02、2020版高考文科数学突破二轮复习新课标通用练习：专题一 第2讲 三角恒等变换与解三角形 Word版含解析

第2讲 三角恒等变换与解三角形[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A.15 B.55C.33D.255详细分析：选B.由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2 α，所以2sin α1－sin 2 α＝1－sin 2 α，解得sinα＝55，故选B. 2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3详细分析：选 A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得bc＝6.故选A. 3．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，则tan α＝________．详细分析：法一：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，所以tan α－tan 5π41＋tan αtan5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 法二：因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，所以tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＋5π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＋tan5π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4tan 5π4＝15＋11－15×1＝32.答案：324．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. [明考情]1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般．3．若以解答题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17、18题位置上，难度中等．三角恒等变换及求值(综合型)[知识整合]两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[典型例题](1)若2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3sin 2θ，则sin 2θ＝( )A.13 B.23 C ．－23D ．－13(2)若α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝55，cos ⎝⎛⎭⎫π2－β＝31010，则β－α＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π12(1)因为2cos 2θcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3sin 2θ，所以2（cos 2θ－sin 2θ）cos θcos π4－sin θsinπ4＝3sin 2θ， 即2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ， 两边平方得：4(1＋sin 2θ)＝3sin 22θ， 即3sin 22θ－4sin 2θ－4＝0.解得：sin 2θ＝2(舍去)或sin 2θ＝－23.(2)由sin α＝55，及α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos α＝255，由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β＝31010，及β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos β＝1010，所以sin(β－α)＝sin βcos α－cos βsin α＝31010×255－1010×55＝22，又因为β－α∈(－π2，π2)，所以β－α＝π4.【答案】 (1)C (2)B三角函数恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．[对点训练]1.3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( ) A.12 B.22C ．1D. 2详细分析：选D.3cos 15°－4sin 215°cos 15° ＝3cos 15°－2sin 15°×2sin 15°cos 15° ＝3cos 15°－2sin 15°sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝ 2. 2．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( )A.725 B.925 C.1625D.2425详细分析：选B.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，故cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α，其中sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－750，故12＋sin αcos α＝925. 3．(一题多解)(2019·福州市质量检测)已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝( )A ．0 B.12 C ．1D.32详细分析：选C.法一：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得，θ＝π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos 0＝1，故选C.法二：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝32， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6sin π6＝1，故选C.正弦定理与余弦定理的应用(综合型)[知识整合]正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sinA ＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .[典型例题](2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sinC )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .【解】 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．[对点训练]1．(2019·济南市模拟考试)在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝10，cos A ＝255，则△ABC 的面积为( )A.52 B ．5 C ．10D.102 详细分析：选A.