2022届天津市静海区第一中学高三上学期第二次阶段检测数学试题一、单选题1．已知集合{}15A x x =≤<，{}3C x a x a =-<≤+，若CA C =，则a 的取值范围为（ ）A ．312a -<≤-B ．32a ≤-C ．1a ≤-D ．32a >-【答案】C 【分析】由C A C =得出C A ⊆，再分类集合C 是空集和不是空集求解a 的取值范围即可. 【详解】C A C =，C A ∴⊆，{}3C x a x a =-<≤+，当3a a -≥+时，即32a ≤-时，C =∅，满足C A ⊆，当C ≠∅时，有3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-，综上，a 的取值范围为1a ≤-， 故选：C.2．设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：由20x -≥，解得2x ≤，由11x +≤，即111x -≤+≤，解得20x -≤≤， 又[]2,0- (],2-∞，由20x -≥推不出11x +≤，故充分不成立， 由11x +≤推得出20x -≥，即必要性成立， 所以“20x -≥”是“11x +≤”的必要不充分条件. 故选：B3．函数y 2222x xx x--+=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的定义域，奇偶性，单调性进行判断即可. 【详解】因为函数()2222x xx x f x --+=-的定义域为{|0}x x ≠，故排除C ；因为()()222202222x x x xxx x xf x f x ----+++-=+=--，且定义域关于原点对称， 则其为奇函数，故排除B ； 又()2222112221x x x x f x --⨯=+=+--，当0x >时，是单调减函数，故排除A . 故选：D.【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及函数单调性，奇偶性的判断以及指数函数的单调性，属基础题.4．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示，其中阅读时间是810-小时的组频数和组频率分别是（ ）A ．15和0.125B ．15和0.25C ．30和0.125D ．30和0.25【答案】D【分析】由频率分布直方图求解.【详解】解：由频率分布直方图知：阅读时间是810-小时的组频率是0.12520.25⨯=， 阅读时间是810-小时的组频数是1200.2530⨯=， 故选：D5．已知7log 5a =，9log 7b =，0.11.11c =，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．c<a<b B ．a b c << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】B【分析】先分析得到1,,1c a b ><，再利用作差法结合基本不等式判断,a b 大小即得解.【详解】解：0.1077991.11 1.111,log 5log 71,log 7log 91,c a b =>==<==<=2lg5lg7lg9lg5(lg7)lg7lg9lg7lg9a b ⋅--=-=⋅，因为2222222lg9lg5lg45lg49lg9lg5(lg7)(lg7)(lg7)(lg7)0222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅--=-<-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B.6．如图所示，ABCD —EFGH 为边长等于1的正方体，若P 点在正方体的内部且满足321432AP AB AD AE =++，则P 点到直线BC 的距离为（ ）A ．34B 5C ．45D 5【答案】B【分析】以D 为坐标原点，,,DA DC DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出BC 和BP 的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式22BP BC d BP BC ⎛⎫⋅⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】如图，以D 为坐标原点，,,DA DC DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,1E ，()0,1,0C 所以()0,1,0AB =，()1,0,0AD =-，()0,0,1AE =， 231,,323214324AP AB AD AE =++⎛=⎫- ⎪⎝⎭，131,,342P ∴⎛⎫ ⎪⎝⎭211,,342P B ⎛⎫=--∴ ⎪⎝⎭，()1,0,0BC =-，23BP BC BC⋅∴=，2222211109342144BP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴=所以点P 到BC 的距离221094514494BP BC d BP BC ⎛⎫⋅⎪=-= ⎪ ⎪-=⎝⎭． 故选：B.7．已知函数()sin 3f x x x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，则12x x +的最小值为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 【答案】C【分析】根据12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性，由12x x ，关于函数的对称中心对称求解.