高等数学下8.5平面及其方程

a // b
注：1.定理三个条件缺一不可。
2.简记：线线平行，则线面平行。
3.定理告诉我们：要证线面平行，得在面内找一条线， 使得线线平行。
小结：2.平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平
面平行，那么这两个平面平行.
符号语言：
b
Pa
a b a
b
P
线不在多
贵在相交
// 证题思路：要证明两平面平
学以致用：
如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM∥平面DE；
②CN∥平面AF；
③平面BDM∥平面AFN； ④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是_①___②__③__④____
思考1：若两个平面平行，则一个平面内的直线 a与另一个平面内的直线有什么位置关系?
平行或异面
例4：已知正方体ABCD A1B1C1D1，
求证:平面AB1D1 // 平面C1BD
分析：只要证
D1
C1
明一个平面内 A1
B1
有两条相交直
线与另一个平
面平行。
D
C
A
B
请看课本P142：练习第1题 1.判断下列命题是否正确，错的举反例。 （1）已知平面α，β和直线m，n,
× 若m α，n α，m//β,n//β,则α//β
面面平行 转化 线面平行 转化 线线平行？
牛刀小试：
1.下面的说法正确吗？
(1)如果一个平面内有两条直线分别平行于另
× 一个平面，那么这两个平面平行.( )
(2)如果一个平面内有无数条直线分别平行于
× 另一个平面，那么这两个平面平行.( )
(3)如果一个平面内任意一条直线平行于另一 个平面，那么这两个平面平行.( )

§8.5 平面及其方程平面的点法式方程 平面的一般方程 两平面的夹角一、平面的点法式方程法线向量: 如果一非零向量垂直于一平面， 这向量就叫做该平面的法线向量．z n法线向量的特征： ① 平面的法线向量不唯一;oyx②平面的法线垂直于平面内的任一向量．一、平面的点法式方程已知平面的法线向量 n = ( A, B , C )A( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0及平面上一点M 0 ( x0 , y0 , z0 ),平面的点法式方程设平面上的任一点为 M ( x , y , z )  M 0 M = ( x - x0 , y - y0 , z - z0 ),  n = ( A, B , C ) 必有 M 0 M  nz M 0 nM M0 M  n = 0oxy一、平面的点法式方程已知平面的法线向量 n = ( A, B , C )A( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0及平面上一点M 0 ( x0 , y0 , z0 ),平面的点法式方程例1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)为法线向量的平 面的方程 （P38,例1） 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 即 (x-2)-2(y+3)+3z=0, x-2y+3z-8=0一、平面的点法式方程例2.求过三点 M 1 ( 2 , -1, 4 ), M 2 ( -1, 3 , -2 ), M 3 ( 0 , 2 , 3 ) 的平面  的方程. （P38,例2） n 解: 取该平面 的法线向量为 n = M 1 M 2  M 1M 3M1M3 M2 i j k = - 3 4 - 6 = (14 , 9 , - 1) - 2 3 -1又 M 1   , 利用点法式得平面  的方程 14( x - 2) + 9( y + 1) - ( z - 4) = 0即14 x + 9 y - z - 15 = 0一、平面的点法式方程例3 求过点(1,1,1)且与平面 x - y + z = 7 和平面3 x + 2 y - 12 z + 5 = 0 都垂直的平面方程.   解 n1 = (1,-1, 1), n2 = ( 3, 2, - 12)   取法线向量 n = n1  n2 = (10, 15, 5) ∥ ( 2, 3, 1)平面方程为2( x - 1) + 3( y - 1) + 1( z - 1) = 0化简得.2 x + 3 y + z - 6 = 0.二、平面的一般方程平面的点法式方程A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0C +D=0 Ax + B By + Cz A  法线向量 n =  A, B , C Ax + By + Cz - ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 D平面的一般式方程任意一个形如上式 的x、y、z的三元一次 方程都是平面方程.二、平面的一般方程Ax + By + Cz + D = 0平面一般方程的几种特殊情况： • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; 其它情况见下表平面方程 By+Cz+D=0 Ax+Cz+D=0 Ax+By+D=0 Cz+D=0 Ax+D=0 By+D=0 n = (0, B , C ) 法线向量n = ( A, 0, C )  n  = ( A, B , 0) n  = (0, 0, C ) n  = ( A, 0, 0) n = (0, B , 0)法线向量垂直于 平面平行于 x轴 x轴 y轴 y轴 z轴 z轴 xOy平面 x轴和y轴 yOz平面 y轴和z轴 xOz平面 x轴和z轴二、平面的一般方程例4. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. (P40，例3) 解: 设平面的方程为By + Cz = 0得代入已知点 (4 , - 3 , - 1) 则所求平面方程为 即所求平面方程为By - 3 Bz = 0y - 3z = 0分析： 平面通过x轴, 则它的法线向量垂直于x轴， 所以A=0，又平面通过x轴则必通过原点，于是D=0。

