汕头市澄海区-度第一学期高三期末考试数学试题(理科)

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （ ） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（ ）个单位 A ．向左平移6π B ．向左平移6π C. 向左平移6π D ．向左平移6π5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（ ）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （ ）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >>11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（ ） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=-12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（ ） A ．443 B ．449C. 43637+ D ．433237+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为 ． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x-=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ，∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T22121221221222--=---=++n n . 18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥.设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b DE b BE PC -==-=，从而0,0=⋅=⋅，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b AB AP -==，设),,(z y x m =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b =，设),,(r q p =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=n ，)2,2,2(--=DP ，21||||,cos =>=<DP n ，所以 60,>=<，因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件（i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=， 依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y tx x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x-=，∴x e x f x2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ， 由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ， 所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ， 所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x sin cos 1（t为参数，π≤≤t 0）.（2）设)sin ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(. 23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。

广东省汕头市澄海湾头中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B． 0 C． 1 D． 2参考答案：A【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．【点评】：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．2. 如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，则函数g（x）=2cos（φx+ω）图象的对称轴为（）A．x=12k﹣8（k∈Z）B．x=6k﹣2（k∈Z）C．x=6k﹣4（k∈Z）D．x=12k﹣2（k∈Z）参考答案：B【考点】正弦函数的对称性．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊法的坐标作图求出φ的值，可得g （x）的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，求得函数g（x）=2cos（φx+ω）图象的对称轴．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得A=2，且2sinφ=1，∴sinφ=，∴φ=．再根据AB2=25=42+，∴ω=，∴f（x）=2sin（x+），故函数g（x）=2cos（φx+ω）=2cos（x+）．令x+=kπ，k∈Z，求得x=6k﹣2，故选：B．3. 已知函数的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g(x)=f(x)-f(x-a)都是其定义域上的减函数，则函数的图象可能是（）参考答案：B略4. 函数的图象大致是参考答案：A略5. 如图是一个算法的程序框图，从集合中随机取一个数z输入，则输出的y值落在区间(-5，3)内的概率为A B．C．D．参考答案：B略6. 在圆锥PO中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为4π；②椭圆的长轴为；③双曲线两渐近线的夹角正切值为④抛物线中焦点到准线的距离为.