成才之路高中数学人教B选修21同步练习 第2章 圆锥曲线与方程 2

2.3 抛物线2．3.1抛物线及其标准方程1．掌握抛物线的定义及其标准方程．(重点)2．了解抛物线的实际应用．(难点))3．能区分抛物线标准方程的四种形式．(易混点[基础·初探]教材整理抛物线的定义与标准方程阅读教材P57～P58例1以上部分，完成下列问题．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2．抛物线的标准方程四种不同标准形式的抛物线方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( )(4)抛物线可看作双曲线的一支．( )【答案】(1)√(2)√(3)×(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型](1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；(3)焦点到准线的距离为52. 【导学号：25650075】【精彩点拨】本题主要考查抛物线标准方程的求法，解题的关键是明确标准方程的类型和参数p的值．【自主解答】(1)∵点(－3,2)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)． 将点(－3,2)代入方程，得2p ＝43或2p ＝92.∴当焦点在x 轴上时，所求抛物线方程是y 2＝－43x ，其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，0，准线方程为x ＝13；当焦点在y 轴上时，所求抛物线方程为x 2＝92y ，其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，98，准线方程为y ＝－98.(2)令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)． 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 则由p2＝2，得2p ＝8，∴所求抛物线方程为x 2＝－8y .令y ＝0，由方程x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则由p 2＝4，得2p ＝16，∴所求抛物线方程为y 2＝16x .综上，所求抛物线方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x . 其准线方程为y ＝2或x ＝－4， 焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．(3)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．[再练一题]1．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.【解】 (1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2，则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－p 2＝p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .B 高5m ，且与OA 所在的直线相距4m ，水流落在以O 为圆心，半径为9m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？ 【导学号：25650076】【精彩点拨】 根据题意先建立坐标系，设出抛物线方程，把实际问题转化为数学问题． 【自主解答】 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5， 所以抛物线的方程为x 2＝－5y ， 点A (－4，y 0)在抛物线上， 所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8 (m)．所以管柱OA 的长为1.8 m.在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．[再练一题]2．某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽8 m ，一木船宽4 m ，高2 m ，载货的木船露在水面上的部分为0.75m ，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 【导学号：25650077】【解】 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(如图)设抛物线的方程是x 2＝－2py (p ＞0)， 由题意知A (4，－5)在抛物线上， 故16＝－2p ×(－5)⇒p ＝85，则抛物线的方程是x 2＝－165y (－4≤x ≤4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B 、B ′时，木船开始不能通航． 设B (2，y ′)，∴22＝－165y ′⇒y ′＝－54.∴54＋0.75＝2.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m 时，木船开始不能通航．[探究共研型]探究1 【提示】 抛物线标准方程中的p 的几何意义是焦点到准线的距离． 探究2 抛物线定义的功能是什么？【提示】 根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷．(1)若动点M 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则动点M 的轨迹方程是________．(2)如图2-3-1，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)．求|P A |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标．图2-3-1【精彩点拨】 (1)中先由抛物线的定义确定点M 的轨迹，再写方程．(2)由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线的距离d ，求|P A |＋|PF |的问题可转化为|P A |＋d 的问题．【自主解答】 (1)如图，设点M 的坐标为(x ，y )．由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线，且p2＝4，即p＝8.因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2＝16x.【答案】y2＝16x(2)如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|P A|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|P A|＋d的最小值的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵6＞2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|P A|＋|PF|＝|P A|＋d.由图可知，当P A⊥l时，|P A|＋d最小，最小值为7 2 .即|P A|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2,2)．1．对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题．2．抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．[再练一题]3．(1)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．