【详解】()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，令,3x k k Z ππ-=∈,得函数的对称中心为,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又因为12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12()x x ，上具有单调性， 所以1223k x x ππ=++，当0k =时，12x x +的最小值为23π. 故选：C.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A ．22172x y -=B ．2262511x y -=C ．22154x y -=D ．22145x y -=【答案】C【分析】先根据圆的方程求出圆心和半径，结合渐近线和圆相切以及焦点可求方程. 【详解】圆22:650C x y x +-+=的圆心为()3,0C ，半径为2r =.由题意双曲线的渐近线的方程为0bx ay ±=2=；因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心，所以3c =，2229b a c +==， 所以2b =；又2225c a b =-=，所以双曲线的方程为22154x y -=.故选：C.9．已知函数()2x x f x e=，若关于x 的方程()()210f x mf x m ++⎤⎦-⎣=⎡恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．11,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．241,1e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．241,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用导数研究()f x 的单调性和最值，画出函数图像，数形结合，即可求得. 【详解】因为()2x x f x e=，故可得()()2x x x f x e '-=，令()0f x '=，解得0x =或2x =，故可得()f x 在区间(),0-∞和()2,+∞单调递减，在区间()0,2单调递增. 且()()2400,2f f e ==，当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于零. 故其函数图像如下所示：令()t f x =，故关于x 的方程()()210f x mf x m ++⎤⎦-⎣=⎡， 即为210t mt m ++-= 解得1t =-或1t m =-.当1t =-时，()1f x =-没有实数根；故要满足题意，只需()1f x m =-有三个实数根即可. 数形结合可知，只需()24012m f e <-<=， 解得m ∈241,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及方程与函数之间的相互转化，属综合中档题.二、填空题10．设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为__________． 5【详解】分析：由条件()1234i z i +=-得到复数的代数形式，即可求得复数模长. 详解：因为()1234i z i +=-，所以3412i z i -=+=()()()()34121212i i i i --+-=12i --， 所以5z =点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力．11．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m =______.【答案】1-4【分析】化双曲线方程为标准方程，求得,a b 的值，依题意列方程，解方程求得m 的值. 【详解】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-，故1,a b == 依题意可知2b a =2=，解得14m =-.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的虚轴和实轴，考查运算求解能力，属于基础题.12．5(12)x -展开式中3x 的系数为__________. 【答案】-80【解析】求出5(12)x -的展开式的通项即得解.【详解】5(12)x -的展开式的通项为155(2)(2)r r r r rr T C x C x +=-=-，令3r =，所以3x 的系数为335(2)80C -=-.故答案为：80-【点睛】方法点睛：求二项展开式的某一项的系数，一般利用二项展开式的通项求解.13．一盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，则条件概率()|P B A 的值为______. 【答案】23【分析】根据条件概率的公式解题. 【详解】由已知可得，()34P A =，()321432P AB ⨯==⨯， ()()()122|334P AB P B A P A ===.故答案为：23.三、双空题14．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则()()22411a b +⋅+的最小值为___________.22242214a b b a a b -+--+++的最小值为___________.