EME – 求取光传播问题精确解的强力运算法
Dominic F.G. Gallagher
Thomas P. Felici
Photon Design, Oxford, United Kingdom
简介
由于近 5 到 10 年间电信产业的快速成长,对于解决比以往更复杂的电磁问题，
以及问题解答的精确性，有更迫切而且更严谨的要求。这样的需求激励理论科学
家们不断地寻求更有效率的数值计算方法来解决日趋复杂的问题，其中的代表就
是所谓的光束传播法(Beam Propagation Method), 或通称为 BPM 。实际上, 相对于BPM, 另一种所谓的特征模态延展数值算法EME (Eigen Mode Expansion) 在学术界
早负盛名，它也存在微波领域已经有相当长的时间，而且曾经被广泛的应用于解
决不同的问题。然而最初EME在处理光电领域问题时一般都认为它缺乏效率。
这篇专文即在说明作者如何将原本低效率的EME数值计算法变成求解广泛光传
播问题时的一个强力、精确以及高效能的工具。在商用套装仿真设计工具软件FIMMPROP-3D中，就结合了EME数值计算法。本专文也将深入介绍这个数值计
算法, 应用一些实例说明它的长处和缺点。
EME方法概述
首先我们必须开始定义波导的"模态(mode)"或"特征模态(eigenmode)"。 如
果在一个结构中光学的折射率不随Z 方向变化, 我们能求解出马克斯韦尔方程
式(Maxwell's Equations)，解的型式如下：
zimmeyxezyxE),(),,(
(我们在这里假设单一波长以及和时间的关系函数为)exp(ti)
圖 1: mode of a holey fibre
数学上 ),(yxem 和 m 是所谓的特征函数和特征值。所以一个模态对Z轴简单
的谐波函数相依关系是-这个关系使 EME 能迅速和有效率地解决长而缓慢变化
的结构。
在一个典型的波导中, 存在有一些导引模态 guided mode(沿着波导传播时没有
高斯光束在晶体中的传输研究+Matlab仿真 本课题重点要解决的问题是研究高斯光束通过晶体的传输特性，得到光束的传输和变换特性，并进行相应的理论仿真，为其在实践中的应用提供理论基础。 : 矢量光束传输方法(VBPM)。该方法基于矢量波动方程,采用适当的傍轴近似,在不考虑反射场的情况下很好的描述了光在各向异性介质中的传输问题。傍轴矢量理论近年来Ciattoni A等人基于平面波角谱表示方法建立一种傍轴传输的矢量理论,并用电场矢量描述了光在单轴各向异性晶体中的传输方程,解决了光束在单轴各向异性晶体中传输的边值问题[8-14]。实际上, Ciattoni等人提出的这一方法其基本物理思想是:光在单轴各向异性晶体中的场分布可表示为寻常光(o光)和非常光(e光)的场分布的叠加,而o光和e光在单轴各向异性晶体中的传输分别类似于光在折射率分别 (o光的折射率)和 ( 为e光的折射率)的各向同性介质中的独立传输。本章重点介绍本论文中将主要应用的傍轴矢量理论方法[15]。 研究发现，激光光束在非均匀介质中传输时，出现了在均匀材料介质中所不具有的光学性能。在研究中人们发现，梯度折射率介质在材料制备、器件制造等方面具有很独特的应用。因此，系统地研究高斯光束在晶体中的传播成为了重
要的研究课题。Dajun Liu等人提出的平顶高斯光束在单轴晶体中的传播中给出了典型的计算算例[16-23]。对于本研究中所要进行的公式推导，具有指导意义，在激光在晶体中的传输发展中，不少学者对于其问题进行了大量的研究及实验，取得了不同的结论，对以后的发展奠定了基础与根据。 1.3 研究方法 本文以各向异性单轴晶体光轴垂直方向光束的傍轴矢量传播理论为基础 ，推导出了各向异性单轴晶体中垂直于光轴方向上多种高斯光束传输的解析表达式，并通过对数值的分析与计算，研究了多种高斯光束在单轴晶体中光轴垂直方向上的传输特性。 1.4 论文內容概述 本论文各章节安排如下： 第一章，绪论。介绍了本课题的研究背景、意义以及国内外研究现状等，从总体上对本课题进行一个综述，以便后续课题中相应工作的进行。 第二章，基础概念。介绍了傍轴理论、高斯光束和晶体的概念，并且在以上理论的基础上，推导出光在晶体中传播的解析法描述，为下一步椭圆高斯光束和余弦高斯光束在晶体中传播特性的推导奠定了基础。 第三章，椭圆及余弦高斯光束。针对高斯光束进行深入的研究，讨论了椭圆以及余弦高斯光束在晶体中传输的特
