2019年高二数学 暑假作业(23)直线与平面、平面与平面的平行关系

2019年高中数学 2.1.3 空 间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
课时练 新人教A 版必修2
一、选择题:
1.直线在平面外，则（ ）.
A. ∥
B. 与至少有一个公共点
C. = A
D. 与至多有一个公共点
2. 已知∥，，则（ ）.
A. ∥
B. 和相交
C. 和异面
D. 与平行或异面
3. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）.
A. 内的所有直线与异面
B. 内不存在与平行的直线
C. 内存在唯一的直线与平行
D. 内的直线与 都相交.
4.已知,,为三条不重合的直线， , , 为三个不重合的平面：
① ； ②；
③； ④ ；
⑤.a a a ααα⊄⊂⇒,b ，∥b ∥
其中正确的命题是（ ）
A.①⑤
B.①②
C.②④
D.③⑤
二、填空题:
5. 一个平面把空间分成________部分，两个平面可以把空间分成________部分.
6．若，，，则直线与的位置关系是_____________________.
三、解答题：
7、正方体的各个面所在的平面将空间分成几部分？
8. 正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的棱长为8，M ，N ，P 分别是A ′B ′，
AD ，BB ′的中点.
（1）画出过点M，N，P的平面与平面ABCD的交线以及与平面BB′C′C的交线；（2）设平面PMN与棱BC交于点Q，求PQ的长.。

8.5.2直线与平面平行第二课时 直线与平面平行的性质一、教学目标 1. 掌握空间平面与平面平行的判定定理，并能应用这个定理解决问题2. 平面与平面平行的判定定理的应用3. 进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力二、教学重点 空间平面与平面平行的判定定理教学难点 应用平面与平面平行的判定定理解决问题三、教学过程1、复习回顾情境引入问题1：直线与平面平行的判定定理答：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行问题2：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？答：问题3：什么条件下，平面α内的直线与直线a 平行呢？引出下面问题：已知：//, , a a b αβαβ⊂=，求证：//a b 证明：∵b αβ=∴b α⊂又//a α∴a 与b 无公共点又 , a b ββ⊂⊂∴//a b2、探索新知1）直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b简记：线线平行 线面平行注意：①定理中三个条件缺一不可②简记：线面平行，则线线平行③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据④定理的关键：寻找平面与平面的交线【例1】如右图的一块木料中，棱BC 平行面A'C'(1)要经过面A'C'内的一点P 和棱BC 将木料锯开,在木料表面应该怎样画线?(2)所画的线与平面AC 是什么位置关系?解：(1)如右图，在平面A'C 内，过点P 作直线EF ，使EF//B'C'，并分别交棱A'B'、D'C' 于点E 、F.连接BE 、CF,则EF 、BE 、 CF 就是应画的线(2) ∵BC ∥平面A'C'，平面BC'平面A'C'=B'C'∴BC//B'C'由(1)知EF//B'C'∴EF//BC ，而BC ⊂平面AC ，EF ⊄平面AC∴EF//平面AC显然，BE 、CF 都与平面AC 相交【例2】如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AC 与BD 交于点O ，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .证明：连接MO∵四边形ABCD 是平行四边形∴O 是AC 的中点又∵M 是PC 的中点∴AP ∥OM又∵AP ⊄平面BDMOM ⊂平面BDM∴AP ∥平面BDM又∵AP ⊂平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH∴AP ∥GH【例3】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是棱11,CC BB 上的点，点M 是线段AC 上的动点，22EC FB ==.若//MB 平面,AEF MB ⊂，试判断点M 的位置解：M 是AC 的中点因为//MB 平面,AEF MB ⊂平面FBMN平面FBMN ⋂平面AEF FN =所以//MB FN所以四边形BFNM 是平行四边形所以1MN BF ==而//,22EC FB EC FB == 所以1//,12MN EC MN EC == 故MN 是ACE 的中位线所以M 是AC 的中点时，//MB 平面AEF方法规律：线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面(3)确定交线(4)由性质定理得出线线平行的结论四、课堂练习P 138 练习1、如图，在五面体EF ABCD 中，已知四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，求证：AD ∥EF证明 ∵AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF∴AD ∥平面BCEF∵AD ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面BCEF ＝EF∴AD ∥EF2、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点.求证：EF ∥平面BDD 1B 1证明：取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB (图略)∵F 为C 1D 1的中点∴OF ∥B 1C 1且OF ＝12B 1C 1 又BE ∥B 1C 1，BE ＝12B 1C 1 ∴OF ∥BE 且OF ＝BE∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1∴EF∥平面BDD1B1五、课堂小结1、直线与平面平行的性质定理2、证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段六、课后作业习题8.5 7、8七、课后反思。

