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拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。
拓扑学是几何学的一个分支,但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。
通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。
拓扑学对于研究对象的长短、大小面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
即不考虑图形的大小形状,仅考虑点和线的个数。
实质上拓扑学(TOPOLOGY)是一种研究与大小、距离无关的几何图形特性的方法。
电路的拓扑结构就是指电路中节点、支路、回路的数量，这些都反映了电路中各部分连接的实质状况。
同一个拓扑结构可以画成几何形状不同的电路图拓扑电路非常适用于DC-DC变换器。
每种拓扑都有其自身的特点和适用场合。
因此，要恰当选择拓扑，熟悉各种不同拓扑的优缺点及适用范围是非常重要的。
DC／DC电源变换器的拓扑类型主要有以下13种：(1)Buck Converter降压式变换器；(2)Boost Conyerter升压式变换器；(3)Buck—Boost Converter降压/升压式变换器，含极性反转(Inverting)式变换器；(4)Cuk Converter升压，升压串联式变换器；(5)SEPIC(Single Endcd Pdimary Inductor Converter)单端一次侧电感式变换器；(6)F1yback Converter反激式(亦称回扫式)变换器；(7)Eorward Converter正激式变换器：(8)Double Switches Forward Converter双开关正激式变换器；(9)Active Clamp Forward Converter有源箝位(0)Half Bridge Converter半桥式变换器；(11)Full Bridge Converter全桥式变换器；(12)Push—pall Convener推挽式变换器：(13)Phase Shift Switching ZVT(Phase Shift Switching Zero Voltage Transition)移相式零电压开关变换器。
《拓扑学》自学材料课程名称：拓扑学；英文名称：Topology ； 课程类型: 必修课先修课程：数学分析 解析几何 高等代数 近世代数 集合论一、课程性质、目的和任务拓扑学是十分重要的基础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，同时在物理学等方面也有许多应用。
本课程的任务是学习拓扑空间、子空间、积空间和拓扑基的概念和基本性质，连续映射的基本概念和性质，连通空间、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的基本内容以及它们之间的关系，有关可数性公理的四个空间以及它们之间的关系，45.33210,,,,,T T T T T T 正则、正规和完全正则空间，通过对本课程的学习，要求如下：1、熟练掌握拓扑空间的概念与性质，连续映射的概念、性质和判别，拓扑空间的子空间与积空间的概念。
2、掌握邻域、开集、导集、闭集、闭包、内部的概念、性质以及它们之间的关系。
3、掌握拓扑空间中基的概念和用基确定拓扑的方法，了解子基的概念。
4、掌握连通空间、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的概念，简单性质以及它们之间的关系，了解连通性的某些简单应用。
5、掌握第一与第二可数性公理，可分空间，Lindeloff 空间的概念和它们之间的关系。
6、掌握45.33210,,,,,T T T T T T 正则、正规和完全正则空间的概念和它们之间的关系，了解Urysohn 引理和Tietze 扩张定理，了解第二可数且是3T 的空间是可度量化空间。
学习点集拓扑学的目的是使读者认识拓扑空间的基本特征和研究方法，从而把欧式空间连续函数的概念拓广到一般的拓扑空间上，使读者更深入的掌握代数与分析的知识。
其后继课程有代数拓扑、几何拓扑等。
本课程的理论和由它创造的数学方法已渗入到每一个重要的数学领域。
二、课程和基本要求1.点集拓扑学是拓扑学的一个分支，上世纪末，由于分析理论的深入发展，以及集合论的出现，使得人们得以用集合论的观点和方法对诸如极限以及连续性等理论加以抽象和推广，从而在本世纪初形成了点集拓扑学。
图论简介图论属于拓扑学topology。
拓扑学分为一般拓扑学和代数拓扑学，前者来源于数学分析，最终研究一般的拓扑空间和一般的拓扑结构，而后者来源于几何，实际上是一种几何学的分支。
我们主要讨论后者，重点是利用图形的几何拓扑性质。
拓扑性质，就是几何图形在弯曲、变形、拉大、缩小下仍然保持的性质，只是这种变形要求原来不再一起的点不能粘在一起，原来一起的点也不能断开，也就是图形变换前后每点附近的点还是在附近。
这种变换和它的逆变换都是连续的一一对应，称为同胚。
