1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则

由参数方程所确定的函数的导数

要计算由参数方程确定的函数的导数，我们首先需要了解参数方程的概念和用法。

参数方程是一种常用于描述曲线或曲面的方程形式。它使用一个参数来表示变量，通过改变参数的值可以得到曲线或曲面上的不同点。常见的参数方程形式为：

x=f(t)

y=g(t)

其中，t是参数，x和y是关于t的函数。

要计算由参数方程所确定的函数的导数，我们可以使用链式法则。链式法则是微积分中的一个重要定理，用于计算复合函数的导数。

首先，我们将两个参数方程写成一个函数：

f(t)=(x(t),y(t))

然后使用链式法则将函数f(t)求导：

f'(t)=(x'(t),y'(t))

其中，'表示对变量t求导。x'(t)和y'(t)分别表示x和y关于t的导数。

进一步，我们可以通过求解x(t)和y(t)关于t的导数来计算x'(t)和y'(t)：

x'(t) = dx(t)/dt y'(t) = dy(t)/dt

具体的计算方法取决于参数方程的具体形式。下面我们通过一些例子来演示如何计算由参数方程所确定的函数的导数：

例1：考虑参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，我们将其表示为函数形式 f(t) = (cos(t), sin(t))。

求导得到：

x'(t) = -sin(t)

y'(t) = cos(t)

所以函数f(t)的导数为 f'(t) = (-sin(t), cos(t))。

例2：考虑参数方程x=2t，y=t^2，我们将其表示为函数形式f(t)=(2t,t^2)。

求导得到：

x'(t)=2

y'(t)=2t

所以函数f(t)的导数为f'(t)=(2,2t)。

通过以上例子，我们可以看到，对于参数方程确定的函数，其导数是一个向量函数，每个分量的导数都是各个参数的导数。

总结起来，计算由参数方程确定的函数的导数的步骤如下：

1.将参数方程写为函数形式f(t)=(x(t),y(t))。

§4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

【目的要求】

1、熟练掌握隐函数、参数方程、对数函数三种求导法则；

【重点难点】

隐函数、对数函数导法．

【教学内容】

一、隐函数的导数

函数

xfy表示两个变量

y与x

之间的对应关系，这种对应关系可以用各

种不同的方式表达.前面我们遇到的函数，例如2

(arctan2)yx，lncosx

ye等，

这种函数表达式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式

子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.用这种方式

表达的函数叫做显函数.但是有些函数的表达式却不是这样，例如方程

3

22sin0x

yxx表示一个函数，因为当自变量x

在

(,)内取值时，变量

y有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数.

一般地，如果变量x

，

y之间的函数关系是由某一个方程(,)0Fxy

所确定，

那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程23

10xy解

出32

1yx，就把隐函数化成了显函数，我们可按前面介绍的方法求出它的导

数。若不把隐函数显化，怎样求隐函数的导数呢（有很多隐函数是显化不了的）？

下面举例说明.

例1 求由方程2

ln1xyy所确定的隐函数

y的导数y

.

解 方程两边对x求导，得

2

(ln)(1)xyy

， 21

20yxyyy

y

，

整理得 23

(21)xyyy



解出

y得 3

2

21y

y

xy



.

这就是所要求的隐函数的导数，结果中除了含有x外，还含有

y，这是允许的。

从上例看到，求隐函数的导数时，由于

y不能或不必解出，为了求

y，由方

程两边对x求导，应用求导法则（包括四则运算法则和复合函数求导法则）后，

对常数项或只含x的项，直接应用求导公式；对只含

y的项

()fy，由于

y是x的

函数，故

()fy是x的复合函数，

y是中间变量。由

()fy对x求导时，根据复合

课题2导数的四则运算法则

一、复习基本初等函数的导数公式

用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。

二、导数的四则运算法则

设函数)(xuu、)(xvv在点x处可导，则函数)(xu)(xv，)()(xvxu，)0)(()()(xvxvxu也在点x处可导，且有以下法则：

（1） )()()()(xvxuxvxu

推论：nnuuuuuuuu321321

（2） )()()()()()(xvxuxvxuxvxu，

推论1： )()(xuCxCu （C为常数）；

推论2：此法则可以推广到有限个函数的积的情形．

例 wuvwvuvwuuvw)(

（3） )0(2vvvuvuvu，

三、例题分析

例：求

的导数

解：

例：已知xxyln3，求y

解：)1ln3(ln3)(lnln)()ln(222333xxxxxxxxxxxy

例：

解：

例：求的导数xxxxylncossin2

解 3ln11cos)(3xxxxf3ln11cos)(3xxxxf0131sin234xxxxxxxsin13123(x)f,1)(2求设xxxf22222)1()1()1()()1()(xxxxxxxxf2222222)1(1)1(21xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcoslnsincos2sin)(lncosln)(cos)(sin2sin)(2)ln(cos)sinx2y（

1 章节题目 第六节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率

内容提要 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导

对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导

参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则

相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率

重点分析 隐函数求导法则

参数方程求导

难点分析 利用对数求导法求导

由参数方程确定的函数的高阶导数求法

习题布置 138P：1（单）、2、4（1）（3）、5（1）（3）、7、10、12

备注 2 教 学 内 容

一、隐函数的导数

定义: .)(称为隐函数由方程所确定的函数xyy

.)(形式称为显函数xfy

0),(yxF)(xfy隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:

用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

例1.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程

解：,求导方程两边对x

0dxdyeedxdyxyyx

解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知

000yxyxxexyedxdy=1

例2：.,)23,23(,333在该点的法线通过原点并证明曲线的切线方程上点求过的方程为设曲线CCxyyxC

解：,求导方程两边对xyxyyyx333322

)23,23(22)23,23(xyxyy.1

所求切线方程为)23(23xy.03yx即

2323xy法线方程为,xy即显然通过原点.

例3.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx

解：求导得方程两边对x

)1(04433yyyxyx 3 得代入1,0yx;4110yxy

求导得两边再对将方程x)1(

04)(122123222yyyyyxyx