专题5 圆锥曲线中的弦长问题(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。

2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。

第22讲圆锥曲线的弦长面积及其范围问题考点一圆锥曲线的弦长面积(一)弦长问题设圆锥曲线C∶f(x , y)=0与直线l:y=kx+b相交于A(x1 , y1)，B(x2 , y2)两点，则弦长|AB|为：|AB|=2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)−4x1x2=√1+k2√Δx|a|或|AB|=√1+1k2|y1−y2|=√1+1k2√(y1+y2)−4y1y2=√1+1k2√Δy|a|(二)面积问题1.三角形面积问题直线AB方程：y=kx+m d=|PH|= 00√1+k2SΔABP=12|AB|⋅d=12√1+k2√Δx|a||kx−y+m|√1+k22.焦点三角形的面积直线AB过焦点F2,ΔABF1的面积为SΔABF1=12|F1F2|⋅|y1−y2|=c|y1−y2|=c√Δy|a|圆锥曲线经常用到的均值不等式形式： 1）S =2t t +64=2t+64t（注意分t =0,t >0,t <0三种情况讨论）2）|AB |2=3+12k 29t 4+6k 2+1=3+129k 2+1k2+6≤3+122×3+6当且仅当9k 2=1k 2时，等号成立 3）|PQ|2=34+25⋅25y 029x 02+9⋅9x 0225y 02≥34+2√25⋅25y 029x 02×9⋅9x 0225y 02=64当且仅当25⋅25y 029x 02=9⋅9x 0225y 02时等号成立.4）S =12√12−32m 2⋅√3=12√12m 2(−m 2+8)≤12√12×m 2−m 2+82=√2当且仅当m 2=−m 2+8时，等号成立 5）S =2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k 21√1+k 2=4√2√(2k 2−m 12+1)m 121+2k 2≤4√22121221+2k 2=2√2当且仅当2k 2+1=2m 12时等号成立.典例精讲1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为e =，过点(1,2)Q -的直线1与椭圆相交于A ，B 两点，若点Q 是线段AB 的中点，则直线1的斜率为( )A ．2或18B ．2或8C ．12或18D ．12或8【分析】由题意的离心率及a ，b ，c 之间的关系可得a ，b 的关系，设A ，B 的坐标，由题意可得A ，B 的坐标的关系，分焦点在x ，y 轴两种情况讨论，将A ，B 的坐标代入椭圆的方程，作差求出AB 的斜率的表达式，将坐标的关系代入求出斜率的值．【解答】解：由题意可得c e a ==所以2234c a =，由a ，b ，c 之间的关系可得22314b a -=，所以2214b a =，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意可得1212x x+=，1222y y +=-，因为A ，B 在椭圆上，当焦点在x 轴上时，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b --+=， 所以2121221212111428y y x x b x x a y y -+=-=-=-+-；当焦点在y 轴上时，则22112222222211y x a b y x a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差可得2222121222y y x x a b --=-， 所以21212212121422y y x x a x x b y y -+=-=-=-+-，综上所述直线1的斜率为：2或18，故选：A ．【点评】本题考查求椭圆的方程及由中点坐标作差求直线斜率的方法，属于中档题．2．已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆C ：x 24+y 23=1相交于不同的两点A ，B ，△OAB 的面积为√3，则|OA |2+|OB |2的值是（ ） A ．4 B ．7 C ．3 D ．不能确定【分析】由于本题属于选择题，只要计算两个特殊情况，即可，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝t ，或当直线l 的斜率为0时，设直线l 的方程为y ＝m ，分别求出|AB |的长度，表示出三角形的面积，即可求出|OA |2+|OB |2的值．