【答案】 412+【分析】空1先把22a b +=两边平方，再对所求式子进行换元，利用二次函数求解最值，（或根据柯西不等式直接求解）；空2先分离常数，然后根据均值不等式求解. 【详解】空1方法一，由22a b +=得22444a ab b ++=，22444a b ab +=-，()()2222222221411441445442a b a b a b a b ab ab ⎛⎫+⋅+=+++=-+=-+ ⎪⎝⎭，当12ab =且22a b +=时，即112a b ==，时，()()22411a b +⋅+取得最小值4.空1方法二，由柯西不等式得()()()()()222224114112 4.ab a b a b +⋅+=+⋅+≥+=当112a b ==，时，()()22411a b +⋅+取得最小值4.故答案为：4.空2，22242214a b b a a b -+--+++22222414a a b b a b +++-=+++22(1)2148146a a b b a b ++++=++-++ 28282311414a b a b a b =++-+=-++++++()1212(1)(48184a b a b ⎛⎫=-+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ 12(4)14881146(1)a b a b +⎛⎫=-++++ ⎪++⎝⎭+12(4)11281146(1)a b a b +⎛⎫=-+++ ⎪++⎝⎭+(11128≥-++ 12=当5,12a b ==-.故答案为：12+15．在菱形ABCD 中，3AB =，60BAD ∠=，E ，F 分别为线段BC ，CD 上的点，2CE EB =，2CF FD =，点M 在线段EF 上，且满足5()6AM xAB AD x R =+∈，则x =___________；若点N 为线段BD 上一动点，则AN MN ⋅的取值范围为___________. 【答案】12； 373[,]164-【分析】根据菱形的性质，建立以AC 为x 轴，BD 为y 轴的直角坐标系，利用向量的坐标表示形式分别表示出,,AM AB AD →→→，根据它们的关系求得x 的值及M 的坐标；设(0,)N t ，表示出AN MN →→⋅的函数关系，根据二次函数的性质求得取值范围.【详解】根据菱形的性质，建立以AC 为x 轴，BD 为y 轴的直角坐标系，如图所示：则33(A ，3(0,)2B ，3(0,)2D -，333()2AB →=，333()2AD →=-，由题知，EF AC ⊥，且13BE BC =，设3()M y ，则3,)AM y →=，由56AM x AB AD →→→=+， 则33533236353()262x y x ⎧+⎪⎪⎨⎪=+⋅-⎪⎩，解得12x =，12y =-，设(0,)N t ，33[,]22t ∈-，33()AN t →=，31()2MN t →=+则233193(()2224t AN MN t t t →→⋅=++=+-，33[,]22t ∈-则29373[,]24164t AN MN t →→⋅=+-∈-故答案为：12；373[,]164-.四、解答题16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos b A c =． （1）求B 的大小；（2）若3,2c a b +=，求ABC 的面积． 【答案】（1）6π； （23【分析】（13sin cos A A B =，求得3cos B 即可求解；（2）由余弦定理可得2233a b a -+=，结合2a b +=，求得1a b ==，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为3cos 2b A ac +=， 由正弦定理可得3sin cos sin sin 2B A AC +=， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以3sin sin cos 2A AB =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以3cos 2B =， 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）因为6B π=，3c =，由余弦定理可得2233cos 223a b B a +-==⨯，整理得2233a b a -+=， 又2a b +=，解得1a b ==， 所以1113sin 132224ABCSac B ==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．17．如图，在三掕台111ABC A B C 中,90,4BAC AB AC ︒∠===,111112A A A B AC ===,侧棱1A A ⊥平面ABC ,点D 是棱1CC 的中点.(1)证明:1BB ⊥平面1AB C (2)求点1B 到平面ABD 的距离;(3)求平面BCD 与平面ABD 的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 31030【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质,可得11AB BB ⊥,根据线面垂直的性质定理以及判定定理,可得1AC BB ⊥,再结合线面垂直判定定理,可得答案.(2)利用等体积法,由三棱雉1B ABD -的体积等于三棱雉1D ABB -,可得答案;(3)建立空间直线坐标系,求两个平面的法向荲,利用向量叫夹角公式,根据面面角与法向䵣夹角的关系,可得答案.