2020年湖北省武汉市数学高一(上)期末综合测试模拟试题

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围（ ） A ．0a ≤ B ．2a ≥ C ．2a > D ．2a ≤【答案】B【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】由11x -<解得111x -<-<即02x <<， 所以{}02A x x =<<， 因为A B ⊆，所以2a ≥， 故选:B.2．命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是（ ） A ．x +∃∈R ，使得x e +∉R B ．x +∃∉R ，使得x e +∉R C ．x +∃∈R ，使得x e +∈R D ．x +∃∉R ，使得x e +∈R【答案】A【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是“x +∃∈R ，使得x e +∉R ”. 故选：A3．已知cos140m ︒=，则tan50︒等于（ ）AB C D 【答案】B【分析】利用诱导公式化简，求出sin50,cos50︒︒，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得. 【详解】()cos140cos 9050sin500m ︒=︒+︒=-︒=<，则sin50m ︒=-，cos50∴︒sin 50tan 50cos50︒∴︒==︒.故选：B.4．已知函数()tan 4(,R)f x a x a b =+∈且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =（ ）A ．-5B ．-3C ．3D ．随,a b 的值而定【答案】C【分析】先推导()()8f x f x +-=，再根据3lg log 10lg lg 30+=求解即可【详解】由题意，()()()tan 4tan 48f x a x a x f x =+++-+=-，又3lg10lg log 10lg lg3lg lg3lg10lg3⎛⎫+=⋅== ⎪⎝⎭，故3(lg log 10)(lg lg3)8f f +=.又3(lg log 10)5f =，故(lg lg3)853f =-= 故选：C5．已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数， 所以函数()f x 在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B6．已知m 为正实数，且22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（ ） A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D 【分析】()22222max tan 1515sin tan sin sin ≥mx m x x x x+⇒≥-，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立， 可得()222max 15sin tan sin m x x x ≥-.()()()22422222221cos sin 15sin tan sin 151cos 151cos cos cos x xx x x x x xx--=--=--2211716179cos cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+≤-=，当且仅当22116cos cos x x=，即21cos 4x =时取等号.则9m ≥.故选：D7．设sin7a =，则（ ）A ．222log aa a <<B ．22log 2a a a <<C ．22log 2aa a << D ．22log 2aa a <<【答案】D【分析】分别判断出21142a <<2a <211log 2a -<<-，即可得到答案. 【详解】()sin7sin 72a π==-.因为7264πππ<-<，所以12a <<所以21142a <<；因为2x y =在R 1222a =<<因为2log y x =在()0,∞+上为增函数，且12a <<2221log log log 2a <<211log 2a -<<-；所以22log 2aa a <<.故选：D8．设函数()()()cos cos f x m x n x αβ=+++，其中m ，n ，α，β为已知实常数，x ∈R ，若()π002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．对任意实数x ，()0f x =B ．存在实数x ，()0f x ≠C ．对任意实数x ，()0f x >D ．存在实数x ，()0f x <【答案】A【分析】根据π(0)()02f f ==，可推出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=-，整理化简后可得m n =或m n =-，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.【详解】由题意知π(0)()02f f == ，即cos cos sin sin 0m n m n αβαβ+=--= ，即cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=- ，两式两边平方后可得 22m n =，故m n =或m n =-，若0m n =≠ ，则cos cos sin sin αβαβ=-=-， ，故π2π,Z k k αβ=++∈， 此时()cos(π2π)cos()cos()cos()0f x m x k m x m x m x ββββ=++++=-++=++ ， 若0m n =-≠ ，则cos cos ,sin sin αβαβ== ，故2π,Z k k αβ=+∈ ， 此时()cos(2π)cos()0f x m x k m x ββ=++-+= ，若0m n == 或0m n =-= ，则()0f x = ，故对任意实数x ，()0f x =， 则A 正确，B,C,D 错误， 故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m 和n 之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.二、多选题9．下列三角函数值为负数．．的是（ ） A ．3tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．tan505︒C ．sin7.6πD ．sin186︒【答案】BCD【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】对于A ，33tan tan (1)144ππ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭，故A 为正数； 对于B ，tan505tan(360)tan145tan350145+︒︒=︒=︒=-︒<，故B 为负数； 对于C ，sin7.6π2sin(80.4)sin05πππ=-=-<，故C 为负数；对于D ，sin186sin(1806)sin 60︒=︒+︒=-︒<，故D 为负数； 故选：BCD10．下列计算或化简结果正确的是（ ） A ．若1sin cos 2θθ⋅=，cos tan 2sin θθθ+= B ．若1tan 2x =，则2sin 2cos sin x x x =- C ．若25sin 5α=，则tan 2α= D ．若α为第二象限角，则22cos sin 21sin 1cos αααα+=-- 【答案】AB【分析】利用22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.【详解】对于A 选项：1sin cos 2θθ=，cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos θθθθθθθθθ∴+=+==，故A 正确； 对于B 选项：1tan 2x =，则122sin 2tan 221cos sin 1tan 12x x x x x ⨯===---，故B 正确； 对于C 选项：∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定，故C 错误； 对于D 选项：α为第二象限角， sin 0,cos 0αα∴><,22cos sin cos sin cos sin =0cos sin cos sin 1sin 1cos αααααααααααα∴++=-+=--,故D 错误. 故选：AB.11．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确的有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD【解析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解； 当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.12．已知函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11xg x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ） A ．1αβ+= B ．αββα=+C ．32αβ-<-D ．2αβ->-【答案】BD【分析】先说明,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称，由题意可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，化简可得αββα=+，判断B;写出αβ+的表达式，利用基本不等式可判断4αβ+>，判断A;利用零点存在定理判断出322α<<，写出αβ-的表达式，由此设函数13,(2)1()12x h x x x <<-=--，根据其单调性可判断C,D . 【详解】对于函数,11xy x x =≠- ，有,11y x y y =≠-， 即函数,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称， 由题意函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β， 可知α为(),21,1x xy y x x ==>-的图象的交点的横坐标， β为()2,log ,11xy y x x x ==>-的图象的交点的横坐标， 如图示，可得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，则2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=， 故1)(0ααβ--=，即αββα=+，故B 正确； 由题意可知1,10αα>∴-> ， 所以11(111122241)11ααααβαααα+=-+=-+-++≥-⋅≥--， 由于()22221220,2f α=-≠-∴-≠=，即4αβ+>，A 错误； 因为32332232123220f ⎛⎫=- ⎪⎝=-->⎭，()22202221f =-=-<-， 且()()21111x f x x x =-+>-为单调减函数， 故()()211x x f x x x =->-在3(,2)2上存在唯一的零点 ，即322α<< ，故13,(2)1112αβαααααα-=-=--<<--， 设13,(2)1()12x h x x x <<-=--，则该函数为单调递增函数， 故3311()122322212()h h x >=--=->--，且1(2)211()02h h x =--=-<，故3202αβ-<-<-<， 故C 错误，D 正确， 故选：BD【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，从而可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，然后写出αβ+以及αβ-的表达式，问题可解.三、填空题13．已知()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---.若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】13-【分析】利用三角函数的诱导公式化简()f θ，结果为cos θ，结合π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，再利用诱导公式化简5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为πcos()6θ--，即得答案.【详解】由题意()()()()π3πsin cos tan π(cos )sin (tan )22cos tan πsin π(tan )(sin )f θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===-----， 由π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，故5π5πππ1cos cos[π()]cos()66663f θθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13-14．若正数a ，b 满足24log log 8a b +=，48log log 2a b +=，则82log log a b +的值为__________. 【答案】523-【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩即可求解.【详解】因为24log log 8a b +=，所以221log log 82a b +=，又因为48log log 2a b +=，所以2211log log 223a b +=，联立22221log log 8211log log 223a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩，所以8222152log log log log 33a b a b +=+=-，故答案为：523-. 15．已知实数,[0,2]a b ∈，且844a b +=，则22b a -的最大值是_______________． 【答案】2【分析】由已知可得22b a-=，令2a x =，构造函数()[1,4]f x x =∈，根据函数的单调性，即可求出最大值. 【详解】解：由844a b +=，可知()()()()22844222222b a b a b a b a =-=-=+-， 则82222b a b a -=+，且有2b =22b a ∴-=，令2a x =，[0,2]a ∈()[1,4]f x x =∈，可知()f x 在[1,4]上单调递减，max 8()(1)24f x f ∴====，即22b a -的最大值是2， 故答案为：2.16．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么经过_______h 污染物减少50%（精确到1h ）？取lg 0.50.3=-，lg 0.90.045=- 【答案】33【分析】代入给定的公式即可求解. 【详解】由题知， 当0=t 时，解得0P P =，当5t =时，()500110%ekP P P -=-=，解得：1ln 0.95k =-， 所以500.9t P P =， 当050%P P =时，则有：50000.950%0.5tP P P ==， 即50.90.5t=，解得：0.9lg 0.50.35log 0.55533lg 0.90.45t -==⨯=⨯≈-. 故答案为：33.四、解答题17．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=.(1)解关于x 的不等式2tan cos tan 0x x βαβ-+<的解集（解集用α的三角值表示）； (2)求tan β的最大值.【答案】(1)1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】(1)根据题意2sin cos tan 1sin ααβα=+，用α的三角函数值替换β的三角函数值，从而解一元二次不等式即可； (2)利用基本不等式求解. 【详解】（1）2sin cos tan 1sin ααβα=+，∴()22sin 1sin sin 0x x ααα-++<， ()()sin 1sin 0x x αα⋅--<，因为1sin sin αα<所以1sin sin x αα<<， ∴原不等式解集1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）222sin cos tan tan 2sin cos 2tan 1αααβααα===++当且仅当22tan 1α=即tan α=时取得等号.18．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了min t 会与时针重合，一天内分针和时针重合n 次.(1)建立t 关于n 的函数关系；(2)求一天内分针和时针重合的次数n .【答案】(1)72011t n =. (2)22次. 【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案. 【详解】（1）设经过min t 分针就与时针重合，n 为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为()2ππrad/min 6030=， 时针旋转的角速度为()2ππrad/min 1260360=⨯，所以ππ2π30360t n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即72011t n =. （2）因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ），所以720144011n ≤，于是22≤n , 故时针与分针一天内只重合22次.19．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=.(1)求函数()y f θ=的解析式，并求π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=()0,πθ∈，求4πtan 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，12(2) 【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【详解】（1）因为1sin 2α=-，且0m <，所以7π6α=，由此得()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ππ7π5π1sin sin 33662f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由()f θ=知7ππsin sin 664θθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由于()0,πθ∈，得ππ7π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，与此同时πsin 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭由平方关系解得：πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin cos 4π36tan tan ππ33cos sin 36θθπθθθθ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=-=== ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（a 为常数）.(1)当1a =，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（参考数据：lg30.5=，lg50.7=） (2)若函数()f x 为偶函数，求()f x 在区间[]2,1--上的值域.【答案】(1)0.3 (2)999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求a ，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当1a =时，()lg 254x x f x -=-，此时1122119lg 254lg 2lg 2lg3lg510.70.3255f -⎛⎫-=-=-==-=-= ⎪⎝⎭（2）函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++的定义域为()(),00,∞-+∞，()110110lg 52lg 52lg lg 55x xx x x x x x f x a a ---+-=-++=+()lg 110lg5lg 110lg5x x x x a =--++- ()101101lg 52lg 52lg lg 22x x x x x x x xf x a a ---+=-++=+ ()lg 101lg2lg 110lg2x x x x a =--++-由偶函数的定义得恒有()()=f x f x -即：lg5lg5lg 2lg 2x x x x a a --=--也就是恒有()lg2lg5lg5lg2x x x xa -=-,所以1a =-当[]2,1x ∈--时，()()()1102lg 25lg 52lg lg 1101101x x x x x x x f x ---⎛⎫=--+==-+ ⎪++⎝⎭， 因为函数101x y =+为[]2,1--上的增函数，所以()f x 在[]2,1--单调递减，∴[]2,1x ∈--，()999lg ,lg 11101f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()f x 在[]2,1--上值域999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y （元）与发车时间间隔t （分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当812t ≤≤时，单程营业额Y 与60412t t-+成正比；当58t ≤≤时，单程营业额会在8t =时的基础上减少，减少的数量为()2408t -.