探究并证明面面平行的性质定理
下面我们研究平面与平面平行的性质，类比线面平行的研究,已知两个平面平行,我
们可以得到哪些结论?
根据已有的研究经验，我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系。
思考 1：若 // , a ,b ，直线 a、b 的位置如何？
a
思考 2：若 // , a ,b ，直线 a、b 什么时候平行？
变式：如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M， N，Q分别是PA，BD，PD的中点. 求证：平面 MNQ∥平面PBC.
证明：因为棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形， 点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点， 所以N是AC的中点，所以MN∥PC， 又因为PC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC. 因为M，Q分别是PA，PD的中点，所以MQ∥AD∥BC， 又因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC， 因为MQ⊂平面MNQ，MN⊂平面MNQ，MQ∩MN＝M， 所以平面MNQ∥平面PBC.
C.(3)
D.(1)(2)(3)
解析 平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，平面α与平面β可能平行也可能 相交，故(1)不正确；当l与m平行时，不能推出α∥β，故(2)不正确；l，m是两条异面直 线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平 行的判定定理，可得α∥β，故(3)正确.
∴D1A∥平面BC1D
同理 D1B1∥平面BC1D
又D1A∩D1B1=D1 ∴平面AB1D1∥平面BC1D
思维升华
1.证明两个平面平行主要方法：(1)根据定义证明两平面没有公共点(采用 反证法)；(2)判定定理；(3)利用平行平面的传递性. 2.利用面面平行的判定定理，关键是在一个平面内找(或作出)两条相交直线 与另一个平面平行，在证明时一定要说明两条直线相交.

高等数学（下册）
第八章 向量代数与空间解析几何
第二讲 空间平面方程
本讲内容
01 空间平面方程表示 02 两平面的位置关系 03 点到平面的距离
一、 空间平面方程表示
1.平面的点法式方程
定义
设 是空间中的一个平面，如果非零向量 n 与平面 垂直，则称向量 n 为 平面 的法线向量（简称平面的法向量）．
11
一、 空间平面方程表示
几个特殊平面
（1）若D 0 时，平面Ax By Cz 0 过原点.
z
x y
12
一、 空间平面方程表示
(2)平行于坐标轴的平面
当A 0时，平面By Cz D 0 的法向量
n {0, B,C}垂直于x 轴，所以平面平行于x 轴. x
特别地，当D 0 时，平面By Cz 0
足的关系式.
z
n
•
M0
•
M
O
y
x
4
一、 空间平面方程表示
如图所示, 设M (x, y, z)为平面 上的任一点，根据
法线向量的定义得n M0M , 所以 n M0M = 0, 由于M 0M {x x0 , y y0, z z0}，因此有
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0． (8.1)
显然，一个平面的法线向量不唯一，且法线向量与平面上的任何一个向量都垂直.
3
一、 空间平面方程表示
1.平面的点法式方程
已知平面 过一定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) ，它的法线向量为 n = {A, B, C} ，其中 A, B, C 不同时为零.下面要建立平面 的方程，就是刻画平面上任意一点所满
z
平行于xOy 平面.