2020-2021新课程同步人教B版高中数学必修章末综合检测《函 数》

章末检测（一) 集合与常用逻辑用语 ◎◎◎◎◎◎滚动测评卷◎◎◎◎◎◎(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )＝() A ．{x |0≤x <1} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |x <0} D ．{x |x >1}【答案】B【解析】∵全集U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，∴∁U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩(∁U B )＝{x |0<x ≤1}，故选B.2．四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】若四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD ；反之，若AC ⊥BD ，则四边形ABCD 不一定是菱形．故“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件． 3．下列四个命题中的真命题为() A ．∃x ∈Z ，1<4x <3 B ．∃x ∈Z ，5x ＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0 【答案】D【解析】选项A 中，14<x <34且x ∈Z ，不成立；选项B 中，x ＝－15，与x ∈Z 矛盾；选项C 中，x ＝±1，与∀x ∈R 矛盾；选项D 中，由Δ＝1－8＝－7<0可知D 正确． 4．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )·(n ＋x )>0的解集是() A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m <x <n } 【答案】B【解析】方程(m －x )(n ＋x )＝0的两个根为m ，－n .因为m ＋n >0，所以m >－n ，结合二次函数y ＝(m －x )·(n ＋x )的图象，得原不等式的解集是{x |－n <x <m }．故选B. 5．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是() A ．{x |x <5a 或x >－a } B ．{x |x >5a 或x <－a } C ．{x |－a <x <5a } D ．{x |5a <x <－a } 【答案】A【解析】方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a ，5a .因为2a ＋1<0，所以a <－12，所以－a >5a .结合二次函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }，故选A.6．若－4<x <1，则22222-+-x x x ()A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1【答案】D【解析】]11)1[(2122222-+-=-+-x x x x x 又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0.∴1])1(1)1([21-≤--+---x x ≤－1.当且仅当x －1＝11-x ，即x ＝0时等号成立． 7．关于x 的方程11-=-x xx x 的解集为() A ．{0} B ．{x |x ≤0或x >1} C ．{x |0≤x <1} D ．{x |x ≠1}【答案】B【解析】由题意知，1-x x≥0，所以x ≤0或x >1， 所以方程11-=-x x x x 的解集为{x |x ≤0或x >1}． 8．设p ：0＜x ＜1，q ：（x ﹣a ）[x ﹣（a +2）]≤0，若p 是q 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，0]B ．（﹣1，0）C ．（﹣∞，0]∪[1+∞，）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0+∞，） 【答案】A【解析】命题q ：：（x ﹣a ）[x ﹣（a +2）]≤0，即a ≤x ≤2+a ．由题意得，命题p 成立时，命题q 一定成立，但当命题q 成立时，命题p 不一定成立． ∴a ≤0，且2+a ≥1，解得﹣1≤a ≤0，故选：A ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1．（2019·江苏姑苏�高二期中）已知b 克糖水中有a 克糖()0b a >>，若再添加m 克糖()0m >，则糖水变得更甜.对于0b a >>，0m >，下列不等式正确的有：( )A ．a a mb b m+<+ B ．a a mb b m ->- C ．a a bmb b am+<+ D ．a a bmb b am-<- 【答案】AC【解析】由题意可知，可以得到不等式，若0b a >>，0m >，则有a a m b b m+<+，因此选项A 是正确的；由该不等式反应的性质可得：a a am a bmb b am b am++<<++，因此选项C 是正确的； 对于选项B ：假设a a mb b m->-成立，例如：当3,1,4b a m ===时，显然1143334->=-不成立，故选项B 不是正确的； 对于选项D ：假设a a bmb b am-<-成立，例如：当3,1,1b a m ===时，显然113113311-⨯<=--⨯不成立，故选项D 不是正确的.故选：AC2．（2020·山东新泰�泰安一中高二期中）如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（） A ．11a b< B ．22ac bc <C ．11a b b a+<+ D ．22a ab b >>【答案】CD 【解析】0,0,0,0a b b a a b ab <<∴->-<>A.110b aa b ab--=>，故错误； B. ()222ac bc c a b -=-，当0c时，220ac bc -=，故错误；C. ()11110a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确； D. 2()0a ab a a b -=->，2()0=->-b a b ab b ，故正确. 故选CD.11．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为)2,21(-，则下列结论正确的是() A ．a >0 B ．b >0 C ．c >0 D ．a ＋b ＋c >0【答案】BCD【解析】因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为)2,21(，故相应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a <0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－b a ＝32>0，又a <0，故b >0，c >0，故B 、C 正确；由二次函数的图象可知f (1)＝a ＋b ＋c >0，故D 正确．故选B 、C 、D. 12．已知关于x 的不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b ，下列结论正确的是() A ．当a ＜b ＜1时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为∅ B ．