指数函数与对数函数的关系教案

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3.2.3 指数函数与对数函数的关系

【学习要求】
1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系;
2.掌握对数函数与指数函数互为反函数.
【学法指导】
通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互
为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程.
填一填：知识要点、记下疑难点
1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量
作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y＝f(x)的反函数通常用 y＝f－1(x) 表示.
2.对数函数y＝logax与指数函数y＝ax 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y＝x 对称.
3.互为反函数的图象关于直线 y＝x 对称;互为反函数的图象同增同减.
4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y＝ax随着x的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y＝logax增
长的速度 逐渐变得很缓慢.
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 设a为大于0且不为1的常数,对于等式at＝s,若以t为自变量可得指数函数y＝ax,若以s为自变量可得
对数函数y＝logax.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题.
探究点一指数函数与对数函数的关系
导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y＝2x及y＝log2x的图象.
问题1函数y＝2x及y＝log2x的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？
答：函数y＝2x的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y＝log2x的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y＝2x的定义域和值域
分别是函数y＝log2x的值域和定义域.
问题2在列表画函数y＝2x的图象时,当x分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y值分别是什么？

答：y值分别是: 18, 14, 12, 1, 2, 4, 8.

问题3在列表画函数y＝log2x的图象时,当x分别取18,14,12,1,2,4,8时,对应的y值分别是什么？
答：y值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3.
问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？
答：在列表画y＝log2x的图象时,可以把y＝2x的对应值表里的x和y的数值对换,就得到y＝log2x的对应值表.
问题5观察画出的函数y＝2x及y＝log2x的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？
答：函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称.
问题6我们说函数y＝2x与y＝log2x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称,那么对于
一般的指数函数y＝ax与对数函数y＝logax又如何？
答：对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线y＝x对称.
探究点二 互为反函数的概念
问题1对数函数y＝logax与指数函数y＝ax是一一映射吗？为什么？
答：是一一映射,因为对数函数y＝logax与指数函数y＝ax都是单调函数,所以不同的x值总
有不同的y值与之对应,不同的y值也总有不同的x值与之对应.
问题2对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？
答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新
的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示.
问题3 如何求函数y＝5x (x∈R)的反函数？

答：把y作为自变量,x作为y的函数,则x＝y5,y∈R.通常自变量用x表示,函数用y表示,则反函数为y＝x5,x∈R.
例1 写出下列函数的反函数:
(1)y＝lg x; (2)y＝log13x; (3)y＝23x.
解：(1)y＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y＝10x (x∈R).
(2)y＝log13x (x>0)的底数为13,它的反函数为指数函数y＝13x (x∈R).

(3)y＝23x (x∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y＝log23x (x>0).
小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤:
(1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y＝f(x)中解出x; (3)x、y互换并注明反函数的定义域.

跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y＝3x－1; (2)y＝x3＋1 (x∈R); (3)y＝x＋1 (x≥0); (4)y＝2x＋3x－1 (x∈R,x≠1).
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解：(1)由y＝3x－1,得x＝13(y＋1), 即所求反函数为y＝13(x＋1);

(2)函数y＝x3＋1的值域为R, x3＝y－1,x＝3y－1, 所以反函数为y＝3x－1 (x∈R);
(3)函数y＝x＋1 (x≥0)的值域为y≥1, 由x＝y－1,得x＝(y－1)2, 所以反函数为y＝(x－1)2 (x≥1).

(4)因y＝2x＋3x－1＝2x－2＋5x－1＝2＋5x－1, 所以y≠2,由5x－1＝y－2, 得x＝1＋5y－2＝y＋3y－2, 所以反函数为y＝x＋3x－2 (x≠2).
例2 已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1,3),其反函数y＝f－1(x)的图象过(2,0)点,则f(x)的表达式为_______
f(x)＝2x＋1_________.
解析： ∵y＝f－1(x)的图象过点(2,0), ∴y＝f(x)的图象过点(0,2). ∴2＝a0－k,∴k＝－1.∴f(x)＝ax＋1.
又∵y＝f(x)的图象过点(1,3),∴3＝a1＋1, ∴a＝2.∴f(x)＝2x＋1.
小结：由互为反函数的图象关于直线y＝x对称可知:若点(a,b)在y＝f(x)的图象上,则点(b,a)必在y＝f－1(x)的图象上.
跟踪训练2函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4),求a的值.
解:根据反函数的概念,知函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象经过点(4,1),∴1＝loga3,∴a＝3.
探究点三 指数函数与对数函数的增长差异
问题1观察函数y＝2x与y＝log2x的图象,指出两个函数的增长有怎样的差异？
答:根据图象,可以看到,在区间[1,＋∞)内,指数函数y＝2x随着x的增长,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y＝
log2x的增长的速度逐渐变得很缓慢.
问题2你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？
答
y＝ax (a>1) y＝logax (a>1)

图象
定义域 R (0,＋∞)
值域 (0,＋∞) R

性质
当x>0时,y>1; 当x<0时,01时,y>0;
当0当x＝1时,y＝0;
在(0,＋∞)上是增函数.

练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.函数y＝21－x＋3 (x∈R)的反函数的解析表达式为 ( )

A.y＝log22x－3 B.y＝log2x－32 C.y＝log23－x2 D.y＝log223－x

解析:∵y＝21－x＋3(x∈R),∴21－x＝y－3, ∴1－x＝log2(y－3),即x＝1－log2(y－3)＝log22y－3. ∴y＝log22x－3.故选A.
2.设函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x),若g1a－1＝14,则a等于 ( )
A.－2 B.－12 C.12 D.2
解析:因函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x),所以g(x)＝2x, 由g1a－1＝14, 得21a－1＝2－2, 即1a－1＝－2,所以a＝12.
3.设a>0,a≠1,函数f(x)＝ax,g(x)＝bx的反函数分别是f－1(x)和g－1(x).若lg a＋lg b＝0,则f－1(x)和g－1(x)的图象 ( A )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于y＝x对称

解析:由lg a＋lg b＝0,得a＝1b,所以函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象关于y轴对称,它们的反函数的图象关于x轴对称.
课堂小结：
1.对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线y＝x对称.
2.求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成:
(1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域;
(2)从y＝f(x)中解出x;
(3)x、y互换并注明反函数定义域.
3.反函数的定义域是原函数的值域,并不一定是使反函数有意义的所有x的集合.