(1)求当512t ≤≤时，单程营业额Y 关于发车间隔时间t 的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均120t 次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间[]8,12t ∈，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额R 最大？求出该最大值.【答案】(1)2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. (2)10t =时，max 22080R =,【分析】（1）由题意设当812t ≤≤时的函数表达式，由12t =时满载求得比例系数，进而求得当58t ≤≤时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得6012040412R t t t ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，采用换元并结合二次函数性质,求得答案. 【详解】（1）当812t ≤≤时，设60412Y a t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，a 为比例系数， 由12t =时满载可知55042200Y =⨯=， 即6041212220012a ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则40a =， 当8a =时，6040481214608Y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， 故当58t ≤≤时，()221460408406401100Y t t t -+=--=-, 故2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. （2）由题意可得6012040412R t t t⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 化简得211192001531R t t ⎛⎫=-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 令111,,812u u t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2192001531R u u =-++， 当312(15)10u =-=-，即10t =时，[]108,12∈符合题意，此时max 22080R =. 22．已知函数()32x a f x x =+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a 是常数. (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)设函数()()2log g x f x a x =-，试问，函数()g x 是否有零点，若有，求a 的取值范围；若没有，说明理由.【答案】(1)⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭(2)答案见解析【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.【详解】（1）若()0f x ≥恒成立，即恒有32x a x ≥-⋅设()2x h x x =-⋅，任取121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且满足12x x <，由于1222x x <，由不等式性质可得121222x x x x -⋅>-⋅，即()()12h x h x >， 所以函数()g x 在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()max 12h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以3a ≥a ≥；所以a 的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. （2）由题意可知232log 0x a a x x +-=，即232log 0x a x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数2x y =单调递增，23log y x x =-单调递减， 所以231log ,72x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当0a ≥时，232log 0x a x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭； 当a<0时，2312log ,,22x y a x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦单调递增，2312log 7,42x y a x a a x ⎛⎫⎤=+-∈+ ⎪⎥⎝⎭⎦，70a >或1402a +<即07a <<或8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.综上，a >8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一数学上学期期末模拟试题带答案一、选择题1．已知全集{0,1,2,3}U =，{1,3}A =，则集合UA =（ ）A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,22．函数()f x ）A ．[20]-，B ．(20)-，C ．(]20-，D ．()2-+∞，3．若sin cos 0αα⋅>，则角α的终边在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限4．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()2,a -，若120α︒=，则a 的值为（ ）A ．-B ．±C ．D 5．函数2()ln 8f x x x =+-的零点所在区间是（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)6．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数1()0x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①()()0D D x =； ②对任意x ∈R ，恒有()()D x D x =-成立； ③任取一个不为零的有理数T ，()()D x T D x +=对任意实数x 均成立；④存在三个点()()11,A x D x 、()()22,B x D x 、()()33,C x D x ，使得ABC 为等边三角形；其中真命题的序号为（ ） A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③7．已知函数()(3lg f x x x =+，若当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．)2⎡-⎣ B ．(,2-∞-C ．(,2-∞+D ．(0,2+二、填空题9．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 10．下列说法正确的有（ ） A ．不等式21131x x ->+的解集是1(2,)3-- B ．“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件 C ．命题2:,0p x R x ∀∈>，，则2:,0⌝∃∈<p x R x D ．“5a <”是“3a <”的必要条件 11．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b <<，则2ab b > B ．若0a b >>，则b aa b> C ．若对(0,)x ∀∈+∞，1x m x+≥恒成立，则实数m 的最大值为2 D ．若0a >，0b >， 1a b +=，则11a b+的最小值为4 12．若函数()f x 同时满足：①对于定义域内的x ∀，都有()()0f x f x +-=；②对于定义域内的1x ∀，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“颜值函数”.下列函数中，是“颜值函数”的有（ ） A ．()sin f x x =B ．()2f x x=C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩D ．()3f x x =-三、多选题13．设(){1,2,3}n X n n N *=∈，对n X 的任意非空子集A ，定义(A)f 为A 中的最大元素，当A 取遍n X 的所有非空子集时，对应的(A)f 的和为n S ，则5S =_________． 14．已知1b a >>，若3log log 2a b b a -=，b a a b =，则a b -=____________.15．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm 2.16．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v （单位：m/s ）与其耗氧量Q 之间的关系为2log 10Qv a =+（其中a 是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，其耗氧量至少需要______个单位．四、解答题17．已知集合{}{}|321,|53A x a x a B x x =-≤≤+=-≤≤，全集U =R . （1）当1a =时，求()U A B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）求函数()y f x =的最大值以及取最大值时对应的x 的值． 19．已知函数()4xf x =，12xg x.（1）求不等式()()222f x g -<的解集；（2）若()()12f x g x =，且12x x ≠，求211x x +的最小值； 20．对于等式b a c =（0a >，1a ≠），如果将a 视为自变量x ，b 视为常数，c 为关于a （即x ）的函数，记为y ，那么b y x =是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量x ，c 为关于b （即x ）的函数，记为y ，那么x y a =是指数函数；如果将a 视为常数，c 视为自变量x ，b 为关于c （即x ）的函数，记为y ，那么log a y x =是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.如果c 为常数e （e 为自然对数的底），将a 视为自变量x （0x >，1x ≠），则b 为x 的函数，记为y ，那么y x e =，记将y 表示成x 的函数为()f x .（1）求函数()f x 的解析式，并作出其图象；（2）若0m n >>且均不等于1，且满足()()f m f n =，求证：243m n +≥. 21．已知函数()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，求实数m 的取值范围.22．已知函数,01()1sin ,12a bx x xf x x x a π⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩(0a >，0b >).（1）若1b =，且()f x 是减函数，求a 的取值范围；（2）若1a =，关于x 的方程3|()2|(1)2f x b x -=--有三个互不相等的实根，求b 的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】 根据补集定义求出UA .【详解】因为{0,1,2,3}U =，{1,3}A = 根据补集定义可得{}U0,2A =，故选：C. 【点睛】集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 2．C 【分析】根据题意求出使对数和根式有意义的x 的范围. 【详解】由题意可得：21log (2)020x x -+≥⎧⎨+>⎩ 即022x <+≤， 解得：20x -<≤，所以原函数的定义域为(]20-，， 故选：C. 3．B 【分析】由sin cos 0αα⋅>可得sin α>0,cos α>0⎧⎨⎩ 或sin α<0,cos α<0⎧⎨⎩由三角函数在各个象限的符号可求角α的终边所在象限. 【详解】由sin cos 0αα⋅>可得sin α>0,cos α>0⎧⎨⎩ 或sin α<0,cos α<0⎧⎨⎩当sin α>0cos α>0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第一象限，当sin α<0cos α<0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第三象限. 故选：B. 【点睛】本题考查角函数在各个象限的符号，属基础题. 4．C 【分析】根据终边经过点()2,a -，且120α︒=，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为终边经过点()2,a -，且120α︒=，所以tan 1202a︒==-解得a = 故选：C 5．B 【分析】先判断()f x 的单调性，然后根据零点存在性定理判断出正确答案. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，且为定义域上的增函数，()()()170,2ln 240,3ln310f f f =-<=-<=+>， ()()230f f ⋅<，故零点所在区间是()2,3.故选：B 6．C 【分析】命题①：根据狄利克雷函数的定义分别验证x 为无理数和x 为有理数时()()D D x 的值； 命题②和命题③：分x 为无理数和x 为有理数两种情况进行验证； 命题④：结合狄利克雷函数的定义找特殊点进行验证.【详解】当x 为无理数时，()0D x =，所以()()()01D D x D ==； 当x 为有理数时，()1D x =，所以()()()11D D x D ==， 所以对任意x ∈R ，恒有()()1D D x =，①错误； 当x 为无理数时，x -也为无理数，所以()()0D x D x =-=；当x 为有理数时，x -也为有理数，所以()()1D x D x =-=，②正确；对任意实数x ，任取一个不为零的有理数T ，若x 为无理数时，则x T +也为无理数， 所以()()0D x D x T =+=；当x 为有理数时，x T +也为有理数，所以()()1D x D x T =+=， 所以任取一个不为零的有理数T ，()()D x T D x +=对任意实数x 均成立，③正确；取1230,x x x ===()()()1310,1,0D x D x D x ===，此时(),0,1,A B C ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，三点恰好构成等边三角形，④正确. 故选：C. 7．D 【分析】先判断()f x 是奇函数且在R 上为增函数，所以由()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->可得2sin sin 40t t θθ-+>，由当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，得sin [0,1]θ∈，构造函数2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈，然后分1012t <<，102t <和112t≥三种情况求解即可 【详解】解：()f x 的定义域为R ，因为33()()lg(lg(lg10f x f x x x x x +-=+-+-==， 所以()f x 为奇函数，因为函数3,lg(y x y x ==在[0,)+∞上均为增函数， 所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，所以()f x 在R 上为增函数，由()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->得()()2sin 4sin f t f t θθ>--， 所以()()2sin 4sin f t f t θθ>-+，所以2sin 4sin t t θθ>-+，即2sin sin 40t t θθ-+>， 当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin [0,1]θ∈，令2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈ 当0t =时，()0g x x =-≤，舍去，当0t ≠时，对称轴为12x t=， 当1012t <<时，即12t >，则有11()4024g t t t =->，解得14t >，所以12t >， 当102t <时，即0t <，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以t ∈∅， 当112t ≥时，即102t <≤，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以1152t <≤， 综上，1(,)5t ∈+∞，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想和分类思想，解题的关键是利用函数在R 上为增函数且为奇函数，将()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立转化为2sin sin 40t t θθ-+>恒成立，然后构造函数，利用二次函数的性质讨论求解即可，属于中档题 8．B 【分析】根据“隐对称点"的定义可知()f x 图象上存在关于原点对称的点，转化为求2()2,0f x x x x =+<关于原点的对称函数与()2,0f x mx x =+≥ 有交点即可.【详解】由“隐对称点"的定义可知, ()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象上存在关 于原点对称的点,设函数g (x )的图象与函数22,0y x x x =+<的图象关 于原点对称.令0x >，则220,()()2()2,x f x x x x x -<-=-+-=- 所以2()2g x x x =-+，故原题意等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有实根, 故22m x x=--+，而222()222x x x x --+=-++≤-=-当且仅当x ,取得等号,所以2m ≤-故实数m 的取值范围是(,2-∞-, 故选：B 【点睛】关键点点睛：求出函数在0x <时关于原点对称的函数解析式2()2g x x x =-+，转化为2()2g x x x =-+与()2,0f x mx x =+≥相交是关键.二、填空题9．ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证. 10．ABD 【分析】解分式不等式可知A 正确；由充分条件和必要条件的定义，可得B ，D 正确；含有全称量词命题得否定，2:,0p x R x ⌝∃∈≤，故C 错误. 【详解】 由212103131--->⇒>++x x x x ，(2)(31)0x x ++<，123x -<<-，A 正确； 1,1a b >>时一定有1ab >，但1ab >时不一定有1,1a b >>成立,因此“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件，B 正确；命题2:,0p x R x ∀∈>，则2:,0p x R x ⌝∃∈≤，C 错误；5a <不能推出3a <，但3a <时一定有5a <成立，所以“5a <”是“3a <”的必要条件，D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了分式不等式的解法、充分条件和必要条件的定义、含有量词的命题的否定形式等基本数学知识，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 11．