四川大学 数值分析 96年真题

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(此题共5小题,每题3分，总分值15分把答案填在题中横线上)x 2 a(1)设 lim(—— )x 8,那么 a = ______________ .xx a⑵设一平面经过原点及点(6, 3,2),且与平面4x y 2z 8垂直，那么此平面方程为⑶微分方程y 2y 2y e x 的通解为 _______________________ .⑷函数u In (x ... y 2 z 2)在点A(1,0,1)处沿点 A 指向点B(3, 2,2)方向的方向导数为1 0 2⑸设A 是4 3矩阵,且 A 的秩r(A) 2,而B 02 0 ,那么r(AB)= ______________ . 1 03二、选择题(此题共5小题,每题3分，总分值15分海小题给出的四个选项中，只有一个符合题目 要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)么ay)dx2ydy为某函数的全微分，a 那么等于(x y)(A)-1 (C)1(A) f (0)是f(x)的极大值 (B) f (0)是f (x)的极小值 (C) (0, f (0))是曲线y f (x)的拐点(D) f (0)不是f (x)的极值,(0, f (0))也不是曲线y f (x)的拐点⑶设a n 0(n 1,2,L ),且 a n 收敛，常数(0,—),那么级数 (1)n (nta n —)a 2nn 12n 1n(B)条件收敛 (D)散敛性与有关(B)0 (D)2(2)设f( x)具有二阶连续导数，且f (0)0,limx 0f(x) x(A)绝对收敛 (C)发散与X k是同阶无穷小，那k 等于(A)1(B)2 (C)3(D)4a 10 0 b 1(5)四阶行列式a 2b 2 0 的值等于0 a 3 b s 0b 4 00 a 4(A) a£2a 3a 4 bb z b s b q(B) a 1a 2a s a 4 bdb s b q (C) (a^ bib 2 )(a：b s b 4)(D) (a 2a s b 2b s )(a 1a 4 db 4)三、(此题共2小题,每题5分，总分值10分)(1)求心形线r a(1 cos )的全长，其中a 0是常数. ⑵设X i 10,X n 16 X n (n 1,2,L ),试证数列｛X n ｝极限存在，并求此极限五、(此题总分值7分)1求级数 2-的和.n 1(n 2 1)2n六、(此题总分值7分)1 X设对任意 x 0,曲线y f (x)上点(x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于一 f(t)dt,求x 0f ( X)的一般表达式.七、(此题总分值8分)设f (x)在［0,1］上具有二阶导数，且满足条件 f(x) a, f (x) b,其中a,b 都是非负常数，c⑷设有f(x)连续的导数,f (0)0, f (0) O,F(x)X(x 2 0 \t 2)f (t)dt,且当 x 0 时,F (x)四、(此题共2小题,每题6分，总分值12分) (1)计算曲面积分 (2x z)dydz zdxdy,其中S与z 轴正向的夹角为锐角.S 为有向曲面z2 ，小y (0 x1),其法向量(2)设变换X 2y可把方程6 zx ay2z24 0简化为y2z0,求常数 a.是(0,1)内任意一点•证明八、(此题总分值6分)设A I E弋,其中I是n阶单位矩阵,E是n维非零列向量,f是E的转置•证明(1) A2A的充分条件是f f 1.⑵当f f 1时,A是不可逆矩阵•九、(此题总分值8分)二次型f (x1,x2, x3) 5x： 5x；ex：2x1x2 6x1x3 6x2x3的秩为2,(1) 求参数e及此二次型对应矩阵的特征值•(2) 指出方程f(X1,X2,X3)1表示何种二次曲面•十、填空题(此题共2小题,每题3分，总分值6分•把答案填在题中横线上)(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40% 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，那么该次品属A生产的概率是 _________ •(2)设，是两个相互独立且均服从正态分布N(0,( 1 )2)的随机变量，那么随机变量的数学期望E( )= _____________十一、(此题总分值6分)设，是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量，的分布率为1P( i) -，i 123・3又设X max( , ), Y min(,).(1)(2)求随机变量X的数学期望E(X).1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题 (1)【答】In 2. 【详解】因为于是 e 3a8 a In 2(2)【答】2x 2y 3z 0【详解】 原点与点(6, 3,2)连线的方向向量为 s (6, 3.2);平面4x y 2z 8的法向量为n 4, 1,2 , 根据题意，所求平面的法向量为j k3 2 2i 2j 3k. 1 2即 2x 2y 3z 0(3)【答】 y C 1e x cosx C 2e x sinx e x【详解】对应齐次方程的特征方程为22 2 0,解得特征根为 1,21 i,由于1不是特征根，可设原方程的特解为y Ae ,代入原方程解得 A 1,故所求通解为 y Ge x cosx C 2e x sinx e x1(4) ［答］丄.2【详解］因为、- y 23axx a x a13a3a3ax aexx 2alim lim xx a x故所求平面方程为2(x0) 2( y 0) 3(z 0) 0,(1,0,1)2!2!CO Sz 2(1,0,1)0,乙22 ,cos 3(1,0,1)1 J3沿AB 方向的单位向量为故u 沿AB 方向的方向导数为uA B(5)【答】2. 