2 C.5D.92 (2)(2015·上海高考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.【解析】 (1)如图，由抛物线定义知|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值，则当A 、P 、F 三点共线时，|P A |＋|PF |取得最小值． 又A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF |＝错误!＝错误!.故选A. (2)依题意，点Q 为坐标原点，所以p2＝1，则p ＝2.【答案】 (1)A (2)2[构建·体系]1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A ．(1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0 D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，18【解析】 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以p ＝14，故焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，18.【答案】 D2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】 抛物线焦点到准线的距离是p ＝4. 【答案】 C3．若双曲线x2m －y23＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则m ＝________. 【导学号：25650078】【解析】 双曲线x2m －y23＝1的右焦点为(m ＋3，0)，抛物线y 2＝12x 的焦点F (3,0)，∴m ＋3＝3，∴m ＝6.【答案】 64．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，则这些圆必过一定点，这个定点的坐标是________．【解析】 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＋2＝0，根据抛物线的定义，圆心到直线x ＋2＝0的距离等于圆心到焦点的距离，所以这些圆必过抛物线的焦点，所以应填(2,0)．【答案】 (2,0)5．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值．【解】 法一 设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，0，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧m2＝6p ，m2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫3－p 22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝26，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝－26，故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ， m 的值为±26.法二 设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2，根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离为5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，因此，抛物线方程为y 2＝－8x ，又点M (－3，m )在抛物线上，于是m 2＝24， ∴m ＝±26.。

『高二教材·同步双测』『A卷基础篇』『B卷提升篇』试题汇编前言：本试题选于近一年的期中、期末、中考真题以及经典题型，精选精解精析，旨在抛砖引玉，举一反三，突出培养能力，体现研究性学习的新课改要求，实现学生巩固基础知识与提高解题能力的双基目的。

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祝大家掌握更加牢靠的知识点，胸有成竹从容考试！第二章 圆锥曲线与方程B （提高卷）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一二三四总分得分第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得 分一．选择题（共8小题） 1．（2020•6月份模拟）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，实轴的两个端点分别为A 1、A 2，虚轴的两个端点分别为B 1、B 2．以坐标原点O 为圆心，|B 1B 2|为直径的圆O （b ＞a ）与双曲线交于点M （位于第二象限），若过点M 作圆的切线恰过左焦点F 1，则双曲线的离心率是（ ） A ．√3B ．2C ．√62D ．√722．（2020•珠海三模）已知椭圆C ：x 216+3y 216=1，M 为椭圆C 上的一个动点，以M 为圆心，2为半径作圆M ，OP ，OQ 为圆M 的两条切线，P ，Q 为切点，则∠POQ 的取值范围是（ ） A ．[π3，π2]B ．[π4，π2]C ．[π6，π2]D ．[π3，2π3]3．（2020•陕西模拟）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线E 的右支上，若∠F 1MF 2∈[π4，π3]，则MF 1→⋅MF 2→的取值范围是（ ） A ．[√2b 2，2b 2] B ．[2b 2，2(√2+1)b 2] C ．[(√2−1)b 2，b 2]D ．[b 2，(√2+1)b 2]4．（2020•湖北模拟）已知P 是双曲线E ：y 24−x 2m =1上任意一点，M ，N 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2（k 1k 2≠0），若|k 1|+|k 2|的最小值为1，则实数m 的值为（ ） A ．16B ．2C ．1或16D ．2或85．（2020•西安二模）点P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到点A （0，﹣1）的距离与点P 到直线x ＝﹣2的距离和的最小值是（ ） A ．√5B ．√2C ．√2−1D ．√2+16．（2020•昆明一模）已知F 为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，且满足|DF|=√3|CF|，则|FA||FB|=（ ）A ．3√3B ．2√3C ．3D ．327．（2020•三模拟）已知O 是线段KF 的中点，|KF |＝4．直线l 经过点K 且与KF 垂直，PH ⊥l （垂足是H ），PO ＝PF ＝PH ，则△POF 的外接圆半径等于（ ） A ．9√38B ．9√28C ．8√39D ．8√298．（2020•西安二模）设F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，O 为坐标原点，过F 2的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若|MF 2|＝3|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线的斜率为（ ） A ．±2√77B ．±2√33C ．±√72D ．±√32第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得 分二．多选题（共4小题） 9．