巩固练08 空间直线、平面的平行-2020年【衔接教材·暑假作业】新高二数学（2019人教版）一、单选题(★★) 1. 下列条件中，能判断平面与平面平行的是A．内有无穷多条直线都与平行B．与同时平行于同一条直线C．与同时垂直于同一条直线D．与同时垂直于同一个平面(★★) 2. 在四棱锥 P－ ABCD中，底面 ABCD为菱形，∠ BAD＝60°， Q为 AD的中点，点 M 在线段 PC上， PM＝ tPC，PA∥平面 MQB，则实数 t的值为( )A．B．C．D．(★) 3. 如图，已知四棱锥 P﹣ ABCD的底面是平行四边形，点 F在棱 PA上， PF＝λAF，若PC∥平面 BDF，则λ的值为（）A．1B．C．3D．2(★★★) 4. 如图，四棱柱 ABCD﹣ A 1 B 1 C 1 D 1中， ABCD为平行四边形， E， F分别在线段DB， DD 1上，且， G在 CC 1上且平面AEF∥平面 BD 1 G，则（）A．B．C．D．(★★★) 5. 如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是（）A．B．C．D．(★) 6. 如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（）A．有一条B．有二条C．有无数条D．不存在二、填空题(★★★) 7. 已知四棱锥底面是边长为1的正方形，底面，，M是的中点， P是上的动点若面，则 _____ .(★★★) 8. 如图，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形上及其内部运动，则满足条件______时，有平面.(★★★) 9. 在正四面体中，，分别在棱，上，满足，，且面，则的面积为 __ ．(★★★) 10. 平面平面，点，点，直线 AB， CD相交于点 P，已知，，，则___________．三、解答题(★★) 11. 如图，在正方体中，､分别是平面､平面的中心，证明:（1）平面；（2）平面平面.。

2019-2020年高二数学直线与平面平行 平面与平面平行二教案教学目的：1.掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义；2.掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化教学重点：两个平面平行的判定定理、性质定理教学难点：两个平面平行的判定定理、性质定理的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，．aAαaα2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒．证明：假设直线不平行与平面， ∵，∴，若，则和矛盾，若，则和成异面直线，也和矛盾， ∴．3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 推理模式：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．证明：∵，∴和没有公共点， 又∵，∴和没有公共点； 即和都在内，且没有公共点，∴．二、讲解新课：1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．βαml推理模式：：，，，，．分析:这个定理从正面证(用定义)比较困难,所以考虑用反证法. 启发:(1)如果平面和平面不平行,那么它们的位置关系怎样?(2)如果平面和平面相交,那么交线和平面中的直线与各有怎样的位置关系?(3)相交直线与都与交线平行,这合理吗?为什么? 证明：假设， ∵，，∴，同理．即在平面内过点有两条直线与平行，与公理4矛盾， ∴假设不成立，∴．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒．4．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒．证明：∵，∴没有公共点， 又∵，∴．同理可得面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面． 推理模式：．cPb aβαγbaβα三、讲解范例：例1 已知直线、异面,平面过且平行于,平面过且平行于, 求证:∥分析:线面平行 ⇔ 线线平行 ⇔ 线面平行 ⇔ 面面平行 证明:过作平面,使 ∵∥,⊂,,∴∥ 又∵⊄,⊂,∴∥且∥又、异面,∴与必相交,∴∥.例2．夹在两个平行平面间的两条平行线段相等． 已知：，是夹在两个平行平面间的平行线段， 求证：．证明：∵，∴ 确定平面，∴平面，平面，∴，四边形是平行四边形．∴．例3．若，，则．证明：在平面内取两条相交直线， 分别过作平面，使它们分别与平面交于两相交直线， ∵，∴，又∵，同理在平面内存在两相交直线，使得，∴，∴．例4 有一块木料如图，已知棱BC 平行于面A ′C ′．要经过木料表面A ′B ′C ′D ′ 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC 有什么关系？ 解：（1）∵BC ∥面A ′C ′，面BC ′经过BC 和面A ′C ′交于B ′C ′， ∴BC ∥B ′C ′．经过点P ，在面A ′C ′上画线段EF ∥B ′C ′， 由公理4，得：EF ∥BC ．∴EF 面BF,B 面BF.连结BE 和CF. BE,CF 和EF 就是所要画的线.（2）∵EF ∥BC ，根据判定定理，则EF ∥面AC ；BE 、CF 显然都和面AC 相交．总结：解题时，应用直线和平面平行的性质定理，要注意把线面平行转化为线线平行． 四、课堂练习：1在例题4的图中，如果AD ∥BC ，BC ∥面A ′C ′，那么，AD 和面BC ′、面BF 、面A ′C ′都有怎样的位置关系．为什么？答：因为AD ∥BC,BC 面BC ′，AD 面BC ′，所以AD ∥面BC ′ 同理AD ∥面BF ．又因为BC ∥面A ′C ′，过BC 的面EC 与面A ′C ′交于EF ，所以EF ∥BC,又BC ∥AD,所以AD ∥EF.因此EF 面A ′C ′,AD 面A ′C ′ 得AD ∥面A ′C ′.五、小结 ：1．面面平行的判定和性质；2．