ACD 【分析】利用不等式的性质可判断选项A 、B 的正误；求出1y x x=+的最小值可得实数m 的范围，可判断选项C ；利用基本不等式求最值可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：若0a b <<，则2ab b >，故选项A 正确； 对于选项B ：若0a b >>，则1b aa b<<，故选项B 不正确； 对于选项C ：若对(0,)x ∀∈+∞，1x m x +≥恒成立，则min 1m x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，因为0x >，所以12y x x =+≥当且仅当1x =时1y x x =+的最小值为2，所以2m ≤，所以实数m 的最大值为2，故选项C 正确； 对于选项D ：若0a >，0b >，1a b +=，则()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当1b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即12a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为4，故选项D 正确，故选：ACD 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 12．CD 【分析】由条件得出“颜值函数”在定义域内为奇函数、减函数，再对选项进行逐一判断即可. 【详解】由题意知，函数()f x 是定义域上单调递减的奇函数， A 选项，()sin f x x =在是定义域上不是单调递减，故错误；B 选项，()2f x x =不是奇函数，故错误；C 选项. 作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩的图象，如下根据图象，函数()f x 在定义域内为奇函数且为减函数，所以是“颜值函数”.则C 正确. D 选项, ()2f x x =-在定义域内为奇函数且为减函数, 所以是“颜值函数”，则D 正确. 故选: CD.三、多选题 13．129【分析】由题意分析得：n X 的任意非空子集A 共有21n -个，其中最大值为n 的有12n -，最大值为1n -的有22n -个，…，最大值为1的有021=个，利用错位相减法求和即可.【详解】 由(){1,2,3}n X n n N *=∈，n X 的任意非空子集A 共有21n -个，其中最大值为n 的有12n -，最大值为1n -的有22n -个，…，最大值为1的有021=个，故()01212122212n n n S n n --=⨯+⨯++⨯-+⨯， ∴()12122122212n n n S n n -=⨯+⨯++⨯-+⨯，两式相减得12112222n n n S n --=++++-⨯，所以12221212nn n n n S n n --=-⨯=--⨯-， 故()121nn S n =-⋅+， 所以()555121129S =-⨯+=.故答案为：129. 【点睛】关键点睛：本题是集合和数列结合的题.分析出“n X 的任意非空子集A 共有21n -个，其中最大值为n 的有12n -，最大值为1n -的有22n -个，…，最大值为1的有021=个.”是解题的关键.14．2-【分析】解方程求得log a b ，再利用指数运算求解 【详解】313log log log 2log 2a b a a b a b b -=∴-=，因为1b a >>，故log a b =22,a b a ∴==，则22bb a a a b b b b a ⇒=∴==，解得2,4a b == ，则2a b -=-故答案为：2- 【点睛】本题考查对数与指数的运算，考查方程思想，意在考查计算能力，是基础题15．704【分析】设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =， 所以，21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯=⎪⎝⎭．故答案为：704．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题． 16．80 【分析】由初始值求得a ，然后再由2v ≥求得Q 的最小值． 【详解】 由题意220log 010a +=，1a =-，即21log 10Q v =-+， 由21log 210Q-+≥，解得80Q ≥． 故答案为：80 【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，只要根据已知数据求出参数值，再根据要求列式求解即可．四、解答题17．（1）{}|52x x -≤<-；（2）4a 或21a -≤≤.【分析】（1）求出集合A 从而求UA ，再与集合B 取交集即可；（2）分A φ=和A φ≠两种情况讨论根据A B ⊆列出不等式（组）求a 的取值范围.【详解】（1）依题意，当1a =时，{}|23A x x =-≤≤，则|2UA x x =<-｛或3}x >，又{}|53B x x =-≤≤， 则()|2U A B x x =<-｛或{}{}|53|3}52x x x x x -≤≤->=≤<-.（2）若A B ⊆，则有{}{}|321|53x a x a x x -≤≤+⊆-≤≤，于是有： 当A φ=时，A B ⊆显然成立，此时只需321a a ->+，即4a ；当A φ≠时，若A B ⊆，则35221313214a a a a a a a -≥-≥-⎧⎧⎪⎪+≤⇒≤⎨⎨⎪⎪-≤+≥-⎩⎩，所以：21a -≤≤ 综上所述，a 的取值范围为：4a 或21a -≤≤.【点睛】易错点点睛：在利用集合的包含关系求参数时注意以下两点：（1）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；（2）在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论. 18．(1)π，[,]()36k k k Z ππππ-+∈；(2)max ()2f x =，此时,6=+∈x k k Z ππ.【分析】(1)利用正弦型函数周期公式求得，再利用正弦函数的性质即可求出增区间； (2)利用正弦函数的性质，分析计算作答. 【详解】(1)因函数()2sin(2)6f x x π=+，x ∈R ，则()f x 最小正周期22T ππ==， 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈；(2)依题意，当sin(2)16x π+=时，max ()2f x =，此时，22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6=+∈x k k Z ππ，所以max ()2f x =，此时,6=+∈x k k Z ππ.19．（1）{}|11x x -<<；（2） 【分析】（1）先根据已知条件表示出所解不等式，化为同底的，再利用指数函数的单调性即可求解 （2）由()()12f x g x =得出12,x x 之间的关系，且10x ≠，将211x x +用同一个变量表示，再利用函数的单调性求最值即可求解. 【详解】（1）由题意可得：22211442x --⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 因为4x y =在R 上单调递增，所以221x -<-，即21x <， 解得：11x -<<，所以原不等式的解集为：{}|11x x -<<，（2）若()()12f x g x =，则21142x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭即12222x x -=，所以122x x =-，所以221212x x x x +=+， 令20x t =>，则()2f t t t=+，任取()12,0,t t ∈+∞且12t t <，则()()()()121212121212121222222t t t t f t f t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1t，2t 120t t -<，1220t t -<，此时()()120f t f t ->，()()12>f t f t ()2f t t t=+在(上单调递减，当1t，2t >120t t -<，1220t t ->，此时()()120f t f t -<，()()12<f t f t ()2f t t t=+在)+∞上单调递增，所以t 时，()min f t == 所以211x x +的最小值为 20．（1）1()ln f x x=，作图见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对y x e =两边取对数，并化简即得到1ln y x =，即得到函数1()ln f x x=及图象； （2）结合图象化简关系得到ln ln n m -=，即1mn =，22144m n n n+=+，再构造函数21()4(01)g x x x x=+<<，结合单调性求其最小值为3，即得证，或者拼凑22211144422m n n n n n n+=+=++，利用三项的基本不等式证明结果即可. 【详解】（1）解：由(0,1)y x e x x =>≠两侧取以e 为底的对数，得ln ln y x e =，即1ln y x=， 所以1()ln f x x=，其图象如图所示.（2）证明：因为|()||()|f m f n =，且0m n >>， 所以(0,1),(1,)n m ∈∈+∞，且ln ln n m -=， 即ln ln 0,ln()0m n mn +==，故1mn =，则22144m n n n+=+. 法一：记21()4(01)g x x x x=+<<.任取12,x x ，且1201x x ，因为()()()2222121212121211114444g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1212211212211212144x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=+-+=-⋅， 因为1201x x ，所以21120,0x x x x ->>. 当12102x x ≤<<时，()121241x x x x +<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >； 当12112x x ≤<<时，()121241x x x x +>，所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <. 所以21()4(01)g x x x x =+<<在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，所以当12x =时，min ()3g x =，所以243m n +≥. 法二：22223111114443432222m n n n n n n n n n+=+=++⋅⋅=≥（当且仅当2142n n =即12n =时取“=”），所以243m n +≥.21．（1）5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈（2m << 【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，根据二次函数列式可得结果. 【详解】（1）()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭12sin sin cos cos sin 1cos 2332x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21cos sin 1cos 22x x x x =-++-212cos cos 22x x x =++-1cos 212cos 222x x x +=++-32cos 22x x =+)3x π=+，由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈.（2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，52(0,)36x ππ+∈，())3f x x π+∈，因为函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，令()t f x =，则(t ∈且221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，所以2214401600m m m h h ⎧⎛⎫∆=--> ⎪⎪⎝⎭<⎨⎪>⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即22316043160m m m <<⎪⎪+->⎨⎪⎪-+->⎪⎩，解得m <<⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩m <<， 所以实数mm <<. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 22．（1）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）150,,22⎛⎤⎛⎫⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭.【分析】(1)先根据()f x 是减函数,需要ay x x =+在0<x<1上是减函数和1sin x y aπ=+在[]1,2上是减函数,且11sina aπ+>+,解方程即可;(2)分别作出12,01,()()21sin ,12bx x g x f x x x x π⎧+-<<⎪=-=⎨⎪-≤≤⎩和3()(1)(02)2h x b x x =--<≤的图像,根据交点个数判断. 【详解】解：（1）,01()1sin ,12a x x xf x x x a π⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，当0a >时，函数ay x x=+在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， 所以1a ≥，所以1a ≥. 函数1sinx y aπ=+的周期22T a =≥，且3,22a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， 所以12322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得423a ≤≤.当423a ≤≤时，满足11sina aπ+>+，所以a 的取值范围是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）设12,01,()()21sin ,12bx x g x f x x x x π⎧+-<<⎪=-=⎨⎪-≤≤⎩， 3()(1)(02)2h x b x x =--<≤， 由题意，()g x 与()h x 的图象有三个不同的交点.①当1b >时，12,01()1sin ,12bx x g x x x x π⎧+-<<⎪=⎨⎪-≤≤⎩， 则()g x 在0,b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和3,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在,1b b ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭和31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()h x 在(0,2]上单调递减，如图1所示.当b x ⎛∈ ⎝⎭时，因为113(1)044h g b b b ⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，25342h g⎫-=+>⎪⎭⎝⎭⎝⎭，所以()g x与()h x的图象在⎛⎝⎭上存在一个交点；当31,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为1(1)(1)02h g-=>，331222bh g+⎛⎫⎛⎫-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x与()h x的图象在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在一个交点；当3,22x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，33()1222bh x h⎛⎫<=-<⎪⎝⎭，()(2)1g x g≥=，所以()g x与()h x的图象在3,22⎛⎤⎥⎝⎦上不存在交点.因此，要满足题意，()g x与()h x的图象在⎫⎪⎪⎣⎭上必存在一个交点，所以13212b+->，即52b>，所以，当52b>时，()g x与()h x的图象有三个不同的交点.②当1b=时，()g x与()h x的图象有两个不同的交点，不合题意，舍去.③当01b<<时，设关于x的方程120bxx+-=在(0,1)内的根为m，1,12m⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12,0()12,11sin,12bx x mxg xbx m xxx xπ⎧+-<≤⎪⎪=⎨--+<<⎪⎪-≤≤⎩，所以()g x在(0,]m和3,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在(,1)m和31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()h x在(0,2]上单调递减，如图2所示.当(0,]x m ∈时，因为3()()(1)02h m g m b m -=-->， 1110442b h g -⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 与()h x 的图象在(0,]m 上存在一个交点，当(,1)x m ∈时，因为3()(1)2h x h >=， 13()2112g x b b <--+=-<， 所以()g x 与()h x 的图象在(,1)m 上不存在交点； 当31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为1(1)(1)02h g -=>， 3310222b h g +⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 与()h x 的图象在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在一个交点. 因此，要满足题意，()g x 与()h x 的图象在3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上必存在一个交点， 所以(2)(2)h g ≥，即102b <≤. 所以，当102b <≤时，()g x 与()h x 的图象有三个不同的交点， 综上，b 的取值范围是150,,22⎛⎤⎛⎫⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭. 【点睛】已知函数零点个数(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．。