当a ＝1，b ＝4时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |0≤x ≤4} C ．当a ＝2时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集可以为{x |c ≤x ≤d }的形式 D ．不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好为{x |a ≤x ≤b }，那么b ＝34 【答案】AB 【解析】由43x 2－3x ＋4≤b 得3x 2－12x ＋16－4b ≤0，又b ＜1，所以Δ＝48(b －1)＜0.从而不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为∅，故A 正确；当a ＝1时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4就是x 2－4x ＋4≥0，解集为R ，当b ＝4时，不等式43x 2－3x ＋4≤b 就是x 2－4x ≤0，解集为{x |0≤x ≤4}，故B 正确；在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝43x 2－3x ＋4＝43(x －2)2＋1的图象及直线y ＝a 和y ＝b ，如图所示．由图知，当a ＝2时，不等式a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |x A ≤x ≤x C }∪{x |x D ≤x ≤x B }的形式，故C 错误；由a ≤43x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |a ≤x ≤b }， 知a ≤y min ，即a ≤1，因此当x ＝a ，x ＝b 时函数值都是b .由当x ＝b 时函数值是b ，得43b 2－3b ＋4＝b ，解得b ＝34或b ＝4.当b ＝34时，由43a 2－3a ＋4＝b ＝34，解得a ＝34或a ＝38，不满足a ≤1，不符合题意，故D 错误．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________． 【答案】∅【解析】原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅.14．若不等式x 2－4x ＋m <0的解集为空集，则不等式x 2－(m ＋3)x ＋3m <0的解集是________． 【答案】{x |3<x <m }【解析】由题意，知方程x 2－4x ＋m ＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m ≤0，解得m ≥4，又x 2－(m ＋3)x ＋3m <0等价于(x －3)(x －m )<0，所以3<x <m . 15．若∃x >0，使得x1＋x －a ≤0，则实数a 的取值范围是________． 【答案】a ≥2 【解析】∃x >0，使得x 1＋x －a ≤0，等价于a 大于等于x1＋x 的最小值， ∵x ＋x1≥2 xx 1⋅＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)， 故a ≥2.16．(一题两空)某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：万元． 【答案】20330【解析】设总产值为y 万元，应开发A 类电子器件x 件，则应开发B 类电子器件(50－x )件． 根据题意，得2x ＋350x -≤20，解得x ≤20. 由题意，得y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.所以欲使总产值最高，A 类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤2a ＋3}，B ＝{x |－2≤x ≤4}，全集U ＝R . (1)当a ＝2时，求A ∪B 和(∁R A )∩B ； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝2时，A ＝{x |1≤x ≤7}，则A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}，∁R A ＝{x |x <1或x >7}，(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .若A ＝∅，则a －1>2a ＋3，解得a <－4；若A ≠∅，由A ⊆B ，得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-43221321a a a a ，解得－1≤a ≤21综上，a 的取值范围是}2114{≤≤--<a a a 或.18．(本小题满分12分)）若正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，求： （1）3x +4y 的最小值； （2）求xy 的最小值．【解析】（1）正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，∴1y+3x=5．∴3x +4y =15(3x +1y )（3x +4y ）=15（13+12yx +3x y ≥15(13+3×2√4y x ⋅xy )=5，当且仅当x ＝1，y =12时取等号．∴3x +4y 的最小值为5．（2）∵正数x ，y 满足x +3y ＝5xy ，∴5xy ≥2√3xy ， 解得：xy ≥1225，当且仅当x ＝3y =65时取等号． ∴xy 的最小值为1225．19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式56x 2�ax �a 2<0. 【解析】原不等式可化为()()780x a x a +-<， 即078a a x x ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①当78a a -<即0a >时，78a a x -<<； ②当78a a-=时，即0a =时，原不等式的解集为∅；③当78a a ->即0a <时，87a a x <<-，综上知：当0a >时，原不等式的解集为78a a x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a =时，原不等式的解集为∅；当0a <时，原不等式的解集为87a a xx ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.20．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c 【解析】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .21．(本小题满分12分)已知命题：“∃x ∈{x |﹣1＜x ＜1}，使等式x 2﹣x ﹣m ＝0成立”是真命题， （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式（x ﹣a ）（x +a ﹣2）＜0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围． 【解析】（1）由x 2﹣x ﹣m ＝0可得m ＝x 2﹣x =(x −12)2−14 ∵﹣1＜x ＜1 ∴−14≤m ＜2 M ＝{m |−14≤m ＜2}（2）若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N①当a ＞2﹣a 即a ＞1时，N ＝{x |2﹣a ＜x ＜a }，则{2−a ＜−14a ≥2a ＞1即a ＞94②当a ＜2﹣a 即a ＜1时，N ＝{x |a ＜x ＜2﹣a }，则{a ＜1a ＜−142−a ≥2即a ＜−14③当a ＝2﹣a 即a ＝1时，N ＝φ，此时不满足条件 综上可得a ＞94或a ＜−1422．