新人教版九年级数学上册导学案：24.2.1切线长定理

24.2直线与圆的位置关系（切线长定理）教案
一、教学目标
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3．会利用尺规作图作三角形的内切圆．
重点：
切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．
二、难点：
与切线长定理有关的证明和计算问题．
三、教学方法：
（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；
（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．
四、教学过程设计:
（一）观察、猜想、证明，形成定理
1.探究经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？
由此结合图形学习切线长的概念。

2.比一比：切线和切线长两个不同的概念。

引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线
长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
3. 利用动画，引导学生直观判断，发现PA＝PB，∠APO=∠BPO
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB．
4. 归纳学习切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
5.强调切线长定理的作用，并利用图形开拓学生的证明思维
(1)写出图中所有的垂直关系；
、PB于点C、D，则
的长。

24.2.2切线长定理主备人：符后丽 审核：数学备课组 课型：新授课学习目标：1、 掌握切线长定理，能利用切线长定理解决相关的计算和证明问题。

2、 培养抓基本图形的能力，规范、严谨的书写计算和证明的过程。

学习重点：切线长定理的证明和应用学习过程：一 复习回顾1、如图1，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么 ∠CAB= 时，AC 才能成为⊙O 的切线。

2、如图2，AB 切⊙O 于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A=36°，则∠C=3、如图3，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上的一点，PA 切⊙O 于A ，若PA=3，PB=1，则⊙O 的半径为 。

二 新知探究1、 画图：如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线，2、 可以作条。

2、度量：圆外点P 到两个切点的距离是 （填“相等”或“不相等”）；操作：将上面的图形沿着直线PO 折叠，你发现了 ，∠APO 与∠BPO 的大小 （填“相等”或“不相等”）；3、 根据你的度量和操作，你的猜想是 。

4、 你能证明你的猜想吗？5、 归纳总结：如图所示，PA,PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B 。

直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C 。

（1） 写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的等腰三角形； （3） 写出图中所有的全等三角形； 图1 图2 图3（4） 若∠APB=70°，你可求出哪些角的度数？6、 基础训练（1）如图4，PA,PB 是⊙O 的切线，且∠APB=40°，下列说法不正确的是（ ）A PA=PB B ∠APO=20°C ∠OBP=70°D ∠AOP=70°（2）如图5，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA,PB ，切点分别为A ，B 。

如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（ ）A 4 B 8 C 34 D 38（3）如图6PA,PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B 。

新人教版九年级数学上册第24.2.3节切线长定理优秀教学设计和反思教材分析“切线长定理”是人教版九年级数学上册第二十四章“圆”的第二节的内容，本节内容安排六个课时，本课时是本节内容的第五课时，本课设计主要是在切线的基础上，明确切线长的定义，通过学生动手操作，逻辑证明来明确切线长定理，引出三角形的内切圆，通过与三角形的内切圆有关的练习巩固切线长定理。

学情分析我班学生来自全县各个乡镇，学生的基础参差不齐。

再加上这个班是进入九年级我才接手的成绩较差的班级，基础薄弱，因而要加强动手操作探究知识来源的教学，让学生学知识学到“知其然并知其所以然”，不仅“知其所以然”，还要学以致用。

教学目标一、知识与技能：1.了解切线长的概念．2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．3.复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．二、数学思考：1.通过操作、观察两条切线长，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。

2.学生经历知识的形成与运用过程，培养学生的数学语言概括、表达能力。

三、解决问题1.学生探索切线长定理过程中，学会用数形结合思想解决问题。

2.学生运用切线长定理解题，提高运用知识和技能解决问题的能力。

四.情感、态度与价值观培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。

教学重点和难点1．重点：切线长定理及其运用．2.•难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．教学过程。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理和三角形内切圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三角形内切圆的部分，学生们在小组讨论和实验操作中表现出了很高的热情。通过实际操作，他们能够更好地掌握内切圆半径的计算方法，这也证明了实践活动在数学教学中的重要性。今后，我会继续加大实践环节的比重，让学生在实践中学习和探索。
在小组讨论环节，我发现有些学生较为内向，不太愿意主动表达自己的观点。为了鼓励他们积极参与，我会在今后的教学中更加关注这些学生，多给予他们肯定和鼓励，提高他们的自信心。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理和三角形内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆（教案）
一、教学内容
本节课选自教材24.2.2节，主要内容包括：
1.切线长定理：探讨圆的切线与半径的关系，推导并掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
2.三角形的内切圆：介绍三角形内切圆的概念，探讨内切圆的半径与三角形面积的关系，掌握内切圆半径的计算公式。