由AC ＝5，BC ＝10，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－4AB －5＝0，解得AB ＝5，而sin A ＝1－cos 2A ＝55，故S △ABC ＝12×5×5×55＝52.选A. 2．(2019·贵阳市第一学期监测)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，2a cos C ＋c ＝2b ，则角A ＝________．详细分析：由题意，2a cos C ＋c ＝2b ，利用正弦定理，得2sin A cos C ＋sin C ＝2sin B ，(1)，将sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C 代入(1)式得sin C ＝2cos A sin C ，又sin C ≠0，故cos A ＝12，所以A ＝π3.答案：π33．(2019·洛阳市统考)如图，四边形ABCD 中，AC ＝3BC ，AB ＝4，∠ABC ＝π3.(1)求∠ACB ；(2)若∠ADC ＝2π3，四边形ABCD 的周长为10，求四边形ABCD 的面积．解：(1)设BC ＝a ，则AC ＝3a ，由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ， 得3a 2＝42＋a 2－2×4·a ·12，所以a 2＋2a －8＝0，所以a ＝2或a ＝－4(舍去)， 所以AB 2＝AC 2＋BC 2， 所以∠ACB ＝π2.(2)因为四边形ABCD 的周长为10，AB ＝4，BC ＝2， 所以AD ＋CD ＝4.又AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ，即12＝AD 2＋DC 2＋AD ·DC ＝(AD ＋DC )2－AD ·DC ， 所以AD ·DC ＝4.所以S △ADC ＝12AD ·DC ·sin 23π＝ 3.所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝23＋3＝3 3.与解三角形有关的交汇问题(交汇型)[典型例题]已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (∠BAC )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求中线AD 的长．【解】 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以最小正周期T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.因为f (∠BAC )＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2∠BAC －π6＝1，所以2∠BAC －π6＝π2，所以∠BAC ＝π3，又cos B ＝17，所以sin B ＝437，所以sin C ＝sin(∠BAC ＋B )＝32×17＋12×437＝5314. 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin ∠BAC， 得55314＝a 32， 所以a ＝7，所以BD ＝72.在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝52＋⎝⎛⎭⎫722－2×5×72×17＝1294. 所以AD ＝1292.(1)该题是解三角形与三角函数的综合型问题，三角函数在该题中的作用就是利用函数值给出三角形的内角∠BAC ，此时的条件类型就是两角一边，利用正、余弦定理求解即可．(2)中线的求解，也可以利用向量法，显然AD →＝12(AB →＋AC →)，然后利用向量数量积运算即可求得结果．(3)求解三角函数与解三角形的综合问题，关键是准确找出题中的条件，并在三角形中准确标出数据，如本题，根据已知将问题转化为三角形中相关数据的求解，然后根据条件的类型和所求建立相应的数学模型，最后利用正弦定理或余弦定理解决相应的问题即可．[对点训练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A.32 B.233C.33D. 3详细分析：选B.由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sin C ＝32sin C ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C ＝233.故选B. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A 2＝255，AB →·AC →＝3，则△ABC 的面积为________．详细分析：由AB →·AC →＝3，得bc cos A ＝3， 又cos A ＝2cos 2A2－1＝2×⎝⎛⎭⎫2552－1＝35，所以sin A ＝45，bc ·35＝3，所以bc ＝5.由sin A ＝45及S △ABC ＝12bc sin A ，得S △ABC ＝2. 答案：2一、选择题1．(2019·重庆市学业质量调研)已知15sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝( ) A ．－157 B.157 C ．－158D.158详细分析：选B.由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sin θ＝cos θ，所以tan θ＝1515，则tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×15151－⎝⎛⎭⎫15152＝157，故选B. 2．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5详细分析：选A.因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A.3．(2019·成都市第二次诊断性检测)若α，β都是锐角，且sin α＝255，sin(α－β)＝1010，则sin β＝( )A.7210 B.22C.12D.110详细分析：选B.因为sin α＝255，α为锐角，所以cos α＝55. 因为α，β均为锐角，所以0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜－β＜0，所以－π2＜α－β＜π2，又因为sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以cos(α－β)＝31010，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝55050＝22.4．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝( )A.23 B.43 C.34D.32 详细分析：选D.由sin θ－cos θ＝－144， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以0＜π4－θ＜π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.故2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋b sin C＝2a ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形详细分析：选 C.