一个图形和它同胚的图形称为拓扑等价。
拓扑学就是研究图形的拓扑性质。
也就是图形经过连续变换下，保持不变的性质。
图论以图为研究对象的数学分支。
图论中的图指的是一些点以及连接这些点的线的总体。
通常用点代表事物，用连接两点的线代表事物间的关系。
图论则是研究事物对象在上述表示法中具有的特征与性质的学科。
看一些例子：一、哥尼斯堡七桥问题。
当时的图论问题是盛行的迷宫问题和游戏问题。
最有代表性的工作是著名数学家L.Euler于1736年解决的哥尼斯堡七桥问题(Konigsberg Seven Bridges Problem)。
东普鲁士的哥尼斯堡城(现今是俄罗斯的加里宁格勒，在波罗的海南岸）位于普雷格尔(Pregel)河的两岸，河中有一个岛，于是城市被河的分支和岛分成了四个部分，各部分通过7座桥彼此相通。
如同德国其他城市的居民一样，该城的居民喜欢在星期日绕城散步。
于是产生了这样一个问题：从四部分陆地任一块出发，按什么样的路线能做到每座桥经过一次且仅一次返回出发点。
这就是有名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题看起来不复杂，因此立刻吸引所有人的注意，但是实际上很难解决。
瑞士数学家(Leonhard Euler)在1736年发表的“哥尼斯堡七桥问题”的文章中解决了这个问题。
这篇论文被公认为是图论历史上的第一篇论文，Euler也因此被誉为图论之父。
欧拉把七桥问题抽象成数学问题---一笔画问题，并给出一笔画问题的判别准则，从而判定七桥问题不存在解。
introduction to topology 拓扑学导论概述及解释说明拓扑学是数学的一个重要分支，研究的对象是空间的性质及其间的关系。
它旨在通过最基本且普遍适用的概念和原理来描述和区分不同的空间结构。
在现代数学中，拓扑学已经被广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、工程学等。
1.1 概述本章将介绍拓扑学的基础知识，包括定义和性质。
我们将从点、线和平面这些最基本的几何对象开始讨论，并引入集合与元素的概念以建立起数学语言体系。
1.2 文章结构本文将按照以下结构展开对拓扑学的介绍。
首先，我们将讲解拓扑空间与拓扑结构的定义和基本性质。
然后，我们将探讨连通性与分离性公理以及它们在拓扑学中的重要性。
接下来，我们会详细介绍映射与同胚映射及其相关概念。
最后，在结论部分，我们将总结所掌握的知识，并展望拓扑学在实际应用中的意义。
1.3 目的本文旨在为读者提供对拓扑学基础概念以及其应用和意义有一个初步的了解。
通过阅读本文，读者将能够掌握拓扑学的基本概念和原理，并能够将其应用于其他领域。
同时，我们也希望能够激发读者对于拓扑学深入研究的兴趣，并认识到其在解决实际问题中的重要性。
以上是文章“1. 引言”部分的内容，接下来将逐步展开对拓扑学的介绍。
2. 拓扑学基础概念2.1 点、线和平面在拓扑学中，点、线和平面是最基本的几何概念。
点是没有维度的对象，可以被视为零维空间。
线可以看作由无数个点组成的一维空间，它具有长度但没有宽度或高度。
平面则是由无数个线组成的二维空间，具有长度和宽度但没有高度。
2.2 集合与元素在拓扑学中，集合是由一些特定对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
集合可以包含任意数量的元素，并且在定义上不需要特定的顺序。
例如，我们可以定义一个由整数构成的集合A = {1, 2, 3}，其中1、2、3就是A 的元素。
另一个例子是一个包含所有奇数的集合B = {..., -3, -1, 1, 3, 5, ...}。
拓扑学的英文名是Topology,直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。
拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。
通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。
拓扑学对于研究对象的长短、大小面积、体积等度量性质和数量关系都无关。
即不考虑图形的大小形状，仅考虑点和线的个数。
实质上拓扑学(TOPOLOGY)是一种研究与大小、距离无关的几何图形特性的方法。
电路的拓扑结构就是指电路中节点、支路、回路的数量，这些都反映了电路中各部分连接的实质状况。
同一个拓扑结构可以画成几何形状不同的电路图拓扑电路非常适用于DC-DC变换器。
每种拓扑都有其自身的特点和适用场合。
因此，要恰当选择拓扑，熟悉各种不同拓扑的优缺点及适用范围是非常重要的。