(本小题满分12分)某个体户计划经销A 、B 两种商品，据调查统计，当投资额为x （x ≥0）万元时，经销A 、B 商品中所获得的收益分别为f （x ）万元与g （x ）万元．其中f （x ）＝x +1；g （x ）={10x+1x+1(0≤x ≤3)−x 2+9x −12(3＜x ≤5)．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．【解析】设投入B 商品的资金为x 万元（0≤x ≤5），则投入A 商品的资金为5﹣x 万元，设收入为S （x ）万元，①当0≤x ≤3时，f （5﹣x ）＝6﹣x ，g （x ）=10x+1x+1，则S （x ）＝6﹣x +10x+1x+1=17﹣[（x +1）+9x+1]≤17﹣2√(x +1)⋅9x+1=17﹣6＝11，当且仅当x +1=9x+1，解得x ＝2时，取等号．②当3＜x ≤5时，f （5﹣x ）＝6﹣x ，g （x ）＝﹣x 2+9x ﹣12， 则S （x ）＝6﹣x ﹣x 2+9x ﹣12＝﹣（x ﹣4）2+10≤10，此时x ＝4． ∵10＜11，∴最大收益为11万元，答：投入A 商品的资金为3万元，投入B 商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．。

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：第4章 指数函数、对数函数与幂函数(教师独具)类型1 指数、对数的运算问题解决这类问题首先要熟练掌握指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如N 1b＝a ，a b ＝N ，log a N ＝b (其中N >0，a >0，a ≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．【例1】 (1)若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．52D ．12(2)已知2a ＝5b ＝c ，1a ＋1b＝1，则c ＝________.(1)A (2)10 [(1)由x log 23＝1得x ＝log 32，所以3x＋9x＝3log 32＋(3log 32)2＝2＋4＝6.(2)由2a ＝5b ＝c ，得a ＝log 2c ，b ＝log 5c ，1a ＋1b ＝1log 2c ＋1log 5c＝log c 2＋log c 5＝log c 10＝1，所以c ＝10.][跟进训练]1．求值：(1)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫338－23＋(1.5)－2； (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52.[解] (1)原式＝⎝⎛⎭⎫9412－1－⎝⎛⎭⎫278－23＋⎝⎛⎭⎫32－2 ＝32－1－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫232＝32－1－49＋49＝12.(2)原式＝－12log 52·12log 25＋log 33－2log 22＋2＝－14＋1－2＋2＝34.类型2 函数图像与性质的应用指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．【例2】 当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(1,2] D ．⎝⎛⎭⎫0，12 C [设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )＝log a x 的下方即可，当0<a <1时，显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图像在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2.∴log a 2≥1，∴1<a ≤2，故选C ．] [跟进训练]2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x.(1)画出函数f (x )的图像；(2)根据图像写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域． [解] (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图像，利用偶函数的图像关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图像．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．类型3 数的大小比较问题比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．【例3】 (1)已知a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a (2)设a ＝log 132，b ＝log 123，c ＝⎝⎛⎭⎫130.3，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c (1)C (2)D [(1)∵a ＝log 20.3＜log 21＝0，b ＝20.3＞20＝1,0＜c ＝0.30.2＜0.30＝1，∴b ＞c ＞a .故选C ．(2)∵a ＝log 132＜0，b ＝log 123＜0，log 132＞log 133，log 133＞log 123，c ＝⎝⎛⎭⎫130.3＞0.∴b ＜a ＜c .故选D ．][跟进训练]3．已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x ＞y ＞zB ．z ＞y ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞yC [依题意，得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7.又0＜a ＜1，5＜6＜7，因此有log a 5＞log a 6＞log a 7，即y ＞x ＞z .]类型4 分类讨论思想所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图像和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．【例4】 已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈N )为偶函数，且f (3)<f (5)． (1)求m 的值，并确定f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a [f (x )－ax ](a >0，且a ≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围． [思路探究] (1)结合f (3)<f (5)，与函数f (x )的奇偶性，分类讨论确定m 的值及f (x )的解析式．(2)由g (x )为增函数，结合a 讨论，求出a 的取值范围． [解] (1)由f (3)<f (5)，得3－2m 2＋m ＋3<5－2m 2＋m ＋3， ∴⎝⎛⎭⎫35－2m 2＋m ＋3<1＝⎝⎛⎭⎫350. ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x为减函数，∴－2m 2＋m ＋3>0，解得－1<m <32.