饮酒驾车的数学建模

饮酒驾车模型摘要本文作者认真研究了饮酒后血液中酒精含量随时间变化的关系。

根据药代动力学原理，进行合理的假设建立“房室模型”。

对于短时间内喝酒与长时间内喝酒的具体情况，分别建立两个模型。

模型一（短时间内饮酒问题）：由于时间比较短，酒精进入血液的过程，可以把机体简化为一个吸收室和一个中心室。

酒精进入吸收室后，按照一定的速率进入中心室，再由中心室排出体外。

所以某一时刻血液中的酒精含量变化率为某一时刻由吸收室进入中心室的酒精量减去排出体外的酒精量。

从而建立模型，并求解出血液中的酒精含量与时间的关系式为()t k kt Be Ae t C 0---=，然后利用MATLAB 软件对所提供的数据进行分析拟合，得到一个具体的关系式： 模型二（长时间内饮酒问题）：因为饮酒的时间比较长，我们假设血液中酒精在较长时间内按恒速进入中心室，因此简化为“一室模型”，即酒精以()00k t f =流入中心室，再由中心室排出体外。

得出解析式： 然后根据提供的数据，得出在两小时内喝了三瓶啤酒或者半斤较低度的白酒后，血液中的酒精量与时间的关系式：根据我们所建立的模型，代入时间计算，经过检验，比较符合实际情况。

并对提出的问题作出了如下解答： 1、大李在中午12点喝一瓶啤酒，下午6点检查时，把6=t 代入模型得：97.19=c符合标准。

随后又喝一瓶啤酒，凌晨2点检查时，把14=t 代入模型得：52.24=c ，所以不合标准。

2、（1）11小时内不能驾车； （2）10小时内不能驾车；3、对t k kt Be Ae c 0---=求导，令0='c 计算得4097.1=t ，此时酒精含量最高。

当然也可以用MATLAB 或LINGO 求解。

4、在每天定时每次只喝两瓶啤酒的条件下，可以天天喝酒，但必须在喝完酒后10小时以上才能驾车。

一、问题的重述据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1. 对大李碰到的情况做出解释；2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1）酒是在很短时间内喝的；2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测本题要解决司机驾驶员喝酒后，血液中酒精的含量是否符合新的国家检验标准的问题。

属于微分方程类型。

如果酒是在很短时间内喝的，可根据药物动力学知识建立“二室模型”，即中心室和吸收室。

也就是说喝入的酒进入吸收室和中心室后排出体外。

再根据酒精在不同房室间的转移及排出规律，建立微分方程，从而得到数学模型。

最后可以利用MATLAB软件对所提供的数据进行拟合，得到血液中酒精含量c与时间t的一个函数关系式。

如果酒是在较长时间内喝的，将它假设为“一室模型”，即酒直接进入中心室后排出体外。

由此可建立血液中酒精含量c 与时间t 的另一个函数关系式。

三、模型假设1、假设每瓶啤酒内的酒精含量一定。

2、假设食物不影响人体对酒精的吸收。

3、假设人体血液体积一定。

4、假设人体对酒精的吸收、消化、排泄功能正常。

5、假设人体血液中的酒精量与喝入的酒精量成线性关系。

6、假设酒精进入中心室以后直接排出体外。

四、符号说明0D ：进入吸收室中的酒精含量（单位：mg ）。

0k ：吸收室中的酒精转移到中心室的速率系数。

k ：中心室的酒精排出体外的速率系数。

2k ：长时间内喝酒，酒精进入中心室的速率。

()t f 0：酒精在t 时刻转移到中心室的速率。

t ：时间（单位：时）。

()t c ：t 时刻血液中的酒精浓度。

()00x ：吸收室在0=t 时的酒精含量。

()t x 0：吸收室在t 时刻的酒精含量。

()t x 1：中心室在t 时刻的酒精含量。

()t x ：长时间内喝酒中心室在t 时刻血液中的酒精含量。

V ：人体中血液的体积。

1V ：中心室中血液的体积。

五、模型一（快速饮酒问题）（一）、模型建立与求解快速饮酒与口服或肌肉注射药物的过程相似,这就相当于酒精进入中心室前先有一个将酒精吸收入血液的过程可以简化为有一个吸收室。

