圆中的最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学中常常作为压轴题出现，其中“阿氏圆”(又称“阿波罗尼斯圆”)是一个重要的考点。
这类题目主要考察学生的转化与化归等数学思想，并且在各类考试中通常都被视为高档题。
为了帮助学生更好地理解和掌握这一知识点，本专题将对最值模型中的阿氏圆问题进行系统的梳理，并提供对应的试题分析，以便学生能够熟练掌握并灵活应用。
目录例题讲模型 1模型1.阿氏圆模型 1习题练模型 12例题讲模型模型1.阿氏圆模型动点到两定点距离之比为定值(即：平面上两点A、B，动点P满足P A/PB=k(k为常数，且k≠1))，那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB(即OPOB=k)，连接P A、PB，则当“P A+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r(即OCOP=k)，∵OPOB=k，∴OPOB=OCOP，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴PCPB=k，即k·PB=PC。
故本题求“P A+k·PB”的最小值可以转化为“P A+PC”的最小值。
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“P A+PC”值最小，如图3所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点(系数小于1)；点在圆内：向外取点(系数大于1)；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．1.(2024·浙江·校考一模)如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD=1，BC=3，点P是⊙O上的一动点，则22PD+PC的最小值为．【答案】34 2【分析】连接OD，先利用勾股定理求得OD=2，∠AOD=45°，在OD上截取OI=22，过I作IH⊥AB于H，IG⊥BC于G，求得BG=IH=12，IG=BH=32，CG=52，进而求得CI=342，证明△POI∽△DOP求得PI=22PD，利用两点之间线段最短得到22PD+PC=PI+PC≥IC，当C、P、I共线时取等号，即可求解．【详解】解：连接OD，∵AB为⊙O的直径，AB=2，∴OA=OB=1，∵在Rt△AOD中，OA=AD=1，∴OD=AD2+OA2=2，∠AOD=45°，在OD上截取OI=22，过I作IH⊥AB于H，IG⊥BC于G，连接IP、IC，∴四边形IHBG是矩形，IH=OH=22OI=12，∴BG=IH=12，IG=BH=OH+OB=32，∴CG=BC-BG=3-12=52，在Rt△CIG中，CI=IG2+CG2=32 2+52 2=342，∵OI OP =OPOD=22，∠POD是公共角，∴△POI∽△DOP，∴PIPD=OPOD=22，则PI=22PD，∴22PD+PC=PI+PC≥IC，当C、P、I共线时取等号，故22PD+PC的最小值为CI=342，故答案为：342．2.(2024·湖北·九年级专题练习)如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD-12PC的最大值为．【答案】5【详解】分析:由PD-12PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大，最大值为DG=5．详解:在BC上取一点G，使得BG=1，如图，∵PBBG=21=2，BCPB=42=2，∴PBBG=BCPB，∵∠PBG=∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴PGPC =BGPB=12，∴PG=12PC，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大，最大值为DG=42+32=5．故答案为5点睛:本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中3.(2023·北京·九年级专题练习)如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2P A +PB的最小值为．【答案】25【分析】2P A+PB=2P A+22PB，利用相似三角形构造22PB即可解答．【详解】解：设⊙O 半径为r ，OP =r =12BC =2，OB =2r =22，取OB 的中点I ，连接PI ，∴OI =IB =2，∵OP OI =22=2，OB OP =222=2，∴OP OI =OB OP ，∠O 是公共角，∴△BOP ∽△POI ，∴PI PB =OI OP=22，∴PI =22PB ，∴AP +22PB =AP +PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP +22PB 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO =45°，∴IE =BE =22BI =1，∴AE =AB -BE =3，∴AI =32+12=10，∴AP +22PB 最小值=AI =10，∵2P A +PB =2P A +22PB ，∴2P A +PB 的最小值是2AI =2×10=25．故答案是25．【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．4.(2023·江苏泰州·模拟预测)如图，⊙O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，⊙O 半径为6，点A (0，3)，点B (5，0)，点C (0，12)，将线段OC 绕点O 顺时针旋转α(0°≤α≤90°)，得线段OC '，OC '与弧MN 交于点P ，连P A ，PB ．则2P A +PB 的最小值为．【答案】13【分析】连接PC ，易证△OP A ∼△OCP ，相似比为12，即可得到2P A =PC ，可知当C 、P 、B 三点在同一条直线上的时候，2P A +PB 取得最小值，利用勾股定理即可求解．