【解答】解：当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝t ， 则t 24+y 23=1，∴y ＝±√3−3t 24，∴|AB |＝2√3−3t 24，∴△OAB 的面积S =12×|t |×2√3−3t 24=√3，解得t 2＝2，∴|OA |2+|OB |2＝2t 2+2（3−3t 24）＝6+12t 2＝7，当直线l 的斜率为0时，设直线l 的方程为y ＝m ， 则x 24+m 23=1，∴x ＝±√4−43m 2，∴|AB |＝2√4−43m 2，∴△OAB 的面积S =12×|m |×2√4−43m 2=√3， 解得m 2=32，∴|OA |2+|OB |2＝2m 2+2（4−43m 2）＝8−2m 23=7，故|OA |2+|OB |2的值是7， 故选：B ．【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 3．已知F 1、F 2分别为椭圆x 22+y 2＝1的左右两个焦点，过F 1作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 2AB的面积为（ ） A ．2√33B ．43 C ．4√33D ．4√23−1【分析】求出直线AB 的方程，代入椭圆方程，求得交点A ，B 的坐标，利用S =12•|F 1F 2|•|y 1﹣y 2|，即可得出S ． 【解答】解：椭圆x 22+y 2＝1的左右两个焦点（﹣1，0），过F 1作倾斜角为π4的弦AB ，可得直线AB 的方程为：y ＝x +1，把 y ＝x +1 代入 x 2+2y 2＝2 得3x 2+4x ＝0， 解得x 1＝0 x 2=−43，y 1＝1，y 2=−13， ∴S =12•|F 1F 2|•|y 1﹣y 2|=12×2×|1+13|=43．故选：B ．【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、椭圆的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于中档题．4．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax （a ＞0）的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则a 的值为 8 ．【分析】先确定焦点的坐标，进而根据点斜式表示出直线l 的方程，求得A 的坐标，从而表示出三角形的面积建立等式求得a 的值．【解答】解：抛物线y 2＝ax 的焦点坐标（a 4，0），|0F |=a4，直线的点斜式方程 y ＝2（x −a 4），在y 轴的截距是−a2 ∴S △OAF =12×a 4×a2=4∴a 2＝64，∵a ＞0 ∴a ＝8故答案为：8【点评】本题考查抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等．考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用．5．已知过双曲线22:184x y C -=的左焦点F 的直线l 与双曲线左支交于点A ，B ，过原点与弦AB 中点D 的直线交直线x =E ，若AEF ∆为等腰直角三角形，则直线l 的方程可以为( )A ．(30x y +-+=B ．(30x y -++C ．(30x y +--=D ．(30x y +++=【分析】法一：求出左焦点坐标，设:l x my m =-≠，通过AEF ∆为等腰直角三角形，且AEF ∠为直角，求出直线EF 的方程，求出E 的坐标，设1(A x ，1)y ，有||||EF AF =可得，A 的坐标，然后求解直线方程．法二：求出左焦点坐标，设:l x my m =-≠，代入双曲线C 的方程，消去x ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由根与系数的关系，求出D ，得到直线OD 的方程求出E 的坐标．通过||||EF AF =可得，A 的坐标，从而求解直线l 的方程．【解答】解：法一：(F -，则由题意可设:l x my m =-≠， 因为若AEF ∆为等腰直角三角形，且AEF ∠为直角，所以直线EF 的方程为：(y m x =-+，令x =，得y =，即()E ．设1(A x ，1)y ，有||||EF AF ==解得1y =．又2211184x y -=，∴1x =，∴(3m =±-，从而直线l 的方程为(30x y +-+=或(30x y --+=．法二：(F -，则由题意可设:l x my m =-≠，代入双曲线C 的方程，消去x ，整理得22(2)40m y --+=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由根与系数的关系，得12y y +=，∴122y y +=，1212()22x x m y y ++=-，即D ，∴直线OD 的方程为2my x =．令x =，得y =，即()E ．有||||EF AF =1y =．又2211184x y -=，∴1x =，∴(3m =±-，从而直线l 的方程为(30x y +-+=或(30x y --+=．故选：A ．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查最值思想以及计算能力，是中档题．考点二 圆锥曲线的范围问题(一) 求范围常用方法圆锥曲线中的确定参变量（参数）的取值范围是高考命题的热点，也是我们掌握的一个难点。