灵活地实现“面面”、“线面”、“线线”平行间的转换六、课后作业：βαDC B A βα七、板书设计（略）八、课后记：2019-2020年高二数学直线与平面所成的角和二面角一教学目的：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角教学难点：直线和平面所成角的概念及的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学生掌握这些技能同样会有困难所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了教学过程：一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）二、讲解新课：1 斜线,垂线,射影⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,C αO A B 斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角 直线和平面所成角范围： [0，]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角证明：设平面的一条斜线在内的射影为，角是与所成的角 直线OD 是平面内与不同的任意一条直线，过点上的点A 引AC 垂直于OD ，垂足为C 因为AB<AC ， 所以，即,因此 4．公式已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有用几何法研究：在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ，垂足为O 、B 连接OB ，则OB ⊥b.在直角△AOP 中，.在直角△ABC 中，. 在直角△ABP 中，.所以 θϕϕcos cos cos 21==⋅=APABAO AB AP AO所以成立用向量运算研究：如图，是平面的斜线，是斜足，垂直于平面，为垂足，则直线是斜线在平面内的射影设是平面内的任意一条直线，且，垂足为，又设与所成角为，与所成角为，与所成角为，则易知：，212||||cos ||cos cos AB AO AP θθθ==又∵， 可以得到：，则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角； 三、讲解范例：ϕ2ϕ1cba θP αO ABO CBAαO D C BA1ACA例1 如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线和平面所成角解：∵，由斜线和平面所成角的定义可知，为和所成角， 又∵， ∴cos cos 601cos cos cos 45222ABC ABO CBO ∠∠===÷=∠，∴，即斜线和平面所成角为．例2．如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角 解法一：连结与交于，连结，∵，，∴平面，∴是与对角面所成的角， 在中，，∴．解法二：由法一得是与对角面所成的角，又∵112cos cos 452A BB ∠==，，∴1111cos cos cos 2A BB A BO B BO ∠∠===∠，∴．说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便 解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算例3．已知空间四边形的各边及对角线相等，求与平面所成角的余弦值 解：过作平面于点，连接，∵，∴是正三角形的外心，设四面体的边长为，则， ∵，∴即为与平面所成角，∴，所以，与平面所成角的余弦值为．例 4 如图，已知AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =BC ，D 是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余弦值.解：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =BC ，D 是BC 中点， ∴PD=, PA=BC ∴AD=EFC 1B 1A 1D 1DAC ∴31217cos ==∠AD PDPDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为 四、课堂练习： 1选择题（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º] （C ）[0º,180º] （D ）[0º,180º)（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为，则它在平面内的射影长是 .（2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，这条线段与平面α所成的角是 .（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 . 答案：（1） （2） （3）3．若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且PA =PB =PC ，求证点P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的外心.分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由PA =PB =PC ，点P 的射影到⊿ABC 的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC 的外心.五、小结 ：我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角 在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影 六、课后作业：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求： （1）D 1B 1与面AC 所成角的余弦值； （2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC 所成的角． 解：（1）设正方体的边长为a ，则在中，. ∴.（2）45°．（3）45°． 七、板书设计（略） 八、课后记：在具体解题时往往找不出夹角，关键是不能求斜线在平面内的射影，通过练习，使学生在不同的视图中能较熟练地找出射影。