2. 2《直接证明与间接证明》教学课件1

所以 a + b 2 ab
只需证 ( a b)2 0
所以
a+b 2
ab 成立
因为 ( a b)2 0 成立
所以 a
+ 2
b

ab成立
2. 分析法定义：
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 推证过程中，使每一步结论成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理 等）为止，这种证明的方法叫做分析法（也叫 逆推证法或执果索因法）．
的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数
列，a、b、c成等比数列 ， 求证：△ＡＢＣ为等 边三角形．
分析 :由A,B,C成等差数列可得什么? A C 2B B 600(为什么?)
由a,b,c成等比数列可得什么? b2 ac
怎样把边,角联系起来? 见书P85-86例1
点评：解决数学问题时，
1、求证：6 7 2 2 5
2、求证：a a 1 a 2 a 3(a 3)
2.2.1直接证明与间接证明
综合法与分析法
(第一课时)
一、复习： 推 理

合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的 重要思维过程.
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理 .
二、新课：1. 综合法定义：
文字语言
学会语言转换；还要细
致，找出隐含条件。
图形语言
符号语言
回顾基本不等式：a
+ 2
b

只需要证
a ＋ 2＋2≥a＋ ＋ 2. a a a2＋ 2＋2 2 a＋ ＋ 2 2 a ≥ a ，
1 1 1
∵a＞0，故只需要证 1 即 a2＋ 2＋4
a
a2＋ 2＋4 a
1
a＋ 1 a ＋2， ≥a2＋2＋ 2＋2 2 a
1
从而只需要证 2
a2＋ 2≥ 2 a
a＋ a，
1
a ＋ 2 a ＋2＋ 2 只需要证 4 a ≥2 a ，
考点三
反证法的应用
• 考点一 综合法的应用 • 【例1】 (2013· 新课标全国Ⅱ卷)设a，b，c均为正数，且a＋b ＋c＝1，证明：
1 a2 b2 c2 (1)ab＋bc＋ac≤ ；(2) ＋ ＋ ≥1. 3 b c a
证明 (1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac 得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，
• 2．间接证明
• (1)反证法定义：
•
在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，
二者必居其一．我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个 前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题
中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的
反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫 作反证法．
a＋mb 2 2 a ＋ mb 【训练 2】 已知 m＞0，a，b∈R，求证： 1＋m 2≤ . 1＋m
• 证明 ∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，
• 只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2) • 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， • 即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．

• １综合法——由因导果
•
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推
理论证，最后推导出所要证明的结论成立。（又叫顺推证法）
• 特点：由因导果
•
探知
• 例:三角行ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证B<90°.
• 证明：要证B<90°
•
只需证cossB>0.
•
只需证(a²+c²-b²)/2ac>0
• 特点：由果导因
• 例4、5
• 综合法和分析法的区别
• 作业P44——1，2
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2.2 直接证明与间接证明
2.2.1综合法和分析法
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复习
推理
合情推理
演绎推理
归纳推理
类比推理
三段论
特殊到一般
特殊到特殊
特殊到一般
演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程。 数学结论，证明思路的发现，主要靠合情推理。
合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。下面我们就来学一下数学中证明的方 法。
• 例 1：已知a>0,b>0,证明a(b²+c²)+b(c²+a²)>4abc
•
证明：因为 b²+c²>2bc,a>0.

间接证明（习题1）
1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.
证: 假设这个数是奇数,可以设为 2k+1, 则有
(2k 1)2 4k 2 4k 1
k Z.
而
4k 2 4k 1 （k Z）不是偶数
这与原命题条件矛盾.
2、用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
（1）结论以否定形式出现； （2）结论以“至多-------，” ,“至少------”
形式出现； （ 3）唯一性、存在性问题； （4） 结论的反面比原结论更具体更容易
研究的命题。
间接证明（例题1）
求证：正弦函数没有比2小的正周期.
思路
先求出周期
用反证法证明 2 是最小正周期.
间接证明（例题1）
直接证明（学生活动）
思考：在《数学（5 必修）》中，我们如何证明
基本不等式 ab a b (a 0,b 0)? 2
证法1 对于正数a,b, 有
（ a b）2 0 a b 2 ab 0 a b 2 ab
a b ab 2
1、 概念
直接证明
直接从原命题的条件逐步推得结论 成立,这种证明方法叫直接证明。
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
3、已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只 有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2 ∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0 ∵ x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。