高二数学学案 姓名 宿豫县大兴高级中学高二数学备课组
第06课时§6.2算术平均数与几何平均数（3）
学习目标： ①应用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理解决一些简单的应用问题；
②通过本节课学习，培养对数学的理解能力和应用能力.
重点难点： 利用均值不等式解决应用问题.
例题精讲：
例1.一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.问：这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
例2.已知直角三角形的周长为定值L，求它的面积的最大值.
例3.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
例4.在△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，一条直线分△ABC的面积
为相等的两部分，且夹在AB与BC之间线段EF为最短.求EF长.
随堂训练：
1.已知0
A.1/3 B.1/2 C.3/4 D.2/3
2.下列函数中最小值为4的是 [ ]
A.xxy4 B.)0(sin4sinxxxy
C.y=3x+4·3-x D.y=lgx+4logx10
3.已知lgx+lgy=1,则M=yx52的最小值= .
4.求4522xxy的最小值.
5.求证：在直径为d的圆的内接矩形中，面积最大的是正方形，这个正方形的面积等于221d.
6.已知△ABC内接于单位圆，且（1+tanA）（1+tanB）=2，
算术平均数与几何平均数
知识点：
（1） 算术平均数：称2ba为两正数a,b的算术平均数;几何平均数：称ab为两正数a,b的几何平均数
（2） 重要不等式：222abab（Rba,，当a=b时取等号）
（3） 算术平均数与几何平均数定理：
2baab（a>0，b>0,当a=b时取等号）
常用变形式：2211222babaabba（a>0，b>0,当a=b时取等号）
附加定理：abccba3333（Rcba,,，当a=b=c时取等号）
33abccba（a>0,b>0,c>0，当a=b=c时取等号）
(4)利用算术平均数和几何平均数求函数最值（一正、二定、三等号）
和为定值：2)2(baab（a>0，b>0,当a=b时取等号）
3)3(cbaabc（a>0,b>0,c>0，当a=b=c时取等号）
积为定值：abba2 （a>0，b>0,当a=b时取等号）
33abccba（a>0,b>0,c>0，当a=b=c时取等号）
1． 已知0x，0y，且191xy，求xy的最小值。
2． （1）求函数2710(1)1xxyxx的最小值。
（2）已知0x，0y，且3412xy。求lglgxy的最大值及相对应的x，y值。
3．已知a、b、cR，求证：
（1）2222222()abbccaabc。
（2）444222222()abcabbccaabcabc。
4．某单位用木料制作如图1所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架未成的总面积为28m，问x、y为多少时用料最省。（精确到0.001m） 5.求函数y=321222xxxx 的最小值。
6.已知x,yR且y=x2求证：2log(2yx2)﹥87
3 、复习引入：
定理*1 •如果a,b c R,那么a2 +b2 > 2ab
（当且仅当Q = b时取“=，，）
1. 指出定理适用范围：a,b e R
2. 强调取的条件=b
定理2•如果a,b是正数，那么凹 > 4ab
2
（当且仅当a = b时取号）
注意：1・这个定理适用的范围:w R+
2.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 关于“平均数”的概念及性质：
如果a】卫2丄.an u/?+，〃> 1且nuN*贝归
寸⑷偽人％叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
4+勺+ 人+勺 2 neN\at eR+,l
基本不等式及其常用变式
(10 +/?2 > lab (a,b G R) % +。2 +A + d刃
n 叫做这n个正数的算术平均数。 (2) > \[ab (a.b G R+)
a h (3) - + ->2 {ab > 0) ? b a
(4) 亍 +/?2 +C2 > ab + bc + ca (a,b,c G 7?)?
V、 7 /(a+b 2 / z 7 D\r>
(5) ab < ( ------ ) < ------------- (a, /? e 7?)?
2 2女口： a,b e 试证明:
二、新课讲解:
例1.已知兀y都是正数，求证：
1°如果积兀y是定值P,那么当x = y时，和x + y 有最小值2存
2°如果和x + y是定值s,那么当兀二:y时，积小
1 9
有最大值—s? 4
证：.・.号二历
1。当 xy = P^定值）时,£±2>VP x + y>2"
2 _
•.•上式当x=y时取“二”...盘=丁时，兀+ y有最小值2存
2。当X+y = S（定值）时^yjxy < — 二 xy < —S2
2 ]
• ••上式当x = y时取 m当x = y时」y有取大值二s?
注意：1。最值的含义（取最小值，“今 取最大值）
高二数学学案 姓名 宿豫县大兴高级中学高二数学备课组
第04课时 §6.2算术平均数与几何平均数（1）
学习目标：
①理解不等式“两个实数的平方和不小于它们之积的2倍”的证明及其几何解释；②理解两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；
③通过本节课学习，培养对数学知识的理解能力、应用能力及论证能力.
重点难点：①重点是算术平均数与几何平均数定理.
②难点是算术平均数与几何平均数定理的应用.
知识要点：
①设a,b∈R, 则有：a2+b2≥2ab；
②对于正数a、b，称2ba叫做a、b的算术平均数，称ab叫做几何平均数；
③正数a、b的算术平均数和几何平均数之间的关系是：2ba≥ab.
（当且仅当a=b时，取等号）
例题精讲：
例1.已知：x,y都是正数，求证：
(1)2xyyx (2) (x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3
例2.求证：2)2(222baba
例3.已知a,b都是正数，求证：2211222babaabba
例4.已知a,b,c,d都是正数，求证：4acadbcbdbcad
例5.已知a,b,c为实数，求证：ac+ab+bc≤a2+b2+c2.
随堂训练：
1.设0
A.2mn B.m+n C.2mn D.m2+n2
2.已知a、b为正数，下列不等式不成立的是 [ ]
A.ab2b1a1.D b1a1baab.C babaab.B 2baab222222
3.若a,b∈R，a≠b, 在①a2+3ab>2b2;②a5+b5>a3b2+a2b3;③a2+b2≥2(a-b-1);