∵m ∈N ，∴m ＝0或1．当m ＝0时，f (x )＝x －2m 2＋m ＋3＝x 3为奇函数，不合题意； 当m ＝1时，f (x )＝x －2m 2＋m ＋3＝x 2为偶函数． 综上，m ＝1，此时f (x )＝x 2.(2)由(1)知，当x ∈[2,3]时，g (x )＝log a (x 2－ax )．①当0<a <1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递减，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递减，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥3，u (3)＝32－3a >0，无解； ②当a >1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递增，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递增，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u (2)＝22－2a >0，解得a <2. ∴实数a 的取值范围为(1,2)． [跟进训练]4．设a >0且a ≠1，若P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，试比较P ，Q 的大小． [解] 当0<a <1时，有a 3<a 2，即a 3＋1<a 2＋1． 又当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q ； 当a >1时，有a 3>a 2，即a 3＋1>a 2＋1． 又当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q . 综上可得P >Q .类型5 函数与方程思想【例5】 若函数f (x )＝10|lg x |－a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a >1 C ．a ≤1D ．a ≥1B [若函数f (x )＝10|lg x |－a 有两个零点，则10|lg x |－a ＝0有两个实数根，即10|lg x |＝a 有两个实数根，转化为函数y ＝10|lg x |与y ＝a 图像有两个不同的交点，为此只要画出y ＝10|lg x |的图像即可． 当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x ＝x ； 当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x＝1x， 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1．这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出，如图．依题意，得a >1．][跟进训练]5．若关于x 的方程|x －2|(x ＋1)－m ＝0至少有两个实数根，则实数m 的取值范围是________．⎣⎡⎦⎤0，94 [若关于x 的方程|x －2|(x ＋1)－m ＝0至少有两个实数根，则|x －2|(x ＋1)＝m 至少有两个实数根，即函数y ＝|x －2|(x ＋1)与y ＝m 的图像至少有两个交点．当x ≥2时，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫x －122－94， 当x <2时，即x －2<0时， y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出，如图．依题意，得0≤m ≤94.](教师独具)1．(2020·全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A ．116B ．19C ．18D ．16B [法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B ．法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a ＝3－2＝132＝19，故选B ．]2．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69C [由题意可知，当I (t *)＝0.95K 时，K 1＋e－0.23(t *－53)＝0.95K ，即10.95＝1＋e －0.23(t *－53)，e －0.23(t *－53)＝119，e 0.23(t *－53)＝19，∴0.23(t *－53)＝ln 19≈3，∴t *≈66.故选C ．] 3．(2020·全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [ ∵23＜32，∴2＜323，∴log 32＜log 3323＝23，∴a ＜c .∵33＞52，∴3＞523，∴log 53＞log 5523＝23，∴b ＞c ，∴a ＜c ＜b ，故选A ．]4．(2020·天津高考)设a ＝30.7，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bD [由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D ．]5．(2020·全国卷Ⅱ)若2x －2y ＜3－x －3－y ，则( ) A ．ln(y －x ＋1)＞0 B ．ln(y －x ＋1)＜0 C ．ln|x －y |＞0D ．ln|x －y |＜0A [由2x －2y <3－x －3－y ，得2x －3－x <2y －3－y ，即2x －⎝⎛⎭⎫13x <2y －⎝⎛⎭⎫13y.设f (x )＝2x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )<f (y )．因为函数y ＝2x在R 上为增函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为增函数，所以f (x )＝2x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上为增函数，则由f (x )<f (y )，得x <y ，所以y －x >0，所以y －x ＋1>1，所以ln(y －x ＋1)>0，故选A ．]6．(2020·北京高考)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是________．(0，＋∞) [函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x ＞0，∴x ＞0，即定义域为(0，＋∞)．]。

