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利用函数单调性证明积分不等式黄道增 浙江省台州学院 （浙江 317000）摘要：积分不等式的证明方法多种多样，本文主要利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。

关键词：函数单调性 积分不等式 辅助函数 中图分类号 O172.2积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，其证明方法多种多样。

如果题目条件中含“单调性”或隐含“单调性”的条件，利用函数单调性证明比较简单。

本文主要讨论利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。

1 利用被积函数的单调性证明方法根据----定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两个可积函数，若],[),()(b a x x g x f ∈≤，则dx x g dx x f ba b a ⎰⎰≤)()(. 例1 设)(x f 为]1,0[上非负单调递减函数，证明：对于10<<<βα，有⎰⎰>βααβαdx x f dx x f )()(0 证明：由)(x f 的单调递减性得：若10<≤<αx ，有)()(αf x f ≥所以)()()(00αααααf dx f dx x f =≥⎰⎰ （1） 同理有 )()()()(ααβαβαβαf dx f dx x f -=≤⎰⎰ （2） 由（1）（2）得：dx x f f dx x f ⎰⎰-≥≥βαααβαα)(1)()(10 （3） 将（3）式两边同乘以βαβα)(-，有 dx x f dx x f ⎰⎰≥-βααβαβαβ)()(0 因为1<-βαβ，所以⎰⎰>βααβαdx x f dx x f )()(0 例2 试证：dx x x dx x x⎰⎰-≥-1021021sin 1cos .分析：不等式两边的积分是瑕积分。

在两边的积分中分别作变换x t arccos =与x t arcsin =，原不等式可化为dt t dt t ⎰⎰≥2020)sin(cos )cos(sin ππ，欲证不等式，只需证明)sin(cos )cos(sin t t ≥，)2,0(π∈t ，而)sin(cos )sin 2sin()cos(sin t t t ≥-=π。

1 。 2 1
2. 利用函数单调性证明不等式
函数不等式是判断函数之间的大小关系 ， 基于这种思想 ， 可以利用函数单调性证明不等式 。 其基本思想是 ：（1 ） 将不等 式 两 边 的 函 数 移 到 同 一 端 ， 并 作 辅 助 函 数 f （x ）；（2 ） 利 用 函 数 f （x ） 一阶导数的符号判断函数在所给区间上的单调性 ；（3 ） 根 据函数 f （x ） 的单调性 ， 得到所求不等式 。 例 3 ： 证明定理 ： 设 （1 ） 函数 φ （x ） 及 ψ （x ） 可微分 n 次 ； （2 ）φ （x0 ）=ψ （x0 ），（k=0 ，1 ，2 ，…，n-1 ）； （3 ） 当时 x＞x0 ，φ （x ）=ψ （x ）。 则当 x＞x0 时 ， 有不等式 φ （x ）＞ψ （x ）。 证 明 ： 设 F （x ） =φ （x ） -ψ （x ）， 则 由 于 φ
复数 z=x+iy圳 坐标平面上的点 p （x ，y ）。 这样学生会将复数 z 、R 中 的 有 序 实 数 对 （x ，y ）、 坐 标 平 面 上 的 点 p （x ，y ） 视 为 同 义 语 ，
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把复数集 、 平面点集 、 二维空间 R 的子集看成一回事 。 由 z 圮 （x ，y ）， 复 变 函 数 f （z ） 可 看 成 关 于 x 和 y 的 函 数 ， 其 极 限定义可与实二元函数的极限定义比较 ， 而实二元函数又是 在 多 元 微 分 学 中 讲 过 ，学 生 较 为 熟 悉 ，这 样 进 行 比 较 ，可 加 深 学生对复变函数极限念的进一步认识和理解 。 通过比较 ， 可以发现复变函数的极限定义与实二元函数 极限定义相似成分较之实一元函数要多一些 ， 似乎完全相似 ， 不同的地方主要是一个复变函数确定两个实二元函数 ， 复变 函数的极限存在与否取决于两个实二元函数极限的存在与 否 。 两个实二元函数的极限都存在才称复变函数的极限存在 。 2. 导数概念的类比 在微分学中 ， 对一元函数的导数是这样定义的 ： 设函数 y= f （x ） 在点 x0 的某一邻域内有定义 （ 包括 x0 点 ）， 当自变量 x 在 x0 处 有增量 Δx 时 ， 相应的 ， 函数有增量 ，Δy=f （x0+Δx ）-f （x0 ）， 当 Δx→

