高中数学人教A版必修四课时训练：2.5 平面向量应用举例 2.5.1 Word版含答案

2.5 平面向量应用举例知识梳理一、向量在平面几何中的应用平面几何中的共线、共点、平行、线段间的关系、直线的夹角等问题，都可以考虑重新用向量的知识来试着解决它们.对于平面几何中的共线（平行）问题，往往可以转化为考虑与其相关的一对向量的平行问题.对于平面几何中的直线共点问题，常常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点，然后再通过借助于向量的知识来说明其他直线也过这点.对于平面几何中的线段间的关系问题，又往往可以考虑相关向量的模长问题等来帮助解决.对于求直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与直线l 2:A 2x+B 2y+C 2=0的夹角，则只要求与这两条直线平行的两个向量的夹角，再取这两个向量的夹角或其补角，即与直线l 1、l 2分别平行的向量m =(-B 1,A 1)，n =(-B 2,A 2)，设向量m 、n 的夹角为θ，则cosθ=212121212121||||B A B A B B A A n m n m +∙++=∙,当cosθ＜0时，直线l 1、l 2的夹角等于π-θ；当cosθ≥0时，直线l 1、l 2的夹角等于θ.二、向量在物理中的应用力向量：力向量不同于自由向量，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点.大小相同方向相同的两个自由向量互为相等向量，但大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的.但是力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.速度向量：向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量都是这种量，除了上面所研究的力外，速度也是既有大小又有方向的量.一质点在运动中每一个时刻都有一个速度向量. 知识导学要学好本节内容，可结合实例掌握处理几何问题的代数方法，结合不用向量方法如何证明“思考”,对不同解题方法进行比较,从中体会向量方法的优越性所在.用向量方法解答物理问题的模式策略：(1)建模,把物理问题转化为数学问题；(2)解模,解答得到的数学问题；(3)回答,利用解得的数学答案解释物理现象.疑难突破1.如何用向量方法“三步曲”解决“证明平行四边形的对角线互相平分”这个平面几何问题. 剖析：第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.作平行四边形ABCD,M 是对角线AC 、BD 的交点.设AB =a ,AD =b . 第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系.由向量加法法则AM +MB =a +AM +MD =b .故2AM +MB +MD =a +b .另外, AM +MC =a +b .两式相减得AM -MC +MB +MD =0. 因为-与共线, +与共线.由向量共线的等价条件,存在实数λ、μ,使AM-MC=λAC,MB+MD=μBD.∴λ+μ=0.而与不共线,∴λ=μ=0,即-=+=0.∴=,=.第三步,把运算结果“翻译”成几何关系.∴M既是AC的中点,又是BD的中点,即AC和BD互相平分.2.向量问题和物理问题有哪些相关知识？剖析：（1）力、速度、加速度、位移都是向量；（2）力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；（3）动量mv是数乘向量；（4）功的定义即是力F与位移s的数量积.3.用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题.其基本思路和方法为何？剖析：(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出解释.。

教材习题点拨习题2.5A 组1．解：设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则RA →＝(1－x 1，－y 1)，AP →＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得(1－x 1，－y 1)＝2(x －1，y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x ＋3，y 1＝－2y . 代入直线l 的方程y ＝2x －6，得点P 的轨迹方程为y ＝2x .2．解：(1)证明：在△ABC 中，AE →＝12a ＋12b . 易知AO →＝13a ＋13b ，∴AE →＝32AO →. ∴AE →与AO →共线．又∵AE →与AO →有共同起点，∴A ，O ，E 三点在同一直线上．由AO →＝13a ＋13b ，OE →＝13AE → ＝13×12(a ＋b )＝16a ＋16b ， ∴AO →＝2OE →.∴AO OE＝2. 同理可证，BO OF ＝CO OD＝2， 即AO OE ＝BO OF ＝CO OD＝2. (2)AO →＝13a ＋13b . 3．解：(1)s ＝AB →＝(－2，7)；(2)135. 