2020~2021学年度上学期武汉市统考高一年级期末质量检测一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合{}220A x x x =+->，{}3,2,1,0,1,2,3B =---，则A B ⋂=（） A.{}3,2-B.{}3,2,3-C.{}1,0,1,2-D.{}3,2,2,3--2.命题:P n N ∀∈，22n n ≤，则P ⌝为（） A.n N ∀∈，22n n > B.n N ∃∈，22n n ≤ C.n N ∃∈，22n n >D.n N ∀∉，22n n > 3.知函数()3log ,0,4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则19f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A.116-B.116C.16-D.164.已知:0p a ≥；:q x R ∀∈，20x ax a -+>，则p 是q 的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞单调递减的是（） A.21y x =+B.1y x =-C.21y x =D.x y e -=6.已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（）A.15B.8+C.16D.8+7.函数()32241x x x x y -=+的部分图像大致为（）A. B.C. D.8.已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，且()()2f x f x +=-，若()f x 在区间[]0,1是减函数，则53f ⎛⎫⎪⎝⎭，()1f ，112f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（）A.()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题1．已知集合，则（ ）{}{}20,1,2,3,8A B x x ==≤A B = A ． B ． {}0,1,2{}1,0,1-C ． D ．{}0,1,2,3{}2,1,0,1,2--【答案】A【解析】先解出集合B,再求.A B ⋂【详解】∵，而{}{282B x x x x =≤=-≤≤{}0,1,2,3A =∴ A B = {}0,1,2故选：A【点睛】集合的交并运算： (1)离散型的数集用韦恩图； (2) 连续型的数集用数轴． 2．已知，，则“”是“”的（ ） a b ∈R a b >1>abA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】由或，即可判断出结论. 1ab>⇔0a b >>0a b <<【详解】当时，成立，当时，，故充分性不成立，0a b >>1>a b0b <1ab <当时，若则，若，则，则必要性不成立. 1>ab0,b >a b >0b <a b <所以“”是“”的既不充分又不必要条件. a b >1>ab故选：D3．已知函数的定义域为（ ） ()ln(3)f x x =++()f x A ． B ．C ．D ．(3,)+∞()3,3-(,3)-∞-(,3)-∞【答案】A【解析】要使函数，解出即可. ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩【详解】要使函数 ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩解得3x >所以函数的定义域为 ()f x (3,)+∞故选：A4．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1SN可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比从1000提升至5000，则C 大约SN增加了（ ）（附：） lg 20.3010≈A ．20% B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解. 【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C 大约增加了SN()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++.222lg 5000lg1000log 5001log 1001lg 51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=故选：B.5．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则26()3x f x a -=+0a >1a ≠A A θ（ ）sin cos sin cos θθθθ-=+A ．B ．0C ．7D ．17-17【答案】D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. ()3,4A 【详解】解:令得,故定点为, 260x -=3x =A ()3,4A 所以由三角函数定义得，4tan 3θ=所以41sin cos tan 1134sin cos tan 1713θθθθθθ---===+++故选：D6．函数的图像大致为（ ）()2x xe ef x x --=A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过函数的奇偶性，变化趋势，特殊值排除答案. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称()f x {}0x x ≠，函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除A 选()()()22x xx x e e e e f x f x x x -----===-- ∴()f x 项；又，故排除D 选项；()1121101e e f e e--==-> ，当时，，即在()()()()()243222xx x x x x ee x e e xx e x e f x xx---+--⋅-++'==2x >()0f x ¢>()f x 上单调递增，故排除C 选项. ()2+∞，故选：B.7．已知偶函数在上是增函数，若，，，则，()g x ()0,+¥()2log5.1a g =-()0.82b g =()3c g =a b，的大小关系为（ ） c A ． B ． C ． D ．a b c <<c b a <<b a c <<b<c<a 【答案】C【解析】由于为偶函数，所以，然后利用对数函数和指数函数的()g x 22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=性质比较大小，再利用在上是增函数，可比较，，的大小0.82log 5.1,2,3()g x ()0,+¥a b c 【详解】解；由题意为偶函数，且在上单调递增，()g x ()0,+¥所以，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=又，， 2222log 4log 5.1log 83=<<=0.8122<<所以，故，0.822log 5.13<<b a c <<故选：C.8．若函数y =f （x ）图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y =f （x ）的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f （x ）=，则此函数的“黄金点对“有（ ） 222040412324x x x x x x x x ，＜，，＞⎧⎪-+≤≤⎨⎪-+⎩A ．0对 B ．1对C ．2对D ．3对【答案】D【分析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x ＜0时函数f （x ）关于y 轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可．【详解】由题意知函数f （x ）=2x ，x ＜0关于y 轴对称的函数为，x ＞0， 122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭作出函数f （x ）和，x ＞0的图象，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭由图象知当x ＞0时，f （x ）和y=（）x，x ＞0的图象有3个交点． 12所以函数f （x ）的““黄金点对“有3对． 故选D ．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x ＜0时函数f （x ）关于y 轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、多选题9．下列结论正确的是（ ） A ．是第二象限角 43π-B ．若为锐角，则为钝角 α2αC ．若，则 αβ=tan tan αβ=D ．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为6ππ3π【答案】AD【分析】为锐角时，为不一定为钝角；α2α 时，没有意义.2παβ==tan α【详解】对于A ：， 42233πππ-=-+是第二象限角，所以A 正确； ∴43π-对于B ：时，并不是钝角，所以B 错误； 10α= 220α= 对于C ： 时，没有意义，所以C 错误；2παβ==tan α对于D ：，， l rα=∴66l r ππα===，D 正确.∴116322S lr ππ==⨯⨯=扇∴故选：AD.10．已知，且，则下列不等式恒成立的有（ ）>>c a b 0ac <A ． B ．C ．D ．<0c b a ->b c a a 11>a c22>b a c c【答案】BC【解析】根据不等式的性质判断．错误的可举反例． 【详解】，且，则，>>c a b c<0a 0,0a c ><，，A 错误； 0b a -<0b ac->，则，B 正确； ,0b c a >>b ca a>，则，C 正确； 0a c >>110a c>>与不能比较大小．如，此时，，D 错误． 2a 2b 2,3,4a bc ==-=-21a c =-2914b c =-<-故选：BC ．11．对于实数x ，符号表示不超过x 的最大整数，例如，，定义函数[]x []3π=[]1.082-=-，则下列命题中正确的是（ ）()[]f x x x =-A ．函数的最大值为1 B ．函数的最小值为0 ()f x ()f x C ．方程有无数个根 D ．函数是增函数()102f x -=()f x 【答案】BC【分析】首先根据题意画出函数的图像，再依次判断选项即可. ()f x 【详解】画出函数的图象，如下图所示：()[]f x x x =-，对选项A ，由图象得，函数无最大值，故A 不正确； ()f x 对选项B ，由图知：函数的最小值为0，故B 正确； ()f x 对选项C ，函数每隔一个单位重复一次， ()f x 所以函数与函数有无数个交点， ()y f x =12y =即方程有无数个根，故C 正确； ()102f x -=对选项D ，图象可知函数不是单调递增，故D 不正确. ()f x 故选：BC .12．已知函数，若方程有三个实数根，，，且12log ,04()10,4x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()f x a =1x 2x 3x 123x x x <<，则下列结论正确的为（ ）A ．121=x x B ．的取值范围为 a 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．的取值范围为 312x x x [)5,+∞D ．不等式的解集为 ()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】分析给定函数的性质，作出函数的图象，数形结合逐一分析各选项判断作答. ()f x 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，()f x (0,1](1,4](4,)+∞方程的三个实数根分别是直线与函数图象交点的横坐标，如图，()f x a =y a =()y f x =123,,x x x由，必有，而，则，即，解得12()()f x f x =111222|log ||log |x x =12x x <111222log log 0x x +=1122log 0x x =，A 正确；121=x x 因在上单调递增，，当时，直线与函数的图象只有两个()f x (1,4](4)2f =2<a <52y a =()y f x =公共点，因此，方程有三个实数根，当且仅当，B 不正确； ()f x a =02a <≤在中，当时，，而函数在上单调递减，则当时，10(4)y x x=>2y =5x =()f x (4,)+∞02a <≤35x ≥，，C 正确； 3312[5,)x x x x =∈+∞当时，因当时，，于是得，且，解得04x <≤14x ≤≤12|log |2x ≤01x <<11221log 2log 4x >=， 104x <<当时，，解得，所以不等式的解集为，D 正确. >4x 102x >45x <<()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：ACD三、填空题13．已知集合，集合，若，则实数__________． {}0,1M ={}0,2,1N m =-M N ⊆m =【答案】0【分析】依题意可得，即可得到，解得即可；1N ∈11m -=【详解】解：由题意知，又集合，因此，即．故． M N ⊆{}0,1M =1N ∈11m -=0m =故答案为：. 014．已知，则______． ()7sin cos 0π13ααα+=<<tan α=【答案】 125-【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解. 【详解】解：已知①，则， 7sin cos 13αα+=()2sin cos 12sin cos 69491αααα+=+=， 60sin cos 0169αα=-<，，则，，0πα<< sin 0α∴>cos 0α<sin cos 0αα->②， 17sin cos 13αα∴-===联立①②，得，12sin 13α=5cos 13α=-， 12tan 5α∴=-故答案为：. 125-15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若的R ()f x ()()1f x f x -=-12x >1()f x x m x =++()f x 值域为，则实数的取值范围为________． R m 【答案】(],2-∞-【分析】由可得关于对称，再分析得当时，的值域包含()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭12x >()f x 即可()0,∞+【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，12x >1()2f x x m m m x =++≥=+1x x =1x =故当时，，又由可得关于对称，且由12x >()[)2,f x m ∈++∞()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭可得， 11122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故只需包含区间即可，故，[)2,m ++∞()0,∞+20m +≤故 (],2m ∈-∞-故答案为：(],2-∞-四、双空题16．设函数，.①的值为_______；②若函11,0()2(2),0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩()log (1)a g x x =-(1)a >(2019)f 数恰有个零点，则实数的取值范围是___________. ()()()h x f x g x =-3a 【答案】 1【解析】①根据分段函数的解析式，求得的值. ②求得的部分解析式，由此画()f x ()2019f ()f x 出和两个函数图象，根据两个函数图象有个交点，确定的取值范围. ()f x ()g x 3a 【详解】①.()()()11201920171112f f f -⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭②当时，，所以.02x <≤220x -<-≤()()21212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.24x <≤022x <-≤()()41212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.46x <≤224x <-≤()()61212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.68x <≤426x <-≤()()81212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭画出和两个函数图象如下图所示，由，由.由()f x ()g x ()log 413,a a -==()log 613,a a -==图可知，当两个函数图象有个交点，也即函数恰有个零点时，的取值范围是3()()()h x f x g x =-3a故答案为：（1）；（2）1【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.五、解答题 17．计算：(1) ()()1201980.54-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2) 2log 3491lg2log 27log 8100--⋅【答案】(1)32(2)74-【分析】（1）由指数的运算以及指数幂与根式的互相转化即可求解； （2）由对数的运算以及指数幂与根式的互相转化，并利用换底公式即可求解.【详解】（1）解：原式.11331122222-⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭（2）原式. 1332222lg 27lg81lg 3lg 2197lg10ln e 323lg 4lg 92lg 2lg 3244-=-+-⋅=--+-⋅=-=-18．已知正数满足；,x y 82xy x y =+（1）求的最小值，并求出取得最小值时的的值；xy ,x y （2）求的最小值.42x y +【答案】（1）最小值为64，；（2）xy 4,16x y ==24+【分析】（1）对等式右边直接使用基本不等式，转化为求关于xy 的不等式；（2）把条件转化为，再进行求解. 82xy x y =+281x y+=【详解】解：（1）因为是正数，所以,x y 82xy x y =+≥=即8≥64xy ≥当且仅当即，时取等号82x y =4x =16y =所以最小值为64 xy （2）即为 82xy x y =+281x y+=所以 2843242(42)()2424y x x y x y x y x y+=++=++≥+当且仅当即 432y x x y=2x =+8y =+19．（1）求函数，的值域； ()222log log x x =+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）解关于的不等式：（，且）． x ()2log (1)log 3a a x x +>-0a >1a ≠【答案】（1）；（2）时，原不等式的解集为；时，原不等式的1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1a >{1x x -<<∣01a <<解集为． {11}xx -<<∣【分析】（1）令，，，然后利用二次函数的知识求解即2log t x =[1,1]t ∈-221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可；（2）分、两种情况，结合对数函数的单调性解出不等式即可.1a >01a <<【详解】（1）令，由于，则． 2log t x =1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[1,1]t ∈-于是原函数变为， 221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭图象为开口向上的抛物线，对称轴，且， ()y t 12t =-11(1)122⎛⎫⎛⎫---<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当，取最小值；当时，取最大值2． 12t =-y 14-1t =y 所以原函数的值域为． 1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）当时，原不等式可化为：1a >， 223013x x x ⎧->⎨+>-⎩即 12x x x ⎧<⎪⎨><-⎪⎩或1x <<故时，原不等式的解集为．1a >{1x x -<<∣当时，原不等式可化为：01a <<， 21013x x x+>⎧⎨+<-⎩即，解得． 121x x >-⎧⎨-<<⎩11x -<<故时，原不等式的解集为． 01a <<{11}xx -<<∣综上：时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为. 1a >{1x x -<<∣01a <<{11}xx -<<∣20．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函()y f x =()y f x =数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数()y f x =(),P a b 为奇函数.()y f x a b =+-（1）若.32()3f x x x =-①求此函数图象的对称中心；②求的值；()()()()2018201920202021f f f f -+-++（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数()y f x =y ()y f x =为偶函数”的一个推广结论.【答案】（1）①；②；（2）函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是()1,2-8-()y f x =x a =函数为偶函数.()y f x a =+【解析】（1）①设函数图象的对称中心为，根据题意可知函数()323f x x x =-(),P a b 为奇函数，利用奇函数的定义可得出，可得出关于、()()g x f x a b =+-()()2f x a f x a b -+++=a 的方程组，解出、的值，即可得出函数的对称中心的坐标；b a b ()y f x =②推导出，由此可计算得出所求代数式的值；()()114f x f x -+++=-（2）根据题中结论可写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶()y f x =y ()y f x =函数”的一个推广结论.【详解】解：（1）①设函数图象的对称中心为，，()323f x x x =-(),P a b ()()g x f x a b =+-则为奇函数，故，故，()g x ()()g x g x -=-()()f x a b f x a b -+-=-++即，()()2f x a f x a b -+++=即. ()()()()3232332x a x a x a x a b ⎡⎤⎡⎤-+--+++-+=⎣⎦⎣⎦整理得，故，解得， ()2323330a x a a b -+--=3233030a a a b -=⎧⎨--=⎩12a b =⎧⎨=-⎩所以函数图象的对称中心为；()323f x x x =-()1,2-②因为函数图象的对称中心为，32()3f x x x =-()1,2-所以，，()()114f x f x -+++=-故()()()()2018201920202021f f f f -+-++()()()()2018202020192021f f f f =-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()20191201912020120201f f f f =-++++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；428=-⨯=-（2）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.