切线长定理与内切圆 学案

24.2.2直线和圆的位置关系第3课时
教学流程安排
教学过程设计
教学设计说明：
1．本节课是义务教育课程标准试验教科书人教版九年级上册第24章第2节《与圆有关的位置关系》中直线与圆位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。

体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。

在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识。

2．本节课通过设计先翻折图形再思考的环节加入了实践操作活动，使学生提高探究的兴趣，应用了“实验几何——论证几何”的探究方法，并初步建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识。

让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程。

3．在“解决问题迁移拓展”的环节通过设计实际问题情境，使学生提高实际应用、解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较、分析、概括，上升为理性认识，再利用自己的语言正确表达，加深了对内切圆概念的理解，进一步加强由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识。

4．通过分层作业的设置使全体学生巩固基础，对于学有余力的学生可以通过类比的方法拓展提高加深对课上知识、数学思想、方法的巩固。

三角形的内切圆，掌握内心的性质.（重点）
1.切线长定理及应用
互动探究
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
A
P O
B
A
O.
P
B
知识要点
1.切线长的定义：
切线上一点到切点
A
之间的线段的长叫做这
则S△OBC=
1 2
ar,
S△OBA=
1
cr,
2
1 S△OAC= 2 br,
S△ABC=S△OBC +S△OBA +S△OAC
B
=
1 ar
2
+
12cr
+12
br
= 1 r（a+c+b）
2
= 12lr
A
M
· r r O r
D
N C
练一练
4.如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则 ∠PBC+∠PCA+∠PAB= 90° .
1. PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
A
（1）若AP=4,则OP= 5 ;
O
P
（2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
B
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如 下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为
30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到 相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相
3．【中考·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( A )

24.2.4切线长定理和三角形的内切圆教学目标( 一) 知识与技能1．能判定一条直线是否为圆的切线．2．会过圆上一点画圆的切线．3．会作三角形的内切圆．( 二) 过程与方法1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．( 三) 情感态度与价值观经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．教学重点探索圆的切线的判定方法，并能运用．作三角形内切圆的方法．教学难点探索圆的切线的判定方法．教学方法师生共同探索法．教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[ 师] 上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件．Ⅱ．新课讲解1．探索切线的判定条件如下图， AB是⊙ O的直径，直线 l 经过点 A，l 与 AB的夹角∠α，当 l 绕点A旋转时，(1) 随着∠ α的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与⊙ O 的位置关系如何变化？(2) 当∠ α等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r ？此时，直线 l 与⊙ O 有怎样的位置关系？为什么？[ 师] 大家可以先画一个圆， 并画出直径 AB ，拿直尺当直线， 让直尺绕着点 A移动．观察∠ α 发生变化时，点 O 到 l 的距离 d 如何变化，然后互相交流意见．[ 生] (1) 如上图，直线 l 1 与 AB 的夹角为 α，点 O 到 l 的距离为 d 1，d 1＜ r ，这时直线 l 1 与⊙ O 的位置关系是相交；当把直线 l 1 沿顺时针方向旋转到 l 位置时，∠α由锐角变为直角，点 O 到 l 的距离为 d ，d ＝r ，这时直线 l 与⊙ O 的位置关系是相切；当把直线 l 再继续旋转到 l 2 位置时，∠ α由直角变为钝角，点 O 到 l 的距离为 d 2，d 2＜r ，这时直线 l 与⊙ O 的位置关系是相离．[ 师] 回答得非常精彩． 通过旋转可知， 随着∠ α由小变大， 点 O 到 l 的距离 d 也由小变大，当∠ α ＝90°时， d 达到最大．此时 d ＝r ；之后当∠ α继续增大时， d 逐渐变小．第 (2) 题就解决了．[ 生] (2) 当∠α＝°时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径． 此时，直线 l 与⊙ O90的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心 O 到直线 l 的距离 d ＝r时，直线与⊙ O 相切．[ 师] 从上面的分析中可知，当直线l 与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙ O 的切线？请大家互相交流．[ 生] 直线 l 垂直于直径 AB ，并经过直径的一端A 点．[ 师] 很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端， 并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．2．做一做已知⊙ O 上有一点 A ，过 A 作出⊙ O 的切线．分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心 O 和圆上一点 A ，那么过 A 点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．[ 生] 如下图．(1)连接 OA．(2)过点 A 作 OA的垂线 l ，l 即为所求的切线．3．如何作三角形的内切圆．如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．解： (1) 作∠ B、∠ C的平分线 BE和 CF，交点为 I ( 如下图 ) ．(2)过 I 作 ID⊥ BC，垂足为 D．(3)以 I 为圆心，以 ID 为半径作⊙I ．⊙I 就是所求的圆．[ 师] 由例题可知， BE和 CF只有一个交点 I ，并且 I 到△ ABC三边的距离相等，为什么？[ 生] ∵I 在∠ B的角平分线 BE上，∴ ID＝ IM，又∵ I 在∠ C 的平分线 CF上，∴ ID＝IN ，∴ ID ＝IM＝IN ．这是根据角平分线的性质定理得出的．[ 师] 因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle) ，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 (incenter) ．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习了以下内容：1．探索切线的判定条件．2．会经过圆上一点作圆的切线．3．会作三角形的内切圆．4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．Ⅴ．课后作业P100练习Ⅵ．活动与探究已知 AB是⊙ O的直径， BC是⊙ O的切线，切点为B，OC平行于弦 AD．求证： DC是⊙ O的切线．分析：要证 DC是⊙ O的切线，需证 DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径 OD，利用平行关系推出∠ 3＝∠ 4，又因为 OD＝OB，OC为公共边，因此△ CDO≌△ CBO，所以∠ ODC＝∠ OBC＝90°．证明：连结 OD．∵OA＝OD，∴∠ 1＝∠ 2，∵AD∥OC，∴∠ 1＝∠ 3，∠ 2＝∠ 4．∴∠ 3＝∠ 4．∵OD＝OB， OC＝OC，∴△ ODC≌△ OBC．∴∠ ODC＝∠ OBC．∵BC是⊙ O 的切线，∴∠ OBC＝90°．∴∠ ODC＝90°．∴DC是⊙ O的切线． 1 、你勤奋充电，你努力工作，你保持身材，你对人微笑，这些都不是为了取悦他人，而是为了扮靓自己，照亮自己的心，告诉自己：我是一股独立向上的力量。

ห้องสมุดไป่ตู้
BC = 9，点 D，E 分别为 BC，AC 上的点，且 DE 为
☉O 的切线，则△CDE 的周长为__1_1___.
3. 如图，在△ABC 中，点 I 是内心．
（1）若∠ABC = 50°，∠ACB = 70°，则∠BIC =__1_2_0_°；
（2）若∠A = 80°，则∠BIC = 130 °；
方法小结：解决本题的关键是熟练运用切线长定理，
将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
比一比
名称
外心： 三角形 外接圆 的圆心
内心： 三角形 内切圆 的圆心
确定方法
三角形三边
垂直平分线 的交点
B
三角形三条
角平分线的
交点
B
图形
性质
1.OA = OB = OC；
O
A 2.不一定在三角形
内部
C
A 1.到三边距离相等；
∠OPA = ∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
的方法.
推理验证
已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线， A
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
O.
∵ OA = OB，OP = OP，
P
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL). B
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
想一想：
若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出
什么新的结论? 请给出证明.
解：OP 垂直平分 AB.
证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点，