4．解：(1)F 3的大小为3＋1；(2)F 3与F 1的夹角为150°.B 组1．解：铅球上升的最大高度为|v 0|2sin 2θ2g，最大投掷距离为2|v 0|2sin θcos θg. 2．解：船行驶到对岸所需的时间是由船行驶的实际距离与合速度决定的，也是由河的宽度d 与船的速度v 1在垂直对岸方向上的分速度决定的．(1)当船逆流行驶，与水流成钝角α1时，如图(1)，船到对岸所需时间t 1＝500|v 1sin α1|＝50sin α1.(2)当船顺流行驶，与水流成锐角α2时，如图(2)，船到对岸所需时间t 2＝500|v 1sin α2|＝50sin α2.(3)当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，如图(3)，船到对岸所需时间t 3＝500|v 1sin α3|＝50010×1＝50. 当α1与α2分别为锐角和钝角时，t 1＝50sin α1>50，t 2＝50sin α2>50. 综上所述，当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短．3．解：(1)设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y －2)，AB →＝(2，－22)．将AB →绕点A 沿顺时针方向旋转π4到AP →，相当于沿逆时针方向旋转7π4到AP →， 于是AP →＝⎝⎛⎭⎫2cos 7π4＋22sin 7π4，2sin 7π4－22cos 7π4 ＝(－1，－3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－1，y －2＝－3. 解得x ＝0，y ＝－1，即点P 的坐标为(0，－1)．(2)设曲线C 上任一点P 的坐标为(x ，y )，OP →绕O 逆时针旋转π4后，点P 的坐标为(x ′，y ′)， 则⎩⎨⎧x ′＝x cos π4－y sin π4，y ′＝x sin π4＋y cos π4，即⎩⎨⎧x ′＝22（x －y ），y ′＝22（x ＋y ）.又因为x ′2－y ′2＝3，所以12(x －y )2－12(x ＋y )2＝3. 化简得y ＝－32x.。

A．假设 ，那么 为锐角三角形B．假设 ，那么 为直角三角形C．假设 ，那么 为等腰三角形D．假设 ，那么 为直角三角形5．一船从河的一岸驶向另一岸，船速为 ，水速为 ，船可以垂直到达对岸，那么〔〕
A． B． C． D．
6．关于一船从河的一岸驶向另一岸所用的时间是，以下(yǐxià)说法正确的选项是〔 〕
2.5平面(píngmiàn)向量应用举例
1． ， ，且 ， , , 四点按顺时针方向排列构成平行四边形，那么必有〔〕
A． B． C． D．
2． ， ，那么以下 值中能使 成为直角三角形是〔〕
A． B． C． D．
3．锐角 中， ， ， 的面积为 ，那么 的值是〔〕
A． B． C． D．
４．在 中，假设 ， ， ，那么以下推导中不正确的选项是()
8． ， ， ，那么 的余弦值为
9．设 表示“向东走10km〞， 表示“向南走10km〞，那么 表示
10． 轴上的点 到两点 和 的间隔相等，那么向量 的坐标为
13．作用在点 的三个力 ， ， ，求合力 的坐标。
内容总结
（1）④假设，．当船速 的方向与河岸的方向垂直时所用的时间是最少
C．沿任何直线运动到达对岸所用的时间是都一样
D．当船速大小 等于水速大小 时所用的时间是最少
7．在 中，给出以下结论：① ；② ；③假设 ,那么 为等腰三角形；④假设 ，那么 为锐角三角形。其正确的选项是〔〕
A．①②B．①④C．②③D．②③④

2.5 平面向量应用举例班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习·练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为A. B.5N C.10N D.2．一个人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.3．(2012·安徽省合肥一中质检)过△ABC内部一点M任作一条直线EF,AD⊥EF于D,BE ⊥EF于E,CF⊥EF于F,都有++=0,则点M是△ABC的()A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点4．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重力为10N，则每根绳子的拉力大小是____.5．如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.6．在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,且||=||=1,+=+=0,cos∠DAB=.求|+|与|+|的值.7．某人骑车以速度a向正东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.8．(2012·湖南省衡阳一中模考)如图,在△ABC中,·=0, ||=8,||=6,l为线段BC 的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求·的值;(2)判断·的值是否为一个常数,并说明理由.