()y f x =x a =()y f x a =+【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性及其应用，可利用以下结论来转化：①函数的图象关于点对称，则；()f x (),a b ()()22f x f a x b +-=②函数的图象关于直线对称，则.()f x x a =()()2f x f a x =-21．已知函数.(),(0,1,)x f x a a a x R =>≠∈（1）当时，2a =①若函数满足求的表达式，直接写出的递增区间； ()g x (())g f x =()g x ()g x ②若存在实数使得成立，求实数的取值范围； []0,1x ∈1()()()()1f x mf x f x f x +<+--m （2）若函数满足当时，恒有，试确定a 的()g x (()),g f x x =[]2,3x a a ∈++(3)()1g x a g x a -+-≤取值范围.【答案】（1）①，增区间为；②；（2）. 221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩(2,)+∞4(,)3+∞【分析】（1）①应用换元法，令即可求的表达式，根据含对数的复合函数单调性可写出2x t =()g x 的递增区间；②由参变分离得，根据在闭区间存在使不等式成立，即()g x 211(2)21x x m >+-+x 即可求的取值范围； min 21[1(2)21x x m >+-+m （2）由题设求得，利用对数函数的性质可知，再由不等式恒成立，结合二次()log a g x x =01a <<函数的性质列不等式组求a 的取值范围.【详解】解：（1）①由题意知：，若，则，(2)1x g x ==-2x t =21og x t =∴，即， 2()log 1(0)g t t t =->221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩∴函数单调递增区间为.[2,)+∞②由题设有，，即有， 122221x x x x m -+<⋅+-[]0,1x ∈211(2)21x x m >+-+，则，即，[]0,1x ∈ []21,2x ∈[]2(2)211,3x x -+∈∴由使不等式成立知：当时，即可. []0,1x ∃∈2(2)213x x -+=43m >∴m 取值范围是 4(,)3+∞（2）由题意知：，令，则，即，()x g a x =x t a =()log a g t t =()log a g x x =∴由题设不等式中可知：，而(3),()g x a g x a --230a a +->0,1a a >≠，又，01a ∴<<(3)()1g x a g x a -+-≤∴，即有，对恒成立，若令221log (43)1a x ax a -≤-+≤22143a x ax a a≤-+≤[]2,3a a a ∀∈++，其对称轴为且开口向上，而，2243()x h x ax a -+=2x a =22a a <+∴在区间上递增，()h x []2,3a a ++∴上式等价于，解得0119644a a a a a<<⎧⎪⎪-≤⎨⎪-≥⎪⎩0a <≤【点睛】关键点点睛：（1）应用换元思想求函数解析式，结合对数型复合函数的单调性确定单调区间；由参变分离法有，根据存在使不等式能成立，即在对应区间内只需求参数范围；()m f x >min ()m f x >（2）根据对数函数的性质，结合不等式在闭区间内恒成立，列不等式组求参数范围.22．已知函数()，且满足. ()x a f x x -=0a >112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求a 的值；（2）设函数，()，若存在，，使得成立，()()g x xf x =()2x h x t t =-1t >1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =求实数t 的取值范围；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程恰有4个不同的正根，求实数()22220x a x x a mx ---+=m 的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3） 2t ≥10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，代入函数值，即可求解；（2）根据题意，求解函数和值域，若存在，，使得成立，转()g x ()f x 1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =化为值域有交集，即可求解参数取值范围；（3）由（1）分析函数的值域，可知时，有两根；再观察方程，同除后方程可()f x ()()0,1f x ∈x 2x 化简为，只需使方程在上有两根，即可求解.()()2220f x f x m -+=()()0,1f x ∈【详解】（1）由，得或0. 1121122a f -⎛⎫== ⎪⎝⎭1a =因为，所以，所以. 0a >1a =()1x f x x -=（2）， ()()1,1211,12x x g x xf x x x -≤≤⎧⎪==⎨-≤<⎪⎩所以;故的值域为()01g x ≤≤()g x []0,1A =因为时，在， 1t >()2x h x t t =-1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦()222t h x t t ≤≤-所以的值域为，由题意， ()hx 22,2B t t t ⎤=-⎦A B φ⋂≠，所以，解得;20t <220t t -≥2t ≥综上:实数t 的取值范围是2t ≥（3）当时，，在上为增函数; 1x >()111x f x x x-==-()f x ()1,+∞当时，. ()1,x ∈+∞()()110,1f x x=-∈可得在上为减函数，当时，. ()f x ()0,1()0,1x ∈()()110,f x x =-∈+∞方程可化为， ()2221120x x x mx ---+=2211220x x m x x ---+=即.()()2220f x f x m -+=设，方程可化为.()s f x =2220s s m -+=要使原方程有4个不同的正根，则关于s 方程在有两个不等的根，，2220s s m -+=()0,11s 2s 则有，解得， 211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩1016m <<所以实数m 的取值范围为. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】（1）考查计算能力，基础题；（2）转化与化归思想解题，考查求函数值域，交集不空的参数范围，属于中等题；（3）转化方程与已知函数关联，考查函数与方程思想，转化与化归思想，一元二次方程根的限定条件，综合性较强，属于难题.。

2020-2021武汉市高一数学上期末试题含答案一、选择题1．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称3．若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞4．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．10936．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 7．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝x9．已知函数f(x)＝12log,1,24,1,xx xx>⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f)等于()A．4B．－2C．2D．110．若0.33a=，log3bπ=，0.3logc e=，则（）A．a b c>>B．b a c>>C．c a b>>D．b c a>>11．点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图所示，则点P所走的图形可能是A．B．C．D．12．若不等式210x ax++≥对于一切10,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a的取值范围为( ) A．0a≥B．2a≥-C．52a≥-D．3a≥-二、填空题13．已知函数()()22,03,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()()()200,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.14．已知()|1||1|f x x x =+--，()ag x x x=+，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则实数a 的取值范围是____________.15．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．16．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 17．已知函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=，若关于x 的不等式()()f x g x >恰有两个非负整数．．．．解，则实数a 的取值范围是__________． 18．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________.19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．已知函数()21log 1x f x x +=-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明； （2）若对于[]2,4x ∈，恒有()2log (1)(7)mf x x x >-⋅-成立，求实数m 的取值范围.22．已知定义域为R 的函数211()22x x f x a +=-+是奇函数.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明. 23．已知幂函数35()()m f x xm N -+=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x λ=+-，若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.24．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同祥强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210200,040()100008019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩…，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（Ⅰ）求出2020年的利润()Q x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（Ⅱ）2020年产量x 为多少（千部）时，企业所获利润最大?最大利润是多少? （说明：当0a >时，函数ay x x=+在单调递减，在)+∞单调递增） 25．设函数()()2log xxf x a b=-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.26．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）6log 332log log 2log 36⋅--【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=，所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．2．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 3．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ；∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩V ＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8) 故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．4．D解析：D 【解析】【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.5．D解析：D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.6．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）；f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．9．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 10．A解析：A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．11．C解析：C 【解析】 【分析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决. 【详解】由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2l对称，由图可知不满足题意故排除选项B ， 故选C ． 【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．12．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则等价为a ⩾21x x--对于一切x ∈(0,1 2)成立，即a ⩾−x −1x 对于一切x ∈(0,12)成立， 设y =−x −1x ,则函数在区间(0,12〕上是增函数 ∴−x −1x <−12−2=52-， ∴a ⩾52-.故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象 解析：3【解析】 【分析】 由()()20fx af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】()()()2003f x af x a -=<<Q ，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.由于函数()22y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且1222+=-x x ，3432x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=，因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．【解析】【分析】通过去掉绝对值符号得到分段函数的解析式求出值域然后求解的值域结合已知条件推出的范围即可【详解】由题意对于任意的总存在使得或则与的值域的并集为又结合分段函数的性质可得的值域为当时可知的 解析：(,1]-∞【解析】 【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解()ag x x x=+的值域，结合已知条件推出a 的范围即可. 【详解】由题意，对于任意的m R ∈，总存在0x R ∈，使得()0f x m =或()0g x m =，则()f x 与()g x 的值域的并集为R ，又()2,1112,112,1x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，结合分段函数的性质可得，()f x 的值域为[]22-,， 当0a ≥时，可知()ag x x x=+的值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ，所以，此时有2≤，解得01a ≤≤， 当0a <时，()ag x x x=+的值域为R ，满足题意， 综上所述，实数a 的范围为(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.15．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x ＜2时f(x)＜0即f(x)＜解析：(－2,2) 【解析】 【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当－２＜x ＜2时，f(x)＜0，即f(x)＜0的解为(－2,2)，即不等式的解集为(－2,2),故填(－2,2).16．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7【解析】【分析】【详解】 设， 则， 因为11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7. 17．【解析】【分析】由题意可得f （x ）g （x ）的图象均过（﹣11）分别讨论a ＞0a ＜0时f （x ）＞g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题解析：310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得f （x ），g （x ）的图象均过（﹣1，1），分别讨论a ＞0，a ＜0时，f （x ）＞g （x ）的整数解情况，解不等式即可得到所求范围．【详解】由函数2()2f x x ax a =-+++，1()2x g x +=可得()f x ，()g x 的图象均过(1,1)-，且()f x 的对称轴为2a x =，当0a >时，对称轴大于0.由题意可得()()f x g x >恰有0，1两个整数解，可得(1)(1)310(2)(2)23f g a f g >⎧⇒<≤⎨≤⎩；当0a <时，对称轴小于0.因为()()11f g -=-,由题意不等式恰有-3，-2两个整数解，不合题意，综上可得a 的范围是310,23⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：310,23⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】 本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．18．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像 解析：(4,1)(1,0)--⋃-【解析】【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围.【详解】函数()211x x x f -=-定义域为{}1x x ≠ 当1x ≤-时,()2111x x xf x -==--- 当11x -<<时,()2111x x xf x -==+- 当1x <时,()2111x x xf x -==--- 画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点;当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点.综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点故答案为:()()4,11,0--⋃-【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.19．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解析：(][)22-∞-⋃+∞，， 【解析】【分析】由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数，再将不等式转化为()()112f f ⨯≤即可求得x 的取值范围.【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数()()2f x f ≤Q()()2f x f ∴≤2x ∴≥2x ∴≥或2x -≤∴解集为(][),22,-∞-+∞U故答案为：(][),22,-∞-+∞U【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型. 20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题 解析：5【解析】【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可.