柱体、锥体、台体的表面积和体积【知识梳理】1．几种几何体的表面积公式锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h【常考题型】题型一、柱、锥、台的表面积【例1】 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[解析]由三视图，画出几何体的直观图易求得基本量，如图所示，其表面积S＝(2＋5)×42×2＋4×(2＋4＋5＋5)＝28＋64＝92.[答案]92【类题通法】1．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．2．结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．【对点训练】1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．解：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20(cm)．同理可得SB＝40(cm)，所以AB＝SB－SA＝20(cm)．所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2).题型二、柱、锥、台的体积【例2】已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．[解]如图所示，在三棱台ABC-A′B′C′中，O′、O分别为上、下底面的中心，D、D′分别是BC、B′C′的中心，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，所以，S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以，DD ′＝1333(cm)．又∵O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， ∴棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝(1333)2－(53－1033)2＝43(cm)， 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×(3253＋34×20×30)＝1 900(cm 3)． 【类题通法】求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台体的体积计算问题．【对点训练】2．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA 1与底面圆直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．解：如图所示，作轴截面A 1ABB 1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r 、R ，l ，高为h .作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3. 又∵∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1Dtan 60°， 即R －r ＝3×33，∴R －r ＝ 3.又∵∠BA 1A ＝90°，∴∠BA 1D ＝60°. ∴BD ＝A 1D ·tan 60°，即R ＋r ＝3×3， ∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，而h ＝3， ∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21 π.所以圆台的体积为21 π.题型三、简单组合体的表面积和体积【例3】 已知△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．[解] 如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， 知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC . ∵BC ·AC ＝AB ·CD ，∴CD ＝125，记为r ＝125，那么△ABC 以AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π. 所以，所求旋转体的表面积是845π，体积是485π.【类题通法】求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解．【对点训练】3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π解析：选C 由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，因此，体积为V ＝π×32×5＋13×π×32×52－32＝57π.【练习反馈】1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ， ∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.2．若长方体的长、宽、高分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3D ．125 cm 3解析：选B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm 3. 3．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________． 解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的半径为r ，则2πr ＝12×2π·2，∴r ＝1，则高h ＝l 2－r 2＝ 3.∴V 圆锥＝13πr 2· h ＝13π×3＝33π.答案：33π 4．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________． 解析：已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r ，则下底面半径和高分别为4r 和4r ， 由100＝(4r )2＋(4r －r )2，得r ＝2，故圆台的侧面积等于π(r ＋4r )l ＝π(2＋8)×10＝100π. 答案：100π5．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA ′＝2 cm ，底面高B ′D ′＝2 3 cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4 cm. 一个底面的面积为12×23×4＝4 3 cm 2.所以S 表面积＝2×43＋4×2×3＝(24＋83) cm 2， V ＝43×2＝8 3 cm 3.所以表面积为(24＋83) cm 2，体积为8 3 cm 3.。