DC/ DC电源变换器的拓扑类型主要有以下13种：(1)Buck Converter降压式变换器；(2)Boost Conyerter升压式变换器；⑶Buck —Boost Converter降压/升压式变换器，含极性反转(Inverting)式变换器；(4)Cuk Converter升压，升压串联式变换器；(5)SEPIC(S in gle En dcd Pdimary In ductor Con verter)单端一次侧电感式变换器；(6)F1yback Converter反激式(亦称回扫式)变换器；(7)Eorward Converter 正激式变换器：(8)Double Switches Forward Converter 双开关正激式变换器；(9)Active Clamp Forward Co nverter 有源箝位(O)Half Bridge Converter 半桥式变换器；(11)Full Bridge Converter 全桥式变换器；(12)Push—pall Convener 推挽式变换器：(13)Phase Shift Switchi ng ZVT(Phase Shift Switchi ng Zero Voltage Tran sitio n)移相式零电压开关变换器。
拓扑学(Topology)一、基本信息适用专业：数学与应用数学专业课程编号：教学时数：72学时学分：4课程性质：专业核心课开课系部：数学与计算机科学院使用教材：梁基华，蒋继光《拓扑学基础》.高等教育出版社参考书[1]（美）亚当斯著，沈以淡等译《拓扑学基础及应用》.机械工业出版社;[2]Munkries "Topology" 2nd ed. Prentice Hall；[3]尤承业《基础拓扑学讲义》. 北京大学出版社.二、课程介绍拓扑学要求掌握一般拓扑学的基本知识，学习处理拓扑学问题的基本方法。
了解拓扑学与其他一些学科的联系，强化抽象思维与逻辑推理能力，提高数学素养,为进一步学习奠定基础三、考试形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，，期末考试百分之八十。
期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。
四、课程教学内容及课时分配第一章集，映射与序结构要求(1) 熟练笛卡儿积和商集的构造。
(2)了解选择公理与等价的引理，并能在证明中正确应用。
(3)掌握映射的基本性质(4)了解偏序集，保序映射，定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念主要内容作为准备，本章介绍有关集合的基本概念，可数集与不可数集的有关结果。
集合的交，并，补，笛卡儿积，商集运算极其性质，刻画。
选择公理和Zorn引理。
映射极其基本性质，偏序集的有关概念和结果，保序映射，序同构。
难点定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念课时安排（8学时）a) 映射及其性质（1学时）b) 序论基础（6学时）c)笛卡儿积与选择公理（1学时）第二章拓扑空间要求本章是拓扑学最基础的内容，要求理解，熟悉本章的各种概念及其相互联系。
熟练应用生成拓扑的各种方法，了解几个具体的拓扑空间。
理解分离性和可数性及其等价刻画。
主要内容拓扑空间的定义，开集，闭集。
生成拓扑的各种方法。
基，邻域，闭包，内部极其刻画。
正规，正则分离性。
数学的所有名词解释数学作为一门精确的科学，有着严谨的定义和丰富的名词术语。
在这篇文章中，我将为您解释和探讨数学中的一些重要名词，希望能够帮助您更好地理解和欣赏数学的美妙之处。
1. 数学（Mathematics）数学是一门探索数量、结构、变化以及空间等概念的学科。
它以逻辑推理和抽象概念为基础，通过符号和公式描述现实世界的规律性。
数学的研究对象包括数的性质、图形和空间关系、量的测量以及随机现象等。
2. 数（Number）数是数学研究的基本概念，用于计量和表示数量。
数可分为自然数、整数、有理数和实数等不同的类型。
自然数是最基本的数，从1开始并依次增加。
整数包括自然数以及它们的相反数和0。
有理数是可用两个整数的比表示的数，可以是有限小数或无限循环小数。
实数则涵盖了所有的有理数和无理数，如开根号2和圆周率π等。
3. 运算（Operation）运算是数学中进行数值计算和加工的方式。
常见的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法是将两个数合并为一个数，减法是从一个数中减去另一个数，乘法是将两个数相乘，除法则是将一个数分为多少份。
运算还可以通过符号和规则来表示，例如加号（+）、减号（-）、乘号（×）和除号（÷）等。
4. 几何（Geometry）几何是研究形状、大小、相对位置以及空间属性的数学分支。
它通过点、线、面、体等基本元素，以及角度、长度、面积和体积等概念来描述和分析图形。
几何还包括平面几何、立体几何以及尺度几何等不同的分支。
5. 代数（Algebra）代数是研究数与符号之间关系的数学分支。
它使用字母和符号来表示数和未知数，并通过方程式和不等式等形式来描述数学关系。
代数涉及各种代数运算，如解方程、因式分解、多项式运算以及函数等。
6. 概率与统计（Probability and Statistics）概率与统计是研究随机现象和数据分析的数学分支。
概率研究的是不确定性事件的可能性，统计则关注从实际数据中推断出总体特征和规律。
Topology
{}4. (a) If is a family of topologies on X, show that is a topology on X.