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个参考答案：B【分析】根据点是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭圆长轴可判断②；建立坐标系，求出的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方程，可判断④.【详解】①点是母线的中点，截面的半径，因此面积，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为，故②正确；③在与底面、平面的垂直且过点的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为，则，即，把点代入可得，解得，设双曲线两渐近线的夹角为，，，因比双曲线两渐近线的夹角为，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为,把点代入可得，解得，抛物线中焦点到准线的距离为，④不正确，故选B .【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.7. 在中，角所对的边分别为，若的三边成等比数列，则的值为（）A． B． C． D．不能确定参考答案：B8. 右边程序运行后，打印输出的结果是（）A．和 B．1和C．和 D．1和参考答案：C9. 若、表示两条直线，表示平面，下列命题中的真命题为（）（A）若，，则（B）若，，则（C）若，，则（D）若，，则参考答案：C【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线、平面的平行和垂直关系.【正确选项】C【试题分析】选项A中，由，则b可能在平面内，故该命题为假命题；选项B中，由，则b或，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由可得到a,b相交或平行，故该命题是假命题，故答案为C. 10. 在中，角的对边分别为，若则（）A. B.C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______________________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)参考答案：1260.12. 已知定义域为I的函数f（x），若存在开区间（a，b）?I和正的常数c，使得任意x∈（a，b）都有﹣c＜f（x）＜c，且对任意x?（a，b）都有|f（x）|=c恒成立，则称f（x）为区间I上的“Z型”函数，给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=；③f（x）=|sinx|；④f（x）=x+cosx，其中是区间I上的“Z 型”函数的是（只需写出序号即可）参考答案：①【考点】函数的值．【分析】①根据题中的定义，逐步判断即可；②④在x取无穷大时，函数值也为无穷大，③根据函数的图象显然可判断．【解答】解：①当x∈（1，3）时，f（x）=4﹣2x，则﹣2＜f（x）＜2；当x∈[3，+∞）时，f（x）=﹣2，当x∈（﹣∞，1]时，f（x）=2，∴|f（x）|=2；即满足对任意的x∈（1，3）都有﹣C＜f（x）＜C，且对任意的x?（1，3）都有|f（x）|=C恒成立，即①为R上的“Z型”函数，故正确；②④在x取无穷大时，函数值也为无穷大，故不存在对任意的x?（a，b）都有|f（x）|=C恒成立，故不是“Z型”函数，错误；③根据函数的图象知函数为周期函数，虽然有最值，但不符合题中的条件，不满足对任意的x∈（a ，b ）都有﹣C ＜f （x ）＜C ，且对任意的x ?（a ，b ）都有|f （x ）|=C 恒成立， 故错误． 故答案为：①．【点评】考查了对新定义函数的理解，紧扣定义，利用定义判断是否符合定义是关键． 13. 已知随机变量X 服从正态分布且，则_____________参考答案：0.7614. 为了测得一铁塔AB 的高度，某人在塔底B 的正东方向C 处测得塔顶A 的仰角为45°，再由C 点沿北偏东30°方向走了20米后到达D 点，又测得塔顶A 的仰角为30°，则铁塔AB 的高度为 米．参考答案：考点：解斜三角形 在中，CD=20，,在中，故答案为：15. 抛物线的准线方程是.参考答案：【知识点】抛物线因为得所以，准线方程为故答案为：16. 在中，角所对的边分别是，，且，则面积的最大值为____________．参考答案：考点：1、正弦定理；2、基本不等式；3、余弦定理．【思路点睛】利用二倍角公式，将已知的的值代入即可求出值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，再利用余弦定理分别表示出和，代入到已知的等式中，化简后即可求出的值，然后利用余弦定理，把及的值代入后，利用基本不等式即可求出的最大值，利用三角形的面积公式表示出的面积，把的最大值及的值代入即可求出面积的最大值．此题考查了二倍角的余弦函数公式，基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式．熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于中档题． 17. 已知角的终边过点P(-12，5),则.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

广东省汕头市澄海区2007－2008学年度第一学期高三期末考试数学试卷(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1. 答第I 卷前，务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3. 考试过程不得使用计算器．第一部分（选择题，共50分）一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合1C. ∩D.A ∪ 2 原命题：“设2”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共）个.3. 4. 66C.2sin(4)23y x π=++ D. 2sin(2)23y x π=++ 5. 直线y x b =+平分圆228280x y x y +-++=的周长，则b =（ ）A ．3B ．5C ．－3D ．－5左视图6. 已知||a =10，||b =12，且（3a ）²（51b ）=－36，则a 与b 的夹角是（ ） A. 150°B. 135°C. 120°D. 60°7. 已知a, b ∈R, m=13661++a a , n=31b 2-b+65，则下列结论正确的是（ ）。

