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东南大学高等数学B期末考试试卷A参考答案及评分标准

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08-09-3高数B期末试卷（A）参考答案及评分标准
09.6.8

一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)
1.曲面2cos()e4xzxxyyz在点(0,1,2)处的法线方程是1222xyz；

2.设22223uxyz，则梯度(1,2,0)14,,033ugrad；
3.已知2,1,2,1,3,2AB，则A在B方向的投影5()14BA；
4.设闭曲线:1Cxy，取逆时针方向，则曲线积分2ddCyxxy的值是2；
5.设函数(,)Fxy具有一阶连续偏导数，则曲线积分(,)(dd)ABFxyyxxy与路径无关的充分必要
条件是xyxFyF；
6.二重积分2221ecosddxxyyxyxy的值是0；
7.设S为球面：2222xyzR，则曲面积分222dSxyzS的值是44R；
8.设C是折线11(02)yxx，则曲线积分dCys的值是2；
9.取21lnnann（注：答案不唯一），可使得级数2nna收敛，且级数2lnnnan发散.
二.计算下列各题(本题共4小题，满分30分)
10．（本小题满分7分）设((),)zfxyxy，其中f具有连续的二阶偏导数，具有连续导数，

计算2,zzxxy.
解12zffx，（3分）21111222()zfxfxffxy（4分）
11．（本小题满分7分）计算2(1)ddDxxyxy，其中22(,)1,0Dxyxyx.
解21230013(1)dd0dd224Dxxyxy（1+1+3+2分）
12．（本小题满分8分）计算二次积分11213021dedxxyxyy.
解，1111111211133200222111deddede1de2xxxyyyyxyyxyyyy（3+2+3分）
13.（本小题满分8分）求密度均匀分布的立体
的质心坐标.

解0xy（1分）22cos3400122cos2400125dsincosdd252421812dsindd3rrzrr
（1+1+2+2+1分）
三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A且与z轴相交，又与直线1:23Lxyz垂直的
直线方程.
解设312xyzlmn为所求直线L的方程，（1分）由于直线L与z轴相交，所以三个向量


,,lmns
，OA及k共面，从而3120001lmn，即30lm（1），（2分）

又由于L与1L互相垂直，得11023lmn，即6320lmn（2）（2分）联立（1），（2）
解得3lm，152nm，所求直线L的方程为3126215xyz（2分）

四（15）。（本题满分7分）计算dSxSz，其中S是柱面222(0)xyaya被锥面
22
zxy

和平面2za所截下的部分.

解22212xxayzayy（2分）
2
22222001d22d2dd22yzza
a

SD

x
a

Sayyazyazzzayy




（2+2+1分）

五（16）.（本题满分7分）计算ecosd5esindxxCIyxxyyy，其中C为曲线
2
2xyy

，方向沿y增大的方向.

解记2(0,0),(0,2),(,)02OADxyxyy，由Green公式得
5
5dsind1cos22AODIyyy

（2+1+3+1分）

六（17）（本题满分7分）计算222dddd()ddSIyxzyzzyzxxzxy，其
中S为222zxy被0z所截部分，取上侧.
解补一个面224:0xyz，取下侧，由S和所围成的区域记为，由Gauss公式得
2
22

0

416
ddd(2)d4433Izvxxyzzz

（3+2+1+1分）

七（18）（本题满分6分）证明不等式1(1)eyyxx，01x，0y.
证设(,)(1)yfxyyxx，(,)fxy在区域01,0xy的边界上恒为0，而在内部恒为
正，故f的最大值只能在区域内部达到，（2分）令()0yxfyxyxyx，
(1)(1ln)0yyfxxyx
，在区域01,0xy内求驻点，得(1)yxx（1）及

1eyx

（2），（2分）这表明(,)fxy在区域01,0xy内的最大值点应满足方程（1）

（2），然而在（1）（2）所确定的点上11(,)(1)eeyfxyyxxx，所以
1
(,)(1)eyfxyyxx
，01x，0y.（2分）

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东 南 大 学 高等数学下期末考试( A 卷)

东 南 大 学 高等数学下期末考试( A 卷)

共 5 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）一. 填空题1.设一平面过原点及点()6,3,2-,且与平面428x y z -+=垂直,则此平面的方程是 .2. 幂级数()()1112ln 1nn nn x n ∞=-+∑的收敛域为 . 3. 交换积分次序:()()122001d ,d d ,d y yy f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.4. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-=⎰ .二. 单项选择题1.曲面24e 3zxy z +-=在点()1,2,0处的法线与直线12112x y z --==-的夹角为 [ ] (A) 4π (B) 3π (C) 2π(D) 0 2．设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =围成，1D 是D 位于第一象限的部分，则[ ] （A ）()()1sin d d 2d d DD xy y xy x y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（B ）()()()1sin d d 2sin d d DD xy y xy x y y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（C ）()()()()1sin d d 2sin d d DD xy y xy x y xy y xy x y +=+⎰⎰⎰⎰（D ）()()sin d d 0Dxy y xy x y +=⎰⎰3．设∑为上半球面z =，则曲面积分∑的值为 [ ]（A ）4π （B ）165π （C ）163π （D ）83π共 5 页 第 2 页4．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ ] （A ） 充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 三. (本题共5小题，每小题7分，满分3 5分)1．设(),z z x y =是由方程()2223x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求23z zyx x y∂∂+∂∂ .2．将函数()()2ln 2f x x x =+-展成2x -的幂级数。