(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．0 B．2C．3 D．4解析：选B.原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真．故共有2个真命题．2．若命题p：x＝2且y＝3，则¬p为( )A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝3解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p：x≠2或y≠3.故选A.3．命题“若a>b，则a－5>b－5”的逆否命题是( )A．若a<b，则a－5<b－ 5B．若a－5>b－5，则a>bC．若a≤b，则a－5≤b－ 5D．若a－5≤b－5，则a≤b解析：选D.逆否命题是把原命题条件的否定作为结论，把原命题结论的否定作为条件而构成的．4．下列语句中，命题和真命题的个数分别是( )①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②一个数不是奇数就是偶数；③x＋y是有理数，则x、y也都是有理数；④求证：x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实数根．A．3,1 B．2,2C．2,0 D．2,1解析：选C.命题是②、③，它们都是假命题，所以选C.5．下列全称命题中假命题的个数是( )①2x＋1是整数(x∈R) ②对所有的x∈R，x>3 ③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.对于①，当x＝14时，2x＋1＝32不是整数，假命题．对于②，当x＝0时，0<3，假命题．对于③，当x∈Z时，2x2是偶数，进而2x2＋1是奇数，所以①②是假命题，故选C.6．“x>0”是“3x2>0”成立的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件解析：选A.因为当x>0时，一定有3x2>0，但当3x2>0时，x<0也成立，因此，x>0是3x2>0成立的充分非必要条件．7．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：选B.对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x∈(0,1)时，lg x<0<1，正确；对于D，正确．8．(2011年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：选A.由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b；且由a＞b不能得出a＞b＋1.因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，故选A.9．f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)、g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(x)一定是偶函数，但h(x)是偶函数，并不能保证f(x)、g(x)均为偶函数，例如：f(x)＝x，g(x)＝－x，f(x)＋g(x)＝0是偶函数，但f(x)与g(x)均为奇函数．10．已知p：x＝1，¬q：x2＋8x－9＝0，则下列为真命题的是( )A．若p，则q B．若¬q，则pC．若q，则¬p D．若¬p，则q解析：选C.p：x＝1，q：x≠1且x≠－9，易判断A、B为假命题，∵x2＋8x－9≠0⇒x≠1，∴选项C正确．11．下列说法错误的是( )A．命题“若m>0，则方程x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋3x－m＝0无实根，则m≤0”B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析：选C.C项p∧q为假命题，则只要p、q中至少有一个为假即可．12．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝22，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，则下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题．其中正确的是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：选D.∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13．命题p：内接于圆的四边形的对角互补，则p的否命题是________，非p是________．答案：不内接于圆的四边形的对角不互补内接于圆的四边形的对角不互补14．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π：________；(2)存在一个有理数x0，使得x20＝8：________.答案：(1)∀x∈{凸n边形}，x的外角和等于2π(2)∃x0∈Q，x20＝815．a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．答案：充要16．给出下列命题：①已知a ＝(3,4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4；②函数y ＝tan(x ＋π3)的图象关于点(π6，0)成中心对称； ③若a ≠0，则a ·b ＝a ·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确命题的序号都填上)解析：①∵|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝－45， ∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉＝－4，①正确．②当x ＝π6时，tan(x ＋π3)无意义， 由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确．③当a ≠0，b ＝c 时，a ·b ＝a ·c 成立．(当a ≠0，a ·b ＝a ·c 时不一定有b ＝c .)∴③正确．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：¬p ：∃非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ≠c .¬p 为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )≠0，则b ≠c .否命题为真命题．18．指出下列命题中，p 是q 的什么条件：(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数．解：(1)∵{x |x >－2或x <3}＝R ，{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，∴{x |x >－2或x <3}{x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数a 、b 都是奇数，∴p 是q 的充分不必要条件．19．根据条件，判断“p ∨q ”，“p ∧q ”，“¬p ”的真假：(1)p ：9是144的约数，q ：9是225的约数；(2)p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.解：(1)p ∨q ：9是144或225的约数．p ∧q ：9是144与225的公约数．¬p ：9不是144的约数．∵p 真，q 真，∴p ∨q 为真，p ∧q 为真，而¬p 为假．(2)p ∨q ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 或不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.p ∧q ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.¬p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集不为R .∵p 假，q 假，∴p ∨q 为假，p ∧q 为假，而¬p 为真．20．