圆锥曲线中的弦长问题知识点：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

当直线的斜率存在时，直线与圆锥曲线相交于，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为.则弦长公式：其中当存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线的焦点弦公式，其中为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径. 抛物线的通径二、例题：1、若椭圆193622=+y x 的弦被点()2,4平分，则此弦所在直线的斜率为 A 、2 B 、 -2 C 、31 D 、21- 2、已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则AB 等于A 、3B 、4C 、23D 、243、过抛物线px y 22=()0>p 的焦点F 作倾斜角为︒45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则P=4、求直线23+=x y 被曲线221x y =截得的线段的长5、过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（A ）3 （B ）2 （C ）6（D ）236、已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）7、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x yl a b-=被椭圆C 截得的弦长为22且63e =，过椭圆C 32l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度.8、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。

9、已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程。

圆锥曲线中的弦长问题一、单选题1．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（ ）A ．2B C ．72D ．42．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．83．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在EFP △中，sin EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ）A ．B ．4C ．2D ．14．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．,3⎡⎢⎣B ．3⎡⎢⎣C ．,48⎣⎦D ．816⎣⎦5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ．52C ．32D ．32或52二、填空题6．已知P 为椭圆221164x y +=上的一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则AB 的最小值为_______.7．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______.8．已知1F ，2F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，则1PF 的值为______.三、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x y c b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:2:3e e =，A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值.10．在平面直角坐标系上，已知动点P 到定点()11,0F -、()21,0F 的距离之和为2. （1）求动点P 的轨迹方程C ．（2）若直线:l y x t =+与曲线C 交于A 、B 两点，423AB =.求t 的值11．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为32，右顶点为(,0)P a ，P 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若C 上存在两动点,A B （,A B 在x 轴两侧）满足20OA OB ⋅=（O 为坐标原点），且PAB △的周长为2||4AB +，求||AB ．12．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为1,2过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线m ：x =1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限) （1）求椭圆G 的方程；（2）连接点M 与左焦点并延长交椭圆于点N ，求线段MN 的长.13．已知抛物线21:2C y px =的焦点与椭圆222:198x y C +=的右焦点F 重合，过抛物线1C 的准线l 上一点P 作抛物线1C 的两条切线，切点为A ，B .（1）求证：直线AB 过焦点F ； （2）若8PA =，6PB =，求PF 的值.14．已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c ，椭圆的长轴长为43.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB 15．已知直线l 经过抛物线26y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点. （1）若直线l 的倾斜角为60，求线段AB 的长； （2）若2AF =，求BF 的长.16．已知圆上224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ，垂足为Q ，当P在圆上运动时，线段PQ 中点为M . （1）求点M 的轨迹方程；（2）若直线l 的方程为y ＝x －1，与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求弦AB 的长.一、单选题1．椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF =（ ） A ．3 B ．3C ．72D ．4【答案】C 【解析】 试题分析：，所以当时，，而,所以,故选C.考点：椭圆的性质2．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A 【分析】由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意得1p =，由抛物线的定义知：121231422p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.3．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在EFP △中，sin 2EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ）A ．2B ．4C ．2D ．1【答案】A 【分析】过点P 作PH 垂直于准线于点H ，由双曲线的定义得cos PF PH m FEP ==∠，在EFP △中利用正弦定理可求出FEP ∠，带入所给等式即可推出2EFP π∠=，即可求得PE 的值. 