【详解】 因为B 10 0,说明矩阵B 可逆，故秩 r(AB) 秩 r(A)2,:■、选择题 (1)【答】应选(D ) 【详解】(x ay)dx ydy(x y)2 为某函数的全微分的充要条件是x (x y)2x ay (x y)2即(a 2)x ay 2y, (a 2)(x y) 0. 当且仅当a 2时上式恒成立，故正确选项( D ). (2)【答】应选(B ) 【详解】由题设x 叫 f (x)1根据极限的性质知，存在 x 0的某领域,在此领域内有 f (x) _x _ 0即 f '(x) 0. 又根据泰勒公式,f(x) f(0) f (0)xt"x 2其中在0与x 之间, 从而 f (x) f (0) 口)x 2f(0)可见f 〔0〕是f 〔x 〕的极小值，故正确选项为〔B 〕〔3〕【答】应选〔A 〕而lim ntan —,所以当n 充分大时，nn ， n ta n a ?n 〔1〕a ?nn又正项级a n 收敛，所以其偶数项数列构成的级数a ?n 也收敛,n 1n 1从而 〔1〕n n tana 2n 绝对收敛， 故正确选项为〔A 〕n 1n〔4〕【答】应选〔C 〕【详解】因为x2x 0f(t)dt.可见应有k 3，故正确选项为〔C 〕 〔5〕【答】应选〔D 〕【详解】按第一行展开，a-i 0 0 b|0 a 2 b 2 0 0b 3 a 3 0b 4 00 a 4【详解】由于〔1〕n ntan — a ?,nntan — a 2n ,n'2 XX 2F (x) x 20f(t)dt0t2f(t)dtX2 22x 0 f (t)dt x 2f (x) x 2f(x)又根据题设F '〔x 〕与x k 是同阶无穷小，且f(0) 0, f '(0) 0,叫Hx一(k叫H X 2_(k叫H Xa 2b 2 00 a 2 t b a 1 th a 30 3 0 b 3 a sa 4b 4F叫ka )a 4b 2b s )(a i a 4隔).n ,都有X n X n 1，即数列X n 为单调减少数列。

四川大学考研专业课历年真题资料三(免费下载）1.四川大学工商管理学院管理学原理（会计学、企业管理）2001试题资料下载2.四川大学工商管理学院管理学原理（会计学、企业管理）2002试题资料下载3.四川大学工商管理学院管理学原理（管理科学与工程）20052001试题资料下载4.四川大学工商管理学院管理学原理（会计学、企业管理）2000试题资料下载5.四川大学工商管理学院管理学原理（管理科学与工程）2005试题资料下载6.四川大学工商管理学院运筹学2005试题资料下载7.四川大学建筑与环境学院城市规划设计（8小时）2005试题资料下载8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.四川大学政治学院社会主义经济理论与实践2002试题资料下载31.四川大学政治学院思想政治教育理论与实践2004试题资料下载32.四川大学建筑与环境学院高等数学（环境科学专业）2005试题资料下载33.四川大学政治学院政治学原理2005试题资料下载34.四川大学政治学院邓小平理论2002试题资料下载35.四川大学政治学院政治学原理2004试题资料下载36.四川大学政治学院马克思主义基本理论2004试题资料下载37.四川大学政治学院马克思主义基本理论2005试题资料下载38.四川大学数学院数学分析、高等代数2004试题资料下载39.四川大学数学院数分、高代基础2003试题资料下载40.四川大学数学院概率统计（概率论与数理统计专业）2004试题资料下载41.四川大学数学院数学分析、高等代数2005试题资料下载42.四川大学数学院常微分方程2005试题资料下载43.四川大学数学院数学分析2002试题资料下载44.四川大学数学院泛函分析2003试题资料下载45.四川大学数学院概率论2002试题资料下载46.四川大学数学院近世代数2004试题资料下载47.四川大学数学院泛函分析2002试题资料下载48.49.50.51.52.53.54.55.56.57.58.59.60.61.62.63.64.65.66.67.68.69.70.四川大学文学与新闻学院中国现当代文学2002试题资料下载71.四川大学文学与新闻学院中外文学2002试题资料下载72.四川大学文学与新闻学院中外文学2000试题资料下载73.四川大学文学与新闻学院古代汉语2000试题资料下载74.四川大学文学与新闻学院古代汉语2001试题资料下载75.四川大学文学与新闻学院古代汉语（中文）2001试题资料下载76.四川大学文学与新闻学院古代汉语2003试题资料下载77.四川大学文学与新闻学院古代汉语2002试题资料下载78.四川大学文学与新闻学院古代汉语（中文）2000试题资料下载80.四川大学文学与新闻学院古代汉语（中文）2002试题资料下载81.四川大学文学与新闻学院外国文学史1997试题资料下载82.四川大学文学与新闻学院外国文学史1998试题资料下载83.四川大学文学与新闻学院外国文学史1999试题资料下载84.四川大学文学与新闻学院外国文学史2000试题资料下载85.四川大学文学与新闻学院外国文学史2001试题资料下载86.四川大学文学与新闻学院外国文学（含比较文学）2004试题资料下载87.四川大学文学与新闻学院外国文学（含比较文学）2003试题资料下载88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.98.99.110.