已知p ：A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，q ：B ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：因为p ：A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，q ：B ＝{x |1<x <3}．又因为x ∈A 是x ∈B 的必要条件，所以q ⇒p ，即B ⊆A .所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1a ＋4≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，即－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤5}．21．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若p ∧q 和¬q 都是假命题，求x 的值．解：∵p ∧q 为假命题，∴p 、q 至少有一个为假．∵¬q 为假，∴q 为真，即p 假q 真，∴x 2－x <6且x ∈Z ，∴－2<x <3且x ∈Z ，即x ＝－1,0,1,2.22．π是圆周率，a 、b 、c 、d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d .(1)写出p 的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假；(2)判断“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的什么条件？解：(1)逆命题：若a ＝c 且b ＝d ，则a π＋b ＝c π＋d ，真命题．逆否命题：若a ≠c 或b ≠d ，则a π＋b ≠c π＋d ，真命题．否命题：若a π＋b ≠c π＋d ，则a ≠c 或b ≠d ，真命题．(2)“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件．充分性： ⎭⎪⎬⎪⎫a ＝c ⇒a π＝c π b ＝d ⇒a π＋b ＝c π＋d ；必要性：a π＋b ＝c π＋d ⇒(a －c )π＝d －b ，∵d －b ∈Q ，∴a －c ＝0，d －b ＝0，即a ＝c 且b ＝d .。

第四章 单元质量测评时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简a23·b 12 ·(－3a 12 ·b 13 )÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13a 16 ·b 56 的结果为()A ．6aB ．－aC ．－9aD ．9a2．函数f (x )＝1log 2x2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)3．已知函数y ＝g (x )的图像与函数y ＝3x 的图像关于直线y ＝x 对称，则g (2)的值为( )A ．9 B. 3 C. 2D ．log 324．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是( ) A ．y ＝lg x B ．y ＝3x C ．y ＝x －1D ．y ＝－(x ＋1)25．已知函数y ＝－2x 3＋2，则该函数在区间[0,2]上的平均变化率为( ) A ．8 B ．－8 C ．16D ．－166．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图像可能是( )7．三个数a ＝70.3，b ＝0.37，c ＝ln 0.3的大小顺序是( )A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b8．已知a，b是方程log(3x)3＋log27(3x)＝－43的两个根，则a＋b＝( )A.1027B.481C.1081D.2881二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列函数中，是幂函数的是( )A．y＝2x B．y＝x－1C．y＝x D．y＝x210．已知等式log2m＝log3n，m，n∈(0，＋∞)成立，则下列结论可能正确的是( )A．m＝n B．n<m<1C．m<n<1 D．1<m<n11．对于函数y＝f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f(x)的值域为[ka，kb](k>0)，则称y＝f(x)为“k倍值函数”．下列函数为“2倍值函数”的是( )A．f(x)＝x2B．f(x)＝x3＋2x2＋2xC．f(x)＝x＋ln x D．f(x)＝x e x12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是( )A．当x>1时，甲在最前面B．当x>1时，乙在最前面C．当0<x<1时，丁在最前面，当x>1时，丁在最后面D．如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．函数f (x )＝－a 2x －1＋2(a >0且a ≠1)恒过定点的坐标是________． 14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．15．关于x 的方程lg x 2－lg (x ＋2)＝0的解集是________．16．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则log a b ＝________，a ＋b ＝________.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )≤2.18．(本小题满分12分)众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本高．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，200克装的售价为3元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润．生产成本与饼干质量成正比，包装成本与饼干质量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试计算该种饼干1000克装的合理售价(精确到0.1元)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2a x －a 2x (a >0，且a ≠1)． (1)当a ＝3时，求函数f (x )的值域；(2)当a >1，x ∈[－2,1]时，f (x )的最小值为－7，求a 的值． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x. (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12020＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12020的值； (2)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(0,1))时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)设f (x )＝lg 1＋2x ＋4x a3，且当x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求实数a 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知常数a (a >1)及变量x ，y 之间存在关系式log a x＋3log x a －log x y ＝3.