Is a topology on X?
a a a
燎 攘
13. Show that X is Hausdorff if and only if the diagonal = {x x x
X }is closed in X X.
次
00011. Let F : X Y
Z. W e say that F is contin uous in each variable separately if
for each y in Y , the m ap h : X Z defined by h (x) = F(x
y ) is continuous,
and for each x in X , the m ap k : Y Z defined by 串 ®0 k(y) = F(x y) is continuous. Show that if F is continuous, then F is continuous in each variable separately.
´
2. Show that x in the dictionary order topology is metrizable.
2. (a) Let p : X Y be a continuous m ap. Show that if there is a continuous m ap f : Y X such that p of cquals the identity m ap of Y , then p is a quotient m ap.(b) If A X , a retraction of X onto A i ®®Ìs a continuous m ap r : X A such that r(a) = a for each a A. Show that a retraction is a quotient m ap.
®Î
113. Let :
be projection on the first coordinate. Let A be the subspace
of consisting of all points x
y for w hich either x 0 or y = 0 (or both);
let q : A be obtained by restricting p p 串创 ® . Show that q is a quotient m ap that is neither open nor closed.
2
4. (a) Define an equivalence relation on the plane X = as follows:
*
2
2
Let X be the corresponding quotient space. It is homeomorphic to a familiar space; what is it? [Hint: Set g(x y) = x + y .]
´
(b) Repeat (a) for the equivalence relation
5. Let p : X Y be an open map. Show that if A is open in X , then the map q : A p(A) obtained by restricting p is an open map.
®®
K
K
K
6. R ecall that denotes the real line in the K -topology. (See $13.) Let Y be
the quotient space obtained from by collapsing the set K to a point; let
p : Y be the quotient m ap.
(a) Show that Y sa ®
I K
K
K
K
tisfies the T axiom , but is not H ausdorff.(b) Show that p p : + Y Y is not a quotient m ap. [H int: T he
diagonal is not closed in Y Y , but its inverse im age is closed in .]
创 创
6. Let A X. Show that if C is a connected subspace of X that intersects both A and X - A, then C intersects Bd A.
Ì
1. (a) Show that no tw o of the spaces (0, 1), (0,1], and [0, 1] are homeomorphic.[H int: W hat happens if you remove a poin t from each of these spaces?)]
4. Show that every com pact subspace of a m etric space is bounded in that m etric
and is closed. Find a m etric space in w h ich not every closed bounded subspace is com pact.
5. Let A and B be disjoint com pact subsp aces of the H ausdorff space X. Show that there exist disjoint open sets U and V containing A and B, respectively.
17. Show that if Y is compact, then the p rojection : X Y
X is a closed map.p 串
3. Let X have a countable basis; let A be an uncountable subset of X. Show that uncountably many points of A are limit points of A.
4. Show that every compact metrizable sp ace X has a countable basis. [H int:Let A, be a finite covering of X by l/n-balls.]
5. (a) Show that every m etrizable space w ith a countable dense subset has a coun table basis.(b) Show that every m etrizable Lindelof space has a countable basis.
5. Let f, g : X Y be continuous; assume that Y is Hausdorff. Show that {x |f (x) = g(x)}is closed in X .
®。