【详解】解：连接PC ，∵OA =3，OP =6，OC =12，在△OP A和△OCP中，∠POA=∠COP OAOP=OPOC=12，∴△OP A∼△OCP，相似比为12，故2P A=PC，∴当C、P、B三点在同一条直线上的时候，2P A+PB取得最小值，在Rt△OCB中，2P A+PB=CB=OC2+OB2=122+52=13．故2P A+PB的最小值为13．【点睛】本题考查相似三角形中与圆结合中的动点问题，难度一般，正确作出辅助线，利用相似性，是顺利解题的关键．5.(2024·山东·模拟预测)如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B为圆心3为半径的圆上，则AP+6PD的最小值为．【解答】解：在AB上取点E，使BE=32，∵AB=2BC=6，∴BPAB=BEBP=12，∵∠PBE=∠ABP，∴ΔPBE∽ΔABP，∴PEP A =BPAB=12，∴PE=12P A，在BD延长线上取BF=9，∵BD=1，则BFPB=BPBD=3，又∵∠PBD=∠FBP，∴ΔPBD∽ΔFBP，∴PFPD=PBBD=3，∴PF=3PD，∴P A +6PD =212P A +3PD=2(PE +PF )，∴当P 为EF 和圆的交点时PE +PF 最小，即P A +6PD 最小，且值为2EF ，∵EF =BE 2+BF 2=32 2+92=3372，∴P A +6PD 的最小值为2EF =337，故答案为：337．6.(2023·陕西咸阳·三模)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是OD 、OC 上的两个动点，且EF =4，P 是EF 的中点，连接OP 、PC 、PD ，若AC =12,BD =16，则PC +14PD 的最小值为．【答案】1452/12145【分析】在OD 上取一点G ，使得OG =12,连接PG 、CG ．根据菱形的性质可知OC =6,OD =8，则OG OP =OP OD =14，结合∠GOP =∠POD ，可得△POG ∽△DOP ，利用相似三角形的性质证得PG =14PD ,根据PC +PG ≥CG 可知CG 的长即为PC +14PD 的最小值，利用勾股定理求出CG 便可解决问题．【详解】解：如图，在OD 上取一点G ，使得OG =12，连接PG 、CG ．∵四边形ABCD 为菱形，AC =12,BD =16，∴OC =12AC =6，OD =12BD =8，AC ⊥BD ，∵EF =4，P 是EF 的中点，∴OP =12EF =2，∴OG OP =122=14，OP OD =28=14，又∵∠GOP =∠POD ，∴△POG ∽△DOP ，∴GP PD =14，即GP =14PD ，∵PC +PG ≥CG ，∴当点G 、P 、C 在同一直线上时，PC +14PD 取得最小值，此时PC +14PD =PC +PG =CG =OC 2+OG 2=1452，故答案为：1452．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握“胡不归”问题模型，正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理求解．7.(2024·广东·九年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且∠APB=135°，则4PD+2PC的最小值为．【答案】20【分析】取一点T(1,0)，连接OP，PT，TD，首先利用四点共圆证明OP=2，再利用相似三角形的性质证明PT=12PC，推出4PD+2PC=4PD+12PC=4(PD+PT)，根据PD+PT≥DT，过点D作DE⊥OC交OC于点E，即可求出DT的最小值，即可得．【详解】解：如图所示，取一点T(1,0)，连接OP，PT，TD，∵A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，∴OA=OB=2，OC=4，以O为圆心，OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，∵∠Q=12∠AOB=45°，∠APB=135°，∴∠Q+∠APB=45°+135°=180°，∴A，P，B，Q四点共圆，∴OP=OA=2，∵OP=2，OT=1，OC=4，∴OP2=OC∙OT，∴OPOC =OT OP，∵∠POT=∠POC，∴△POT∽△COP，∴PTPC =OPOC=12，∴PT=12PC，∴4PD+2PC=4PD+12PC=4(PD+PT)，过点D作DE⊥OC交OC于点E，∵D的坐标为(5，3)，∴点E的坐标为(5，0)，TE=4，∴DT=32+42=5∵PD+PT≥DT，∴4PD+2PC≥20，∴4PD+2PC的最小值是20，故答案为：20．【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．8.(2024·湖北·九年级专题练习)(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+12PC的最小值，2PD+4PC的最小值，PD-12PC的最大值．(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求PD+23PC的最小值，PD-23PC的最大值，PC+23PD的最小值．(3)如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+1 2PC的最小值和PD-12PC的最大值．PC+36PD的最小值【答案】见详解【分析】(1)如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出PGPC=BGPB=12，推出PG=12PC，推出PD+12PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+12PC的值最小，最小值为DG=42+32=5．由PD-12PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大(如图2中)，最大值为DG=5；可以把2PD+4PC转化为424PD+PC，这样只需求出2PD+4PC的最小值，问题即可解决。