07-08-2高数AB期末试卷 东南大学大一上学期高等数学试卷

07-08-2高数AB期末试卷 东南大学大一上学期高等数学试卷


六（16）．（本题满分 8 分）设 f (x) 、 g(x) 满足 f (x) g(x) , g(x) 2ex f (x) ，且
f (0) 0, g(0) 2 ，求
0
g(x) 1 x
f (x) (1 x)2
dx
七（17）．（本题满分 8 分）设直线 y ax (0 a 1) 与抛物线 y x2 所围成的图形面积 为 S1 ，它们与直线 x 1 所围成的图形面积为 S2 （1）试确定 a 的值，使 S1 S2 达到最小， 并求出最小值（2）求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
止 于 至 善
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
07-08-2高数AB期末试卷
一.填空题（本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分）
1
1． lim ex x x2
；
x0
sin 1
2．设 y x x ，则 dy
；
3．已知 f (3) 2，则 lim f (3 h) f (3)
n
n n2
3
n2
n 12
n2
n 3n2
；
8． 1 cos 2x cos x2 sin3 x dx
；
9．二阶常系数线性非齐次微分方程 y y 2sin x 的特解形式为
y*
.
二.计算下列积分（本题共 3 小题，每小题 7 分，满分 21 分）
10. 2 x2 2x x2 dx 0
；
h0 sin 2h
4．对数螺线 e 在 对应的点处的切线方程是
；
2
5．设 y y(x)
x 2
09-10-2高数AB期末试卷 东南大学大一上学期高等数学试卷

09-10-2高数AB期末试卷 东南大学大一上学期高等数学试卷


七（19）．（本题满分 6 分）设 f C[l,l] ， f (x) 在 x 0 处可导，且 f (0) 0 ，
（1）求证： x (0,l), (0,1) ，使得
x
x
0 f (t)dt 0 f (t)dt x[ f ( x) f ( x)]
（2）求极限 lim . x0
；
9． lim 1 n sin k n n k 1
.
二.按要求计算下列各题（本题共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）
10．
ln sin x dx sin2 x
11.
dx
2 (x 7) 2
12．
lim
x0
cos(sin x) cos x2 (1 cos )
13．
dx
0 2 cos 2x
；
2(x 1)
4． 1 x 1 x2 2 x 1
；
5．函数 y x2 (t 1)et2 dt 的极大值点是 x 0
；
6．
dx x(1 )
；
7．设 y y(x) 是由 x
e d x y t2
1
0 所确定的函数，则 dy dx
x0
；
8．曲线族 xy C1ex C （ C1 , C2 为任意常数）所满足的微分方程是
14。设 f (x) arcsin(x 1)2 ， f (0) 0 ，计算 1 f (x)dx . 0
三（15）．（本题满分 8 分）求微分方程 y 2 y x 2x 满足初始条件 y(0) 1 ， y(0) 5 的特解.
4
东南大学学生会 Students' Union of Southeast University
止 于 至 善
高等数学b1期末考试试题和答案

高等数学b1期末考试试题和答案

高等数学b1期末考试试题和答案高等数学B1期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+2B. 2x+1C. 2xD. 2x-12. 极限lim(x→0) (x^2-1)/(x-1)的值是（）。

A. -1B. 1C. 0D. 23. 函数y=e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. e^x - CC. xe^x + CD. xe^x - C4. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=1处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 25. 函数y=ln(x)的二阶导数是（）。

A. 1/x^2B. 1/xC. -1/xD. -1/x^26. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 37. 函数y=x^3-3x^2+2x+1的极值点是（）。

A. x=1B. x=2C. x=-1D. x=08. 函数y=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 4D. 89. 函数y=x^2+2x+1的值域是（）。

A. (-∞, +∞)B. [0, +∞)C. (-1, +∞)D. [1, +∞)10. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在x=2处的切线方程是（）。

A. y=x-1B. y=2x-1C. y=3x-2D. y=4x-3二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y=x^3的导数是_________。

12. 极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+1)的值是_________。

13. 函数y=e^x的二阶导数是_________。

14. 曲线y=x^2-4x+4在x=2处的切线斜率是_________。

15. 函数y=ln(x)的值域是_________。

三、计算题（每题10分，共40分）16. 求函数y=x^2-4x+4的极值点。

17. 求函数y=x^3-3x^2+2x+1的不定积分。