因为c sin B ＋b sin C ＝2a ，所以由正弦定理可得，sin C sin B ＋sin B sin C＝2sin A ≥2sin C sin B ·sin Bsin C＝2， 所以sin A ＝1，当sin C sin B ＝sin Bsin C 时，“＝”成立，所以A ＝π2，b ＝c ，所以△ABC 是等腰直角三角形．6．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2sin 2A ＋b 2sin 2B ＝2c 2，sin A (1－cos C )＝sin B sin C ，b ＝6，AB 边上的点M 满足AM →＝2MB →，过点M 的直线与射线CA ，CB 分别交于P ，Q 两点，则MP 2＋MQ 2的最小值是( )A ．36B ．37C ．38D ．39详细分析：选A.由正弦定理，知a 2sin 2A ＋b 2sin 2B ＝2c 2，即2＝2sin 2C ，所以sin C ＝1，C ＝π2，所以sin A (1－cos C )＝sin B sin C ，即sin A ＝sin B ，所以A ＝B ＝π4.以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M (2，4)，设∠MPC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则MP 2＋MQ 2＝16sin 2θ＋4cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫16sin 2θ＋4cos 2θ＝20＋4tan 2θ＋16tan 2θ≥36，当且仅当tan θ＝2时等号成立，即MP 2＋MQ 2的最小值为36.二、填空题 7．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝________． 详细分析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×116－1＝－78.答案：－788．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．详细分析：法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.答案：6 3 9.已知在河岸A 处看到河对岸两个帐篷C ，D 分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B 处后再次观察帐篷C ，D ，此时C ，D 分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐篷C ，D 之间的距离为________米．详细分析：由题意可得∠DAB ＝60°，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∠DBA ＝30°，在△ABD 中，∠DAB ＝60°，∠DBA ＝30°，AB ＝30，所以∠ADB ＝90°，sin ∠DAB ＝sin 60°＝BDBA，解得BD ＝15 3.在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，所以∠ACB ＝60°，AB sin 60°＝BCsin 45°，解得BC ＝10 6.在△BCD 中，∠CBD ＝∠CBA －∠DBA ＝45°，则由余弦定理得cos ∠CBD ＝cos 45°＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ，即22＝（106）2＋（153）2－CD 22×106×153，得CD ＝515.答案：515 三、解答题10．(2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b sin ⎝⎛⎭⎫C －π3－c sin B ＝0.(1)求角C 的值；(2)若a ＝4，c ＝27，求△ABC 的面积．解：(1)因为b sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π3－c sin B ＝0，所以sin B ⎝⎛⎭⎫12sin C －32cos C －sin C sin B ＝0，因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以12sin C ＋32cos C ＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝0.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，a ＝4，c ＝27，所以b 2＋4b －12＝0， 因为b ＞0，所以b ＝2，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×4×2×32＝2 3.11．(2019·郑州市第一次质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B ＝b 24S.(1)求sin A sin C ；(2)若4cos A cos C ＝3，b ＝15，求△ABC 的周长． 解：(1)由三角形的面积公式可得S ＝12bc sin A ，又sin B ＝b 24S，所以2bc sin A sin B ＝b 2，即2c sin A sin B ＝b ，由正弦定理可得2sin C sin A sin B ＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以sin A sin C ＝12.(2)因为4cos A cos C ＝3，所以cos A cos C ＝34，所以cos A cos C －sin A sin C ＝34－12＝14，即cos(A ＋C )＝14，所以cos B ＝－14，因为0＜B ＜π，所以sin B ＝154， 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝15154＝4.所以sin A sin C ＝ac 16＝12，所以ac ＝8.因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，所以(a ＋c )2＝15＋12＝27，所以a ＋c ＝33，所以a ＋b ＋c ＝33＋15.12．(2019·福州市质量检测)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，CD ＝5，CE ＝3，且△EDC 的面积为3 6.(1)求边DE 的长；(2)若AD ＝3，求sin A 的值．解：(1)如图，在△ECD 中，S △ECD ＝12CE ·CD sin ∠DCE ＝12×3×5×sin ∠DCE ＝36，所以sin ∠DCE ＝265，因为0°＜∠DCE ＜90°， 所以cos ∠DCE ＝1－⎝⎛⎭⎫2652＝15， 所以DE 2＝CE 2＋CD 2－2·CE ·CD ·cos ∠DCE ＝9＋25－2×3×5×15＝28，所以DE ＝27.(2)因为∠ACB ＝90°，所以sin ∠ACD ＝sin(90°－∠DCE )＝cos ∠DCE ＝15，在△ADC 中，AD sin ∠ACD ＝CDsin A ，即315＝5sin A ，所以sin A ＝13.。