【详解】（1）在平面11ABB A 内,过1B 作1B E AB ⊥,且1B E AB E ⋂=，则11112,2B E AA A B AE ====,在1ABB 中,112,B E AE BE B E AB ===⊥,易知190AB B ︒∠=,即11AB BB ⊥,1AA ⊥平面,ABC AC ⊂平面1,ABC AA AC ∴⊥,AC AB ⊥,且11,,AA AB A AB AA ⋂=⊂平面11,ABB A AC ∴⊥平面11ABB A ,1BB ⊂平面11111,,,ABB A AC BB AC AB A ACAB ∴⊥⋂=⊂平面1ACB ,1BB ∴⊥平面1ACB .（2）取1AA 的中点F ，连接1,DF DB ，则//DF AC ,即()111||||32DF AC AC =+=,且DF ⊥平面11ABB A , 在Rt DFA 中,222DF AF AD +=,则10AD =, 1AA ⊥平面ABC ,且AB ⊂平面1,ABC AA AB ∴⊥,1,AB AC AA AC A ⊥⋂=,且1,AC AA ⊂平面11,ACC A AB ∴⊥平面11ACC A ,AD ⊂平面11,ACC A AB AD ∴⊥,故a 1||||2102ABD S AB AD =⋅⋅=,由（1）易得11||42ABQSAB B E =⋅⋅=, 设1B 到平面ABD 的距离为h ,由三棱雉1B ABD -的体积等于二棱雉1D ABB -, 则111||33ABDABB h S DF S ⋅⋅=⋅⋅,即1||343105210ABB ABDDF S h S⋅⋅===.（3）以点A 为原点,分别以1,,AB AC AA 所在的直线为,,x y z 轴,建立空间直线坐标系，则1(0,0,0),(4,0,0),(0,4,0),(0,2,2)A B C C ,由点D 为1CC 的中点,则(0,3,1)D 在平面BCD 中,取(4,4,0),(4,3,1)BC BD =-=-,设该平面的法向量()111,,n x y z =, 则00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即111111111440,430x y y x x y z z x ⎧-+==⎧⎪⎨⎨-++==⎪⎩⎩,今11x =,解得111,1==y z , 故平面BCD 的一个法向量(1,1,1)n =,在平面ABD 中,取(4,0,0),(0,3,1)AB AD ==,设该平面的法向量()222,,m x y z =, 则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222222400,303x x y z z y ⎧==⎧⎪⎨⎨+==-⎪⎩⎩,今21y =,解得220,3x z ==-, 故平面ABD 的一个法向量(0,1,3)m =-,则cos ,||||11n m n m n m ⋅<>===⋅+, 故平面BCD 与平面ABD 18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()112n n n S S a =-+， (1)求{}n a 的通项公式； (2)设()()1111n n n n a c a a ++=++，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，且对任意的*N n ∈满足223n T λλ<+，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)12n na = (2)(]1,,13⎡⎫+∞-∞-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出{}n a 为等比和首项均为12的等比数列，利用等比数列通项公式求出答案； （2）变形得到1112121n n n c +=-++，利用裂项相消法求和得到11113213nn T +=-<+，结合223n T λλ<+恒成立，从而得到22133λλ+≥，求出实数λ的取值范围.【详解】（1）()112n n n S S a =-+整理为1n n S a =-+， 当1n =时，111S a =-+，即111a a =-+，解得：112a =， 当2n ≥时，111n n S a --=-+，1n n S a =-+与111n n S a --=-+相减得：1n n n a a a -=-+，即112n n a a -=， 故{}n a 为等比和首项均为12的等比数列，所以1111222n n na -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭； （2）()()111111112111*********n n nn n n n n n a c a a +++++===-++++⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故12223113111111212121212121nn n n T c c c c +=-+-++-++=++++++++1111111121213213n n ++=-=-<+++， 因为对任意的*N n ∈满足223n T λλ<+，故只需22133λλ+≥，解得：13λ≥或1λ≤-， 故实数λ的取值范围是(]1,,13⎡⎫+∞-∞-⎪⎢⎣⎭.19．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线3480x y +-=相切． （1）求圆C 的标准方程；（2）直线:2l y kx =+与圆C 交于A ，B 两点． ①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【答案】（1）()2211x y -+=；（2）（ⅰ）3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（ⅱ）具体见解析.