《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

新人教版九年级数学上册《24.1切线长定理3》导学案学习 目标1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。

2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明。

3、会作已知三角形的内切圆。

重难点： 1、重点：了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、内心等概念。

2、难点：理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理。

时间 分配导课3分、自学 5 分、交流 10 分、小结 3 分、巩固 7 分学习 过程学案（学习过程）导案（学法指导）一、自学新知：自学教材自学教材P 99---P 100，思考下列问题（1）通过自学教材P99页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？（2）通过自学教材P99页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．（3）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。

（4）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。

二、合作交流展示：如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：__________________三、当堂检测：1、过圆外一点作圆的切线，这点和 ，叫做这点到圆的切线长。

2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．3、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆；内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。

4、作三角形两内角的平分线，两角平分线的交点就是内切圆的圆心，5、如图，PA,PB,分别切⊙O 于点A,B,∠P=70°，∠C 等于 。

新人教版九年级数学上册《切线长定理》导学案 课 题切线长定理 课 型 展示课 执笔人 审核人级部审核 学习时间 第 周第 导学稿教师寄语学习目标 1、理解切线长定理、三角形内心的性质。

2、能利用切线长定理、三角形内心的性质进行简单的计算与证明。

（重、难点）学生自主活动材料 一.前置性自学1、自学内容：课本96-98页，把不明白的问题记录下来以便与老师、同学交流。

2、自学检测：（1）已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点。

写出三个以上正确结论: _____________________________________________________________________________________。

（2）如图，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（ ）A ．112.5°B ．112°C ．125°D ．55°（3）已知：如图，在△ABC 中，BC=14cm ，AC=9cm ，AB=13cm ，它的内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，则AF=_________、BD=______________、CE=________________．二.小组反馈 1、若⊙O 的切线长和半径相等，则两条切线所夹角的度数为（ ）A.30°B.４5°C.60° D ．９0°2、若AB 、AC 分别切⊙O 于B 、C ，延长OB 到D 使BD ＝OB ，连AD ，∠DAC ＝78°，则∠ADO ＝（ ）A.56°B.3９°C.6４°D.78°3、如图 ：AB 、AC 切⊙O 于B 、C ，BC 交OA 于D ，则图中的直角三角形共有 （ ） A.3 B.4 C.5 D.64、在三角形内，与三角形三条边距离相等的点，是这个三角形的 （ ）A.三条中线的交点，B.三条角平分线的交点，C.三条高的交点，D.三边的垂直平分线的交点。

2.结合信息技术，利用多媒体和动态几何软件辅助教学，提高学生的学习兴趣和效率。
-使用动态图形展示切线与圆的关系，帮助学生形成直观的认识。
-利用信息技术手段，制作互层次的学生设计不同难度的练习和任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
-设计探究活动，鼓励学生提出假设，通过实际操作验证假设。
-组织小组讨论，培养学生的合作意识和交流能力。
2.逻辑推理：运用几何知识和逻辑推理方法证明切线长定理。
-引导学生运用已学的几何知识，如圆的性质、直角三角形的性质等，进行逻辑推理。
-培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3.应用与实践：将切线长定理应用于解决实际问题，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将利用学生的生活经验和已有知识，激发他们对新知识的兴趣和好奇心。首先，我会提出一个问题：“在日常生活中，你们有没有见过或听说过道路或铁路在接近圆形交叉路口时，为什么会设计成曲线而非直线呢？”通过这个问题，引导学生思考圆与直线的关系，从而自然过渡到切线的概念。
-注意：要求学生在解题过程中注重逻辑推理的严密性和步骤的完整性。
2.实践应用题：选择一个生活中的实际问题，如道路设计、园林规划等，运用切线长定理进行解决，并将解题过程和结果写成小报告。通过这项作业，学生可以更好地理解数学与实际生活的联系，提高解决实际问题的能力。
-提示：鼓励学生使用图形和图表来辅助说明解题思路，使报告更加清晰易懂。
1.切线与半径的垂直关系：通过动态演示切线与半径的垂直关系，引导学生观察和思考，从而得出切线与半径垂直的结论。
2.切线长定理的证明：利用直角三角形的性质，分步骤引导学生完成切线长定理的证明。在此过程中，强调每一步的逻辑推理和几何依据。