姓名，年级：时间：专题限时训练(小题提速练)(建议用时：45分钟）一、选择题1．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c。

若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B＝（)A．－错误!B。

错误!C.－1D.1解析：由a cos A＝b sin B可得sin A cos A＝sin2B，所以sin A cos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.答案：D2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，b sin B－a sin A＝错误!a sin C，则sin B为（）A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!解析：由b sin B－a sin A＝错误!a sin C，且c＝2a，得b＝2a。

∵cos B＝错误!＝错误!＝错误!,∴sin B＝错误!＝错误!.故选A答案：A3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为（)A．锐角三角形B。

直角三角形C．钝角三角形D。

不确定解析:由b cos C＋c cos B＝a sin A，得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A,即sin(B＋C）＝sin2A，因为sin A≠0，所以sin A＝1，由0〈A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝错误!，则角C ＝( ) A.错误! B 。

错误! C.错误!D.错误!或错误!解析:由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,b 2＝a 2＋bc ，联立得b ＝错误!c ，代入b 2＝a 2＋bc ,得2a 2＝c 2，由正弦定理，得sin 2C ＝2sin 2A ＝错误!，∴sin C ＝错误!。

∵b ＝错误!c ，∴b >c ,∴B 〉C ,∴C ＝错误!.故选B 。

专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12 B.12 C.－1D.1解析：由a cos A ＝b sin B 可得sin A cos A ＝sin 2B ， 所以sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 答案：D2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( ) A.74 B.34 C.73D.13解析：由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ， 得b ＝2a .∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.故选A 答案：A3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B.直角三角形 C ．钝角三角形D.不确定解析：由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，因为sin A ≠0，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形． 答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C ＝( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4解析：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋bc ，联立得b ＝3＋12c ，代入b 2＝a 2＋bc ，得2a 2＝c 2，由正弦定理，得sin 2C ＝2sin 2A ＝12，∴sin C ＝22.∵b ＝3＋12c ，∴b >c ，∴B >C ，∴C ＝π4.故选B. 答案：B5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.36D.38解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34. 答案：B6．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos (A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( ) A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1D.2∶1解析：由题意可得cos 2B －3cosB ＋2＝0,2cos 2 B －3cos B ＋1＝0，B ∈(0，π)，解得cos B ＝12，故B ＝π3，由正弦定理可得c sinC ＝b sin B ＝332＝2，故选D.答案：D7．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，垂足为E .若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63解析：依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A ，由此解得cos A ＝64. 答案：C8．(2019·昆明模拟)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B. 2 C. 3D.2解析：方法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABC BC ＝2×323＝1. 方法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于 2. 答案：A9．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32 B.3－1 C.2D.2－ 3解析：由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA→|cos B ＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac ⇒a 2＋c 2－b 2＝1， 所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－ 3.故选D.答案：D10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( ) A ．6 B.5 C.4D.3解析：由正弦定理得a sin A －b sin B ＝4c sin C ⇒a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2. 又由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14，所以bc ＝6. 答案：A11．如图，海岸线上有相距5 n mile 的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距3 2 n mile 的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5 n mile 的C 处，则两艘轮船之间的距离为( )A ．5 n mile B.2 3 n mile C.13 n mileD.3 2 n mile解析：连接AC (图略)，∠ABC ＝60°，BC ＝AB ＝5 n mile ，AC ＝5 n mile ，在△ACD 中，AD ＝3 2 n mile ，AC ＝5 n mile ，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13 n mile. 答案：C12．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( ) A.π4 B.π6 C.π3D.π12解析：因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc .联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝π6.答案：B 二、填空题13．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为 .解析：设另一条边长为x .则x 2＝22＋32－2×2×3×13， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴再由正弦定理可得2R ＝x sin θ＝3sin θ＝3223＝924，∴外接圆的半径R ＝928. 答案：92814．(2018·全国新课标卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝________.解析：因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.答案：4 215．已知在△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝ .解析：设在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为sin A ＋sin B ＝2sin C ，则由正弦定理得a ＋b ＝2c . 又因为S △ABC ＝12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，所以ab ＝38，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －12ab ＝13.答案：1316．(2019·惠州第一次调研)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4,6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝(4－b )(4＋b )16(4－b )＝4＋b 16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b .因为b ∈(4,6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210. 答案：(42，210)专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数． 解析：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， BC ＋AC ＝2AB ，两式相减得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C 得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.2．在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a . (1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解析：(1)∠A ＝60°，c ＝37a ，由正弦定理可得sin C ＝37sin A ＝37×32＝3314. (2)a ＝7，则c ＝3，∴C ＜A ，由(1)可得cos C ＝1314.∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×1314＋12×3314＝437.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×7×3×437＝6 3.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2＋c 2－a 2＝bc . (1)求角A 的大小；(2)设函数f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2，当f (B )取最大值时，判断△ABC 的形状． 解析：解：(1)在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ， 根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 而A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)因为f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x2， 所以f (x )＝12sin x ＋32cos x ＋32， 即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32，则f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋32.因为B ∈(0，π)，所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，f (B )取最大值， 此时易知△ABC 是直角三角形．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2A ＋32＝2cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．解析：(1)根据二倍角公式cos 2A ＝2cos 2A －1，得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2 A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12. 因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 得b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )． 因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3， 所以l ＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.因为0<B <2π3，所以l ∈(2,3]．。