如图一于是)(0t x 满足⎩⎨⎧=-='00000)0()(D x x k t x(1)而药物进入中心室的速率为 )()(000t x k t f = (2) 将方程（1）的解代入（2）式得 ()t k e D k t f 0000-= (3) 又由假设得出微分方程)()()(10'1t kx t f t x -= (4))(1t x 与血液浓度)(1t c 、房室容积1V 之间显然有关系式 )(1t x =)(1t c 1V （5） 将（5）式代入（4）式得100'0)(V e D k kc t c t k -+-= （6） 用MATLAB 解此微分方程，可得kt t k k e c e k k V D k t c -+-+-=])([)(1)(01000 )(0k k ≠ （7）即kt t k e c e k k V D k t c --+-=101000)()( （8） 因为k V D k ,,,10都是常数故（8）式可以简化为t k kt Be Ae c 0---=B A ,都为待定参数，其中)(0101k k V D k B -=（二）、参数估计将血样分成两部分，对于t 比较大时， 可近似有两边取对数得利用MATLAB 将数据拟合 （计算程序见附录一）得出 则t e t c 2316.01285.190)(-= 对于其余数据进行以下处理 同理得出（计算程序见附录二） 从而得出快速喝入两瓶啤酒，血液中酒精含量与时间t 的关系式：图二 经过n 小时后再喝入两瓶啤酒，可以进一步改进模型得血液中酒精含量与时间t 的关系式：图二为模拟数据（“o ”）与所提供的数据（“+”）的散点对照图。

显而易见，两者基本吻合。

六、模型二（慢速饮酒问题）（一）、模型建立与求解慢速饮酒与恒速静脉滴注过程相似，我们假设血液中酒精是比较长时间（两小时内）恒速进入中心室的，其速率为2k ，)(0t f 和初始条件为： 如图三，可得微分方程)()()(0't kx t f t x -= （9） 又因为 求导得)()('1't c V t x = （10） 把（10）代入（9）可得)()()(10't c kV t f t Vc -= （11） 即)()()(10't kc V t f t c -=（12） 可以利用MATLAB 解微分方程得kt e c K V t f t c -+=110)()( （13）又因为0)0(=c （14） 所以k V t f c 101)(-= （15）把（15）代入（13）得)1()()(10kt e k V t f t c --= （16）两小时以后，中心室没有酒精注入即0)2(0=-t f （17）把（17）代入（9）可得)2()2('--=-t kx t x （18） 所以就有即)2()2('--=-t kc t c （19） 可以利用MATLAB 解微分方程得)2(2)2(--=-t k e C t c （20）2C 为常数，其值)2(2C C =，)1()()2(210k e kV t f C --=（21） 把（21）代入（20）可得)2(210)1()()2(----=-t k k e e k V t f t c （22）所以慢速饮酒时血液中的酒精含量与时间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤<-=----)2()1()()20()1()()()2(21010t e e k V t f t e kV t f t c t k k kt （23） （二）、参数估计据我们调查后得到两瓶啤酒的酒精含量为： 所以得48.2202316.04728138400)(0=⨯⨯⨯=Vk t f （24） 把（24）代入（23）可得血液中的酒精含量与时间的关系式⎩⎨⎧≥-≤<-=----)2()1(48.220)20()1(48.220)()2(2316.04632.02316.0t e et e t c t t （25） 用MATLAB 画出散点图如上备注：上述模型参数都是在喝两瓶啤酒的基础上得出的。

七、模型的分析与检验1、对大李遇到的情况做如下解释大李喝过一瓶啤酒，经过6小时后，代入模型可得其血液中的酒精含量为2097.19<=c 毫克/百毫升，所以符合新的国家标准。

随后又喝一瓶啤酒，经过7小时后，代入改进后的模型可得其血液中的酒精含量为2052.24>=c 毫克/百毫升，所以被定为饮酒驾车。

2、在喝3瓶啤酒的情况下 （1）酒是在很短的时间内喝的根据所建立的模型一，画出其散点图（图四）如下 图四 根据上图可知，在11小时内驾车违反上述标准。

（2）酒是在较长的时间内喝的根据所建立的模型二，画出其散点图如下代入模型计算可得慢速喝酒以后在10小时内开车是违反规定的，也可以由上图得出。

（3）根据我们建立的模型，对t k kt Be Ae c 0---=求导，令0='c ，可得409.1=t即喝过酒以后1.409小时，血液中的酒精含量最高与所给的数据基本吻合。

（4）根据我们的模型论证：在每天每次喝2瓶啤酒的情况下，在喝完酒后10小时以后才能驾车。

八、模型的优缺点及改进方向1、本模型基本符合题目的要求，较好地反映了实际情况。