2016-2017学年高一数学上学期课时过关检测(含解析)

章末评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列数字特征一定是数据组中数据的是()A．众数B．中位数C．标准差D．平均数解析：众数一定是数据组中数据．答案：A2．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是()A．长方体的体积与边长B．大气压强与水的沸点C．人们着装越鲜艳，经济越景气D．球的半径与表面积解析：A、B、D均为函数关系，C是相关关系．答案：C3．(2014·四川卷)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本解析：调查的目的是“了解某地5 000名居民某天的阅读时间”，所以“5 000名居民的阅读时间的全体”是调查的总体．答案：A4.(2015·陕西卷)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．93 B．123C．137 D．167解析：初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137.答案：C5．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，已知3个区人口数之比为2∶3∶5，如果人口最多的一个区抽出60人，那么这个样本的容量等于()A．96B．120C．180D．240解析：由题意3个区人口数之比为2∶3∶5，得第三个区所抽取的人口数最多，所占比例为50%.又因为此区抽取60人，所以三个区所抽取的总人口数为60÷50%＝120，即这个样本的容量等于120.答案：B6．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图(单位：分)，其中甲班学生成绩的众数是85分，乙班学生成绩的中位数是83分，则x ＋y 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：由茎叶图及甲班学生成绩的众数是85分，可知x ＝5，而乙班学生成绩的中位数是83分，所以y ＝3，所以x ＋y ＝5＋3＝8.答案：B7．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y ^＝bx ＋a 近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值解析：依题意，注意到题中的相关的点均集中在某条直线的附近，且该直线的斜率小于1，结合各选项知，故选B.答案：B8．如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，则在区间[98，100)上的频数为( )A ．0.100B ．0.200C ．20D ．10解析：区间[98，100)上小矩形的面积为0.100×2＝0.200，所以区间[98，100)上的频数为100×0.200＝20.答案：C9.甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用x －甲、x －乙表示，则下列结论正确的是( )第9题图A.x －甲>x －乙，且甲比乙成绩稳定B.x －甲>x －乙，且乙比甲成绩稳定C.x －甲<x －乙，且甲比乙成绩稳定D.x －甲<x －乙，且乙比甲成绩稳定解析：x －甲＝90，x －乙＝88，所以x －甲>x －乙，甲的成绩的方差是15×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，乙的成绩的方差是15×(25＋0＋1＋1＋9)＝7.2，故甲成绩稳定．答案：A10．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25解析：由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1，所以x ＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32.答案：A11．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设这10个数为a 1，a 2，…，a 10，则有a 21＋a 22＋…＋a 210＝200，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝40，则这10个数的方差为（a 1－4）2＋（a 2－4）2＋…＋（a 10－4）210＝a 21＋a 22＋…＋a 210－8（a 1＋a 2＋…＋a 10）＋16010＝200－8×40＋16010＝4.所以标准方差为4＝2.答案：B12．(2014·陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x －，s 2＋1002B.x －＋100，s 2＋1002C.x －，s 2D.x －＋100，s 2解析：x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x －，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x －＋100，方差不变，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________．解析：由题意知，1245＋15＝30120＋a，解得a ＝30. 答案：3014．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a ＝________，b ＝________．解析：由于总体的中位数为10.5，则a ＋b ＝21，所以该组数据平均值为x －＝10，又方差s 2＝（a －10）2＋（b －10）2＋k 10，其中k 为常数， 所以要使该总体的方差最小，可以取a ＝10.5，b ＝10.5.答案：10.5 10.515．关于统计数据的分析，有以下几个结论：①一组数不可能有两个众数；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化； ③调查剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样；④一组数据的方差一定是正数．结论错误的是________．解析：一组数中可以有两个众数，故①错误；根据方差的计算法可知②正确；③属于简单随机抽样，错误；④错误，因为方差可以是零．答案：①③④16．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：( )根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元．解析：由题表可知，x －＝4.5，y －＝35，代入回归方程y ^＝7x ＋a ^，得a ^＝3.5，所以回归方程为y ^＝7x ＋3.5，所以当x ＝10时，y ^＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．答案：73.5三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)有以下三个案例：案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况；案例三：从某校1 000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．(1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程？解：(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样，案例三用系统抽样．