2020高考数学选填题专项练习02（解三角形）（文理通用）第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·福建高三期中（理））ABC ∆中，60C AC AB =︒==，A =( )A ．ο35B ．ο45C ．ο60D ．ο75【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理求解角B ,进而利用内角和为180︒求解A 即可.【详解】由正弦定理有sin sin sin sin 2AC AB B B C B=⇒=⇒=.又AC AB <,故B C <,所以45B =︒.故180456075A ︒-︒-︒==︒.【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用,属于基础题.2.（2020·四川省金堂中学校高三（文））小王同学骑电动自行车以24/km h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，20min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75︒方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．4km B．C．D ．23km【答案】C【解析】依题意有20248,30,1807510560AB BAS ABS o o o o =⋅=∠=∠=-=,45ASB ∠=o ，由正弦定理得sin 30sin 45BS AB=o o，解得BS = 3．（2020·河北高三月考（文））在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =3c =，2B C =，则cos 2C 的值为( )A ．37B ．75 C ．97 D ．95 【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理、二倍角的正弦公式、余弦公式直接进行求解即可.【详解】由正弦定理可得：sin sin b c B C=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C =====∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=．故答案为：59【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力. 4.（2020·宁夏贺兰县景博中学高三（文））已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,7,3C c ABC π==∆，则ABC ∆的周长为（ ） A．8B ．12C ．15D ．7+【答案】C 【解析】【分析】根据2,3ABC C S π∆==，解得15ab =，再由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，求得+a b 即可.【详解】因为2,3C ABC π=∆的面积为4，所以1sin 2ab C =15ab =.由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以8a b +=，又因为7c =，所以1sin 142ab C =，解得15ab =.由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以8a b +=，所以ABC ∆的周长为15.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．（2020·湖南明达中学高三（理））设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )=ac ，sinAsinC ，则角C =（ ） A ．C =15°或C =45° B ．C =15°或C =30° C ．C =60°或C =45° D ．C =30°或C =60°【答案】A 【解析】【分析】直接利用关系式的恒等变换，把关系式变形成余弦定理的形式，求出B 的值.对sinAsinC =4进行变换，最后求出结果．【详解】因为()()a b c a b c ac ++-+=,所以222a cb ac +-=-． 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此120B =︒． 所以60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+ cos()2sin sin A C A C =++ 122=+=， 故30A C -=︒或030A C -=-，因此，15=︒C 或45C =︒． 故选：A【点睛】本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，考查余弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题型．6.（2019·安徽省怀宁中学高三月考（文））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为( )A ．9B ．7C ．5D ．13【答案】A 【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．（2020·江苏金陵中学高三开学考试）在锐角ABC ∆中，已知sin 4cos cos C A B =，则tan tan A B 的最大值为( )A ．4B ．3C ．6D ．7【答案】A【解析】【分析】根据三角形内角和以及两角和的正弦展开整理得tan tan 4A B +=，再代入基本不等式即可求解． 【详解】在锐角ABC ∆中，已知sin 4cos cos C A B =，则tan 0A >，tan 0B >，()sin sin sin cos cos sin 4cos cos C A B A B A B A B =+=+=，所以，tan tan 4A B +=，由基本不等式可得4tan tan A B =+≥，可得tan tan 4A B ≤.当且仅当tan tan 2A B ==时，等号成立，因此，tan tan A B 的最大值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式以及三角形内角和，基本不等式，难度不大，属于中等题．8.（2020·山西高三月考（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b －=cosCcosB，b=4，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D【答案】A 【解析】【分析】由已知式子和正弦定理可得3B π=，再由余弦定理可得16ac ≤，由三角形的面积公式可得所求．【详解】∵在△ABC 中2a c b －=cos cos CB，∴()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+=+=．又sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=．在△ABC 中，由余弦定理得 22222b 162cos 2a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+--=…，∴16ac ≤，当且仅当a c =时等号成立．∴△ABC 的面积1sin 24S ac B ac ==≤故选A ． 【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.9.（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文））ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为（）A ．3B ．33C ．36D ．312【答案】C 【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-，所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．10.（2020·黑龙江高三期末（文））已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足2sin 1cos A C B =-．若2,a c ==b =（ ）A ．2B ．C ．D ．3【答案】B 【解析】2sin 1cos A C B =-为2sin sin A C B =，再利用正弦定理将角化成边，代入数值，即可求解.22sin 1cos sin A C B B =-=2b =，因为2,a c ==所以b =b =B【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦定理的应用，属于基础题.11．（2020·湖北高三（文））已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2=8，则△ABC 面积的最大值为（ ）A ．5B ．5C ．5D ．3【答案】B 【解析】【分析】根据a 2+b 2+2c 2=8，得到22282a b c +=-，由余弦定理得到22cos 83ab C c =-，由正弦定理得到2sin 4ab C S =，两式平方相加得()()()22224834ab c S =-+，而222822a b c ab +=-≥，两式结合有()()()()222222248283165S c c c c≤---=-，再用基本不等式求解.【详解】因为a 2+b 2+2c 2=8，所以22282a b c +=-，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab+--==，即22cos 83ab C c =-①,由正弦定理得in 12s S ab C =，即2sin 4ab C S =②,由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S a b c =-+≤+=-，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S cc c c ⎛⎫-+≤---=-≤= ⎪⎝⎭，即245S ≤，所以S ≤，当且仅当22a b =且221655c c-=即222128,55a b c ===时，取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.（2020·汕头市潮阳实验学校高三月考（理））如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，BD =，AB AC ⊥，2AC AB =，则CD 的最小值为( )A ．5B ．33C ．5D ．53【答案】 C 【解析】【分析】设ADB θ∠=，在ABD ∆中，利用正弦定理得sin AB BAD θ⋅∠=，利用余弦定理得26AB θ=-，从而得到θ与BAD ∠的关系，再由2BAD DAC π∠=+∠可得θ与DAC ∠之间的关系，利用余弦定理可得22520sin()CD θϕ=-+，再利用三角函数的有界性可得答案.【详解】设ADB θ∠=，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BD BAD θ=∠，即sin sin A BA B Dθ=⇒∠sin AB BAD θ⋅∠=，由余弦定理得2222cos 6AB AD BD AD BD θθ=+-⋅⋅⋅=-，∵AB AC ⊥，∴2BAD DAC π∠=+∠，在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos CD AD AC AD AC DAC =+-⋅∠2144sin AB AB BAD =-+∠25θθ=--2520sin()θϕ=-+，∴当sin()1θϕ+=时，min CD =【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意确定以什么为变量，建立函数关系.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高三文科数学第二轮专题训练三角函数（一）一、学习目标与考点：1、掌握三角函数的定义、符号及其应用；2、掌握同角三角函数的基本关系式及诱导公式；3、两角和与差的三角函数，二倍角的正弦、余弦、正切公式;4、并能运用这些公式进行求值、化简与证明。