【详解】如图所示，过点P 作PH 垂直于准线于点H ，设PE m =，则cos PF PH m FEP ==∠， 在EFP △中，由正弦定理知sin sin PF PEPEF EFP=∠∠，即cos sin 2sin m FEP FEP FEP∠=∠∠，所以2cos 2FEP ∠=，又()0,FEP π∠∈，所以4FEP π∠=，则sin 21EFP FEP ∠=∠=，又()0,EFP π∠∈，所以2EFP π∠=，在直角EFP △中，2EF =，4FEP π∠=，所以22PE =故选：A 【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质、正弦定理解三角形，属于中档题.4．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）A ．45,253⎡⎢⎣B ．85453⎡⎢⎣C ．535,48⎣⎦D ．535816⎣⎦【答案】B【分析】先利用等面积法可得：12114222a r c y y ⨯⋅=⨯⋅-，求解出12y y -的值，然后根据弦长公式12AB y =-的取值范围. 【详解】设内切圆半径为r ，由题意得12114222a r c y y ⨯⋅=⨯⋅-得1228,43y y e ⎡⎤-=∈⎢⎥⎣⎦，1212AB y y y =-=-∈⎣. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形问题，考查弦长的取值范围问题，难度一般.解答时，等面积法、弦长公式的运用是关键.5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ．52C ．32D ．32或52【答案】B 【分析】设点()1,P t -，利用4PF FQ =求得点Q 的横坐标，利用抛物线的定义可求得QF . 【详解】抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.设点()1,P t -、(),Q x y ，则()2,PF t =-，()1,FQ x y =-，4PF FQ =，可得()412x -=，解得32x =， 由抛物线的定义可得35122QF =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点Q 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.二、填空题6．已知P为椭圆221 164xy+=上的一个动点，过点P作圆()2211x y-+=的两条切线，切点分别是A，B，则AB的最小值为_______..【答案】422.【分析】连接PC，交AB于H，可得H为AB中点，求得圆心和半径，连接AC，BC，可得,AC PA BC PB⊥⊥，运用勾股定理和三角形面积公式可得AB，设()4cos,2sinPθθ，[]0,2θπ∈，运用两点的距离公式和同角的平方关系，结合配方和二次函数的最值求法，可得所求最小值.【详解】如图，连接PC，交AB于H，可得H为AB中点，圆()2211x y-+=的圆心为()1,0C，半径1r=，连接AC，BC，可得,AC PA BC PB⊥⊥，则21PA PB PC==-又222121221PCPA ACAB AHPC PC PC-⋅====-设()4cos,2sinPθθ，[]0,2θπ∈，可得()()2 2222111 4cos12sin12cos8cos512cos33PCθθθθθ⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭，当1cos 3θ=时，2PC 取得最小值为113，此时AB 取得最小值为11=.故答案为：11. 【点睛】本题考查椭圆中的最值问题，涉及圆的相切问题，属于中档题7．已知抛物线C ：22x py =-()0p >的焦点F 与22184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______. 【答案】10 【分析】首先根据已知条件得到抛物线方程为28xy ，设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，利用导数的几何意义得到两条切线分别为21148x x y x =-+和22248x x y x =-+，联立切线得到122M x x x +=，从而得到124x x +=，联立直线AB 与抛物线，利用韦达定理即可得到12k =-，再求焦点弦长即可. 【详解】由题意可得()0,2F -，则4p =，抛物线方程为28xy .设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，其中2118x y =-，2228x y =-. 由28x y =-得4x y '=-，所以在点A 处的切线方程为()1114x y y x x -=--，化简得21148x x y x =-+①，同理可得在点B 处的切线方程为22248x x y x =-+②.联立①②得122M x x x +=，又M 的横坐标为2， 124x x ∴+=.将AB 方程代入抛物线得28160x kx +-=，1284x x k ∴+=-=，12k ∴=-，()1212144462y y k x x ∴+=+-=-⨯-=-，1210AB p y y ∴=--=.故答案为：10 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦，同时考查导数的几何意义，属于中档题.8．已知1F ，2F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，则1PF 的值为______.【分析】由题意可得PF 2平行y 轴，然后结合椭圆方程和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵原点O 是F 1F 2的中点，∴PF 2平行y 轴，即PF 2垂直于x 轴， ∵c =3，∴|F 1F 2|=6，设|PF 1|=x，根据椭圆定义可知2PF x =，∴22)36x x +=，解得2x =.. 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x y c b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:2:3e e =，A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值.【答案】（1）22193x y +=；（232. 【分析】（1）由12:3e e =可得得42243840c a c a -+=，化为2232a c =，从而3a b ，2c b =， )2,0Ab ，()0,B b -，则直线AB 的方程为2y x b =-，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得3b =（2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ，利用韦达定理、弦长公式表示出弦长，结合配方法可得答案. 【详解】（1）由题意知1c e a =，222222c b c ae --==， 因为12:3e e =22232c c a a c-=⋅，222223a c a c -=，将等号两边同时平方，得42243840c a c a -+=，即()()22222230a cac --=，所以2232a c =，又222a b c =+，所以3a b，c =，所以),0A，()0,B b -，所以直线AB的方程为y x b =-， 与椭圆1C ：222213x y b b +=联立并消去y，得222332x x b b ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 整理得10x =，25x =，所以,55b P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 因为185PB =185=，得b =3a =，椭圆1C 的方程为22193x y +=.