【详解】cos x πππ-≤≤Q ,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ， cos 1x =-的解有π，cos 1x =的解有0,2π, 故共有30,,,,222ππππ5个零点， 故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题21．（1）奇函数，证明见解析；（2）015m <<【解析】【分析】（1）先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可；（2）由题意，101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∀∈恒成立，转化为0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，求出函数()()()17g x x x =+-的最小值进而得解.【详解】（1）因为101x x +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数()f x 为奇函数，证明如下：由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称， 又因为1222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-+⎛⎫-====- ⎪--+-⎝⎭， 所以函数()f x 为奇函数；（2）若对于[]2,4x ∈，2()log (1)(7)m f x x x >--恒成立， 即221log log 1(1)(7)x m x x x +>---对[]2,4x ∈恒成立， 即101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∈恒成立， 因为[]2,4x ∈，所以107m x x+>>-恒成立， 即0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立， 设函数()()()17g x x x =+-，求得()g x 在[]2,4上的最小值是15，所以015m <<.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题，考查分离变量法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，难度不大.22．（Ⅰ）1α= （Ⅱ）在R 上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）函数的定义域为R ，利用奇函数的必要条件，(0)0f =，求出a ，再用奇函数的定义证明；（2）判断()f x 在R 上单调递增，用单调性的定义证明，任取12x x <，求出函数值，用作差法，证明()()12f x f x <即可.【详解】 解：（Ⅰ）∵函数21()22x x f x a =-+是奇函数，定义域为R ， ∴(0)0f =，即11012a -=+， 解之得1α=，此时2121()2122(21)x x x x f x -=-=++ ()()2112()()221212x xx x f x f x -----===-++， ()f x ∴为奇函数，1a \=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2121()212221x x x x f x -=-=++， 设12,x x R ∈，且12x x <，()()212121212122121x x x x f x f x ⎛⎫---=- ⎪++⎝⎭()()2211222121x x x x =++-∵12x x <，∴1222x x <，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <故()f x 在R 上单调递增.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，注意奇偶性必要条件的运用，减少计算量但要加以证明，考查函数单调性的证明，属于中档题.23．（Ⅰ）2()f x x =（Ⅱ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性，求得m 的值，进而求得()f x 的解析式.（II ）先求得()g x 的解析式，由不等式()0<g x 分离常数λ得到122x x λ<-，结合函数122x y x =-在区间[]1,2上的单调性，求得λ的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）∵幂函数35()()m f x x m -+=∈N 为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增， 350m ∴-+>，且35m -+为偶数.又N m ∈，解得1m =，2()f x x ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-.当[1,2]x ∈时，由()0<g x 得122x x λ<-. 易知函数122x y x =-在[1,2]上单调递减， min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭. ∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.24．（Ⅰ）()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意知利润等于销售收入减去可变成本及固定成本，分类讨论即可写出解析式（Ⅱ）利用二次函数求040x <<时函数的最大值，根据对勾函数求40x ≥时函数的最大值，比较即可得函数在定义域上的最大值.【详解】（Ⅰ）当040x << 时,()()228001020025010600250Q x x x x x x =-+-=-+- ；当40x ≥时,()100001000080080194502509200Q x x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭. ()210600250,040,100009200,40.x x x Q x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+≥⎪⎩（Ⅱ）当040x <<时，()()210308750Q x x =--+， ()()max 308750Q x Q ∴==万元；当40x ≥时，()100009200Q x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当且仅当100x =时， ()()max 1009000Q x Q ==万元.所以，2020年年产量为100（千部）时，企业获得的利润最大，最大利润为9000万元.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的最值，函数在实际问题中的应用，属于中档题.25．（1）4,2a b ==（2）21log 2x +=（3）()[]0,240g x ∈ 【解析】【分析】（1）由()()211,2log 12f f ==解出即可（2）令()0f x =得421x x -=，即()22210xx --=，然后解出即可 （3）()42x x g x =-，令2x t =，转化为二次函数【详解】（1）由已知得()()()()222221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得4,2a b ==；（2）由（1）知()()2log 42x x f x =-，令()0f x =得421x x -=，即()22210x x --=，解得122x =，又20,2x x >∴=，解得2log x = （3）由（1）知()42x x g x =-，令2x t =，则()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，[]1,16t ∈， 因为()g t 在[]1,16t ∈上单调递增所以()[]0,240g x ∈，26．（1）99；（2）3-.【解析】【分析】（1）直接根据指数与对数的性质运算即可； （2）直接利用对数运算性质即可得出.【详解】（1）原式21123325249131log 216104-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦7351001442=++-- 99=. （2）原式323log 313=--- 31422=-- 3=-.【点睛】本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.。

湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A． B．C．∁U A∩∁UB D．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A． B．C． D．﹣3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（）=2+2|| B．f（）=•si n C．f（）=2+2﹣ D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6）C．（6，7）D．（﹣7，6）5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（）=a+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（）=loga（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（）=2+4+2在（0，+∞）上是增函数6．（5分）若将函数y=2sin2的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．=﹣（∈）B．=+（∈）C．=﹣（∈）D．=+（∈）7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍B．10倍C．倍D．倍8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．19．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．10．（5分）已知函数f（）=2•sin（﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A． B．C．D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（）满足f（）+f（+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（）=2+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f （sinA）＜f（cosB）12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（）=f（）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）已知tanα=2，则= ．15．（5分）已知，，则tanα的值为．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则+y= ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．19．（12分）函数f（）=Asin（ω+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式．（2）函数y=f（）的图象可以由y=sin的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f（）=Asin（ω+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．（1）请将表格补充完整，并写出f（）的解析式．（2）若，求f（）的最大值与最小值．21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（）在上是单调函数，求θ的取值范围．22．（12分）若函数f（）对于定义域内的任意都满足，则称f（）具有性质M．（1）很明显，函数（∈（0，+∞）具有性质M；请证明（∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（）=|ln|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，，当h（）的定义域为[m，n]时，其值域为[m，n]，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A． B．C．∁U A∩∁UB D．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，∁UA={﹣1，0，1，2，6}，∁UB={﹣1，0，2，4，5}，∴（∁U A）∩（∁UB）={ 2，﹣1，0}．故选：C．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A． B．C． D．﹣【解答】解：tan60°=m，则cos120°=cos260°﹣sin260°===，故选：B．3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（）=2+2|| B．f（）=•sin C．f（）=2+2﹣ D．【解答】解：A，f（）=2+2||，由f（﹣）=2+2|﹣|=f（），为偶函数；B，f（）=•sin，由f（﹣）=﹣sin（﹣）=sin=f（），为偶函数；C，f（）=2+2﹣，由f（﹣）=2﹣+2=f（），为偶函数；D，f（）=，由f（﹣）==﹣=﹣f（），为奇函数．故选：D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6）C．（6，7）D．（﹣7，6）【解答】解：▱ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），设D点的坐标为（，y），则=，∴（﹣6，8）=（1﹣，2﹣y），∴，解得=7，y=﹣6；∴点D的坐标为（7，﹣6）．故选：A5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（）=a+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数C．函数f（）=logaD．函数f（）=2+4+2在（0，+∞）上是增函数【解答】解：对于A，∵a0=1∴函数f（）=a+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1），正确；对于B，根据幂函数的性质可判定，函数在[0，+∞）上是增函数，正确；（a＞1）在（0，+∞）上是增函数，故错；对于C，函数f（）=loga对于D，函数f（）=2+4+2的单调增区间为（﹣2，+∞），故在（0，+∞）上是增函数，正确；故选：C．6．（5分）若将函数y=2sin2的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．=﹣（∈）B．=+（∈）C．=﹣（∈）D．=+（∈）【解答】解：将函数y=2sin2的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（+）=2sin（2+），由2+=π+（∈）得：=+（∈），即平移后的图象的对称轴方程为=+（∈），故选：B．7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍B．10倍C．倍D．倍【解答】解：由题意，令70=10lg，解得，I1=I×107，令60=10lg，解得，I2=I×106，所以=10故选：B．8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．1【解答】解：∵，∴，∴=，∵P是BD上的点，∴m+=1．∴m=．故选：A9．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=2，∴f[f（﹣1）]===1，解得：a=﹣2，故选：B10．（5分）已知函数f（）=2•sin（﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A． B．C．D．【解答】解：f（）=2•sin（﹣π）=﹣2•sin，∴f（﹣）=﹣（﹣）2•sin（﹣）=2•sin=﹣f（），∴f（）奇函数，∵当=时，f（）=﹣＜0，故选：D11．（5分）定义在R上的偶函数f（）满足f（）+f（+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（）=2+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）【解答】解：由f（）+f（+1）=0，∴f（+2）=f（），∴函数的周期为2，∵f（）在[﹣3，﹣2]上为增函数，∴f（）在[﹣1，0]上为增函数，∵f（）为偶函数，∴f（）在[0，1]上为单调减函数．∵在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，∴A+B＞，∴﹣B＜A，∵A，B是锐角，∴0＜﹣B＜A＜，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，∴f（）在[0，1]上为单调减函数．∴f（sinA）＜f（cosB），故选D．12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（）=f（）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）【解答】解：∵g（）=f（）﹣b有两个零点∴f（）=b有两个零点，即y=f（）与y=b的图象有两个交点，由于y=2在[0，a）递增，y=2在[a，+∞）递增，要使函数f（）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．即a∈（2，4），故选C．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是（﹣1，3）∪（3，+∞）．【解答】解：由+1＞0且﹣3≠0，可得＞﹣1且≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），14．（5分）已知tanα=2，则= ．【解答】解：∵tanα=2，∴==．故答案为：．15．（5分）已知，，则tanα的值为．【解答】解：∵，∴cosα=，∵，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，故答案为：．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则+y=．【解答】解：以B为坐标原点建立如下图所示的坐标系：∵|AB|=4，|BC|=3，，，∴=（4，1），=（2，3），=（4，3），∵，∴，两式相加得：5（+y）=7，故+y=，故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．【解答】解：（1）+log318﹣log36+=3﹣2+log3+（tan）•（﹣cos）=3﹣2+1﹣sin=3﹣2+1﹣=．（2）解：∵A是△ABC的一个内角，，∴cosA＜0，∴=．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．【解答】（1）解：∵向量，，，∴∵，∴（y﹣2）=（+4）y，∴=﹣2y；（2）证明：∵．∴，∴，∴，∵有公共点C，∴A、B、C三点共线且=2．19．（12分）函数f（）=Asin（ω+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式．（2）函数y=f（）的图象可以由y=sin的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．【解答】解：（1）由函数图象可得：A=2，f（0）=﹣1，∴，∵，∴，∵，∴，…（3分）∴，∵，∴=1，ω=3，…（5分）∴．…（6分）（2）把y=sin（∈R）的图象向右平移个单位，可得y=sin（﹣）的图象；把所得图象上各点的横坐标变为原的倍，可得y=sin（3+）的图象；再把所得图象上各点的纵坐标变为原的2倍，可得y=2sin （3+）的图象．（三步每步表述及解析式正确各2分，前面的步骤错误，后面的正确步骤分值减半）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f （）=Asin （ω+ϕ）+t （其中A ＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．（1）请将表格补充完整，并写出f （）的解析式． （2）若，求f（）的最大值与最小值．【解答】解：（1）将表格补充完整如下：f （）的解析式为：．…（6分）（2）∵，∴，…（8分）∴时，即时，f （）最小值为，∴时，即时，f （）最大值为6…（12分）21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f （）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（）在上是单调函数，求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（）是偶函数，∴∴（1分）①tanθ=（4分）②=（7分）（2）f（）的对称轴为，或，或（9分），∵θ∈[0，2π），∴，∴，∴，∴，，∴（12分）22．（12分）若函数f（）对于定义域内的任意都满足，则称f（）具有性质M．（1）很明显，函数（∈（0，+∞）具有性质M；请证明（∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（）=|ln|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，，当h（）的定义域为[m，n]时，其值域为[m，n]，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（）=+=+=f（），∴函数f（）具有性质M．任取1、2且1＜2，则f（1）﹣f（2）=（1+）﹣（2+）=（1﹣2）+（﹣）=（1﹣2）•，若1、2∈（0，1），则0＜12＜1，12＞0，1﹣2＜0，∴f（1）﹣f（2）＞0，∴f（1）＞f（2），∴f（）在（0，1）上是减函数．若1、2∈（1，+∞），则12＞1，1﹣2＜0，∴f（1）﹣f（2）＜0，∴f（1）＜f（2），∴f（）在（1，+∞）上是增函数．（2）∵，∴g（）具有性质M （4分）由|ln|=t得，ln=﹣t或ln=t，=e﹣t或=e t，∵t＞0，∴e﹣t＜e t，∴，∴，∴，∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣e t）2=[2﹣（e﹣t+e t）]（e t﹣e﹣t）由（1）知，在∈（0，+∞）上的最小值为1（其中=1时）而，故2﹣（e﹣t+e t）＜0，e t﹣e﹣t＞0，|AB|＜|AC|（7分）（3）∵h（1）=0，m，n，均为正数，∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n（8分）当0＜m＜n＜1时，0＜＜1，=是减函数，值域为（h（n），h（m）），h（n）=m，h（m）=n，∴，∴，∴1﹣n2=1﹣m2故不存在（10分）当1＜m＜n时，＞1，=是增函数，∴h（m）=m，h（n）=n，∴，∴（1﹣）m2=1，（1﹣）n2=1，，不存在综合得，若不存在正数m，n，满足条件．（12分）。