黔南民族师范学院（贵定分院）毕业论文题目：不等式的证明姓名：丁成义班级：12级数学（2）班学号：2012052206专业：数学教育指导教师：张大书日期：2015年2月26日2不等式的证明方法不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。

其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。

1．证明不等式的基本方法1．1比较法比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外，还有比商法，它们的解题依据及步具步骤如下：比差法。

主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。

即 ，0,0,0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔=基本解题步骤是：作差——变形——判断符号。

（1）作商比较法。

当欲证的不等式两端是乘积形式幂指数式可采用作商比较法。

当0b > 欲证a b >只需证1ab > 欲证a b <只需证1ab< 基本解题步骤是：作商——变形——判断。

（与1的大小）例1．求证： 222(2)5a b a b +≥--322224254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥22(44)(21)0a a b b -++++≥ 2,1a b ==-时等号成立。

所以222(2)5a b a b +≥--成立。

例2．已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥证： ,a b R +∈又()a b a b b a a b aa b b -=∴()1a b b a a b a a b a b b-≥⇔≥ （1）当a b >时，1a b >，0a b ->所以()1a b ab -> （2）当a b <时01,a a b o b <<-<所以()1a b ab-> （3）当a b =时不等式取等号。

单调性在证明不等式中的应用常见题型 Ⅰ (1) (2) (3) ()().g x h x <证明：令 f (x ) =“左边-右边”= g (x )- h (x ) ;对 f (x ) 求导，由导数的符号判断 f (x ) 的单调性 ;根据 f (x ) 的单调性证明不等式 .常见题型 Ⅱ ()().a x b c g x d ≤≤≤≤证明： 直接对 g (x ) 求导，由导数的符号判断 g (x ) 的单调性，从而证明不等式 .证： （1） 22(1)ln (1).x x x ++<22()(1)ln (,0 1.1)f x x x x x =++-≤≤令则 2()ln (1)2ln(1)2f x x x x'=+++-2ln(1)2()211x f x x x +''=+-++[]2ln(1)1x x x =+-+0<()01x <<()[0,1]f x '故在上单调减01()(0)x f x f ''⇒<<<时，0=01()(0)x f x f ⇒<<<时，0=()[0,1]f x 故在上单调减即证！例1 01,x <<设则例1 证： 01,x <<设则11()ln(1),0 1.g x x xx =-<≤+令11111.ln 2ln(1)2x x -<-<+（2） 2211()(1)ln (1)g x x x x '=-+++0<01x ⇒<<时，()(0,1]g x 故在上单调减即证！ 2222(1)ln ((1)ln (1)1)x x x x x x ++=++-0(1)()lim ()g g x g x +→<<11ln 2-=0ln(1)1lim ,ln(1)2x x x x x +→-+==+01x <<则例2 分析：ln 0,1,.1x x x x >≠<-设且证明：ln (),1x f x x =--若令会使求导运算越来越复杂！ln 1x x <>-时，ln 01x x ><<-时，这时常考虑证明结论的等价形式：ln 1x x ⎧⎪<⇔⎨-⎪⎩例2 证：ln 0,1,.1x x x x >≠<-设且证明：()l ,0.n ,1f x x x x x x ⎛⎫=-- ⎝>≠⎪⎭令其中且1()22f x x x x x ⎛⎫'-+ ⎪⎝⎭0=⎧⇒⎨⎩()f x 故单调减化简即证！1121x x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭则 1112x x x<⋅⋅-()(1)f x f <0,=ln 1.x x x <-即()(1)f x f >0,=ln 1.x x x >-即1x >时，01x <<时，例3 分析： ,.b ab a e a b >>>设证明：本题是证明两个数的大小关系！ 没有更多的理论和工具。