二、课堂练习1、(2016·全国Ⅱ卷,文11)函数f(x)=cos 2x+6cos(π2 -x)的最大值为( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)72、(2011年新课标全国卷,文7)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos 2θ=( )(A)-45 (B)-35 (C)35 (D)453、若，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 1/24、已知()sin 3cos f x x x =-，且4)()(21-=⋅x f x f ，则21x x +的最小值为( )A.3πB.2πC.32πD.43π 5、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标分别为（1）求的值； （2）求的值．6、已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．（1）求π()12f 的值；（2）若对于任意的π[0,]2x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围．三、课外练习：1.(山东潍坊市2019第1次模拟).已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x点(),8M x 是角θ终边上一点，则x =（ ） A. 12-B. 10-C. 8-D. 6- 2、若1sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A ．79 B ．23 C ．23- D ．79- 3、已知31)tan(-=-πα，则=+--ααπα2cos 1)2(sin 2sin 2_____________________.4、已知sin10°＋mcos10°＝－2cos40°，则m ＝________．5、已知3sin(3)2sin()2ππαα+=+,求下列各式的值. （1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+；（2）2sin sin 2αα+.6、已知函数()2cos ,12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. (1) 求函数)(x f 图象的对称轴与对称中心；(2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.答案：课内练习：1 B2 B 解析:法一、①取x=1,则y=2,∴r=5,∴cos θ=5=55,cos 2θ=2cos 2θ-1=-35. ②取x=-1,则y=-2,∴r=5,cos θ=-5.cos 2θ=2cos 2θ-1=-35.故选B. 法二、先求正切值为2，再弦化切。