（2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ， 得()222124260kxknx m +++-=，因为直线MN 与椭圆2C 相切，所以()()222216412260k m k m∆=-+-=，整理得()22630*k m +-=，将直线MN 与椭圆1C 方程联立并消去y ，得()222136390k x kmx m +++-=，由()*式可得()()()22222223641339129336k m kmk m k ∆=-+-=+-=.设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则2613M N km x x k -+=+，223913M N m x x k-=+，所以M N MN x =-==设213k t +=，则1t >，2MN ==22<，所以当4t =，即1k =±时，MN 最大，且最大值为322. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.10．在平面直角坐标系上，已知动点P 到定点()11,0F -、()21,0F 的距离之和为22. （1）求动点P 的轨迹方程C ．（2）若直线:l y x t =+与曲线C 交于A 、B 两点，423AB =.求t 的值 【答案】（1）2212x y +=；（2）1t =±.【分析】（1）求出,a b 可求椭圆的方程.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理和弦长公式公式可得关于t 的方程，解方程后可得t 的值.【详解】解：（1）因为1222PF PF +=P 轨迹为椭圆，并且长轴长222a =， 因为焦点坐标分别为()1,0-，()1,0，所以22c =，又因为222a b c =+，所以1b =，所以P 点运动轨迹椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，因为22220x y y x t⎧+-=⎨=+⎩，消元化简得2234220x tx t ++-=，所以()2221612222480t t t ∆=--=->，1221243223t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以3AB ==又因为3AB =3=， 解得1t =±，满足>0∆，所以1t =±. 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.11．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为2，右顶点为(,0)P a ，P 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若C 上存在两动点,A B （,A B 在x 轴两侧）满足20OA OB ⋅=（O 为坐标原点），且PAB △的周长为2||4AB +，求||AB ． 【答案】（1）28y x =；（2）30. 【分析】(1)根据椭圆离心率的关系可得2a =，进而根据抛物线的性质求出方程即可. (2) 设直线:AB x my n =+，联立28y x =得出韦达定理，再结合抛物线的方程与20OA OB ⋅=化简可得10n =，再根据抛物线的焦半径公式以及弦长公式求得2m =±，进而求得||AB . 【详解】解析：（1）因为椭圆222:1x E y a +=22134a a -=， 解得24a =，所以2a =， 而22p=，所以4p =， 从而得抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）由题意0AB k ≠，设直线:AB x my n =+， 联立28y x =得2880y my n --=， 设()()1122,,,A x y B x y （其中120y y <） 所以12128,8y y m y y n +=⋅=-，且0n >，因为20OA OB ⋅=，所以22121212122064y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，2820n n -=，所以(10)(2)0n n -+=，故10n =或2n =-（舍）， 直线:10AB x my =+， 因为PAB △的周长为2||4AB + 所以||||||2||4PA PB AB AB ++=+. 即||||||4PA PB AB +=+，因为()21212||||424824PA PB x x m y y m +=++=++=+.又12||AB y y =-=所以2820m +=解得2m =±，所以||30AB ==.【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理与弦长公式、焦半径公式求解的问题，属于中档题.12．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为1,2过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线m ：x =1与椭圆G 交于点M (点M 在第一象限) （1）求椭圆G 的方程；（2）连接点M 与左焦点并延长交椭圆于点N ，求线段MN 的长.【答案】（1）22143x y +=（2）257【分析】（1）由已知条件推导出1c =，12c a =，由此能求出椭圆的方程． （2）依题意可得直线1MF 的方程，联立直线与椭圆方程，消元，求出两交点的横坐标，再根据弦长公式计算可得； 【详解】 解：（1）椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆G 右焦点2(1,0)F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限），1c ∴=，12c a =，解得2a =， 2223b a c ∴=-=，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）依题意可得()11,0F -，31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1MF ：3344y x =+ 联立方程得223344143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得22118390x x +-=，则()()121390x x -+=解得11x =，2137x =-所以121325177MN x ⎤⎛⎫=-=--= ⎪⎥⎝⎭⎦【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.13．已知抛物线21:2C y px =的焦点与椭圆222:198x y C +=的右焦点F 重合，过抛物线1C 的准线l 上一点P 作抛物线1C 的两条切线，切点为A ，B .（1）求证：直线AB 过焦点F ； （2）若8PA =，6PB =，求PF 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）245. 【分析】（1）求出椭圆的右集合，即抛物线的焦点，从而可得p 值，得抛物线方程，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()1,P a -，由切点设出切线方程11:()PA y y k x x -=-，由相切求出斜率k ，得切线PA 方程，同理得PB 方程，代入P 点坐标后可得过,A B 两点的直线方程，得证其过焦点；（2）由（1）中直线AB 方程与抛物线方程联立后消元应用韦达定理，然后可证得PA PB ⊥，又可证得PF AB ⊥，这样由直角三角形性质可得PF【详解】（1）证明：因为椭圆222:198x y C +=的右焦点()1,0F ，所以12p=，即2p =.所以抛物线1C 的方程为24y x =. 设点()11,A x y ，()22,B x y ，()1,P a -，设()111:PA y y k x x -=-， 联立()1112,4,y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩消x 得211114440yy y x k k -+-=， 由0∆=得2111110k y k x -+=.