（2020•泰安模拟）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆E ：（x +3）2+（y ﹣4）2＝4上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若|PQ |﹣|PF |的最小值为2√5−6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为2 B ．椭圆C 的短轴长为√3C ．|PQ |+|PF |的最小值为2√5D ．过点F 的圆E 的切线斜率为−4±√7310．（2020•威海二模）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上三点A （x 1，y 1），B （1，2），C （x 2，y 2），F 为抛物线的焦点，则（ ）A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1B ．FA →+FB →+FC →=0→，则|FA →|，|FB →|，|FC →|成等差数列 C ．若A ，F ，C 三点共线，则y 1y 2＝﹣1D ．若|AC |＝6，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2 11．（2020•青岛模拟）已知曲线C 的方程为x 2k 2−2−y 26−k=1(k ∈R)，则下列结论正确的是（ ）A ．当k ＝8时，曲线C 为椭圆，其焦距为4√15B ．当k ＝2时，曲线C 为双曲线，其离心率为√3 C ．存在实数k 使得曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线D ．当k ＝﹣3时，曲线C 为双曲线，其渐近线与圆（x ﹣4）2+y 2＝9相切 12．（2020•泰安二模）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x ﹣2y ＝0，双曲线的左焦点在直线x +y +√5=0上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2的取值可能为（ ） A ．34B ．1C ．43D ．2评卷人得 分三．填空题（共4小题）13．（2020•市中区校级模拟）已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O '，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C ．如图椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E ，OE ＝3．若光线与地面所成角为θ，则sin θ＝ ，椭圆的离心率e ＝ ．14．（2020•赤峰模拟）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，点A （2，0），射线F A 与抛物线C 相交于点M 与其准线相交于点N ，且MN →=3FM →，则p ＝ ． 15．（2020•南平三模）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA （O 为坐标原点），若C 的焦距为4，则C 的方程为 ． 16．（2020•罗湖区校级模拟）已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点和右焦点，过点F 2且斜率为k （k ＞0）的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，△AF 1F 2的内切圆圆心为O 1，半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆圆心为O 2，半径为r 2，则直线O 1O 2的方程为： ；若r 1＝3r 2，则k ＝ ． 评卷人得 分四．解答题（共6小题）17．（2020•昆明一模）经过椭圆C ：x 22+y 2=1左焦点F 1的直线l 与圆F 2：(x −1)2+y 2=r 2(r ＞2)相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |． （1）求r ；（2）l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积． 18．（2020•安丘市模拟）已知椭圆C 1：x 22+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点为F 1，F 2．抛物线C 2：y 2＝4mx （m ＞0）与椭圆C 1有公共焦点F 2（1，0）．且两曲线C 1、C 2在第一象限的交点P 的横坐标为23． （1）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（2）直线l ：y ＝kx 与抛物线C 2的交点为Q 、O （O 为坐标原点），与椭圆C 1的交点为M ，N （N 在线段OQ 上，且|MO |＝|NQ |．问满足条件的直线l 有几条，说明理由．19．（2020•宜宾模拟）设抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的准线被圆O ：x 2+y 2＝4所截得的弦长为2√3， （1）求抛物线C 的方程；（2）设点F 是抛物线C 的焦点，M 为抛物线C 上的一动点，过M 作抛物线C 的切线交圆O 于A ，B 两点，求△F AB 面积的最大值．20．（2020•青岛模拟）已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，双曲线x 24−y 2=1的渐近线与椭圆C 的交点到原点的距离均为√102．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点D ，M ，N 为椭圆C 上的动点，M ，O ，N 三点共线，直线DM ，DN 的斜率分别为k 1，k 2． （i ）证明：k 1k 2=−14；（ii ）若k 1+k 2＝0，设直线DM 过点（0，m ），直线DN 过点（0，n ），证明：m 2+n 2为定值． 21．（2020•濮阳一模）已知O 为坐标原点，抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点坐标为(0，12)，点A ，B 在该抛物线上且位于y 轴的两侧，OA →⋅OB →=3． （Ⅰ）证明：直线AB 过定点（0，3）；（Ⅱ）以A ，B 为切点作C 的切线，设两切线的交点为P ，点Q 为圆（x ﹣1）2+y 2＝1上任意一点，求|PQ |的最小值．22．（2020•4月份模拟）已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）点D 是圆O ：x 2+y 2＝4上一动点，动点E 满足F 2E →=2F 2D →，点P 在直线EF 1上，且DP ⊥EF 2． （1）求点P 的轨迹C 的标准方程；（2）已知点Q 在直线l ：x ﹣4＝0上，过点Q 作曲线C 的两条切线，切点分别为M ，N ，记点M ，N 到直线OQ 的距离分别为d 1，d 2，求|MN|d 1+d 2的最大值，并求出此时Q 点的坐标．。

[答案] 3x62 ＋y92＝1
[解析] 依题意设椭圆 G 的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． ∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12， ∴2a＝12⇒a＝6.
∵椭圆的离心率为 23， ∴ a2a－b2＝ 23，∴ 366－b2＝ 23， 解得 b2＝9， ∴椭圆 G 的方程为3x62 ＋y92＝1.
且焦距为 8.
[分析] 1.求椭圆的标准方程要先确定椭圆的焦点位置，不 能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法 确定 a、b、c.
2．(1)中由离心率 e＝ac，及 a2＝b2＋c2 可知椭圆的标准方 程中只有一个待定系数，再由过点(3,0)可求之．
