圆锥曲线中的弦长问题
知识点：圆锥曲线的弦
1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 当直线的斜率存在时，直线与圆锥曲线相交于
，
两
点，
把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为.则
弦长公式：
其中
当存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：
注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，
2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；
抛物线的焦点弦公式，其中为过焦点的直线
的倾斜角.
3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径. 抛物线的通径
二、例题：
1、若椭圆19
362
2=+y x 的弦被点()2,4平分，则此弦所在直线的斜率为 A 、2 B 、 -2 C 、
31 D 、2
1
- 2、已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则AB 等于
A 、3
B 、4
C 、23
D 、24
3、过抛物线px y 22=()0>p 的焦点F 作倾斜角为︒45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则P=
4、求直线23+
=x y 被曲线2
2
1x y =截得的线段的长
5、过原点且倾斜角为60︒的直线被圆22
40x y y +-=所截得的弦长为
（A ）3 （B ）2 （C ）6（D ）23
6、已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +m
y 2
=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是
A.（0，1）
B.（0，5）
C.［1，5）∪（5，+∞）
D.［1，5）
7、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y
l a b
-=被椭圆C 截得的弦长为22且6
3
e =
，过椭圆C 32l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.
8、过点()4,1P 作抛物线2
8y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。
9、已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程。
答案：
1.D
2.C
3.2
4.24
5.D
6.C
7、解析：⑴由1l 被椭圆C
截得的弦长为2
2
8a b +=，………①
又3e =，即2223
c a =，所以22
3a b =………………………….②
联立①②得2
2
6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22
162
x y +=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l
的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2
51860x x -+= 由韦达定理知，1212186
,55
x x x x +== 从而
12x x -=
=
由弦长公式，得
1255
AB x =-==，
即弦AB 的长度为
5
8、解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，
则有22
11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-
又12128,2x x y y +=+= 则21
21
4y y k x x -=
=-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=.
解法2：设AB 所在的直线方程为()41y k x =-+
由()2418y k x y x
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，整理得2
83280ky y k --+=.
设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128
y y k
+=， 又∵P 是AB 的中点，∴
1212y y +=，∴8
24k k
=⇒=
所以所求直线AB 的方程为4150x y --=.
由2
4150
8x y y x
--=⎧⎨
=⎩ 整理得，2
2300y y --=，则12122,30y y y y +==-
有弦长公式得，
122
AB y y =-==
9、由点A （2，8）在抛物线
22y px =上，有2822p =⨯，
解得p=16，所以抛物线方程为
232y x =，焦点F 的坐标为（8，0）。
（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的点，所以F 是线段AM 的定比分点，2AF
FM
=。设点M 的坐标为00(,)x y ，则00
22828,01212
x y ++==++，
解得0
011,4x y ==-，所以点M 的坐标为（11，－4）
（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴.设BC 所
在直线的方程为
4(11)(0).y k x k +=-≠由2
4(11),
32y k x y x +=-⎧⎨=⎩消x 得 23232(114)0ky y k --+=，所以1232
y y k
+=.
由（2）的结论得12
42
y y +=-，解得k=-4
因此BC 所在直线的方程为y+4=-4(x-11) 即4x+y-40=0。