又2114y x =，故2211111104k y k y -+=，故2111102k y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故112PA k k y ==，故直线PA 的方程为()1112y y x x y -=-， 即1122yy x x =+.同理22PB k y =，直线PB 的方程为2222yy x x =+. 又点P 在直线PA ，PB 上，所以112222,22,ay x ay x =-+⎧⎨=-+⎩故()11,A x y ，()22,B x y 在直线22ay x =-+上，故直线AB 的方程为22ay x =-+，令0y =，得1x =，所以直线AB 过焦点F .（2）解：由（1）知联立222,4,ay x y x =-+⎧⎨=⎩消x 得2240y ay --=，故122y y a +=，124y y =-，故12221PA PB k k y y ⋅=⋅=-， 故直线PA 与直线PB垂直，从而10AB ==.因为2AB k a =，0112PF a ak -==---，所以1PF AB k k ⋅=-， 故PF AB ⊥，所以6824105PF ⨯==. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，解题方法是设而不求的思想方法，本题中设出两切点坐标1122(,),(,)A x y B x y ，由直线AB 方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后代入PA PB k k ⋅可得垂直．这是直线与圆锥曲线相交问题常用的方法．14．已知椭圆2222:1x y E a b +=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c，椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB【答案】（1）221123x y +=；（2）10. 【分析】（1）由点到直线的距离得12b a =，再由长轴长可求得,a b 得椭圆方程；（2）直线AB 的斜率一定存在，设方程为()12y k x +=-，代入椭圆方程整理，设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，由中点坐标公式求得k ，再由弦长公式求得弦长． 【详解】解：（1）经过两点()(),0,0,c b 的直线为：1x yc b+=即0bx cy bc +-=.由已知：原点到直线的距离12bc d c a ===即12b a =因为2a =b =所以椭圆的标准方程为：221123x y +=（2）当直线l 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不合题意.所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线()12y k x +=-即为：21y kx k =-- 设()()1122,,,A x y B x y 联立22214120y kx k x y =--⎧⎨+-=⎩得：()()22214821161680k x k k x k k +++++-= ()()22214821161680k xk k x k k +-+++-=显然>0∆ 则()122821414k k x x k++==+，解得12k = 则212216168214k k x x k +-⋅==+所以12AB x =-==【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查求直线与椭圆相交弦长，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，代入椭圆方程应用韦达定理，得1212,x x x x +，由弦长公式得弦长．15．已知直线l 经过抛物线26y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（1）若直线l 的倾斜角为60，求线段AB 的长； （2）若2AF =，求BF 的长. 【答案】（1）8；（2）6. 【分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，求出12x x +的值，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段AB 的长； （2）设直线l 的方程为32x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，可得出129y y =-，由2AF =求得1x 的值，利用韦达定理以及抛物线的方程求得2x 的值，利用抛物线的定义可求得BF 的长. 【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线26y x =的焦点为3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， 由于直线l 过点F ，且该直线的倾斜角为60，则直线l的方程为32y x ⎫=-⎪⎭，联立2326y x y x⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，消去y 并整理得29504x x -+=，259160∆=-=>， 由韦达定理可得125x x +=，由抛物线的焦点弦长公式可得123538AB x x =++=+=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由题意可知，直线l 不可能与x 轴重合，设直线l 的方程为32x my =+， 联立2326x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2690y my --=，()23610m ∆=+>，由韦达定理可得126y y m +=，129y y =-，1322AF x =+=，可得112x =，21163y x ∴==，129y y ∴=-，则22218127y y ==，222962y x ∴==，因此，2362BF x =+=.【点睛】有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．16．已知圆上224x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PQ ，垂足为Q ，当P在圆上运动时，线段PQ 中点为M .（1）求点M 的轨迹方程；（2）若直线l 的方程为y ＝x －1，与点M 的轨迹交于A ，B 两点，求弦AB 的长.【答案】（1）2214y x +=；（2【分析】（1）设M 、P ，利用相关点法即可求解.（2）将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.【详解】（1）设(),M x y ，()00,P x y ，()00,Q y ∴，点M 是线段PQ 中点，002,x x y y ∴==，又()00,P x y 在圆224x y +=上，()2224x y +=， 即点M 的轨迹方程为2214y x +=. （2）联立22114y x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得，25230x x --=， ()22600∆=-+>，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则1225x x +=，1235x x =，12AB x ∴=-===. 【点睛】方法点睛：本题考查了轨迹问题、求弦长，求轨迹的常用方法如下：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义求解. （2）相关点法：由已知点的轨迹进行求解. （3）直接法：根据题意，列出方程即可求解.。