切线长定理【学习目标】1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理；知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念．2．通过对例题的学习，培养分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，培养数形结合的思想．【学习重点】切线长定理及其应用，三角形的内切圆和三角形内心的概念．【学习难点】与切线长定理有关的证明和计算问题；三角形内切圆的计算问题．情景导入生成问题旧知回顾：1．直线和圆有哪几种位置关系？怎样判断它们的位置关系？答：三种，d>r，相离；d＝r，相切；d<r，相交．2．你觉得这几种位置关系哪种最特殊？为什么？答：相切，略自学互研生成能力知识模块一切线长定理【自主探究】认真阅读课本P99思考上面内容，完成下列问题：阅读教材P99第一段话可以得到以下归纳：归纳：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．如图，过圆外一点P作两条直线PA、PB与圆相切，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP.(1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由．答：△PBO与△P AO均为直角三角形，根据切线的性质．(2)△PBO与△PAO的关系怎样？根据什么判断的？答：△PBO与△PAO全等，根据“HL”可判断．(3)PA与PB、∠APO与∠BPO有怎样的关系？根据是什么？答：PA＝PB，∠APO＝∠BPO，根据△PBO与△PAO全等的性质．归纳：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角．范例：为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA＝5cm，求铁环的半径．解：设圆心为O，连接OA，OP.∵三角板有一个锐角为30°，∴∠PAO＝60°.又∵PA与⊙O相切，∴∠OPA＝90°.∴∠POA＝30°.∵PA＝5cm，OP＝53cm.即铁环的半径为53cm.知识模块二三角形的内心【自主探究】认真阅读课本P99思考～P100，回答下列问题：作出一个与△ABC三条边都相切的圆．解：图略．归纳：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三角形三边的距离相等，它一定在三角形的内部．【合作探究】范例：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9cm，BC＝14cm，CA＝13cm，求AF、BD、CE的长．解：设AF＝x(cm)，则AE＝x(cm)，CD ＝CE ＝AC －AE ＝13－x ，BD ＝BF ＝AB －AF ＝9－x.由BD ＋CD ＝BC 可得：(13－x)＋(9－x)＝14解得：x ＝4.因此，AF ＝4cm ，BD ＝5cm ，CE ＝9cm .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 切线长定理知识模块二 三角形的内心当堂检测 达成目标【当堂检测】1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC＝110°.连接AC ，则∠A 的度数是35°．(第1题图) (第2题图) (第3题图)2．如图，已知⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 3 3．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是4．提示：根据题意得：AE ＝CE ，BF ＝CF ，PA ＝PB ，所以△PEF 的周长＝PE ＋CE ＋CF ＋PF ＝PE ＋AE ＋BF ＋PF ＝PA ＋PB ＝4.【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解和掌握切线的判定方法、性质定理以及切线长定理。

本节内容是在学习了函数图像、直线与圆的位置关系等知识的基础上进行学习的，为后续学习解析几何和高中数学打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数图像、直线与圆的位置关系等知识，具备了一定的几何直观能力和逻辑思维能力。

但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理的理解和应用还需要加强。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中发现切线，培养学生的几何直观能力，同时，通过实例讲解，使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

三. 教学目标1.让学生了解和掌握切线的判定方法。

2.使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

3.培养学生运用切线知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。

2.教学难点：切线性质定理和切线长定理的理解和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现和理解切线。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画演示和实例讲解，使学生直观地理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和探究中加深对切线知识的理解。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和教学素材。

