指导教师：
****学院教务处制
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摘要：本文探讨了矩阵的秩的不变性，矩阵秩的Sylvester与
Frobenius
不等式及其等式成立的条件及应用，矩阵秩与矩阵运算的关
系，与矩阵可逆的关系，与向量组的线性相关、与零特征值代数重数的关系等一些性质．从而得到矩阵的秩在线性代数方面，解析几何，概率论等中的应用．
关键词：矩阵秩；矩阵秩不变性；矩阵秩不等式；矩阵秩恒等式；
线性方程组；零特征值代数重数；齐次线性方程组
Abstract: This article discuss the invariant of matrix rank, Sylvester and Frobenius inequality and the condition of its equality, and the relationship of matrix operations and matrix rank, the relation ship of invertible matrix and matrix rank, and the vectors of linear correlation, and zero Eigen valu e algebra and heavy number relation and so on. Thus we can obtain the rank of matrix’s applicatio n in linear algebra, analytic geometry, probability theory and so on.
Keyword: matrix rank; invariance of matrix rank; rank of matrix inequalities; rank of matrix equal ities; linear equations; zero Eigen value algebra and heavy number; homogeneous linear equations .
目录
1 矩阵秩的性质 (2)
1.1矩阵的秩的不变性..........................................................................................
2 1.2 矩阵的秩的一些基本性质...........................................................................
7 1.3矩阵的秩与矩阵的运算..................................................................................
7 1.4 关于矩阵的秩的一些不等式等式及其应用.................................................
8 1.5 矩阵的秩与可逆...........................................................................................
12
2 求矩阵的秩............................................................................................................
13 3 矩阵的秩在线性代数中的应用............................................................................
13 3.1 矩阵的秩与解线性方程组.........................................................................
13 3.2 矩阵的秩与向量组的相关性.....................................................................
14 3.3 矩阵的秩与零特征值代数重数相关性讨论...............................................
15 4 矩阵的秩在解析几何中的应用．........................................................................
17 4.1 矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系时的应用．...............................
17 4.2 矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系的应用．.................................
19 4.3 矩阵的秩在判定直线与直线的位置关系的应用．...................................
19 5 矩阵的秩在判定齐次Markov链遍历性中的应用 ..............................................
20 参考文献......................................................................................................................
22 致谢..............................................................................................................................
矩阵的秩的性质及应用
矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成，1801年德国数学家高斯.FGauss，17771855 把一个线性变换的全部系数作为一个整体．
1844年,德国数学家爱森斯坦.,18231852FEissenstein 讨论了“变换”（矩阵）及其乘积．1850年,英国数学家西尔维斯特,18411897
James
Joseph
Sylvester
首先使用了矩阵一词．1858年,英国数学家凯莱.,18211895AGayley 发表《关于矩阵理论的研究报告》．他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列的文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、两矩阵之和，一个数与一个矩阵的数量积、两矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等．并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且mn 矩阵只能用nk 矩阵去右乘．1854年，法国数学家埃米尔特.,18221901CHermitem 使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学
家费罗贝乌斯..18491817FGFroheniousm
发表．1879年，费罗贝乌斯引入矩阵秩的概念．
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是应用数学研究的一个重要的工具．
矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量．矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，无论是在线性代数中，还是在解析几何中，甚至在概率论中，都有不可忽略的作用．
本文在1.4提到的Sylvester与Frobenius不等式分别由Sylveste
与Frobenius
在1884年及1911年给出的，百年来很多数学家研究了使其等式成立
的条件，2004年，2008年，胡付高分别给出了矩阵多项式秩的Sylvester与
Frobenius
不等式成立条件：定理1.4.4，定理1.4.5.
本文参考文献[1]、[3]、[9]，给出了矩阵的三种等价的定义，并且探讨了矩阵的几种重要的