1 拉盖尔高斯光束公式
拉盖尔高斯光束（Laguerre-Gauss beam）是一种具有角动量和轨道角动量的特殊激光束，其在光学成像、信息传输、光纤通信等领域具有广泛的应用前景。在实际应用中，拉盖尔高斯光束的传输特性和性能优化成为研究的关键。本文将从拉盖尔高斯光束的传播特性、叠加相位方法及其在光学系统中的应用等方面进行讨论。
一、拉盖尔高斯光束的传播特性
拉盖尔高斯光束的传播特性研究为其在光学系统的应用提供了理论基础。耿滔等研究人员通过对拉盖尔高斯光束的传播形式进行推导，证明了高阶拉盖尔高斯光束在自由空间的传播过程中能够保持其自身表达形式的不变性[1]。这一研究为拓展拉盖尔高斯光束在傍轴条件下的应用提供了理论支持。
二、叠加相位方法优化拉盖尔高斯光束性能
为了进一步提高拉盖尔高斯光束的性能，研究人员提出了叠加相位的方法。通过空间光调制器（SLM）对多个拉盖尔高斯光束施加不同的相位调制，然后将它们叠加在一起，形成一个新的复合光束。这种方法在提高成像、传输和调制性能方面具有显著优势[2]。
三、拉盖尔高斯光束在光学系统中的应用
1.光学微操控：拉盖尔高斯光束的优良旋转、聚焦和传输特性使其在光学微操控领域具有广泛应用。例如，利用拉盖尔高斯光束驱动微粒、捕获和引导粒子、驱动微粒等。
2.信息传输：拉盖尔高斯光束在信息传输方面具有较高的传输速率和容量。通过对光束进行相位调制，可以实现高速、安全的信息传输。
3.光纤通信：拉盖尔高斯光束在光纤通信中具有较低的损耗和较高的传输速率，可有效提高光纤通信系统的性能。
4.光学成像：拉盖尔高斯光束的成像质量较高，可以应用于高分辨率的光学成像领域。
11．波束传播法介绍
波束传播法是常用的设计和模拟波导传输特性的方法。波束传播法求解时需要两个基本
的已知条件，即波导结构的折射率分布和波导输入端的输入光波的场分布(,,)nxyz和
(,,)uxyz。用该算法对确定的波导传输进行数值模拟计算时还需要已知以下输入变量：
(1)计算区域{
minmax(,)}xxx∈ {
minmax(,)}yyy∈，和{
minmax(,)}zzz∈
(2)横向栅格尺寸Δx和Δy；
(3)纵向步进Δz。
在标量近似的情况下，波导中的光波可用表征单色光波的亥姆霍兹方程表示：
()2222
222,,0kxyz
xyzθθθ
θ∂∂∂
+++=
∂∂∂ (1)
这里标量电场被表示为(),,,(,,)twtExyztxyzeθ−=式 (1)中0(,,)(,,)kxyzknxyz=表示
空间相关的波数，其中02/kπλ=表示自由空间的波数，(),,nxyz表示波导的折射率分布。
除了标量假设外，式 (10 )是精确的。在通常的波导传输中，光场φ沿波导光轴传输时
变化最快的变量是相位。设光是沿波导的Z轴传输，为了便于分析迅速变化的相位变量，通
过下式引入一个所谓的慢变化场u，
_(,,)(,,)tkzxyzuxyzeθ= (2) 式中k是表征场φ中的平均相位变化的一个常数，它被称为参考波数。利用参考波数可以由
__
0kkn=表征出参考折射率n，其中0k表示真空中的波数。把式 (2)代入亥姆霍兹方程 ( 1)
可以得到表征慢变化场u的方程：
2222__22
22220uuuu
ikkku
zzxy⎛⎞∂∂∂∂
++++−=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠ (3)
上式除了用慢变场用u表示外，其意义完全等效于精确的亥姆霍兹方程。设场u随z的变化非
常慢，以致式 (3)中的第一项相对于第二项而言可以忽略。在此假设情况下式 (3)可以简化
为
222_
22
_222uiuu
kku
zxyk⎛⎞⎛⎞∂∂∂
⎜⎟=++−⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠ (4)