2.准备切线相关的实际问题，用于引导学生学习。

3.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如：如何判断一条直线是否为圆的切线？圆的切线有什么特殊的性质？引发学生对切线的兴趣，从而导入新课。

2.呈现（10分钟）讲解切线的判定方法，通过多媒体动画演示和实例讲解，让学生直观地理解和掌握切线的判定方法。

3.操练（10分钟）让学生通过练习一些切线的判定问题，加深对切线判定方法的理解和应用。

九年级 新授 ２４.2.2切线长定理导学案【学习目标】1、了解切线长的概念．2、理解切线长定理，3、了解三角形内心的概念，掌握它的应用． 【学习过程】一、知识要点剖析★知识点1：一条切线 性质定理：圆的切线 于过 的 .（如下图1：∵l 切⊙O 于点A ∴l★知识点2：两条切线1、平行切线：同一圆的两条切线相互平行，那么两切点间的线段为圆的。

（如上图2，AC 、BD 分别与⊙O 相切于点A 、B ，则AB 是。

）2、相交切线：同一圆的两条切线相交（1）切线长概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角。

即：如上图3中，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，则PA= ，∠APO= 。

★知识点3：三条切线 （1）概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，它的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 三角形例题1：如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=9cm ，BC=14cm,CA=13cm,求AE 、BD 、CF 的长。

例题2：Rt △ABC 中，∠C=90°，其内切圆⊙O ，切点分别是D 、E 、F ， （1）四边形OECF 的形状是_______．请证明（2）如果AC=3cm ，BC=4cm ，则内切圆⊙O 的半径等于 . 例题3：△ABC 中，∠A ＝80°，（1）O 是△ABC 的外心，则∠BOC= 。

（1）I 是△ABC 的内心，则∠BIC= 。

三、专项训练1、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ， EF 切⊙O 于C 点，分别交P A 、PB 于点E 、F ，已知PA=7cm ，则△PEF 的周长等于_________．2、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）．A ．60°B ．75°C ．105°D ．120°3、如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=7cm ，BC=12cm,CA=9cm,求AE 、BD 、CF 的长。

人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是初中数学的重要内容，旨在让学生理解和掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，为后续学习解析几何打下基础。

本节内容涉及直线与圆的位置关系，通过研究切线与圆的切点，引导学生探究切线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本概念有所了解。

但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理等概念，学生可能较为抽象，不易理解。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，采用生动形象的教学手段，引导学生理解和掌握切线的相关知识。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，能够运用这些知识解决一些简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的探究能力和合作意识。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。

四. 说教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。

2.教学难点：切线性质定理的理解和应用。

五. 说教学方法与手段本节课采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等环节，自主探究切线的性质。

同时，运用多媒体课件、几何画板等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习直线和圆的相关知识，引出本节课的内容——切线的判定和性质定理、切线长定理。

2.自主探究：让学生通过观察、操作，猜想切线的性质，然后进行验证。

在此过程中，引导学生发现切线的判定方法和性质定理。

3.讲解与演示：教师对切线的判定方法和性质定理进行讲解，并用多媒体课件和几何画板进行演示，帮助学生加深理解。

4.练习与拓展：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，并进行拓展训练。

《切线长定理》导学案一、复习提问1.如图，已知⊙O的半径O A⊥直线l于点A，则直线l是⊙O的2.OA是⊙O半径,直线l切⊙O于点A，则OA与直线l的位置关系是3．判断：（1）过半径的外端的直线是圆的切线（）（2）与半径垂直的直线是圆的切线（）（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）二、探究新知【一】经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？【二】观察、猜想、证明，形成定理1、切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长即时训练：P A D C B E①过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）②从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。

（ ）如图，已知AB ，BC, AC 分别与圆O 相切于点D, E, F,则点A 到圆O 的切线长是线段 的长；点B 到圆O的切线长是线段 的长；点C 到圆O 的切线是线段的长。