四川大学文学与新闻学院新闻传播史论2005试题资料下载111.四川大学文学与新闻学院新闻传播史论2003试题资料下载112.四川大学文学与新闻学院新闻史论2000试题资料下载113.四川大学文学与新闻学院新闻史论2001试题资料下载114.四川大学文学与新闻学院比较文学2001试题资料下载115.四川大学文学与新闻学院现代汉语2000试题资料下载116.四川大学文学与新闻学院比较文学2002试题资料下载117.四川大学文学与新闻学院现代汉语2003试题资料下载118.四川大学文学与新闻学院西方文论2000试题资料下载120.四川大学文学与新闻学院现代汉语2002试题资料下载121.四川大学文学与新闻学院现代汉语2005试题资料下载122.四川大学文学与新闻学院比较文学2000试题资料下载123.四川大学文学与新闻学院西方文论2001试题资料下载124.四川大学文学与新闻学院语言学概论2000试题资料下载125.四川大学文学与新闻学院西方文论2002试题资料下载126.四川大学文学与新闻学院语言学概论2001试题资料下载127.四川大学文学与新闻学院语言学概论2002试题资料下载147.四川大学材料科学与工程学院普通物理（力学、电学、光学）（光学、无线电物理专业）2001试题资料下载148.四川大学材料科学与工程学院普通化学2002试题资料下载149.四川大学材料科学与工程学院普通物理（力学、电学、光学）（理论物理、粒子物理与原子核物理专业）2003试题资料下载150.四川大学材料科学与工程学院普通物理（力学、电学、光学）（理论物理、粒子物理与原子核物理专业）2002试题资料下载。

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于 (A)-1 (B)0 (C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则 (A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点 (3)设0(1,2,),n a n >=且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与k x 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3(D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a a b b b b -(B)12341234a a a a b b b b + (C)12123434()()a a b b a a b b --(D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数. (2)设1110,1,2,),n x x n +===试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x yv x ay =-=+可把方程2222260z z zx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,z u v ∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x ⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c是(0,1)内任意一点.证明()2.2b fc a '≤+八、（本题满分6分）设,TA =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2, (1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ===又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)(2)求随机变量X 的数学期望().E X1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题 （1）【答】 .2ln 【详解】因为,31lim 2lim 333a ax ax aa x x x x e a x a a x a x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--∞→∞→于是 2ln 83=⇒=a ea（2）【答】0322=-+z y x【详解】 原点与点)2,3,6(-连线的方向向量为);2.3,6(-=s 平面824=+-z y x 的法向量为{},2,1,4-=n 根据题意，所求平面的法向量为.322214236k j i kj in s -+=--=⨯ 故所求平面方程为,0)0(3)0(2)0(2=---+-z y x 即 0322=-+z y x（3）【答】 xxxe x e C x e C y ++=sin cos 21【详解】 对应齐次方程的特征方程为 ,0222=+-λλ 解得特征根为 ,12,1i ±=λ由于1=α不是特征根，可设原方程的特解为,**=Ae y代入原方程解得,1=A 故所求通解为 xxxe x e C x e C y ++=sin cos 21 （4）【答】.21【详解】因为,211)1,0,1(22=++=∂∂z y x x u A,01)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂z y y z y x y u A ,211)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂z y z zy x z u A ,31cos ,32cos ,32cos =-==γβα 沿AB 方向的单位向量为,31,32,32⎭⎬⎫⎩⎨⎧-故u 沿AB 方向的方向导数为 2131213203221=⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅÷+⋅=∂∂AB u （5）【答】 .2【详解】 因为,010301020201≠=-=B说明矩阵B 可逆，故秩=)(AB r 秩,2)(=A r 二、选择题 （1）【答】应选（D ） 【详解】2)()(y x ydydx ay x +++为某函数的全微分的充要条件是,)()(22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂y x ay x y y x y x 即,2)2(y ay x a -=-- .0))(2(=--y x a 当且仅当2=a 时上式恒成立，故正确选项（D ）.（2）【答】应选（B ）【详解】由题设1)(lim '0=→x x f x 根据极限的性质知，存在0=x 的某领域，在此领域内有 .0)(.0)(''≥≥x f xx f 即又根据泰勒公式，2"'!2)()0()0()(x f x f f x f ξ++=其中ξ在0与x 之间， 从而)0(!2)()0()(2"f x f f x f ≥+=ξ可见)0(f 是)(x f 的极小值，故正确选项为（B ）. （3）【答】应选（A ） 【详解】由于,tan tan)1(22n n n a nn a n n ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-λλ 而,tan lim λλ=∞→nn n 所以当n 充分大时，n n a a nn 22)1(tan+<⋅λλ又正项级∑∞=1n na收敛，所以其偶数项数列构成的级数∑∞=12n na也收敛，从而n n n a n n 21tan )1(⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=λ绝对收敛， 故正确选项为（A ）. （4）【答】应选（C ）【详解】因为)()()(2)()()(220'0022'x f x x f x dt t f x dt t f t dt t f x x F x x x -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰⎰ ⎰=xdt t f x.)(2又根据题设)('x F 与kx 是同阶无穷小，且,0)0(,0)0('≠=f f于是有 2000'0)1()(2lim)(2lim )(lim-→→→-==⎰k x kxx k x x k x f x dtt f x xx F)0()()1(1lim230--⋅-=-→x f x f x k k x,0)1(1lim)0(230'≠-⋅=-→k x x k f可见应有3=k ，故正确选项为（C ）. （5）【答】应选（D ）【详解】 按第一行展开，00000000000043322143322144332211b a b b a b a a b b a a a b a b b a b a -⋅=332241332241a b b a b b a b b a a a -= ).)((41413232b b a a b b a a --= 故正确选项为（D ）. 三、（1）【详解】因为θθθθθθθd a d r r ds a r 2cos 2)()(,sin )(2'2'=+=-=利用对称性知，所求心形线的全长 a a d a s 82sin 82cos 220===⎰ππθθθ（2）【详解】由46.10121=+==x x x 知，.21x x >设对某个正整数k 有1+>k k x x 则 .66211+++=+>+=k k k k x x x x故由归纳法知，对一切正整数n ，都有1+>n n x x ，即数列{}n x 为单调减少数列。

它是否为极值点.
七、(本题满分 8 分)
设 f (x) 在区间[a,b] 上具有二阶导数,且 f= (a) f= (b) 0 , f ′(a) f ′(b) > 0 ,试证明： 存在ξ ∈ (a,b) 和η ∈ (a,b) ,使 f (ξ ) = 0 及 f ′′(η) = 0 .
八、(本题满分 8 分)
❤
五、(本题满分 8 分)
设函= 数 f (x)
1− 2x2,
x3,
12x −16,
x < −1, −1 ≤ x ≤ 2,
x > 2.
(1) 写出 f (x) 的反函数 g(x) 的表达式；
(2) g(x) 是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.
六、(本题满分 8 分)
设函数 y = y(x) 由方程 2 y3 − 2 y2 + 2xy − x2 = 1所确定,试求 y = y(x) 的驻点,并判别
(4)
lim
x→∞
x
sin
ln(1 +
3) x
−
sin
ln(1 +
1 x
)
= ＿＿＿＿＿＿.
(5) 由曲线 y =x + 1 , x =2 及 y = 2 所围图形的面积 S = ＿＿＿＿＿＿. x
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
,
三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.)
(1)【解析】方法一：换元法.
令
1− e−2x
= u ,则 x
= − 1 ln(1− u2 ), dx 2