(2)抽样过程如下：①分层，将总体分为高级职称，中级职称、初级职称及其余人员四层；②确定抽样比例k ＝40800＝120； ③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人； ④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本；⑤汇总构成一个容量为40的样本．18．(本小题满分12分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A 、B 两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm 的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm)．(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些；(2)计算出s 2B 的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．解：(1)因为A 、B 两位同学成绩的平均数相同，B 同学加工的零件中完全符合要求的个数较多，由此认为B 同学的成绩好些．(2)因为s 2B ＝110×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，且s 2A ＝0.026，所以s 2A >s 2B 在平均数相同的情况下，B 同学的波动小，所以B 同学的成绩好些．(3)从题干图中折线走势可知，尽管A 同学的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A 同学的潜力大，而B 同学比较稳定，潜力小，所以选派A 同学去参赛较合适．19．(本小题满分12分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示.(1)(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量？解：(1)x －＝110(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．(2)中位数为41＋442＝42.5(吨)．(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．20．(本小题满分12分)(2015·广东卷)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220，240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300)的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝1 5，所以从月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．21．(本小题满分12分)某零售店近5个月的销售额和利润额资料如下表所示：(1)(2)用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程；(3)当销售额为4千万元时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元)．解：(1)散点图如图所示，两个变量有线性相关关系．(2)设回归直线方程是y ^＝b ^x ＋a ^. 由题中的数据可知y －＝3.4，x －＝6.所以＝1020 ＝0.5.a ^＝y －－b ^x －＝3.4－0.5×6＝0.4.所以利润额y 关于销售额x 的回归直线方程为 y ^＝0.5x ＋0.4.(3)由(2)知，当x ＝4时，y ^＝0.5×4＋0.4＝2.4，所以当销售额为4千万元时，可以估计该商场的利润额为2.4百万元．22．(本小题满分12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．第22题图(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数．解：(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0．02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×12＝20；30×43＝40；20×54＝25.故数学成绩在[50，90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

评估验收卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：因为直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°. 答案：A2．若三点A (0，8)，B (－4，0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( )A ．6B ．－2C ．－6D ．2解析：因为A 、B 、C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，所以8－00－（－4）＝8－（－4）－m，所以m ＝－6. 答案：C3．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0 解析：由斜截式可得直线方程为y ＝－x －1，化为一般式即为x ＋y ＋1＝0.答案：D4．已知点A (0，4)，B (4，0)在直线l 上，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －4＝0B ．x －y －4＝0C ．x ＋y ＋4＝0D ．x －y ＋4＝0解析：由截距式方程可得l 的方程为x 4＋y 4＝1，即x ＋y －4＝0. 答案：A5．已知直线l 1：(a －1)x ＋(a ＋1)y －2＝0和直线l 2：(a ＋1)x ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：因为l 1⊥l 2，所以(a －1)(a ＋1)＋2a ＋2＝0，所以a 2＋2a ＋1＝0，即a ＝－1.答案：A6．和直线5x －4y ＋1＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．5x ＋4y ＋1＝0B ．5x ＋4y －1＝0C ．－5x ＋4y －1＝0D ．－5x ＋4y ＋1＝0解析：设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线5x －4y ＋1＝0上，所以5x ＋4y ＋1＝0，故所求直线方程为5x ＋4y ＋1＝0.答案：A7．已知A (2，4)与B (3，3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －6＝0D ．x －y ＋1＝0解析：由已知得直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以直线l 的斜率为1，且过线段AB 中点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，由点斜式得方程为y －72＝x －52，化简得x －y ＋1＝0.答案：D8．直线l 过点A (3，4)且与点B (－3，2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：因为过点A 的直线l 与点B 的距离最远，所以直线AB 垂直于直线l ，直线l 的斜率为－3，由点斜式可得直线l 的方程为3x ＋y －13＝0.答案：C9．