2、观察:由学生动手实验和利用PPT 来展示点P 位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．3、猜想:引导学生直观判断，猜想图中PA 与PB ，∠OPA 与∠OPB 有什么关系？4、证明猜想，形成定理．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【三】讲解例题例1：如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，DE 分别交PA ，PB 于D 、E ，已知PA= 8CM ，求Δ PDE 的周长。

【四】拓展新知练习:如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，直线OP 交弧AB 于点C,连接AB 交OP 于点M,你能得到什么新的结论？请说明理由。

如图，若再连接OA,OB，你又能得出什么新的结论？请说明理由？小组讨论，然后填空：(1)写出图中所有的垂直关系；(2)写出图中所有的全等三角形；(3)写出图中所有的等腰三角形．【五】巩固新知1、如图，△ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D, E, F;如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm, AC= cm, AB= cm2、已知PA,PB与圆O相切于点A, B,圆O的半径为2，（1）若四边形OAPB的周长为10，则PA=( 2 )若∠APB=60°，则PA= ∠AOB=3、如图，PA,PB是圆O的切线，A,B为切点，AC是圆O的直线，若∠P=46°，则∠BAC= 。

24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理一、新课导入1.导入课题：情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B. 问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).2.学习目标：（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.3.学习重、难点：重点：切线长定理及其运用.难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条.②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长，如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长.③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.∴PA = PB,OP平分∠APB .2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.②差异指导：根据学情确定指导方案.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：（1）切线长定理及它的证明.（2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O的半径长吗？解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.解得r=3. 即⊙O的半径长为3.1.自学指导：(1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想.(4)自学参考提纲：①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点.a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I；b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心.它是三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等.③已知：如图，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.（2）生助生：生生互动，交流，研讨.4.强化：(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.(2)如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数. 解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12∠ABC+12∠ACB=12×（50°+75°）＝62.5°.∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题方法？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（C）A.3cmB.4cmC.5cmD.9cm2.(10分) 如图，点O 是△ABC 的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（C ）A.172°B.130°C.133°D.100°3.(10分)如图，已知VP 、VQ 为⊙T 的切线，P 、Q 为切点，若VP=3cm ，则VQ=3cm.若∠PVQ ＝60°，则⊙T 的半径PT .4.(20分)如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC=25°，求∠P 的度数. 解：∵PA 是⊙O 的切线.∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.∵OA ＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.∵PB 是⊙O 的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°. ∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.5.(20分)如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m, 并且x Y ⊥WY,这个油桶底面半径是多少? 解：设圆心为O ，连接OW,O x . ∵YW,Y x 均是⊙O 的切线， ∴OW ⊥WY ,O x ⊥x Y ，又∵x Y ⊥WY ,∴∠OWY ＝∠O x Y ＝∠WY x ＝90°，∴四边形OWY x 是矩形，又∵OW=O x . ∴四边形OWY x 是正方形.∴OW=WY=1.65m. 即这个油桶底面半径是1.65m. 二、综合应用（15分）6.(15分)△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的周长为l ，求△ABC 的面积.（提示：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ）解：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC. 则ABCAOBBOCAOCSSSS=++()AB r BC r AC r AB BC AC r lr =++=++=1111122222. 三、拓展延伸（15分）7.(15分)如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，且AB ∥CD ，BO ＝6cm ，CO ＝8cm ，求BC 的长.解：∵AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切，则OB 平分∠EBF ，DC 平分∠FCG.∵AB ∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=180°-12(∠EBF+∠GCF)=90°. ∴在Rt △BOC 中，BC=OB2+OC2=62+82=10（cm ）.。

