2.7 二次根式
第2课时 二次根式的运算
【上节知识回顾】
1．关于二次根式的概念，要注意以下几点：
（1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；
（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；
（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数；
（4）像“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。
2．二次根式的主要性质
（1）； （2）； （3）；
（4）积的算术平方根的性质：；
（5）商的算术平方根的性质：；
（6）若，则。
3．注意与的运用。
【新授】
一、二次根式的乘法
一、复习引入
1．填空 （1）4×9=_______，49=______；
（2）16×25=_______，1625=________．
（3）100×36=________，10036=_______．
参考上面的结果，用“>、
4×9_____49，16×25_____1625，100×36________10036 一般地，对二次根式的乘法规定为
a·b＝ab．（a≥0，b≥0）
反过来: ab=a·b（a≥0，b≥0）
例1．计算
（1）5×7 （2）13×9 （3）9×27 （4）12×6
例2 化简
（1）916 （2）1681 （3）81100 （4）229xy
1 二次根式的乘除运算 姓 名
一 基本概念：
1．二次根式的乘法：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数 .
强调：乘法交换律在二次根式中同样适用。
公式：（1）(0,0)ababab （2）a0,b0abcabc
例题1:如果11xyxy，那么x ,y例题2：计算23__ 255 3225
2．二次根式乘法公式的逆用：
例题1: 计算2002100 (210,102) ， 45
3．二次根式的除法：二次根式相除，把被开方数相除，根指数 .
公式：（1）(0,0)aaabbb, （2）公式的逆用： ab=ab(0,0)ab
（3）形式改变：mnmn(m
0,n
0)
例题1.如果33xxxx，则x的取值范围为 .
例题2. 计算7212= ，34 ， 21132 。
二．二次根式的化简
1.化去分母中的根号：将分子分母同乘这个根式，利用乘法化去分母中的根号。
例题1.化去分母中的根号： 11333 63 322baa
2.最简二次根式的判定：（1）被开方数不含____（2）被开方数的因数或因式的次数小于____.
例题1.下列式子哪些是最简二次根式：
6x 22ab 32ab
3a 0.5ab 64 24x
2.利用二次根式乘除法公式化成最简二次根式：要点：分别开方。
三．二次根式乘除混合运算
例题1.化简：12 2720 350.5ab 224836·
二次根式乘除法的混合运算，先定符号，再乘除绝对值。系数乘除系数，根号乘除根号。
二次根式的除法
在数学中，二次根式是指含有根号的表达式，其中根号下的被开方数可以是任意实数。而二次根式的除法则是指对含有二次根式的表达式进行除法运算。本文将详细介绍二次根式的除法规则和示例。
1. 二次根式的基本形式
二次根式的一般形式可以表示为：√a，其中a是一个非负的实数。如果a是一个完全平方数，那么二次根式可以被简化为一个有理数；否则，二次根式就是一个无理数。
2. 二次根式的除法规则
当我们需要对两个二次根式进行除法运算时，可以使用以下规则：
规则1：若两个二次根式的被开方数相同，则可以直接将它们的系数相除。
规则2：若两个二次根式的被开方数不相同，可以使用有理化的方法，将二次根式的分母进行有理数化，然后按照规则1进行运算。
下面通过示例来解释以上规则：
示例1：计算 √24 / √6
首先，我们将分母有理化，即将√6进行有理数化：
√6 = √(2 * 3) = √2 * √3
现在我们可以进行除法运算： √24 / √6 = (√24) / (√2 * √3)
根据规则1，我们可以将二次根式的系数相除：
= (√(24/2) * √(2/3))
= (√12 * √(2/3))
再继续进行化简：
= (√(2 * 2 * 3) * √(2/3))
= (2 * √6 * √(2/3))
最后，我们可以合并同类项：
= 2√(6 * (2/3))
= 2√(4)
= 2 * 2
= 4
所以，√24 / √6 = 4。
示例2：计算 (√8 - √2) / (√3 - 1)
首先，我们将分母进行有理数化：
(√3 - 1) = (√3 - 1) * (√3 + 1) / (√3 + 1)
= (√3^2 - 1) / (√3 + 1)
= (3 - 1) / (√3 + 1) = 2 / (√3 + 1)
现在我们可以进行除法运算：
二次根式的除法
二次根式的除法
二次根式的除法1
二次根式的除法（下载： ）
二次根式的除法2
这节课因为有了前面学习的基础，所以学生学习起来并不难，本节课的重点是二次根式的乘除法法则，难点是灵活运用法则进行计算和化简。
开始可以从二次根式的性质引入，将二次根式的性质反过来就是二次根式的乘除法法则： ，利用这个法则，可以进行二次根式的乘法和除法运算。
本节课中的易错点是运算的最后结果不是最简结果，因为学生只顾着运用法则进行计算了，忽略了二次根式的化简，举例说明： ，这个运算过程只是运用了法则，但没有进行化简，应该是 。
本节课中的难点是对于分母中含有根号的式子不会化简，这应该牵涉到分母有理化，分母有理化这个概念本章课本中没有提及，但是课后练习和习题中也有涉及，如何处理呢?举例说明：
随堂练习中一个题目 对于这个题目，很多学生表示都不知道从何下手，只有一些程度好的学生有自己的看法，我让学生进行了讲解： ，学生能将分母中不含有根号，想到用 来代替，然后再利用法则进行解答，真是聪明。学生的这种做法，我给予了充分的肯定，并表扬了这位同学。并且我也用分母有理化的思想进行了另一种方法的讲解，因为后面我想补一节分母有理化，所以在这里只是展示了一下过程， 这样同样能达到化简的目的，然后让学生对比了一下刚才那位同学的做法，没有展开讲。
剩下的时间我主要针对法则让学生进行了练习，做正确的小组加分，不正确的进行点评，到下课时，学生基本掌握了二次根式的乘除法的计算。
学生比较容易理解这两个法则，下面可以学习例2，主要是让学生通过看课本来理解法则的应用，在学生理解例题的基础上，让学生思考还有没有其他方法来解决这些题目，以此来增加学生解题的思路与方法。在这里可以拿出1-2个题目来示范。
如 ，可以有两种解法：
法一： 这一种也是课本上的方法，是直接利用了二次根式的乘法法则。
法二： 这是利用了二次根式的性质。
通过这个题目的讲解，可让学生灵活掌握二次根式的计算方法。