A . m≤n B. m≥n C. m>n D.m<n8. △ABC 内有任意三点不共线的2005个点，加上,,A B C 三个顶点，共2008个点，把这2008个点连线形成互不重叠（即任意两个三角形之间互不覆盖）的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ） A ．4008 B.4009 C.4010 D.4011二、填空题：本大题共有7小题，其中第9-12题是必做题，第13-15题是选做题（考生必须从13-15题中选做其中两题，若三题都做，只按前两题评分）。

澄海区2020-2020学年度第一学期期末考试高三理科数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部份，共4页，总分值150分．考试时刻120分钟． 注意事项：1．答第一部份(选择题)前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将第二部份(非选择题)的解答写在答题卷的框线内，框线外的部份不计分． 4．考试终止后，监考员将第一部份的答题卡和第二部份的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：柱体的体积公式Sh V =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．第一部份（选择题，共40分）一、选择题：本大题共有8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑． 1．已知集合}|{},023|{2a x x N x x x M >=>-+=，若N M ⊆，则实数a 的取值范围是A ．),3[+∞B ．),3(+∞C ．]1,(--∞D ． )1,(--∞ 2．函数4sin 1)(2xx f +=的最小正周期是 A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．函数xx y 142+=的单调递增区间是 A ．),0(+∞ B ．),21(+∞ C ．)1,(--∞ D ．)21,(--∞4．已知||=3，||=5，且12=⋅，那么向量在向量上的投影为A ．512B ．3C ．4D ．5 5．若tan 2α=，那么sin cos αα的值为A ．12B ．23C ．1D ．256．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，假设||||113a a =，且公差0<d ，那么当n S 取最大值时，=nA ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或87．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出以下四个命题： ①假设m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，那么m ⊥γ； ③假设m ∥α，n ∥α，那么m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，那么α∥β．其中正确命题的序号是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④8．假设概念在R 上的偶函数()x f 知足()()x f x f =+2，且当[]1,0∈x 时，(),x x f =，那么函数()x x f y 3log -=的零点个数是A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个第二部份（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，每题5分，总分值30分．本大题分为必做题和选做题两部份.OO 'MQP N BA（一）必做题：第九、10、1一、12题是必做题，每道试题考生都必需做答． 9．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若431,,a a a 成等比数列，那么3523S S S S --的值为 ．10．220(42)(43)x x dx --=⎰．11．右图表示一个几何体的三视图及相应数据，那么该几何体的体积是 ．12．若是过点(0,1)斜率为k 的直线l 与圆04my kx y x 22=-+++ 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x+y=0对称，那么直线l 的斜率k=__________；不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0y 0,my kx ,01y kx 表示的平面区域的面积是 ．（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的得分．13．（坐标系与参数方程选做题）曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 ． 14．（不等式选讲选做题）不等式5|2||1|<++-x x 的解集是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如右图，⊙'O 和⊙O 相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙'O 于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN＝3,NQ ＝15，那么 PN ＝__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤 16．(本小题总分值13分)已知数列}{n a 中，02,311=-=+a a a n n ,数列}{n b 中，())( 1*N n a b n n n ∈-=⋅． （Ⅰ）求数列}{n a 通项公式；（Ⅱ）求数列}{n b 通项公式和前n 项的和． 17．