湖北省武汉市2020年高一上学期数学期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}则（）A . {x|x>1}B . {x|x>0}C . {x|x<-1}D . {x|x<-1或x>1}2. （2分） (2019高二上·温州期中) 函数的定义域是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·泸州期末) 已知，则A .B .C .D .4. （2分） (2017高三上·朝阳期中) 要想得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点（）A . 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B . 先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C . 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D . 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度5. （2分）函数的零点所在的区间为（）A . （－1，0）B .C . （1，2）D .6. （2分） (2019高三上·日照期中) 下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A .B .C .D .7. （2分）下列图形可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数是（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数，则方程的不相等的实根个数为（）A . 5B . 6C . 7D . 8二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）(2018·成都模拟) 已知平面向量，，则在上的投影为________.10. （1分） (2018高一下·蚌埠期末) 已知，则 ________．11. （1分） (2018高一下·毕节期末) 函数的部分图象如图所示，则的值是________．12. （1分）(2018·滨海模拟) 在平行四边形中，，，，为的中点，若是线段上一动点，则的取值范围是________13. （1分） (2019高三上·黑龙江月考) 已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在上的单调增区间是________.14. （1分） (2017高三上·南通开学考) 函数y=lnx﹣x的单调递增区间为________．三、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2017高一下·福州期中) 已知sinα﹣2cosα=0，求（1）；（2）2sinαcosα．16. （10分） (2017高一上·唐山期末) 已知向量 =（1，2）， =（2，﹣3）．（1）若垂直，求λ的值；（2）求向量在方向上的投影．17. （10分）(2018·吉林模拟) 已知函数．（1）求的最小正周期；（2）当时，的最小值为5，求的值．18. （10分） (2017高三上·郫县期中) 已知函数，x∈R，ω＞0．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=﹣1的两个相邻交点间的距离为，求函数y=f（x）的单调区间．19. （10分） (2020·肥城模拟) 记为公差不为零的等差数列的前项和，已知， .（1）求的通项公式；（2）求的最大值及对应的大小.20. （10分） (2017高一上·武汉期中) 经市场调查，东方百货超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格f（t）与时间（天）的函数关系近似满足，销售量g（t）与时间（天）的函数关系近似满足g（t）= ．（1）试写出该商品的日销售金额W（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数表达式；（2）求该商品的日销售金额W（t）的最大值与最小值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。

2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高一（上）期末数学试卷1. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是( )A. y=x与y=(1x)−1 B. y=|x|与y=(√x)2C. y=x与y=e lnxD. y=x与y=√x552. 已知f(x−1)=x2−2x，则f(x)=( )A. x2B. x2−1C. x2+1D. x2+23. 已知幂函数的图象经过点P(16,14)，则该幂函数的大致图象是( )A. B.C. D.4. 函数f(x)=lnx−1x的零点所在的大致区间是( )A. (1,2)B. (2,e)C. (e,3)D. (e,+∞)5. 函数f(x)=2x−1,x∈[2,6]的值域是( )A. [13,2] B. [25,2] C. [25,+∞) D. (−∞,2]6. 已知函数f(x)=|log3x|，若a<b，有f(a)=f(b)，则a+4b的取值范围是( )A. [2√2,+∞)B. (2√2,+∞)C. [5,+∞)D. (5,+∞)7. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[−1.08]=−2，定义函数{x}=[x]−x，那么下列命题中正确命题的序号是( )①函数{x}的定义域为R，值域为[−1,0]；②方程{x}=−12有无数解；③函数{x}是周期函数；④函数{x}是减函数；A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④8. 函数f(x)={log 2x (x >0)−√−x (x ≤0)与g(x)=|x +a|+1的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A. RB. (−∞,−2]C. [2,+∞)D. ⌀9. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，f(−6)=0，则( ) A. f(x)在(−∞,0)上单调递减 B. f(8)<0C. 不等式f(x)>0的解集为(−∞,−6)∪(0,6)D. f(x)的图象与x 轴只有2个交点10. 已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象关于直线x =−π3对称，则( ) A. φ=π6 B. f(5π12−x)+f(5π12+x)=0 C. f(π7)=f(4π21)D. f(x)在区间(0,π4)上单调递增11. 已知函数f(x)=log 3(ax 2+bx +c)，以下说法正确的有( ) A. 若y =f(x)的定义域是(−1,3)，则a >0 B. 若y =f(x)的定义域是R ，则a >0 C. 若f(−x)=f(1+x)恒成立，则a +b =0 D. 若a <0，则y =f(x)的值域不可能是R12. 已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足：①对任意x ∈(0,+∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立；②当x ∈(1,2]时，f(x)=2−x.下列结论正确的是( )A. 对任意m ∈Z ，有f(2m )=0B. 函数f(x)的值域为[0,+∞)C. 存在n ∈Z ，使得f(2n +1)=9D. “函数f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得(a,b)⊆(2k ,2k+1)”13. 函数f(x)=33x−1+√−4x 2+5x −1的定义域为______.14. 已知函数g(x)=6e x +1+ln(√x 2+1+x)，则g(3)+g(−3)=______.15. 已知定义在整数集合Z 上的函数f(x)，对任意的x ，y ∈Z ，都有f(x +y)+f(x −y)=4f(x)f(y)且f(1)=14，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=______.16. 函数f(x)={|log 5(1−x)|(x <1)−(x −2)2+2(x ≥1)，若关于x 的方程f(x +1x −2)−t =0恰好有8个不同的实数根，则实数t 的取值范围是______.17. 化简求值：(1)2−12+(−4)0√2+1√2+1−√6−2√5+512；(2)log 327+lg25−7log 73+lg4−log 32⋅log 43.18. 已知α为第三象限角，且f(α)=sin(π2−α)cos(−α)tan(π+α)cos(π−α).(1)化简f(α)； (2)若f(α)=2√55，求cosα的值． 19. 已知函数f(x)=√2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2)的部分图像如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图像向左平移π4个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图像，若关于x 的方程g(x)−m =0在区间[0,3π4]上有两个不同的实数解，求实数m 的范围．20. 国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》标准规定：①车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为酒后驾驶，酒后驾驶，暂扣驾驶证6个月，并处1000元以上2000元以下罚款．如果此前曾因酒驾被处罚，再次酒后驾驶的，处10日以下拘留，并处1000元以上2000元以下罚款，吊销驾驶证．②血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．醉酒驾驶，由公安机关约束至酒醒，吊销其驾驶证，依法追究刑事责任，5年内不得重新取得驾驶证．由检验标准规定可知驾驶人员血液中的酒精含量小于20毫克/百毫升才可以正常驾车上路．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图”如图，该函数近似模型如下：f(x)={a(x −32)2+47.42,0≤x <254.27⋅e −0.3x+10.18,x ≥2，又已知酒后1小时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：现行的酒驾标准类型血液中酒精含量(mg/ml)酒后驾车20−80醉酒驾车≥80(1)当0≤x<2时，确定f(x)的表达式；(2)喝1瓶啤酒后多长时间后才可以驾车？(时间以整分钟计算)(附参考数据：ln982=6.89，ln5427=8.60，ln0.18=−1.71)21. 已知函数f(x)=log a4x+12x(a>0且a≠1).(1)当a=√2时，求函数f(x)的值域；(2)已知g(x)=x−2√x，若∀x1∈[0,2]，∃x2∈[0,4]，使得f(x1)−g(x2)≤2，求实数a的取值范围．22. 已知函数f(x)=x+ax(其中a为常数).(1)如果存在x∈[1,2]，使得不等式f(2x)<2x−14x −14能成立，求实数a的取值范围；(2)设g(x)=1−x1+x ，是否存在正数a，使得对于区间[−35,0]上的任意三个实数m，n，p，都存在以f[g(m)]，f[g(n)]，f[g(p)]为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =x ，其定义域为R ，y =(1x)−1，其定义域为{x|x ≠0}，故两个函数不是相同函数； 对于B ，y =|x|，其定义域为R ，y =(√x)2，其定义域为{x|x ≥0}，故两个函数不是相同函数； 对于C ，y =x ，其定义域为R ，y =e lnx ，其定义域为{x|x >0}，故两个函数不是相同函数； 对于D ，y =x ，其定义域为R ，y =√x 55=x ，其定义域为R ，故两个函数是相同函数； 故选：D.根据题意，依次分析选项中函数是否为相同函数，即可得答案． 本题考查函数的定义，注意函数的解析式，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵f(x −1)=x 2−2x =(x −1)2−1， ∴f(x)=x 2−1， 故选：B.利用f(x −1)=(x −1)2−1，可求得f(x)的解析式． 本题考查函数的解析式的求解，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：设f(x)=x a ， 由题意得f(16)=16a =14， 所以a =−12，f(x)=x−12，结合幂函数的性质可知，f(x)的定义域为(0,+∞)，排除选项CD ， 因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，排除选项B. 故选：A.由已知先求出函数解析式，然后结合幂函数性质检验各选项即可判断． 本题主要考查了幂函数的解析式的求解及幂函数性质的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵y =lnx 在(0,+∞)上单调递增，y =−1x 在(0,+∞)上单调递增， ∴函数f(x)=lnx −1x 在(0,+∞)上单调递增，又f(1)=ln1−1=−1<0，f(2)=ln2−12=ln2−ln √e >0，∴由零点存在性定理得函数f(x)=lnx −1x 的零点所在的大致区间是(1,2)， 故选：A.由题意得函数f(x)=lnx −1x 在(0,+∞)上单调递增，根据函数零点的判定定理，即可得出答案． 本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为f(x)=2x−1在[2,6]上单调递减， 故当x =2时，函数取得最大值2，当x =6时函数取得最小值25. 故选：B.由已知结合函数的单调性即可求解函数的值域．本题主要考查了函数的单调性在函数值域求解中的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为f(x))=|log 3x|，如图，0<a <b ，且f(a)=f(b)，所以−log 3a =log 3b 即log 3a +log 3b =log 3ab =0， 所以ab =1，0<a <1，由对勾函数的单调性可知，a +4b =a +4a ，在(0,1)上单调递减，则a +4a >5. 故选：D.由已知结合对数函数的运算性质可求得ab =1，然后结合对勾函数的单调性即可求解．本题主要考查了对数函数性质的应用及对勾函数单调性在求解函数值域中的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由于[x]表示不超过x 的最大整数，则−1<[x]−x ≤0， 所以函数{x}的定义域为R ，值域为(−1,0],故①错误；②若{x}=−12则x =1.5，2.5，3.5，…， ∴方程{x}=12有无数解，故②正确：③{x +1}=[x +1]−(x +1)=[x]−x ={x}， 所以函数{x}是周期为1的周期函数，故③正确；④因为{3}=3−3=0，{4}=4−4=0，所以{3}={4}，而3<4，所以函数{x}在其定义域上不是减函数；故④错误．命题中正确的序号是②③． 故选：B.根据函数的定义结合定义域和值域的概念判断命题①，根据定义解方程判断命题②，根据周期函数的定义判断命题③，根据减函数的定义判断命题④，由此确定正确选项． 本题考查函数的性质，周期性，单调性，定义域与值域，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：设y =ℎ(x)与y =f(x)的图象关于y 轴对称， 则ℎ(x)=f(−x)={log 2(−x),x <0−√x,x ≥0，作出y =ℎ(x)与y =g(x)的函数图象如图所示：∵f(x)与g(x)图象上存在关于y 轴对称的点， ∴y =ℎ(x)与y =g(x)的图象有交点， ∴−a ≤−2，即a ≥2. 故选：C.作出f(x)关于y 轴对称的函数ℎ(x)和g(x)的函数图象，根据ℎ(x)与g(x)有交点得出a 的范围． 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：由已知可得函数在(−∞,0)上单调递减，且f(6)=0， 如图所示：则f(8)<0，故A 正确，B 错误，当x <−6或0<x <6时，f(x)>0，故C 正确，函数f(x)与x 轴有三个交点，分别为(−6,0)，(0,0)，(6,0)，故D 错误， 故选：AC.由已知可得函数在(−∞,0)上单调递减，且f(6)=0，然后画出函数的图象，利用数形结合思想对各个选项逐个判断即可求解．本题考查了函数的奇偶性以及单调性，涉及到数形结合思想的应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：由于函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象关于直线x =−π3对称， 故有2×(−π3)+φ=kπ+π2，k ∈Z ，∴φ=π6，f(x)=sin(2x +π6)，故A 正确； ∵令x =5π12，求得f(x)=0，故函数f(x)的图象关于点(5π12,0)对称， 故f(5π12−x)+f(5π12+x)=0成立，故B 正确； 根据f(π7)=sin19π42，f(4π21)=sin23π42=sin19π42，故f(π7)=f(4π21)，即C 正确；当x ∈(0,π4)，则2x +π6∈(π6,2π3)，函数f(x)不单调，故D 错误， 故选：ABC.由题意，根据正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】CD【解析】解：对于A 选项，若y =f(x)的定义域是(−1,3)，则关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为(−1,3)，故a <0，A 错；对于B 选项，若函数y =f(x)的定义域为R ，则对任意的x ∈R ，ax 2+bx +c >0， 所以，a =b =0，c >0或a >0，且Δ=b 2−4ac <0，B 错；对于C 选项，由f(−x)=f(1+x)可得f(x)的对称轴为x =12，则有f(0)=f(1)， 则有c =a +b +c ，所以，a +b =0，C 对 对于D 选项，当a <0时，则函数y =ax 2+bx+c 的值城为(−∞,4ac−b24a)，若函数f(x)的值域为R ，则(0,+∞)⊆(−∞,4ac−b 24a)，显然是不可能的，D 对．故选：CD.利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A 选项；分析可知对任意的x ∈R ，ax 2+bx +c >0，列出关于a 的各种情况，可判断B 选项；利用对数运算求出a +b 的值，可判断C 选项；利用二次函数的基本性质可判断D 选项．