关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一 般有以下三种类型：(1) 求中点弦所在直线方程问题； (2) 求弦中点的轨迹方程问题；(3) 求弦中点的坐标问题。

其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题2 2例1、过椭圆 L 厶 1内一点M(2, 1)弓I 一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在的直线方程。

16 4解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：2 2 2 2(4k1)x8(2k k)x 4(2k 1) 16 0又设直线与椭圆的交点为 A( x-i , y 1) , B ( x 2, y 2),则x 1, x 2是方程的两个根，于是 8(2k 2 k)2 , 4k 1两式相减得x 2y 4 由于过A 、B 的直线只有 故所求直线方程为 x2y 40。

二、求弦中点的轨迹方程问题2 2例2、过椭圆 — L 1上一点P (-8 , 0)作直线交椭圆于64 36解法一：设弦 PQ 中点 M( x, y )，弦端点 P ( x 1, y 1), Q( x 2, y 2),2 2 则有9笃励打576 , 9x 216y 2 576X 1 x 2又M 为AB 的中点，所以x 1 x 2 2 24(2k k)4k 2 1故所求直线方程为 x 2y 4 0。

解法二：设直线与椭圆的交点为A*, yj , B ( X 2,y 2), M(2,所以x 1x 2 4 ,y 1y 2又A 、B 两点在椭圆上， 则X 124y 1216 , 2 2X 2 4y 216,两式相减得(x 「2 X2)4(y 12 )0 ,所以也一y2X 1X 2-，即2 k AB1 4( y 1 y 2)2，x 2y 4A(x ,y)，由于中点为M(2, 1),则另一个交点为 B(4- X ,2 y )， 因为A B 两点在椭圆上, 所以有 (42Xx)2 4y 2 4(2 16 y)2 16 0，Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。

圆锥曲线中的弦长问题左超杰【教学目的】1、熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法；2、能解决有关直线与圆锥曲线相交时的有关弦长等问题。

【重点难点】直线与圆锥曲线相交时弦长问题的处理方法。

【教学模式】解决思路一一例题讲解一一方法总结一一反馈练习一一课堂小结教学过程：一、基本知识考查：1、当直线与圆锥曲线相交于两点时，就产生了弦。

当弦过焦点时，为___ _________ ；当焦点弦垂直于圆锥曲线的轴时，弦为直线的斜率为k，交点坐标为2、弦长公式X i，y i ，x2 , y 2 ,弦长为d ,为直线的倾斜角①当k存在时：d __________________当k存在且不为0时：d②抛物线的弦长公式AB x1 x2、例题1、磨磨刀2、能力提咼2例1、过双曲线 x 2 L 1的左焦点F !作倾斜角为一的弦AB ，3 1 6求：1 |AB2 ABC 的周长F 2为双曲线的右焦点2、 2直线y x 与椭圆—y 24 4、5 1相交于A 、E 两点，贝V AB 等于 A 、 2B 、C 、4 J0 58、105已知双曲线方程为的直线与双曲线交 A 、 5 过抛物线y 2两点，如果 A 、 84、抛物线y 2A 、 p3、 B 、 2L 1,过其右焦点作一条垂直 与X 轴 4 5与A 、B 两点，贝y AB 等于3C 、44x 的焦点作直线交抛物线 6,那么AB 等于D 、 9于A 、B X 2, y 2x 2 B 、10C 、6D 、 4 2px(p 0)的所有焦点弦中，弦长 的最小值为 B 、2pC 、4pD 、不确定D 、想：弦AB所在的直线斜率为3呢例2：已知直线l:y k(x 2,2)交椭圆x2 9 y2 9于A、B两点，若为I的倾斜角，且线段AB的长不小于短轴的长，求的取值范围拓展：若把第一句话改为：直线I过椭圆的左焦点且交椭圆于A、B两点呢？深度拓展：若把线段AB的长不小于短轴的长，改为求线段AB长的取值范围呢？3、智能升华正方形ABCD的两个顶点A、B在抛物线y x2上，另两个顶点C、D在直线y x 4上,求正方形的面积。

