8个基本初等函数

基本初等函数知识点基本初等函数是指在数学中常见且重要的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

这些函数在数学中广泛应用于各种数学问题和实际应用中，对于学习和理解高等数学和物理等学科具有重要意义。

本文将对这些基本初等函数进行详细介绍。

首先，常数函数是最简单的一个函数，它的函数值始终保持不变。

常数函数的一般形式为f(x)=c，其中c是常数。

常数函数在数学中常用于表示等级和水平等不变的情况。

例如，常用的数学常数π就是一个常数函数，表示圆周长与直径之比。

其次，幂函数是一类形如f(x)=x^n的函数，其中x是变量，n是常数。

幂函数的特点是通过改变幂指数n的大小可以得到不同形状的函数图像。

比如当n为正偶数时，函数图像是一个开口朝上的平滑曲线；当n为正奇数时，函数图像是一个开口朝下的平滑曲线；当n为负数时，函数图像则是一个经过坐标轴原点的曲线。

指数函数是一类形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数，且a大于0且不等于1、指数函数的特点是函数值随着自变量的增大而指数级增长或指数级衰减。

当a大于1时，函数图像是一个增长的指数曲线；当0小于a小于1时，函数图像是一个衰减的指数曲线。

对数函数是指数函数的反函数，它表示一些数在一个给定的底数下的指数。

对数函数的一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a是常数，且a大于0且不等于1、对数函数和指数函数是一对互逆函数，它们的图像是关于y=x对称的。

三角函数是一类周期函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

正弦函数的一般形式为f(x) = A*sin(Bx+C)，余弦函数的一般形式为f(x) = A*cos(Bx+C)，正切函数的一般形式为f(x) = A*tan(Bx+C)。

其中A、B、C是常数，分别表示振幅、频率和初相位。

三角函数的图像具有周期性和对称性，常用于描述波动和周期性现象。

反三角函数是三角函数的反函数，它表示一些角度在三角函数中的对应值。

高中六大基本初等函数函数在数学中具有重要的地位，它是研究数学问题的基本工具。

在高中数学中，有六大基本初等函数，它们分别是常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

下面我们将逐个介绍这六大函数的定义、特点和应用。

常数函数是最简单的函数之一，它的定义域是全体实数集，值域只有一个常数。

常数函数的图像是一条平行于x轴的直线。

常数函数的特点是在定义域内的任何一个点上，函数值都相等。

常数函数在数学中有广泛的应用，例如在物理学中，常数函数可以表示物体的匀速直线运动。

幂函数是形如y=x^n的函数，其中n是一个常数。

幂函数的定义域是正实数集，值域也是正实数集。

幂函数的图像形状随着指数n 的不同而变化，当n>1时，函数图像是上升的开口向上的曲线；当0<n<1时，函数图像是下降的开口向下的曲线。

幂函数在实际问题中有很多应用，例如在经济学中，幂函数可以描述价格与销量之间的关系。

指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是一个常数且a>0且a≠1。

指数函数的定义域是全体实数集，值域是正实数集。

指数函数的图像是上升的开口向上的曲线。

指数函数在数学中有许多重要的性质和应用，例如在金融学中，指数函数可以描述复利的增长过程。

对数函数是指数函数的反函数，它的定义域是正实数集，值域是全体实数集。

对数函数的图像是一条上升的曲线，它与指数函数的图像关于y=x对称。

对数函数在实际问题中有广泛的应用，例如在工程学中，对数函数可以描述信号的衰减过程。

三角函数是以单位圆上的点坐标为函数值的函数，它们包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

三角函数的定义域是全体实数集，值域是[-1,1]。

三角函数的图像是周期性的波动曲线。

三角函数在物理学、工程学等领域有许多应用，例如在力学中，正弦函数可以描述物体的周期性振动。

反三角函数是三角函数的反函数，它们包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。

反三角函数的定义域和值域与对应的三角函数相反。

在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即 常数函数 、 幂函数、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 ，这六类函数称为 基本初等函数。

一、常数函数y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。

它的图像是通过点 （0，c），且平行 x轴的直线，如下图所示：常数函数的图像常数函数的性质：1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。

二、幂函数1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。

幂函数图（1）2、常见幂函数的图像：幂函数图（2）注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。

3、幂函数的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。

② 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。

③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；若 a三、指数函数1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做 指数函数 ，自变量 x 叫做 指数 ，a 叫做 底数 ，函数的定义域是 R 。

2、指数函数的图像：指数函数图象3、指数函数的性质：① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0四、对数函数1、对数及其运算：一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底N 的 对数 ；记作： log aN = b , 其中 a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。

