一、判断题（每题2分，共10分）
1.设21,T T 是集合X 的两个拓扑，则21T T 不一定是集合X 的拓扑。（ ）
2.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射。（ ）
3.度量空间一定满足第二可数性公理。（ ）
4.完全正则的紧致空间一定是正则空间。（ ）
5.每一个仿紧致的Hausdorff 空间都是正则空间，因而也是正规空间。（ ）
二、单选题（每题3分，共30分）
1.设{}c b a X ,,=，下列集族中，（ ）是X 上的拓扑。
A.{}{}{}{}c b b a X T ,,,,,φ= C.{}{}{}c b b a X T ,,,,,φ=
B.{}{}{}c a a X T ,,,,φ= D.{}{}{}{}c b a X T ,,,,φ=
2.离散空间的任一子集为（ ）。
A.开集
B.闭集
C.既开又闭
D.非开非闭
3.设621X X X X ⨯⨯⨯= 是拓扑空间621,,,X X X 的积空间。3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）。
A.单射
B.连续的单射
C.满的连续闭映射
D.满的连续开映射
4.有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）。
A.不连通子集
B.连通子集
C.开集
D.以上都不对
5.设X 是一个拓扑空间，B A ,是X 的子集，则下列关系中错误的是（ ）。
A.)()()(B d A d B A d = C.B A B A =
B.)()()(B d A d B A d = D.A A =
6.设{}2,1=X ,{}{}2,,φX T =,则),(T X 是（ ）。
A.0T 空间
B.1T 空间
C.2T 空间
D.3T 空间
7.设21,X X 是连通空间，则积空间21X X ⨯是（ ）。
A.离散空间
B.商空间
C.平庸空间
D.连通空间
8.若度量空间X的一个子集A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A，则称A是度量空间X中的一个（）。
A.不连通子集
B.开集
C.连通子集
D.以上都不对
9.每一个度量空间都满足（）。
A.选择公理
B.Tukey引理
C.第一可数性公理
D.第二可数性公理
10.若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个（）。
A.不连通空间
B.连通空间
C.平庸空间
D.以上都不对
三、填空题（每题3分，共15分）
1.设{}b
=，则X的离散拓扑为。
X,
a
2.若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个。
3.Y
:是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑f→
X
是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个。
4.⇔
x对于x的任何一个邻域U有。
∈A
5.Hausdorff空间中的任何一个收敛序列有个极限点。
四、名词解释（每题4分，共16分）
1.正则空间：
2.同胚映射：
3.拓扑：
4.可分空间：
五、证明题（第一题9分，第二题10分，共19分）
1.设X是一个含有不可数个点的可数补空间。证明X不满足第一可数性公理。
2.设X 是一个拓扑空间，X A ⊂,则)())((A d A A d d ⊂
六、简答题（第一题3分，第二题7分，共10分）
1.简要说明欧氏平面2R 中拓扑学家的正弦曲线(]⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈=1,0)1sin ,(x x x S 的连通性，局部连通性，道路连通性。
答：
2.简要说明满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系（可画图说明）。答：