过点(3，－6)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋y ＋3＝0或2x ＋y ＝0解析：当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－6)代入得k ＝－2，此时直线方程为2x ＋y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，将(3，－6)代入得a ＝－3，此时直线方程为x ＋y ＋3＝0.答案：D10．设点A (3，－5)，B (－2，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥1或k ≤－3B ．－3≤k ≤1C ．－1≤k ≤3D ．以上都不对解析：如图所示，直线PB ，PA 的斜率分别为k PB ＝1，k PA ＝－3，结合图形可知k ≥1或k ≤－3.答案：A11．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16 解析：采用赋值法，令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16，此即为直线所过的定点．答案：B12．如图所示，已知两点A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A．210 B．6C．3 3 D．2 5解析：易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A′(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A′(－2，0)两点间的距离．于是|A1A′|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为________．解析：直线的斜率k＝2m2－5m＋2m2－4＝1，解得m＝2或m＝3.但当m＝2时，m2－4＝0，直线的斜率不存在，此时倾斜角为90°舍去．所以m＝3.答案：314．已知斜率为2的直线经过点A(3，5)，B(a，7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为________．解析：由题意得⎩⎨⎧k AC ＝2，k AB＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2， 解得a ＝4，b ＝－3.答案：4，－3 15．已知直线l 在y 轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为______________________________．解析：设所求的直线方程为x a ＋y －3＝1，则此直线与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，－3)，由两点间的距离公式解得a ＝±4，故所求的直线方程为x ±4＋y －3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0或3x －4y －12＝0.答案：3x ＋4y ＋12＝0或3x －4y －12＝016．已知直线l 1：mx ＋4y －2＝0与l 2：2x －5y ＋n ＝0相互垂直，且垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值为________．解析：因为l 1⊥l 2，所以2m ＋4×(－5)＝0，解得m ＝10； 又因为点(1，p )在l 1上，所以10＋4p －2＝0，即p ＝－2； 又因为点(1，p )也在l 2上，所以2－5×(－2)＋n ＝0，即n ＝－12.所以m －n ＋p ＝20.答案：20三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax ＋by ＋1＝0(a ，b 不同时为0)，l 2：(a －2)x ＋y ＋a ＝0，(1)若b ＝0，且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝3，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．解：(1)当b ＝0时，直线l 1的方程为ax ＋1＝0，由l 1⊥l 2，知a －2＝0，解得a ＝2.(2)当b ＝3时，直线l 1的方程为ax ＋3y ＋1＝0，当l 1∥l 2时，有⎩⎨⎧a －3（a －2）＝0，3a －1≠0，解得a ＝3， 此时，直线l 1的方程为3x ＋3y ＋1＝0，直线l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，即3x ＋3y ＋9＝0.故所求距离为d ＝|1－9|9＋9＝423. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎨⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得点A 的坐标为(－1，0)． 又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2，所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－6，即顶点C 的坐标为(5，－6)．19.(本小题满分12分)如图所示，已知点A (2，3)，B (4，1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，所以E (3，2)，且k CE ＝－1k AB＝1， 所以CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0得C (4，3)，所以|AC |＝|BC |＝2， AC ⊥BC ，所以S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2. 20．(本小题满分12分)已知点P (2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线方程．(2)求过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值．(3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)当斜率不存在时，方程x＝2符合题意；当直线的斜率存在时，设为k，则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由题意，得|2k＋1|k2＋1＝2.解得k＝34.所以直线方程为3x－4y－10＝0.所以适合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.(2)过点P，且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线，易求其方程为2x－y－5＝0，且最大距离d＝ 5.(3)由于原点到过点P(2，－1)的直线的最大距离为5，而3>5，故不存在这样的直线．21．(本小题满分12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；(2)证明：不论a为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标；(3)证明：不论a为何值，直线恒过第四象限．(1)解：将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，当且仅当⎩⎨⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎨⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，成立． 