基本初等三角函数
嘿，小伙伴们！咱们今天来聊聊基本初等三角函数。

这可是数学里超级重要的一部分呢！基本初等三角函数主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）。

正弦函数就像是一个调皮的小精灵，它表示的是一个角的对边与斜边的比值。

比如说，一个直角三角形里，某个角的正弦值就是这个角的对边长度除以斜边长度。

余弦函数呢，像是个稳重的小伙伴，它是角的邻边与斜边的比值。

正切函数就有点酷啦，它是角的对边与邻边的比值。

二、基本初等三角函数的图像和性质
这部分可有意思啦！正弦函数的图像是那种波浪形的，有周期性，周期是2π 哦。

而且它的值域在 1 到 1 之间。

余弦函数的图像和正弦函数有点像，也是周期为2π，但它的起始点不一样。

正切函数的图像就比较特别啦，它有一些渐近线，定义域也不是整个实数域。

三、基本初等三角函数的应用
在实际生活中，基本初等三角函数用处可大了！比如测量山的高度、计算建筑物之间的距离，还有在物理学、工程学里也经常能看到它们的身影。

比如说，工程师在设计桥梁的时候，就得用到三角函数来计算角度和长度，保证桥梁的稳固和安全。

咱们学数学可不能光是为了考试，得学会把这些知识用到生活里，那才叫厉害呢！。

基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。

下面将对基本初等函数的知识点进行总结。

一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。

它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。

多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。

二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。

指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。

三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。

对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。

四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。

三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。

五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。

反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。

基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。

16个基本初等函数的求导公式（y：原函数；y'：导函数）1、y=c，y'=0(c为常数) 。

2、y=x^μ，y'=μx^(μ-1)(μ为常数且μ≠0) 。

3、y=a^x，y'=a^x lna；y=e^x，y'=e^x 。

4、y=logax，y'=1/(xlna)(a>0且a≠1)；y=lnx，y'=1/x 。

5、y=sinx，y'=cosx 。

6、y=cosx，y'=-sinx 。

7、y=tanx，y'=(secx)^2=1/(cosx)^2 。

8、y=cotx，y'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2 。

9、y=arcsinx，y'=1/√(1-x^2) 。

10、y=arccosx，y'=-1/√(1-x^2) 。

11、y=arctanx，y'=1/(1+x^2) 。

12、y=arccotx，y'=-1/(1+x^2) 。

13、y=shx，y'=ch x 。

14、y=chx，y'=sh x 。

15、y=thx，y'=1/(chx)^2 。

16、y=arshx，y'=1/√(1+x^2) 。

二、基本初等函数包括什么(1)常数函数y = c( c 为常数)(2)幂函数y = x^a( a 为常数)(3)指数函数y = a^x(a>0. a≠1)(4)对数函数y =log(a) x(a>0. a≠1.真数x>0)(5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数：y =sinx反正弦函数：y =arcsin x等)基本初等函数，所谓初等函数就是由基本初等函数经过有些次的四则运算和复合而成的函数。

初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的并且可用一个式子表示的函数。

基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。

不是初等函数的函数,称为非初等函数,如狄利克雷函数和黎曼函数。

幂函数 幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数，这时可表示为 性质1：奇偶性（分母为奇数才有奇偶性，分子为奇数就是奇函数，分子为偶数就是偶函数） 定义域，值域（K为奇数，定义域不能为0，值域也不为0） （1）当m，n都为奇数，k为偶数时，定义域、值域均为R，为奇函数； （2）当m，n都为奇数，k为奇数时，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0）∪（0，+∞），为奇函数； （3）当m为奇数，n为偶数，k为偶数时，定义域、值域均为[0，+∞），为非奇非偶函数； （4）当m为奇数，n为偶数，k为奇数时，定义域、值域均为（0，+∞），为非奇非偶函数； （5）当m为偶数，n为奇数，k为偶数时，定义域为R、值域为[0，+∞），为偶函数； （6）当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0）∪（0，+∞），值域为（0，+∞），为偶函数。 性质2： （1）正值性质 当α>0时， a、图像都经过点（1,1）（0,0）； b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数； c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0减小，趋近于0； （2）负值性质 当α<0时， a、图像都通过点（1,1）； b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。 c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。 （3）零值性质 当α=0时， a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。 性质3单调性： 由于x大于0是对α的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到： （1）所有的图像都通过（1，1）这点.（α≠0） α>0时 图象过点（0，0）和（1，1）。 （2）单调区间： 当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性： ①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增； ②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增； ③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）； ④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。 当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性： ①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增； ②当α>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增； ③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减； ④当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）； （3）当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）； 当0当α<0时，图像为双曲线。 （4）在（0,1）上，幂函数中α越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中α越大，函数图像越远离x轴。 （5）当α<0时，α越小，图形倾斜程度越大。 （6）显然幂函数无界限。 （7）α=2n（n为整数）,该函数为偶函数 {x|x≠0}。 性质总结：