本题考查对数函数的性质，考查一元二次不等式，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A ：f(2m )=f(2⋅2m−1)=2f(2m−1)=2m−1⋅f(2)，而当x ∈(1,2]时，f(x)=2−x ，所以f(2)=0，所以f(2m )=0故A 正确； 对于B ：取x ∈(2m ,2m+1],则x2m∈(1,2]；f(x 2m)=2−x2m， 从而f(x)=2f(x2)，而f(x)=2m ⋅f(x 2m)=2m+1−x ，其中，m =0，1，2..，从而f(x)∈[0,+∞),所以B 正确；对于C ：f(2m +1)=2m+1−2m −1，假设存在n 使f(2n +1)=9，∵2n +1∈[2n ,2n+1),∴f(2n +1)=2n+1−2n −1=2n −1,∴2n −1=9,2n =10, 这与n ∈Z 矛盾，所以该命题错误；对于D ：由选项B 知当x ∈(2k ,2k+1)时，f(x)=2k+1−x 单调递减，为减函数， 所以若(a,b)⊆(2k ,2k+1)，则函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，故正确． 故选：ABD.对于选项A 、B ：直接利用关系式的变换和函数的性质求出结果． 对于选项C ：利用假设法和关系式的而变换推出矛盾，进一步判定结果． 对于选项D ：直接利用函数的单调性判定结果．本题考查的知识要点：函数的性质，关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．13.【答案】{x|14≤x ≤1,且x ≠13}【解析】解：要使原函数有意义，则{3x −1≠0−4x 2+5x −1≥0，解得14≤x ≤1，且x ≠13. ∴函数f(x)=33x−1+√−4x 2+5x −1的定义域为{x|14≤x ≤1,且x ≠13}. 故答案为：{x|14≤x ≤1,且x ≠13}.由分式的分母不为0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14.【答案】6【解析】解：∵函数g(x)=6e x+1+ln(√x2+1+x)的定义域为R，且g(−x)+g(x)=61+e−x +ln(√(−x)2+1−x)+6e x+1+ln(√x2+1+x)=6e xe x+1+6e x+1+ln[(x2+1)−x2]=6+ln1=6，∴g(3)+g(−3)=6.故答案为：6.根据已知条件得到g(−x)+g(x)=6，进而求解结论．本题主要考查函数性质的应用以及计算能力，属于基础题．15.【答案】12【解析】解：已知已知定义在整数集合Z上的函数f(x)，对任意的x，y∈Z，都有f(x+y)+f(x−y)=4f(x)f(y)，令y=1，则f(x+1)+f(x−1)=f(x)，即f(x+2)+f(x)=f(x+1)，即f(x+2)+f(x−1)=0，即f(x+3)+f(x)=0，即f(x+6)+f(x+3)=0，即f(x+6)=f(x)，即函数f(x)的周期为6，又f(0)+f(3)=0，f(1)+f(4)=0，f(2)+f(5)=0，则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0，又f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=336×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+f(2016)=f(0)令x=1，y=0，则有2f(1)=4f(1)f(0)，又f(1)=14，即有f(0)=12，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=12，故答案为：12.由抽象函数的应用，结合函数的周期性及赋值法求解即可．本题考查了抽象函数的应用，重点考查了函数的周期性，属中档题．16.【答案】(1,2)−2，由对勾函数的性质可知：【解析】解：令m=x+1x−2最多两个解，对于一个确定的m值，关于x的方程m=x+1x−2的图象如下：画出m=x+1x−2值域为(−∞,−4]∪[0,+∞)，故m=x+1x作出函数f(x)的图象，如下：令|log5(1−x)|=1，解得：x1=0.8，x2=−4，令|log5(1−x)|=2，解得：x3=0.96，x4=−24，令−(x−2)2+2=0，解得：x5=2+√2，当t<0时，存在唯一的m∈(2+√2,+∞)，使得f(m)=t，此时方程m=x+1x−2有两解；当t=0时，存在m1=0,m2=2+√2使得f(m)=0，此时方程m=x+1x−2有三解，其中m1=0时，有1个解，即x=1,m2=2+√2时，有2个解；当t∈(0,1)时，存在m1∈(−4,0),m2∈(0,0.8),m3∈(3,2+√2)使得f(m)=t，此时方程m=x+ 1x−2有四解，m1∈(−4,0)时，无解，m2∈(0,0.8)时，有2个解，m3∈(3,2+√2)时，有2个解；当t=1时，存在m1=−4，m2=0.8，m3=1，m4=3使得f(m)=1，此时方程m=x+1x−2有七解，m1=−4时，有1个解，即x=−1，m2=0.8时，有2个解，m3=1时，有2个解，m4=3时，有2个解；当t∈(1,2)时，存在m1∈(−24,−4)，m2∈(0.8,0.96)，m3∈(1,2)，m4∈(2,3)使得f(m)=t，此时方程m=x+1x−2有八个解，当m1∈(−24,−4)时，有2个解，m2∈(0.8,0.96)时，有2个解，m3∈(1,2)时，有2个解，m4∈(2,3)时，有2个解；当t=2时，存在m1=−24，m2=0.96，m3=2使得f(m)=2，此时方程m=x+1x−2有六解，当m1=−24时，有2个解，m2=0.96时，有2个解，m3=2时，有2个解；当t∈(2,+∞)时，存在m1∈(−∞,−24)，m2∈(0.96,1)使得f(m)=t，此时方程m=x+1x−2有四解，当m 1∈(−∞,−24)时，有2个解，m 2∈(0.96,1)时，有2个解； 综上：实数t 的取值范围是(1,2). 故答案为：(1,2).令m =x +1x−2，由对勾函数得到其单调性和值域情况，画出函数f(x)的图象，数形结合得到不同的t 时，根据两函数交点情况，得到答案． 本题考查了复合函数的零点问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)原式=1212+√2+√2−1−√(√5−1)2+√5=√22+√22+√2−1−√5+1+√5=2√2.(2)原式=3+(lg25+lg4)−3−lg2lg3⋅lg32lg2=lg100−12=2−12=32.【解析】(1)利用指数的性质和运算法则求解． (2)利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．本题考查指数，对数的性质、运算法则及换底公式，属于中档题．18.【答案】解：(1)f(α)=cosα⋅cosα⋅tanα−cosα=−sinα.(2)∵f(α)=−sinα=2√55， ∴sinα=−2√55， 又α为第三象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−1−(−2√55)2=−√55.【解析】(1)根据诱导公式化简即可；(2)利用三角函数平方关系，结合角的象限，计算即可．本题主要考查了诱导公式的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．19.【答案】解：(1)由已知函数f(x)=√2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象得{√2sinφ=−1ω⋅π8+φ=0， 解得{ω=2ϕ=−π4，∴f(x)=√2sin(2x −π4)；(2)由题意可知，g(x)=√2sin(x +π4)，g(x)−m =0在区间[0,3π4]上有两个不同的实数解，则直线y =m 与函数g(x)=√2sin(x +π4)有两个不同的交点，令x +π4=π2+kπ,k ∈Z ，则g(x)对称轴为x =π4+kπ,k ∈Z ， ∵x ∈[0,3π4]，∴当k =0，x =π4符合题意，即两个交点关于x =π4对称， ∴g(π4)=√2，g(0)=1， ∴m 的取值范围为[1,√2).【解析】(1)由五点法作图以及特殊点的坐标求出ω、φ的值，可得f(x)得解析式；(2)利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出函数g(x)在区间[0,π]上的值域．本题主要考查三角函数的图象，考查转化能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为酒后1小时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，所以x =1时，y =44.42，又f(x)=a(x −32)2+47.42,0≤x <2， 所以44.42=a(1−32)2+47.42，解得a =−12， 所以当0≤x <2时，f(x)=−12(x −32)2+47.42. (2)由(1)当0≤x <2时，f(x)=−12(x −32)2+47.42， 所以当0≤x <2时，20.42≤f(x)≤47.42，不可驾车， 令f(x)<20可得，x ≥2且54.27⋅e −0.3x +10.18<20， 化简可得e −0.3x <9825427，所以0.3x >ln5427−ln982，又ln5427=8.60，ln982=6.89，所以x >10(8.60−6.89)3≈5.7，5.7小时等于342分钟，所以喝1瓶啤酒后，需342分钟后才可以驾车．【解析】(1)由已知x =1时，y =44.42，代入函数解析式求a 即可； (2)解不等式f(x)<20求其解可得结果．本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a =√2时，f(x)=log √21+4x2x ，因为1+4x2x=2x +12x≥2√2x ⋅12x=2，当且仅当x =0时取等号，属于f(x)≥2，即函数的值域为[2,+∞)；(2)若∀x 1∈[0,2]，∃x 2∈[0,4]，使得f(x 1)−g(x 2)≤2， 则f(x)max ≤[g(x)+2]max ，因为g(x)+2=x −2√x +2=(√x −1)2+1≤2， 因为y =1+4x 2x =2x +12x 在[0,2]上单调递增， 所以y =1+4x 2x=2x +12x≤174， 当a >1时，f(x)在[0,2]上单调递增，f(x)max =f(2)=log a 174≤2， 解得a ≥√172，当0<a <1时，f(x)在[0,2]上单调递减，f(x)max =f(0)=log a 2≤2显然满足题意， 故a 的取值范围为(0,1)∪[√172,+∞).【解析】(1)把a =√2代入已知函数解析式，结合函数的单调性及基本不等式可求； (2)由题意可知x 1∈[0,2]，x 2∈[0,4]时，f(x)max ≤[g(x)+2]max ，结合函数的单调性可求． 本题主要考查了基本不等式求解最值，还考查了函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为f(x)=x +ax ，所以由不等式f(2x)<2x−14x −14可得2x +a 2x <2x−14x −14，即a<−12x −2x4，因为存在x ∈[1,2]，使得不等式f(2x )<2x −14x−14能成立，所以存在x ∈[1,2],a <−12x −2x4能成立，即a<(−12x−2x4)max ，因为2x>0，所以12x+2x 4≥2√12x ⋅2x4=1，当且仅当12x =2x4，即x =1时，等号成立，所以在x ∈[1,2]上，−12x−2x4≤−1，即(−12x −2x4)max =−1，故a <−1，即实数a 的取值范围是(−∞,−1)； (2)假设存在正数a 满足题意；设t =g(x)=1−x 1+x =−1+21+x ，则t =−1+21+x 在[−35,0]上单调递减， 所以t ∈[1,4]，则f(g(x))=f(t)=t +a t；所以对于区间[−35,0]上的任意三个实数m ，n ，p ，都存在以f[g(m)]，f[g(n)]，f[g(p)]为边长的三角形，等价于2f(t)min >f(t)max ， 因为f(x)=x +a x,a >0，任取0<x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+a x 1)−(x 2+ax 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−a)x 1x 2， 当0<x 1<x 2<√a 时，x 1−x 2<0，0<x 1x 2<a ，故f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在(0,√a)上单调递减；当0<√a <x 1<x 2时，x 1−x 2<0，x 1x 2>a >0，故f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)在(√a,+∞)上单调递增；综上：f(x)在(0,√a)上单调递减，在(√a,+∞)上单调递增， 所以对于f(t)=t +a t(t ∈[1,4])，当√a ≤1，即a ≤1时，f(t)在[1,4]上单调递增， 故f(t)min =f(1)=1+a,f(t)max =f(4)=4+a4， 则2(1+a)>4+a4，解得a >87，故a ∈⌀；当1<√a <4，即1<a <16时，f(x)在(1,√a)上单调递减；在(√a,4)上单调递增， 故f(t)min =f(√a)=2√a,f(t)max =max{f(1),f(4)}，(i)当f(1)≤f(4)时，1+a ≤4+a4，解得a ≤4，此时f(t)max =f(4)=4+a4， 则2×2√a >4+a 4，整理得a −16√a +16<0，解得8−4√3<√a <8+4√3， 所以(8−4√3)2<a ≤4，即16(7−4√3)<a ≤4，(ii)当f(1)>f(4)时，1+a >4+a4，解得a >4，此时f(t)max =f(1)=1+a ， 则2×2√a >1+a ，整理得a −4√a +1<0，解得2−√3<√a <2+√3， 所以4<a <(2+√3)2，即4<a <7+4√3， 所以16(7−4√3)<a <7+4√3；当√a ≥4，即a ≥16时，f(t)在[1,4]上单调递减， 故f(t)min =f(4)=4+a4,f(t)max =f(1)=1+a ， 则2(4+a 4)>1+a ，解得a <14，故a ∈⌀； 综上：16(7−4√3)<a <7+4√3，所以存在正数a 满足题意，且a 的取值范围为(16(7−4√3),7+4√3). 【解析】(1)先将问题转化为a <−12x −2x4在x∈[1,2]上能成立，再利用基本不等式求出(−12x−2x4)max，从而得解； (2)先利用反比例函数的单调性求得t =g(x)的值域，再将问题将转化为2f(t)min >f(t)max ，从而分类讨论a ≤1，1<a <16，a ≥16三种情况，结合对勾函数的单调性，列出不等式求解，由此得解．本题考查了函数的恒成立问题，属于难题．。

2019-2020学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2−x<0}，N={x|x>1}，则()A. M⊆NB. N⊆MC. M∪N=RD. M∩N=⌀2.设f(x)={1x,x>02x+2,x≤0，g(x)={1,x为有理数0,x为无理数则f(g(π))=()A. 3B. 4C. 6D. 83.设α∈(0,π2)，sinα=√63，则tanα等于()A. 12B. √22C. √2D. 24.函数f(x)=1+log2x与g(x)=21−x的图象大致是()A. B.C. D.5.已知角α的终边过点P(m,1)，若sinα=13，则m的值是()A. √2B. ±2√2C. −2√2D. 2√26.已知sinα−cosα=13,则cos2(π4−α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若BC =2AC ，则楼高AB 约为( )A. 65米B. 74米C. 83米D. 92米8. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，且a =f(−1)，b =f(log 24)，则实数a ，b 的大小关系时( )A. a <bB. a =bC. a >bD. 不能比较9. 已知函数f(x)=x 2−ax +1 在(1,3)有零点，则a 的取值范围为( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. [2,52)D. (2,103)10. 已知函数f(x)=sin(x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③11. 若函数f(x)=log 3(x 2+ax +a +5)，f(x)在区间(−∞,1)上是递减函数，则实数a的取值范围为( )A. [−3,−2]B. [−3,−2)C. (−∞,−2]D. (−∞,−2)12. 若函数f(x)=2sin (ωx +π3)(ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为( )A. 12B. π2C. πD. 2π第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设f(x)是定义在(−∞,+∞)上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x3+1，则f(x)=__________．14.设函数的图象为C，给出如下结论：①图象C关于直线x=1112π对称；②图象C关于点(2π3,0)对称；③函数f(x)在区间(−π12,5π12)内是增函数；④由y=3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C．其中正确的结论是________________(写出所有正确结论的编号．．).15.《庄子.天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．按照上述取法，至少经过_______天，剩余木棰的尺寸开始小于31010尺？(参考数据：log23≈1.584,log25≈2.321,log2103≈1.736)16.函数f(x)={x 2−1,x≤0,x−2+lnx,x>0的零点个数为____.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集U=R，集合A={x|−2<x<2}，集合B={x|x2−4x+3>0}求A∩B，A∪B，A∩∁U B.18.已知函数．(1)请用“五点法”画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图,0)，求θ的最小值．象．若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π1219.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b是奇函数．2x+1+a(1)求a，b的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；,3]都有f(kx2)+f(2x−1)>0成立，求实数k的取值范围．(3)若对于任意x∈[1220.如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m.如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30min转一圈，且当摩天轮上某人经过点P(点P与摩天轮中心O的高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度ℎ(单位：m)关于时间t(单位：min)的函数关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m？21.已知函数f(x)在其定义域x∈[0,+∞)时单调递增，且对任意的x，y∈[0,+∞)都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1成立，且f(1)=2，(1)求f(0)，f(3)的值；(2)解不等式：f(2x)+f(x−1)>7．22.已知函数f(x)=x2−2ax−a+2．(Ⅰ)若f(x)是R上偶函数，求函数f(x)在[−1,2]上的值域；(Ⅱ)若f(x)<0对任意x∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅲ)若函数y=f(x)在区间[0,2]上有零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的包含关系以及集合的运算，属基础题．首先解不等式化简集合A，再逐项判断即可．【解答】解：M=｛x|x2−x<0｝={x|0<x<1}，N=｛x|x>1｝，所以M和N之间没有包含关系，且M∪N={x|x>0,且x≠1},M∩N=⌀．故选D．2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了求分段函数的函数值问题，是基础题．【解答】解：∵f(x)={1x,x>02x+2,x⩽0,g(x)={1,x为有理数0,x为无理数,∴g(π)=0，∴f(g(π))=f(0)=20+2=4．故选B．3.【答案】C【解析】解：∵α∈(0,π2)，sinα=√63，∴cosα=√1−sin2α=√33，则tanα=√6√3=√2，故选：C．由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查对数函数和指数函数的图像，利用函数图像确定出结果。