所以a ≤－1，故所求a 的取值范围为a ≤－1.(2)证明：方程可整理成a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0，当x ＝1，y ＝－3时方程a (x －1)＋x ＋y ＋2＝0对a ∈R 恒成立，因此，直线恒过点(1，－3)．(3)证明：由(2)知，直线恒过第四象限内的点(1，－3)，因此，不论a 为何值，直线恒过第四象限．22．(本小题满分12分)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大；(2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解：如图①所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，AB ′与l 的交点P 满足(1)；如图②所示，设点C 关于l 的对称点为C ′，AC ′与l 的交点P 满足(2)．图① 图②对于(1)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |－|P ′B |＝|P ′A |－|P ′B ′|<|AB ′|＝|PA |－|PB ′|＝|PA |－|PB |；对于(2)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |＋|P ′C |＝|P ′A |＋|P ′C |>|AC ′|＝|PA |＋|PC ′|＝|PA |＋|PC |.(1)设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3×b －4a＝－1，所以a ＋3b －12＝0①. 又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，b ＋42，且中点在直线上， 所以3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0②. 联立①②得，a ＝3，b ＝3，所以B ′(3，3)．于是直线AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. 解⎩⎨⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5，即此时所求点P 的坐标为(2，5)．(2)设点C 关于l 的对称点为C ′，同理可求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245. 所以直线AC ′的方程为19x ＋17y －93＝0，解⎩⎨⎧3x －y －1＝019x ＋17y －93＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝267，故此时所求点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒] 1．解决截距问题不忽略“0”的情形解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点：(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论．2．弄清直线的倾斜角与斜率关系在解决由直线的斜率求其倾斜角的范围问题时，先求出直线的斜率k的取值范围，再利用三角函数y＝tan x的单调性，借助函数的图象，确定倾斜角的范围．3．不要忽视斜率不存在的情况(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解．(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在.专题一直线的倾斜角与斜率问题直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度，倾斜角α与斜率k 的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起高度重视．(1)对应关系．①当α≠90°时，k＝tan α；②当α＝90°时，斜率不存在．(2)单调性．当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0)．经过A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1≠x2)两点的直线的斜率公式是k＝y 2－y 1x 2－x 1，应用时注意其适用的条件是x 1≠x 2，当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在．[例1] 已知坐标平面内的三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)．(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的取值范围．解：(1)由斜率公式，得k AB ＝1－11－（－1）＝0， k BC ＝3＋1－12－1＝3， k AC ＝3＋1－12－（－1）＝33. 因为tan 0°＝0，所以AB 的倾斜角为0°；因为tan 60°＝3，所以BC 的倾斜角为60°；因为tan 30°＝33，所以AC 的倾斜角为30°. (2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕点C 旋转，当直线CD 由CA 逆时针转到CB 过程中，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在△ABC的边AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.归纳升华求直线斜率的方法1．定义法．已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tan α. 2．公式法．若直线过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则斜率k＝y2－y1x2－x1.3．数形结合法．已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下l的斜率，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由k＝y2－y1x2－x1求出k PA，k PB；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围．[变式训练](1)如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是0°、锐角还是钝角．(2)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．(1)解：由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率，则k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0. 由k 1>0知，直线l 1的倾斜角是锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角是钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角是0°.(2)解析：直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1，则y ＋34－2＝－1，解得y ＝－5. 答案：－5专题二 直线的平行与垂直问题1．