2020版高考数学大二轮培优文科通用能力升级解三角形典型试题一、选择题1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=()A. B.C. D.△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理,得cos∠BAC=--=-,由A∈(0,π),得A=,即∠BAC=π.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=()A. B.C.2D.3,得5=b2+22-2×b×2×,解得b=3,或b=-(舍去).13.(2019山东潍坊一模)若角α的终边过点A(2,1),则sin-=()A.-B.-C. D.,cos α=,-=-cos α=-.则sin4.若tan θ=-,则cos 2θ=()A.-B.-C. D.--.θ=cos2θ-sin2θ=5.(2019广东深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为()A.mB.mC.mD.m23.在Rt △ACD 中可得CD==BE , 在△ABE 中,由正弦定理得°°,则AB=,所以DE=BC=200-(m).6.在△ABC 中,cos 2(a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形cos 2,所以2cos2-1=-1,所以cos B=,所以-,所以c2=a2+b2.所以△ABC为直角三角形.7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin C+c sin B=4a sin B sinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为() A. B.C. D.b sin C+c sin B=4a sin B sin C及正弦定理,得2sin B sin C=4sin A sin B sin C,易知sin B sin C≠0,∴sin A=.又b2+c2-a2=8,∴cos A=-,4则cos A>0.∴cos A=,即,则bc=.∴△ABC的面积S=bc sin A=.8.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是() A.10海里 B.10海里C.20海里D.20海里,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理,得°°解得BC=10(海里).59.(2019山东济宁模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A==2sin A sin B,且b=6,则c=() A.2 B.3C.4D.6△ABC中,A=,b=6,∴a2=b2+c2-2bc cos A,即a2=36+c2-6c,①又=2sin A sin B,∴=2ab,即cos C=-,∴a2+36=4c2,②由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.二、填空题610.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为米.OC,由题意知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°.在△COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°,即OC=50.11.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,cos A=,sin B=2sin C,则△ABC的面积是.sin B=2sin C,cos A=,A为△ABC一内角,可得b=2c,sin A=-,∴由a2=b2+c2-2bc cos A,可得8=4c2+c2-3c2,解得c=2,则b=4.78∴S △ABC = bc sin A= ×4×2×.12.如图,在△ABC 中,B=45°,D 是BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB= .△ACD 中,由余弦定理可得cos C=-,则sin C=. 在△ABC 中,由正弦定理可得,则AB=. 13.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且B 为锐角,若,sin B=,S △ABC=,则b 的值为 .由及正弦定理,得,即a=c ,① 由S △ABC =ac sin B=,sin B=,得ac=5, ②9联立①②,得a=5,c=2.由sin B=且B 为锐角,得cos B=,由余弦定理,得b 2=25+4-2×5×2×=14,b= .三、解答题14.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s .某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s 后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为多少米?(取 ≈1.4, ≈1.7),作CD 垂直于线段AB 的延长线于点D ,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°, 所以∠ACB=30°,AB=50×420=21 000(m). 又在△ABC 中,,所以BC=×sin 15°=10 500( ).因为CD⊥AD,所以CD=BC·sin∠DBC=10 500()×=10 500(-1)≈7 350(m).故山顶的海拔高度为10 000-7 350=2 650(m).15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-ab-2b2=0.(1)若B=,求A,C;(2)若C=,c=14,求S△ABC.由已知B=,a2-ab-2b2=0结合正弦定理,得sin2A-sin A sin-2sin2=0,化简整理,得2sin2A-sin A-1=0,于是sin A=1或sin A=-(舍).因为0<A<π,所以A=,又A+B+C=π,所以C=π-.(2)由题意及余弦定理可知a2+b2-2ab cos=196,即a2+b2+ab=196,①由a2-ab-2b2=0,得(a+b)(a-2b)=0,因为a+b>0,所以a-2b=0,即a=2b,②10联立①②解得b=2,a=4.所以S△ABC=ab sin C=14.11。