专题10圆的最值模型之瓜豆模型一、模型说明问题1.如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点．当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？解析：Q 点轨迹是一个圆理由：Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP ，1=2QM AQ PO AP ．问题2.如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？解析：Q 点轨迹是一个圆理由：∵AP ⊥AQ ，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；又∵AP ：AQ =2：1，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足AO ：AM =2：1．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ∽△AQM ，且相似比为2．模型总结：条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM ，也等于两圆半径之比．二、例题精讲【答案】231+/123+【分析】作COE ，使得CEO ∠COP CED ∽△△，推出OP CP ED CD=90CDP ∠=︒ ，60DCP ∠=︒，CP ∴∴2CO CP CE CD ==，COP CED ∴ ∽，即112ED OP ==（定长），点E 是定点，DE 是定长，【答案】273-【分析】如图所示，延长PB 以AO为斜边在AC下方作【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点为3的圆上运动．例3．如图，Rt ABC △中，AB AC ==绕点A 任意旋转的过程中，P 到直线【答案】3632+/323+【分析】数形结合，根据动点的运动情况判断点【详解】解：如图旋转，连接以BC 为直径作O ，以AE 为半径作过点B 作A 的切线交O 于点M ，在ABD △和ACE △中AB AC AD AE BAD CAE =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD ACE∴ ≌PBC PBA ACB PBC ∴∠+∠+∠=∠+BD CE∴⊥【答案】131+/113+【分析】连接AO，BO，取点D在以E为圆心，以2为半径的圆上运动，连接在以点G为圆心，以1为半径的圆上运动，的长度，取线段OE的中点F【详解】如图所示，连接AO∵D是AB的中点，E是AO的中点，∴DE是ABO的中位线，∴122DE OB==，∴点D在以E为圆心，以2为半径的圆上运动，连接CE，取CE的中点G，连接GM，∵M为CD的中点，G是CE的中点，∵O 的半径为4∴4OA OB ==∵42AC =∵22224432OA OB +=+=，(24AC =∴222O O C A B A +=∴=90AOC ∠︒∵点F 是OE 的中点，点G 是CE 的中点，三、课后训练A ．434+【答案】A 【分析】以BC 为边向上作等边三角形点D 的运动轨迹是以点∵60DCA MCB ∠=∠=∴DCA ACM ∠-∠=∠在DCM △和ACB △中，DC AC DCM ACB MC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，【答案】3∴BD＝2，∴11 BD=．【答案】2【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC 上运动，连接MA交 BC于E′，此时AE 【详解】解：如图，连接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC=∠ACB=60°，∴∠CEP=∠CAP=60°，∴∠BEC=120°，∴M 中优弧 BC度数为2BEC ∠=240°，则劣弧∴△BMC 是等腰三角形，∠BMC =120°，∵∠BCM =30°，BC =83，MB MC=221342BN BM MN MN BC ∴=-====∴MB =MC =8，∴连接MA 交 BC于E ′，此时AE ′的值最小．∵∠ACB =60°，∠BCO =30°，∴∠ACM =90°，∴MA =22MC AC +=228610+=，∴AE 的最小值为=1082-=．故答案为：2【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．4．如图，已知O 的半径为2，弦23AB =4【答案】51+【分析】连接OM，根据垂径定理，得到 的半径为1，当点C、E【详解】连接OM，的直径，M为∵AB是O故CM CN CE EN==+【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，圆的性质是解题的关键．6．如图AB是半圆O的直径，点⊥于点H，连接D作DH AC【答案】221-【分析】如图，取AD的中点在以M为圆心，AD为直径的⊥DH ACAHD︒90∴∠=【答案】2262-【分析】连接CE，取再根据圆周角定理得出据此即可获得答案．【详解】解：连接CE∵4BC =，∴2CF =∵90ACB ∠=︒，AC ∵CD 是O 直径，∴在点D 的运动过程中，∴当点A E F 、、共线时，故答案为：2262-(1)在旋转过程中，当A ′落在线段BC 上时，求A ′B 的长；(2)连接A ′A 、A ′B ，当∠BA ′B '＝90°时，求tan ∠A ′AD ；(3)在旋转过程中，若△DAA ′的重心为G ，则CG 的最小值＝．【答案】(1)47-；(2)tan ∠A ′AD ＝3或13；(3)9743-【分析】（1）由四边形ABCD 矩形，AB ＝3，AD ＝4得CD ＝AB ＝3，BC ＝AD ＝4，∠（1）当E在AB的中垂线上时，把射线EA绕点E顺时针旋转90︒后交CD于求EF的长．（2）在（1）的条件下，连接BF，把BEF△绕点B顺时针旋转得到 BHK 的中点，连接AN，求AN的最大值．【答案】（1）8EF=（2）83AE BE=，在Rt DAEV中，利用勾股定理求出∵四边形ABCD 是菱形,且BAD ∠=∴4,60AD AB ABC ADC ==∠=∠=∵BD 为菱形对角线∴30ABE ADE FDE ∠=∠=∠= ,又∵E 在AB 的中垂线上此时：在AMN 在，AM MN AN +≥,当A 、则：在Rt AMC 中，122CM AC ==∵222AM AC CM =-，∴212AM =，∴AM 又∵M 点是BC 的中点，N 是CH 的中点∴1123223MN BH BE ===，∴23AN =+180'∴∠=︒-∠P AC BAC '。