两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2斜率都存在，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；斜率不存在时单独考虑，即k 1，k 2中有一个为零，另一个不存在，则两条直线垂直；若k 1，k 2均不存在，则两直线平行或重合．2．当两条直线给出一般式时，平行与垂直关系利用系数关系解决．即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[例2] 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值：(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.①又因为点(－3，－1)在l 1上，所以－3a ＋b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝2.(2)因为l 1∥l 2，且l 2的斜率为1－a ，所以l 1的斜率也存在，且a b ＝1－a ，即b ＝a 1－a. 故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1：(a －1)x ＋y ＋4（a －1）a ＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0. 因为原点到l 1与l 2的距离相等，所以4⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，所以a ＝2或a ＝23. 所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2. 归纳升华考查两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择；一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y 轴上的截距来处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距来处理，也可直接利用系数处理．[变式训练] 已知经过点A (－2，0)和点B (1，3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，求实数a 的值．解：l 1的斜率k 1＝3a －01－（－2）＝a . 当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －（－1）a －0＝1－2a a . 所以l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2a a＝－1，得a ＝1. 当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0，0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1，0)，这时直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.故实数a 的值为0或1.专题三 距离问题解决解析几何中的距离问题时，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，三种距离是高考考查的热点，公式见下表：的直线方程．解：①当在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx (k ≠0)，即kx －y ＝0.由已知，得|3k －1|k 2＋1＝2，整理得7k 2－6k －1＝0， 解得k ＝－17或1， 所以所求直线方程为x ＋7y ＝0或x －y ＝0.②当在两坐标轴上的截距相等且不为0时，直线的斜率为－1，设直线为x ＋y ＋C ＝0(C ≠0)，由已知得|4＋C |2＝2，解得C ＝－6或C ＝－2. 所以所求直线方程为x ＋y －6＝0或x ＋y －2＝0.综上，所求直线方程为x ＋7y ＝0或x －y ＝0或x ＋y －6＝0或x ＋y －2＝0.归纳升华1．求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．2．对于与坐标轴平行(或重合)的直线x ＝a 或y ＝b ，求点(x 0，y 0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d ＝|x 0－a |或d ＝|y 0－b |.3．若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解．[变式训练] 直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4，3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：①当所求直线经过坐标原点时，设其方程为y ＝kx (k ≠0)，由点到直线的距离公式可得|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－6±3214. 故所求直线的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x . ②当直线不经过坐标原点时，设所求方程为x a ＋y a＝1， 即x ＋y －a ＝0，由题意可得|4＋3－a |2＝32， 解得a ＝1或a ＝13.故所求直线的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上可知，所求直线的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x 或 x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.专题四 数形结合思想的应用数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决：[例4] 已知点M (3，5)，在直线l ：x －2y ＋2＝0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．解：由点M (3，5)及直线l ：x －2y ＋2＝0，可求得点M 关于l 的对称点M 1(5，1)，同理可得点M 关于y 轴的对称点M 2(－3，5)，如图所示．根据M 1，M 2两点可得直线M 1M 2的方程为x ＋2y －7＝0.令x ＝0，得直线M 1M 2与y 轴的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72， 解方程组⎩⎨⎧x ＋2y －7＝0，x －2y ＋2＝0，得两直线的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，94. 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，94与点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72即为所求． 归纳升华利用直接求解法比较烦琐时，可从图形方面考虑，利用数形结合的方法来求解，从而使问题变得形象、直观，利于求解．[变式训练] 求y ＝x 2－x ＋1－x 2＋x ＋1的值域． 解：原式可变形为y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34， 它表示动点P (x ，0)到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32的距离之差，如图所示，即y ＝|PA |－|PB |.由于||PA |－|PB ||<|AB |＝1，所以|y |<1，即－1<y <1. 所以该函数的值域为(－1，1)．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