-设计一些综合性的问题，如涉及多边形内切圆的问题，让学生在解决问题中加深对内切圆和内心性质的理解，并学会如何在实际问题中寻找切入点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《切线长定理、三角形的内切圆、内心》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在画图或制作模型时，是否遇到过需要求出某个点到三角形三边的距离？”这个问题与我们将要学习的内切圆的性质密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形内切圆的奥秘。
-三角形内切圆的作法及其性质：学生需要了解内切圆的定义，掌握内切圆的作法，以及内切圆与三角形边、角的关系。
-内心的性质及其应用：学生应掌握内心的定义，理解内心与三角形的关系，并能够利用内心的性质解决几何问题。
举例：
-通过具体图形，演示切线长定理的推导过程，强调定理中的关键点，如切点、切线与半径的关系。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形内切圆的基本概念。三角形内切圆是与三角形三边都相切的圆，它能够帮助我们解决与三角形边长和面积相关的问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用内切圆的性质来求解三角形的面积，以及它如何简化我们的计算过程。
-以实际操作的方式，让学生动手画出三角形的内切圆，并观察内切圆与三角形边、角的关系，突出内切圆的性质。
2.教学难点
-切线长定理的证明：理解并掌握切线长定理的证明过程对于学生来说是难点，需要教师通过直观演示和逻辑推理相结合的方式进行讲解。
-内切圆与内心的综合应用：在解决具体问题时，学生可能会难以将内切圆和内心的性质与问题相结合，需要教师引导和训练。
2.在教学中，将理论知识与实际问题相结合，能够激发学生的兴趣，提高他们解决实际问题的能力。

新人教版九年级数学上册《24.1切线定理1》导学案学习目标三维目标1.理解设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d，则有：直线L和⊙O相交⇔d<r；相切⇔d=r；相离⇔d>r．2.理解切线的判定定理：理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．重难点：1.切线的判定定理；2.切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．时间分配导课3分、自学7分、交流15分、小结3分、练习15分学案（学习过程）导案（学法指导）一、自学新知：自学课本Ｐ93---P98页思考下列问题：1、切线定义：2、切线的性质：3、切线判定：二、合作探究：例:如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与⊙C相切，•那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图所示的CD即可．（2）用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定．三、巩固练习1.如图,△ABC的一边AB是☉O的直径,请你添加一个条件,使BC是☉O的切线,你所添加的条件为2.如图,已知点A是☉O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于点B,OC=BC,AC=OB.则AB 新课导入：方法：温故知新、直入主题师：我们前一节课已经学到直线和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，圆心到直线的距离OP=d，则有：同学：相交⇔d<r；相切⇔d=r；相离⇔d>r．一、自学新知：理解、熟知、掌握切线性质、判定，并掌握证明过程，巩固好理论基础。

二、合作探究：培养学生的合作交流探究意识，提高团体学习的意识。

三、巩固练习考察学生对知识的掌握程度和运用能力，同步炼就学生的解题技巧能力。

(填是”或“不是”) ☉O的切线.3.如图,点A,B,D在☉O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°,直线BC与☉O的位置关系为.四、学习小结：（学生归纳，总结发言老师点评） 1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念．2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有：3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．4．切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径．5．应用上面的知识解决实际问题．五、中考链接1(2013·牡丹江中考)如图,点C是☉O的直径AB 延长线上的一点,且有BO=BD=BC.(1)求证:CD是☉O的切线.(2)若半径OB=2,求AD的长. 四、学习小结：1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念．2．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径．五、中考链接凸显知识点在中考中的地位并让同学们权衡自己对本知识点驾驭程度。

九年级数学《切线长定理》导学案学习目标：1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点：切线长定理的理解学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：（一）探究切线长的定义：如下图，已知⊙o及⊙o外的一点P，PA与⊙o相切于A点，连接OA、OP，如果将⊙o沿直线OP翻折，与A点重合的点B在圆上吗？如果在，PB 是⊙o的切线吗？为什么？P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

跟踪训练：判断1. 圆的切线长就圆的切线的长度。

（）2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。

（）3.从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等（）（三）探究切线长定理：若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。

切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。

该定理用数学符号语言叙述为：∵∴跟踪训练：1. 如图，⊙O与△ABC的边BC相切，切点为点D ，与AB、AC的延长线相切，切点分别为店E、F，则图中相等的线段有__________________________ _____________________________。

2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________。

3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°。

则∠P=________。

四、典例解析：例：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切A EDFCBO于A、B两点，PA=PB=4cm，∠P=40°，C是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：（1）△PDE的周长；（2）∠DOE的度数。