(1)若x ＝a t (t ≠0)，用a ，t 表示y ；(2)若已知(1)中的t 在区间[1，＋∞)内变化时，y 有最小值8，则这时a 的值是多少？x 的值是多少？第四章 单元质量测评时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简a23·b 12 ·(－3a 12 ·b 13 )÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13a 16 ·b 56 的结果为()A ．6aB ．－aC ．－9aD ．9a答案 C解析 a23·b 12 ·(－3a 12 ·b 13 )÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13a 16 ·b 56＝－3a 23＋12 ·b 12＋13÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13 a 16 ·b 56 ＝－9a 23＋12－16 ·b 12＋13－56 ＝－9a . 2．函数f (x )＝1log 2x2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解得x >2或0<x <12.故所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)，选C.3．已知函数y ＝g (x )的图像与函数y ＝3x 的图像关于直线y ＝x 对称，则g (2)的值为( )A ．9 B. 3 C. 2 D ．log 32答案 D解析 依题意可得，g (x )＝log 3x ，∴g (2)＝log 32. 4．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是( ) A ．y ＝lg x B ．y ＝3x C ．y ＝x －1 D ．y ＝－(x ＋1)2 答案 B解析 函数y ＝lg x 在(－∞，0)上无意义，函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，函数y ＝－(x ＋1)2在(－∞，0)上先增后减，函数y ＝3x 在R 上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数．5．已知函数y ＝－2x 3＋2，则该函数在区间[0,2]上的平均变化率为( ) A ．8 B ．－8 C ．16 D ．－16 答案 B解析 由题意可知x 1＝0，x 2＝2，所以y 1＝－2×0＋2＝2，y 2＝－2×23＋2＝－14，所以Δx ＝x 2－x 1＝2，Δy ＝y 2－y 1＝－14－2＝－16.所以该函数在区间[0,2]上的平均变化率为Δy Δx ＝－162＝－8，故选B.6．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图像可能是( )答案 B解析 y ＝|f (x )|≥0，排除C ；取x ＝12，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝|2－2|＝2－2<1，排除D ；取x ＝－12，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2＝2－22>1，排除A ，故选B.7．三个数a ＝70.3，b ＝0.37，c ＝ln 0.3的大小顺序是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b答案 A解析 ∵a ＝70.3>1,0<b ＝0.37<1，c ＝ln 0.3<0， ∴a >b >c .8．已知a ，b 是方程log (3x )3＋log 27(3x )＝－43的两个根，则a ＋b ＝( )A.1027 B.481 C.1081 D.2881答案 C解析 log (3x )3＋log 27(3x )＝－43，即1log 33x＋log 33x3＝－43，令t ＝log 3(3x )，则1t ＋t 3＝－43，即t 2＋4t ＋3＝0，所以t ＝－1或t ＝－3，所以log 3(3x )＝－1或log 3(3x )＝－3，即x ＝19或x ＝181，所以a ＋b ＝1081，选C.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 2答案 BCD解析 y ＝2x 是指数函数，根据幂函数的定义，知y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 2均为幂函数．故选BCD.10．已知等式log 2m ＝log 3n ，m ，n ∈(0，＋∞)成立，则下列结论可能正确的是( )A ．m ＝nB ．n <m <1C ．m <n <1D ．1<m <n 答案 ABD解析设log2m＝log3n＝t，由对数函数的图像可知，当t＝0时，m＝n＝1，A正确；当t<0时，0<n<m<1，B正确；当t>0时，1<m<n，D正确．故选ABD.11．对于函数y＝f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f(x)的值域为[ka，kb](k>0)，则称y＝f(x)为“k倍值函数”．下列函数为“2倍值函数”的是( )A．f(x)＝x2B．f(x)＝x3＋2x2＋2xC．f(x)＝x＋ln x D．f(x)＝x e x答案ABD解析由题意可得，若函数y＝f(x)为“2倍值函数”，需要f(x)＝2x在定义域内至少有两个不相等的实数根，对于A，f(x)＝x2＝2x，解得x＝0或x＝2，满足题意；对于B，f(x)＝x3＋2x2＋2x＝2x，解得x＝－2或x＝0，满足题意；对于C，f(x)＝x＋ln x＝2x，无解，不满足题意；对于D，f(x)＝xe x＝2x，解得x＝0或x＝ln 12，满足题意．故选ABD.12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是( )A．当x>1时，甲在最前面B．当x>1时，乙在最前面C．当0<x<1时，丁在最前面，当x>1时，丁在最后面D．如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲答案CD解析路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，∴A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，∴B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等，从而可知当0<x<1时，丁在最前面，当x>1时，丁在最后面，∴C 正确；指数函数的增长速度是先慢后快，而且呈爆炸式增长，故当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲，∴D 正确．故选CD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．函数f (x )＝－a 2x －1＋2(a >0且a ≠1)恒过定点的坐标是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 令2x －1＝0，解得x ＝12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－a 0＋2＝1，∴f (x )恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．答案19解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，而f (－2)＝3－2＝19，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝19. 