(本小题总分值13分)已知ABC ∆中，1=⋅BC BA ，假设ABC ∆的面积为S ，且2363≤≤S (Ⅰ)求角B 的取值范围； (Ⅱ)设)4sin(12cos 2sin )(π+++=B B B B f ，求)(B f 的值域．18．(本小题总分值14分)如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，BC AC ⊥，且BC AC =． (Ⅰ)求证：⊥AM 平面EBC ；(Ⅱ)求直线AB 与平面EBC 所成的角的大小； (Ⅲ)求二面角C EB A --的大小．19．(本小题总分值14分)已知实数a ≠0，函数()()R x x ax x f ∈-=22)(．(Ⅰ)假设函数)(x f 有极大值32，求实数a 的值； (Ⅱ)假设对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围． 20．(本小题总分值14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设n a 是1与n S 的等差中项． (Ⅰ)求证}1{+n S 是等比数列，并求出n a 的表达式； (Ⅱ)若)1(2log 1≥=+n b n a n ，求12)5()(+++=n n b n b n f 的最大值及取得最大值时n 的值．21．(本小题总分值12分)设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+．（Ⅰ）假设在概念域内存在0x ，而使得不等式0()0f x m -≤能成立，求实数m 的最小值； （Ⅱ）假设函数2()()g x f x x x a =---在区间[]0,2上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．澄海区2020-2020学年度第一学期期末考试高三理科数学参考答案一、选择题CDBA DCAB 二、填空题九、21或2； 10、8； 1一、348π+； 1二、1，41； 13、2； 14、)2,3(-； 1五、 三、解答题1六、(本小题总分值13分)BM E DCA解：（1）∵021=-+n n a a ∴)1(21≥=+n a a nn -----------2分 又31=a∴{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列 -----------4分 ∴*)(231N n a n n ∈⋅=- -----------6分（2）∵())( 1*N n a b n n n ∈-=⋅∴n n n a b 1)1(⋅-==1231)1(-⨯⋅-n n -----------8分 ∴121231)1(23131-⨯⋅-+⋅⋅⋅+⨯+-=+⋅⋅⋅++=n n n n b b b S -----------10分 =211)21(131+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---n=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n )21(192=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1)21(92n -----------13分 17、(本小题总分值13分)解：（Ⅰ）设ABC ∆的三边别离是c b a ,,∵1=⋅∴1cos =B ac ，即Bac cos 1= -----------2分 又2363≤≤S ∴23sin 2163≤≤B ac -----------4分 ∴3tan 33≤≤B -----------6分 ∴36ππ≤≤B ---------- 7分（Ⅱ）)4sin(12cos 2sin )(π+++=B B B B f)cos (sin 22cos 2cos sin 22B B B B B ++=B cos 22= -----------9分∵36ππ≤≤B∴23cos 21≤≤B -----------11分∴6)(2≤≤B f -----------12分∴)(B f 的值域是]6,2[ ----------13分18、(本小题总分值14分)解法一：(Ⅰ)∵四边形ACDE 是正方形，EC AM AC EA ⊥⊥∴, -----------1分∵平面⊥ACDE 平面ABC ，AC BC ⊥， ⊥∴BC 平面EAC ． -----------2分 ⊂AM 平面EAC ，⊥∴BC AM ． -----------3分 又C EC BC =⊥∴AM 平面EBC ． -----------4分(Ⅱ)连结BM ，⊥AM 平面EBC ，ABM ∠∴是直线AB 与平面EBC 所成的角． -----------5分 设a BC AC EA 2===，那么a AM 2=，a AB 22=， -----------7分21sin ==∠∴AB AM ABM ， ︒=∠∴30ABM ．即直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30． -----------9分 (Ⅲ)过A 作EB AH ⊥于H ，连结HM ． ⊥AM 平面EBC ， EB AM ⊥∴．⊥∴EB 平面AHM ．AHM ∠∴是二面角C EB A --的平面角． -------10分 ∵平面⊥ACDE 平面ABC ， ⊥∴EA 平面ABC ．⊥∴EA AB ． --------11分在EAB Rt ∆中， EB AH ⊥，有AH EB AB AE ⋅=⋅． 由(Ⅱ)所设a BC AC EA 2===可得a AB 22=，a EB 32=，BMEDCA H BMED CA322aEB AB AE AH =⋅=∴． 23sin ==∠∴AH AM AHM ． ︒=∠∴60AHM ． -----------13分∴二面角C EB A --等于︒60． -----------14分 解法二: ∵四边形ACDE 是正方形 ，EC AM AC EA ⊥⊥∴,，∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ， -----------2分 ∴能够以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，别离以直线AC 和AE 为y 轴和z 轴，成立如下图的空间直角坐标系xyz A -．