[课时作业][A 组 基础巩固]1．已知M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,3}，则有( )A ．M ⊆NB ．N MC ．N ∈MD ．M ＝N解析：由子集的概念可知NM . 答案：B2．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝( )A ．0或 3B ．0或3C ．1或 3D ．0或1或 3 解析：(1)m ＝3，此时A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，满足B ⊆A .(2)m ＝m ，即m ＝0或m ＝1.①m ＝0时，A ＝{0,1,3}，B ＝{0,1}，满足B ⊆A ；②m ＝1时，A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，不满足互异性，舍去．答案：B3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．－1或0或1D ．0或1解析：由题设可知集合A 中只有一个元素，(1)a ＝0时，原方程等价转化为2x ＝0，即x ＝0，满足题设；(2)⎩⎪⎨⎪⎧a ≠Δ＝4－4a 2＝0得a ＝±1. 答案：C4．已知集合A ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z}，集合B ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z}，则A 与B 的关系为( )A ．AB B ．B AC．A＝B D．以上答案都不对解析：对两集合中的限制条件通分，使分母相同．观察分子的不同点及其关系．集合A中：x＝k2＋14＝2k＋14；集合B中：x＝k4＋12＝k＋24；而{2k＋1}表示奇数集，{k＋2}表示整数集，∴A B.答案：A5．满足{x|x2＋1＝0}A⊆{x|x2－1＝0}的集合A的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：{x|x2＋1＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，故集合A是集合{－1,1}的非空子集，所以A的个数为22－1＝3.故选C.答案：C6．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，且xy＞0}，集合P＝{(x，y)|x＜0，且y＜0}，那么集合M与P之间的关系是________．解析：M中的元素满足{x＋y＜xy＞0，即{x＜y＜0，∴M＝P.答案：M＝P7．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，所以a≤－2.答案：a≤－28．已知集合A{1,2,3}，且A中至多有一个奇数，则所有满足条件的集合A为________．解析：集合A是集合{1,2,3}的真子集，且A中至多有一个奇数，那么当集合A 中有0个奇数时，集合A＝∅，{2}；当集合A中有1个奇数时，集合A＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}．综上，A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}．答案：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m 的取值范围．解析：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得{m≥m＋1≥－2，m－1≤5解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．10．已知集合M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．解析：因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故所求实数a的值为1.[B组能力提升]1．集合A＝{x|x＝(2n＋1)π，n∈N}与B＝{x|x＝(4n±1)π，n∈N}之间的关系是() A．A B B．B AC．A＝B D．不确定解析：对于集合A，当n＝2k时，x＝(4k＋1)π，k∈N；当n＝2k＋1时，x＝[4(k＋1)－1]π＝(4m－1)π，m∈N，其中m＝k＋1.所以A中的元素形如(4k±1)π，k∈N.答案：C2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B 的子集个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意知A*B＝{1,3}，∴A*B的子集个数为22＝4个．答案：D3．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}．∴N M.答案：N M4．定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}．若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则集合A*B中的最大元素为________，集合A*B的所有子集的个数为________．解析：当x1＝1时，x1＋x2的值为2,3；当x1＝2时，x1＋x2的值为3,4；当x1＝3时，x1＋x2的值为4,5；∴A*B＝{2,3,4,5}．故A*B中的最大元素为5，所有子集的个数为24＝16.答案：5165．已知集合A＝{x∈R|x2－2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－12＝0}，B⊆A，求实数a的取值集合．解析：A＝{－2,4}，因为B⊆A，所以B＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}．若B ＝∅，则a 2－4(a 2－12)<0，即a 2>16，解得a >4或a <－4.若B ＝{－2}，则(－2)2－2a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，解得a ＝4. 若B ＝{4}，则42＋4a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，此时a 无解；若B ＝{－2,4}，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝4－2，a 2－12＝－2×4.所以a ＝－2.综上知，所求实数a 的集合为{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}．6．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m －6>2m －1，即m <－5，此时满足B ⊆A ； ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m －6≤2m －1，－2≤m －6，2m －1≤5，解得－5≤m ≤3.由①②可得，m <－5或－5≤m ≤3.(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4.(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ m －6＝－2，2m －1＝5，此方程组无解，即不存在m 的值使得A ＝B .沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。