(2)设短轴端点为 A，F 为一个焦点，由条件知△OAF 为等 腰直角三角形，于是 a、b、c 可求之．
• 第二步，建联系，找解题突破口，确定解答 步骤．由直线过定点，若定点在椭圆上或椭 圆内，则直线与椭圆有公共点；将直线与椭 圆方程联立消元，当Δ≥0时，直线与椭圆有公 共点．
• 第三步，规范解答．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ [解析]
y＝kx＋1， 由x52＋ym2＝1，
消去 y，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1
点为 P，且△PF1F2 为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距
离为 3，则椭圆的方程为____________.
[答案] 1x22 ＋y92＝1
[解析]
∵椭圆的焦点在
x
轴上
，
则
设方
程
为
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)，两焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)，P(0，b)． 不妨设 x 轴与椭圆的一个交点为 A(a,0)，

【成才之路】2021-2021学年高中数学 知能基础测试 新人教B 版选修2-2时刻120分钟，总分值150分．一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32 处的切线的倾斜角为( ) A ．－1B ．45°C ．－45°D ．135°[答案] D[解析] y ′＝x －2，因此斜率k ＝1－2＝－1，因此倾斜角为135°.应选D.2．以下求导运算正确的选项是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1＋3x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln2 C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x[答案] B [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1－3x 2，因此A 不正确； (3x )′＝3x ln3，因此C 不正确；(x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，因此D 不正确；(log 2x )′＝1x ln2，因此B 对．应选B.3．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水脸部份的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，那么导函数y ＝S ′(t )的图像大致为( )[答案] A[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的转变率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时转变不持续，应选A.4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，那么a 的取值范围为( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.因为f (x )既有极大值又有极小值，因此Δ>0，即4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，解得a >6或a <－3.应选D.5．(2021·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封锁图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D[解析] 如下图由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ，y ＝x 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－8.∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得S ＝⎠⎜⎛02(4x －x 3)dx ＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4. 6．(2021·黄山模拟)已知f (x )＝x ln x ，假设f ′(x 0)＝2，那么x 0＝( )A ．e 2B ．eC.ln22 D ．ln2[答案] B[解析] f (x )的概念域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.7．(2021·北师大附中高二期中)函数y ＝ln xx 的导数为( )A ．y ′＝1xB ．y ′＝ln x －1x 2C ．y ′＝－1x 2 D ．y ′＝1－ln xx 2[答案] D[解析] y ′＝ln x ′·x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2.8．函数f (x )＝x 3－2x ＋3的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是()A ．相切B ．相交且过圆心C ．相交但只是圆心D ．相离[答案] C [解析] 切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.圆心到直线的距离为12＝22<22，因此直线与圆相交但只是圆心．应选C. 9．f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如下图，那么f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由图可知，当b >x >a 时，f ′(x )>0，故在[a ，b ]上，f (x )为增函数．且又由图知f ′(x )在区间[a ，b ]上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，应选D.10．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2D ．e 2[答案] D[解析] ∵y ′＝12e x 2， ∴在点(4，e 2)处的切线方程为y ＝12e 2x －e 2， 令x ＝0得y ＝－e 2，令y ＝0得x ＝2，∴围成三角形的面积为e 2.应选D.11．(2021·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如下图，那么函数f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，应选D.12．(2021·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如下图，假设△ABC 为锐角三角形，那么必然成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB )B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )[答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，选A. 二、填空题(本大题共4个小题，每题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．通过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程为______________． [答案] x ＋y －2＝0[解析] 设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，那么1x 0x 0－2＝－1x 20，解得x 0＝1，因此切点为(1,1)，斜率为－1，直线方程为x ＋y －2＝0.14．