专题35：圆锥曲线的弦长问题题型专练弦长公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据两点距离公式，有|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2，（1）若A、B在直线y=kx+m上，代入化简，得|AB|=√1+k2∙|x1−x2|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]；（2）若A、B在直线x=ty+m上，代入化简，得|AB|=√1+t2∙|y1−y2|=√(1+t2)[(y1+y2)2−4y1y2]．1．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣1与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1）．当m变化时，解答下列问题：（1）以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；（2）过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）与椭圆有相同的焦点，且一条渐近线方程为的双曲线．（2）已知直线被抛物线y2＝2px（p＞0）截得弦长为9，求该抛物线方程．3．如图，直线l1和l2相交于点M且l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，，|AN|＝3，且|BN|＝6．（1）曲线段C是哪类圆锥曲线的一部分？并建立适当的坐标系，求曲线段C所在的圆锥曲线的标准方程；（2）在（1）所建的坐标系下，已知点P（m，n）在曲线段C上，直线l：mx+ny＝1，求直线l被圆x2+y2＝1截得的弦长的取值范围．4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．同2小题中曲线C条件，且n＝5，直线l过曲线C的上焦点F1，与椭圆交于点A、B．（1）下面的三个问题中，直线l分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究．（三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分）①直线斜率为1，求线段AB的长．②OA⊥OB，求直线l的方程．③当△AOB面积最大时，求直线l的方程．我选择问题①，研究过程如下：（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：函数与方程思想，不等式性质（至少2个关键词）．（3）在题4题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）．（在图中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图象与描述不匹配的不得分）设直线l的斜率为k，若椭圆C的下顶点为D，求证：对于任意的k∈R，直线AD，BD的斜率之积为定值．5．已知两个条件：①圆C经过圆x2+y2+4x+1＝0与圆x2+y2+x﹣3y+1＝0的交点．②圆C与x轴正半轴相切，且被直线x﹣y＝0截得的弦长为．在这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．（1）圆心在直线3x﹣y＝0上，且_____，求圆C的方程；（2）在（1）的条件下，由圆C外一点P（x0，y0）向圆C引一条切线，切点为Q，O为坐标原点，且有|PQ|＝|PO|，求|PQ|的最小值．6．在“①圆M经过点C（﹣2，﹣1）；②圆心M在直线x﹣y﹣4＝0上”这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知圆M经过点A（﹣1，2），B（6，3），且．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（1）求圆M的标准方程；（2）求圆M与直线l：x+（m+1）y﹣2m﹣4＝0（m∈R）相交弦长的最小值．7．已知①圆心C在直线y＝x﹣1上；②圆的半径为2；③圆过点．在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）圆C过点A（1，2）且圆心在x轴上，且满足条件_____，求圆C的方程；（2）在（1）的条件下，直线l：y＝k（x﹣2）+1与圆C交于P，Q两点，求弦长|PQ|的最小值及相应的k值．8．①过F1且垂直于长轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3；②P为椭圆C上一点，△PF1F2面积最大值为．在上述两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．设椭圆左右焦点分别为F1，F2，上下顶点分别为B1，B2，短轴长为，_____．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F2的直线l与C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN内切圆的面积．9．①椭圆C的长轴长为8；②椭圆C与椭圆+y2＝1有相同的焦点；③F1，F2与椭圆C短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形．从以上三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并作答．问题：已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于x轴的弦长为6，且____．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点M（0，2），点P是椭圆C上任意一点，求|MP|的最大值．10．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①若圆C的半径为2，其圆心与点（0，1）关于直线y＝x对称，②圆心在x轴上，且经过点E（﹣1，0），F（1，2），③圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7＝0相切，且被y轴截得的弦长为2，圆C的面积小于13．已知圆心为C的圆，_______．（1）求圆C的标准方程；（2）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．11．已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6．（1）求E的方程；（2）若面积为3的△ABC的三个顶点均在E上，边BC过F，边AB过原点，求直线BC的方程；（3）已知M（1，0），过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且|SM|2+|SF|2＝13？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．。

高中数学圆锥曲线弦长公式
（原创实用版）
目录
1.圆锥曲线的定义和重要性
2.圆锥曲线弦长公式的推导和应用
3.圆锥曲线弦长公式的简化方法
4.圆锥曲线弦长公式在实际问题中的应用
正文
一、圆锥曲线的定义和重要性
圆锥曲线是一个广泛的数学概念，它包括椭圆、双曲线、抛物线和它们的简化形式：圆和直线。

这些曲线在几何学、物理学和工程学等领域都有重要的应用。

圆锥曲线的定义是通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线。

二、圆锥曲线弦长公式的推导和应用
圆锥曲线弦长公式是用于计算直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。

通用方法是将直线方程代入曲线方程，化为关于 x（或关于 y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。

这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的。

三、圆锥曲线弦长公式的简化方法
为了简化圆锥曲线弦长公式的计算过程，可以利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式。

例如，对于椭圆，弦长公式可以简化为 d(1k)x1-x2，其中 d 表示焦点到直线的距离，k 为直线的斜率，x1 和 x2 为交点坐标。

四、圆锥曲线弦长公式在实际问题中的应用
圆锥曲线弦长公式在实际问题中有广泛的应用，例如在物理学中，它可以帮助我们计算天体在引力作用下的运动轨迹；在工程学中，它可以帮助我们设计光学仪器和通信系统等。

通过掌握圆锥曲线弦长公式，我们可以更好地理解和解决实际问题。

综上所述，圆锥曲线弦长公式是数学和几何学中的一个重要概念，它对于解决实际问题具有重要的意义。