【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案； （ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案. 【详解】（1）由题意，设圆心为(),0(0)C a a >，因为圆C 过原点，所以半径r =a ， 又圆C 与直线3480x y +-=相切，所以圆心C 到直线的距离|38|15a d a a -==⇒=（负值舍去），所以圆 C 的标准方程为：()2211x y -+=.（2）（ⅰ）将直线l 代入圆的方程可得：()()2214240k x k x ++-+=，因为有两个交点，所以()()2234216104k k k ∆=--+>⇒<-，即k 的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由根与系数的关系：12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩，所以()1212121212122222OA OB x x y y kx kx k k k x x x x x x ++++=+=+=+2242212141k k k k --⋅+=+=+. 即直线OA ,OB 斜率之和为定值. 20．设函数()212x f x =-(1)若函数()()e xg x k x f x =--在R 上单调递增，求k 的最小值.(2)证明：当0x ≥时，()cos f x x ≥-；(3)若对于任意的0x ≥，不等式e sin cos 2ax x x ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)[)1,+∞【分析】（1）根据题意，得到()e 10x g x k x '=--≥，转化为1e x x k +≥，通过导数求出1e xx +的最大值，进而得到k ；（2）问题转化为转化为2cos 102x x +-≥(0)x ≥，设2()cos 12x g x x =+-，分两次求导，讨论()g x 的单调性，进而得到()(0)0g x g ≥=，从而题目得证；（3）由（2）得，0x ≥时，sin x x ≥，21cos 2x x -≥-，则有21sin cos 22x x x x ++≥-+，构造2()e 12xx G x x =---，通过讨论()G x 的导数，得到()(0)0G x G ≥=，进而得到2e 1sin cos 22xx x x x ≥++≥-+，再分类讨论1a <与1a ≥，即可得到满足题意时，a 的取值范围.【详解】（1）()()e xg x k x f x =--21e 2xk x x =-+-，函数()()e xg x k x f x =--在R 上单调递增，()e 10x g x k x '=--≥，故1e x x k +≥，令1()ex x h x +=，2e (1)e ()(e )e x x x x x x h x -+'==- 当(,0)x ∈-∞，()0h x '>，()h x 单调递增； 当,()0x ∈+∞，()0h x '<，()h x 单调递减； ()(0)1h x h ≤=，得[]max ()1h x =，则max11e x x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故1k ≥时，满足函数()()e xg x k x f x =--在R 上单调递增，故k 的最小值为1（2）若0x ≥时，()cos f x x ≥-，则()21cos 2x f x x =-≥-，转化为2cos 102x x +-≥(0)x ≥，设2()cos 12x g x x =+-，则()sin g x x x -'=，设()sin x x x ϕ=-，则()1cos x x ϕ'=-，当0x ≥时，()1cos 0x x ϕ'=-≥，即()sin x x x ϕ=-为增函数，所以()(0)0g x g ''≥=，()g x ∴在(0,)+∞时为增函数，所以，()(0)0g x g ≥=，得2cos 102x x +-≥，()21cos 2x f x x =-≥-，故当0x ≥时，()cos f x x ≥-成立.（3）由（2）得，0x ≥时，sin x x ≥，21cos 2x x -≥-，则有21sin cos 22x x x x ++≥-+，设2()e 12xx G x x =---，则()e 1x G x x '=--，设()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，当0x ≥时，()e 10x h x '=-≥，所以()e 1x h x x =--为增函数，所以，()()(0)0G x h x h '=≥=，所以()G x 为增函数，所以，()(0)0G x G ≥=，所以2e 1sin cos 22xx x x x ≥++≥-+对任意的0x ≥恒成立，又0x ≥，1a ≥时，e e ax x ≥，所以1a ≥时，e sin cos 2ax x x ≥-+对任意的0x ≥恒成立；当1a <时，设()e sin cos 2ax m x x x =-+-，则()e cos sin ax m x a x x '=--，(0)10m a '=-<，所以存在实数00x >，使得任意()00,x x ∈，均有()0m x '<，所以()m x 为减函数，所以在()00,x x ∈时，()(0)0m x m <=，此时，e sin cos 20ax x x -+-<，e sin cos 2ax x x ≤-+，与题意不符，所以1a <时不符合题意. 综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞.。