能力提升1．根据指令(r,θ)(r≥0,−180°<θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(按逆时针方向旋转θ为正，按顺时针方向旋转θ为负)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4).(2)机器人在完成(1)中指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令取.2．如图，已知扇形OAB的周长2+，面积为，并且.(1)求的大小；(2)如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中、，求的最大值与最小值的和；(3)若点C、D在以O为圆心的圆上，且.问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.2.5 平面向量应用举例详细答案【基础过关】1．A2．C3．B【解析】本题主要考查向量的几何意义.根据特殊位置法,可以判断,当直线EF经过C点时,++=0即为+=0,于是||=||,EF即为AB边上的中线,同理,当EF经过A点时,EF是BC边上的中线,因此,点M是△ABC的三条中线的交点,故选B.4．10N5．设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知可得a2-b2=c2-d2,所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,所以e·(c-d)=0.因为=+=d-c,所以·=e·(d-c)=0,所以⊥,即AD⊥BC.6．如图,在四边形ABCD中,∵+=+=0,∴=,=.∴四边形ABCD为平行四边形.又||=||=1,∴四边形ABCD为菱形.∵cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=,∴△ABD为正三角形.∴|+|=|+|=||=2||=.|+|=||=||=1.【解析】本题主要利用向量的几何意义,求解平面几何和三角形的问题.解决此类问题,首先要注意向量与几何的内在联系,并利用向量的线性运算、相等向量、共线向量等概念求解.7．设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a时感到的风速为v-2a.桑水如图所示,设 =-a, =-2a, =v,∵ + = ,∴ =v-a,这就是速度为a 时感到的由正北方向吹来的风速, ∵ + = ,∴=v-2a,这就是速度为2a 时感到的由东北方向吹来的风速, 由题意知∠PBO=45°, PA ⊥BO,BA=AO, ∴△POB 为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,| | =|| = |a|,即|v|= |a|. ∴实际风速的大小是 |a|,为西北风.8．(1)以点D 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,l 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A( ,),此时 =(- ,-), =(-10,0), 所以 ·=-×(-10)+(-)×0=14. (2)设点E 的坐标为(0,y)(y≠0),此时=(-,y-), 所以 · =-×(-10)+(y-)×0=14为常数,故 ·的值是一个常数. 【解析】本题考查向量在几何中的应用,采用了向量的坐标表示.解题的关键是建立适当的直角坐标系,写出相应点的坐标,代入数量积公式.求平面向量数量积的步骤:首先求a 与b 的夹角θ,θ∈[0°,180°],再分别求|a|,|b|,然后再求数量积,即a·b=|a||b|cos θ.若知道向量的坐标a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a·b=x 1x 2+y 1y 2. 【能力提升】1．解：(1)如图，设点()4,4A ，所以42OA =，因为OA 与x 轴正方向的夹角为45，所以42,45r θ==，故指令为()42,45(2)设()17,0B ，机器人最快在点(),0P x 处截住小球， 由题意2PB AP =，得()()22172404x x -=-+-，整理得2321610x x +-=， 即()()73230x x -+=，所以7x =或233x =-(舍)， 即机器人最快可在点()7,0P 处截住小球.设OA 与AP 的夹角为θ，因为()()5,4,4,3,4AP OA AP ===-.桑水2cos cos818710OA AP OA APθ⋅==-=-⋅，所以18081.8798.13θ=-=又5AP =，OA 旋转到AP 是顺时针旋转，所以指令为()5,98.13-. 2．(1)设扇形半径为 ，圆心角由得或又当,时，不成立； 当 ,时，成立， 所以(2)如图所示，建立直角坐标系，则A (1，0)，B，C .由得，. 即. 则又，则，故.(3)由题可知，当且即时【解析】本试题主要考查三角函数与平面向量的综合运用.建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，运用向量的数量积的坐标来求解运算.。