假设函数f (x )＝ax 2－1x 在(0，＋∞)上为增函数，那么实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0 [解析] f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x 2， 由题意得，a ＋1x 2≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立， 即a ≥－1x 2，x ∈(0，＋∞)恒成立．∴a ≥0. 15．(2021·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象通过四个象限，那么实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)，由f (x )的图象通过四个象限知，假设a >0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ f －2>0，f 1<0，现在无解；假设a <0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ f －2<0，f 1>0，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316. 16．(2021·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，假设过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，那么实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，那么切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线通过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)17．(此题总分值12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)．(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)假设f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值． [解析] 函数f (x )的概念域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ， (1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，因此f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)； (2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2x x 2－x ＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(此题总分值12分)(2021·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ，∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)．∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝－2，f ′1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(此题总分值12分)求定积分⎠⎜⎛－11f (x )d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x －1 x ≤0x 2 x >0.[解析] ⎠⎜⎛－11 f (x )d x ＝⎠⎜⎛－10 f (x )d x ＋⎠⎜⎛01f (x )d x＝⎠⎜⎛－11 (sin x －1)d x ＋⎠⎜⎛01x 2d x ＝(－cos x －x )|0－1＋13x 3|10 ＝cos1－2＋13＝cos1－53. 20．(此题总分值12分)已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．假设函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．[解析] 依概念f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1,1)上是增函数，那么在(－1,1)上有f ′(x )≥0.恒成立．∵f ′(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，由于g (x )＝3x 2－2x 的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ≥5时，f ′(x )在(－1,1)上知足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5.21．(此题总分值12分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .(1)假设f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值；(2)假设f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)．因f (x )在x ＝3处取得极值，因此f ′(3)＝6(3－a )(3－1)＝0，解得a ＝3.经查验知当a ＝3时，x ＝3为f (x )的极值点．(2)令f ′(x )＝6(x －a )(x －1)＝0得x 1＝a ，x 2＝1.当a <0时，假设x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)，那么f ′(x )>0，因此f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上为增函数． 当0≤a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ≥1时，假设x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)，那么f ′(x )>0，因此f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数，从而f (x )在(－∞，0)上为增函数．综上可知，当a ≥0时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．22．(此题总分值14分)设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)．(1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值． [解析] (1)f ′(x )＝a e x －1a e x， 当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增；当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b . (2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32， 解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)． 因此a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3， 即b ＝12. 故a ＝2e 2，b ＝12.。