设2===BC AC EA ，那么),0,2,2(),0,0,0(B A )2,0,0(),0,2,0(E C ， M 是正方形ACDE 的对角线的交点，)1,1,0(M ∴． -----------4分(Ⅰ)= )1,1,0(，)2,2,0()2,0,0()0,2,0(-=-=EC ，)0,0,2()0,2,0()0,2,2(=-=，0,0=⋅=⋅∴， -----------6分CB AM EC AM ⊥⊥∴,⊥∴AM 平面EBC ． -----------7分 (Ⅱ) ⊥AM 平面EBC ，AM ∴为平面EBC 的一个法向量，)0,2,2(),1,1,0(==AB AM ，21==∴AM AB ．︒=60．∴直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30． -----------10分(Ⅲ) 设平面EAB 的法向量为),,(z y x =，那么AE n ⊥且AB n ⊥，0=⋅∴且0=⋅．⎩⎨⎧=⋅=⋅∴.0),,()0,2,2(,0),,()2,0,0(z y x z y x 即⎩⎨⎧=+=.0,0y x z 取1-=y ，那么1=x ， 那么)0,1,1(-=． -----------12分又∵AM 为平面EBC 的一个法向量，且)1,1,0(=，21-==∴AMn ，设二面角C EB A --的平面角为θ，那么21cos cos ==θ， ︒=∴60θ．∴二面角C EB A --等于︒60． -----------14分19、(本小题总分值14分)解：（Ⅰ）ax ax ax x ax x f 44)2()(232+-=-=)2)(32(3483)( 2--=+-=∴x x a a ax ax x f -----------2分令f x '()=0得0)2)(32(3=--x x a ∴x =23或x =2 -----------4分 () f x ax x x R ()()=-∈22有极大值32，又f ()20= ∴f x ()在32=x 时取得极大值 -----------6分 27322732)32(===∴a a f ， -----------7分（Ⅱ）由)2)(32()( --=x x a x f 知：当0>a 时，函数f x ()在]32,2[-上是增函数，在]1,32[上是减函数现在，a f y 2732)32(max == -----------8分又对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立∴9162732<a 得23<a ∴230<<a -----------10分当0<a 时，函数f x ()在]32,2[-上是减函数，在]1,32[上是增函数又a f 32)2(-=-，a f =)1(，现在，a f y 32)2(max -=-= -----------11分 又对]1,2[-∈∀x ，不等式916)(<x f 恒成立 ∴91632<-a 得181->a ∴0181<<-a -----------13分 故所求实数的取值范围是)23,0()0,181( - -----------14分20、(本小题总分值14分)证明：（Ⅰ）∵n a 是1与n S 的等差中项∴n n S a +=12 -----------1分又n n a a a S +⋅⋅⋅++=21 ∴当2≥n 时，1--=n n n S S a∴)2(1)(21≥+=--n S S S n n n ，即)2(121≥+=-n S S n n -----------3分 ∴)2)(1(211≥+=+-n S S n n ∴)2(2111≥=++-n S S n n又1112S a +=，那么111==a S∴}1{+n S 是首项为2，公比为2的等比数列 -----------5分解：由前述知数列}1{+n S 是首项为2，公比为2的等比数列．∴n n S 21=+ ∴12-=n n S∴当111222,2---=-=-=≥n n n n n n S S a n 时∴)1(21≥=-n a n n -----------8分（Ⅱ）解：∵12-=n n a∴n n a 21=+ -----------9分 ∴2log 1+=n a n b12log 1+=n an1=-----------11分 ∵014,01>+>+n n ， ∴12)5()(+++=n n b n b n f11)5(21+⋅++=n n n4)1(5)1(12+++++=n n n 514)1(1++++=n n 91≤-----------13分 当且仅当n = 1时，取等号∴)(n f 的最大值是91． -----------14分2一、(本小题总分值12分)解：(Ⅰ)要使得不等式0()0f x m -≤能成立，只需min ()m f x ≥求导得：12(2)()2(1)211x x f x x x x +'=+-=++-----------2分 ∵函数()f x 得概念域为(1,)-+∞， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '<，∴函数()f x 在区间(1,0)-上是减函数； -----------3分 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在区间(0，+∞)上是增函数． -----------4分 ∴min ()(0)1f x f ==，∴1m ≥，故实数m 的最小值为1． -----------6分 (Ⅱ)由2()(1)2ln(1)f x x x =+-+得：22()(1)2ln(1)()12ln(1)g x x x x x a x x a =+-+-++=+-+- -----------7分∵函数2()()g x f x x x a =---在区间[]0,2上恰有两个不同的零点∴方程(1)2ln(1)x x a +-+=在区间[]0,2上恰有两个相异实根．-----------8分 设()(1)2ln(1)h x x x =+-+∵()21111x h x x x -'=-=++， x 0()0,1 1 ()1,2 2 ()h x '－ 0 ＋ ()h x 1 ↘ 22ln 2- ↗ 32ln 3-∵()()021(32ln3)2(ln31)2(ln 1)0h h e -=--=->-=∴()()02h h >从而有()max 1h x =，()min 22ln 2h x =- -----------10分 画出函数()h x 在区间[]0,2上的草图（见右下）易知要使方程()h x a =在区间[]0,2上恰有两个相 异实根，只需：22ln 232ln 3a -<≤-，即：(]22ln2,32ln3a ∈-- -----------12分。