15．关于x 的方程lg x 2－lg (x ＋2)＝0的解集是________． 答案 {－1,2}解析由⎩⎨⎧x 2>0，x ＋2>0，x 2＝x ＋2，得x ＝2或x ＝－1.16．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则log a b ＝________，a ＋b ＝________.答案126 解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2，∴2b＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.∴a ＋b ＝6.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )≤2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )，又因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )．(2)由题意及(1)，知原不等式等价于⎩⎨⎧x >0，log 12x ≤2或⎩⎨⎧x <0，－log12－x ≤2，解得x ≥14或－4≤x <0.18．(本小题满分12分)众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本高．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，200克装的售价为3元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润．生产成本与饼干质量成正比，包装成本与饼干质量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试计算该种饼干1000克装的合理售价(精确到0.1元)．解 设饼干的质量为x 克，则其售价y (元)与x (克)之间的函数关系式为y ＝(ax ＋b x )(1＋20%)．由已知有1.6＝(a ·100＋b 100)×1.2， 即43＝100a ＋10b ，① 3＝(a ·200＋b 200)×1.2，即2.5＝200a ＋102b .② 联立①②解方程组，得⎩⎨⎧b ≈0.0285，a ≈0.0105，∴y ＝(0.0105×x ＋0.0285x )×1.2. 当x ＝1000时，y ≈13.7，∴该种饼干1000克装的合理售价约为13.7元．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2a x －a 2x (a >0，且a ≠1)． (1)当a ＝3时，求函数f (x )的值域；(2)当a >1，x ∈[－2,1]时，f (x )的最小值为－7，求a 的值．解 (1)当a ＝3时，函数f (x )＝1－2·3x －32x ，令t ＝3x (t >0)，则g (t )＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，因为t >0，所以－(t ＋1)2＋2<1，即f (x )<1，故所求函数的值域为(－∞，1)．(2)由(1)可得f (x )＝－(a x ＋1)2＋2，因为a >1，所以函数y ＝a x 为单调递增函数且y >0，所以函数f (x )为单调递减函数，由f (x )的最小值为－7，得f (1)＝－7，所以－(a 1＋1)2＋2＝－7且a >1，解得a ＝2，故所求a 的值为2.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x. (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12020＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12020的值； (2)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(0,1))时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为函数f (x )的定义域是(－1,1)，f (－x )＝x ＋log 21＋x 1－x ＝－(－x )＋log 2⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x )， 即f (x )＋f (－x )＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫12020＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12020＝0. (2)令t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x， 则t ＝－1＋21＋x在(－1,1)上单调递减． 又y ＝log 2t 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1,1)上单调递减．所以当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(0,1))时，函数f (x )存在最小值，f (x )min ＝f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a. 21．(本小题满分12分)设f (x )＝lg 1＋2x ＋4x a 3，且当x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求实数a 的取值范围．解 欲使x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，需1＋2x ＋4x a >0恒成立，即a >－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x . 令u (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x . ∵u (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在(－∞，1]上是增函数， ∴当x ＝1时，u (x )max ＝－34. 于是可知，当a >－34时，满足题意，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 22．(本小题满分12分)已知常数a (a >1)及变量x ，y 之间存在关系式log a x ＋3log x a －log x y ＝3.(1)若x ＝a t (t ≠0)，用a ，t 表示y ；(2)若已知(1)中的t 在区间[1，＋∞)内变化时，y 有最小值8，则这时a 的值是多少？x 的值是多少？解 (1)用换底公式可将原方程化为log a x ＋3log a x －log a y log a x＝3， 若x ＝a t (t ≠0)，则t ＝log a x ≠0，故有t ＋3t －log a y t＝3， 整理，得log a y ＝t 2－3t ＋3，∴y ＝at 2－3t ＋3(t ≠0)． (2)由(1)，知y ＝a t 2－3t ＋3＝a ⎝⎛⎭⎫t －322＋34 (t ≥1)，∵a >1，∴t ＝32时，y 有最小值a 34 ， 由已知，得a 34 ＝8，∴a ＝8 43 ＝24＝16，此时x＝a t＝1632＝43＝64.综上所述，a＝16，x＝64.高中数学各知识点公式定理记忆口诀大全《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。