新人教版九年级数学上册导学案：24.2.1切线长定理

24.2直线与圆的位置关系（切线长定理）教案
一、教学目标
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3．会利用尺规作图作三角形的内切圆．
重点：
切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．
二、难点：
与切线长定理有关的证明和计算问题．
三、教学方法：
（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；
（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．
四、教学过程设计:
（一）观察、猜想、证明，形成定理
1.探究经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？
由此结合图形学习切线长的概念。

2.比一比：切线和切线长两个不同的概念。

引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线
长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
3. 利用动画，引导学生直观判断，发现PA＝PB，∠APO=∠BPO
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB．
4. 归纳学习切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
5.强调切线长定理的作用，并利用图形开拓学生的证明思维
(1)写出图中所有的垂直关系；
、PB于点C、D，则
的长。

24.2.2切线长定理主备人：符后丽 审核：数学备课组 课型：新授课学习目标：1、 掌握切线长定理，能利用切线长定理解决相关的计算和证明问题。

2、 培养抓基本图形的能力，规范、严谨的书写计算和证明的过程。

学习重点：切线长定理的证明和应用学习过程：一 复习回顾1、如图1，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么 ∠CAB= 时，AC 才能成为⊙O 的切线。

2、如图2，AB 切⊙O 于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A=36°，则∠C=3、如图3，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上的一点，PA 切⊙O 于A ，若PA=3，PB=1，则⊙O 的半径为 。

二 新知探究1、 画图：如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线，2、 可以作条。

2、度量：圆外点P 到两个切点的距离是 （填“相等”或“不相等”）；操作：将上面的图形沿着直线PO 折叠，你发现了 ，∠APO 与∠BPO 的大小 （填“相等”或“不相等”）；3、 根据你的度量和操作，你的猜想是 。

4、 你能证明你的猜想吗？5、 归纳总结：如图所示，PA,PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B 。

直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C 。

（1） 写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的等腰三角形； （3） 写出图中所有的全等三角形； 图1 图2 图3（4） 若∠APB=70°，你可求出哪些角的度数？6、 基础训练（1）如图4，PA,PB 是⊙O 的切线，且∠APB=40°，下列说法不正确的是（ ）A PA=PB B ∠APO=20°C ∠OBP=70°D ∠AOP=70°（2）如图5，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA,PB ，切点分别为A ，B 。

如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（ ）A 4 B 8 C 34 D 38（3）如图6PA,PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B 。

新人教版九年级数学上册第24.2.3节切线长定理优秀教学设计和反思教材分析“切线长定理”是人教版九年级数学上册第二十四章“圆”的第二节的内容，本节内容安排六个课时，本课时是本节内容的第五课时，本课设计主要是在切线的基础上，明确切线长的定义，通过学生动手操作，逻辑证明来明确切线长定理，引出三角形的内切圆，通过与三角形的内切圆有关的练习巩固切线长定理。

学情分析我班学生来自全县各个乡镇，学生的基础参差不齐。

再加上这个班是进入九年级我才接手的成绩较差的班级，基础薄弱，因而要加强动手操作探究知识来源的教学，让学生学知识学到“知其然并知其所以然”，不仅“知其所以然”，还要学以致用。

教学目标一、知识与技能：1.了解切线长的概念．2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．3.复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．二、数学思考：1.通过操作、观察两条切线长，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。

2.学生经历知识的形成与运用过程，培养学生的数学语言概括、表达能力。

三、解决问题1.学生探索切线长定理过程中，学会用数形结合思想解决问题。

2.学生运用切线长定理解题，提高运用知识和技能解决问题的能力。

四.情感、态度与价值观培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。

教学重点和难点1．重点：切线长定理及其运用．2.•难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．教学过程。

《第3课时 切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

新人教版九年级数学上册《24.1切线长定理3》导学案学习 目标1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。

2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明。

3、会作已知三角形的内切圆。

重难点： 1、重点：了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、内心等概念。

2、难点：理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理。

时间 分配导课3分、自学 5 分、交流 10 分、小结 3 分、巩固 7 分学习 过程学案（学习过程）导案（学法指导）一、自学新知：自学教材自学教材P 99---P 100，思考下列问题（1）通过自学教材P99页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？（2）通过自学教材P99页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．（3）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。

（4）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。

二、合作交流展示：如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：__________________三、当堂检测：1、过圆外一点作圆的切线，这点和 ，叫做这点到圆的切线长。

2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．3、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆；内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。

4、作三角形两内角的平分线，两角平分线的交点就是内切圆的圆心，5、如图，PA,PB,分别切⊙O 于点A,B,∠P=70°，∠C 等于 。

新人教版九年级数学上册《切线长定理》导学案 课 题切线长定理 课 型 展示课 执笔人 审核人级部审核 学习时间 第 周第 导学稿教师寄语学习目标 1、理解切线长定理、三角形内心的性质。

2、能利用切线长定理、三角形内心的性质进行简单的计算与证明。

（重、难点）学生自主活动材料 一.前置性自学1、自学内容：课本96-98页，把不明白的问题记录下来以便与老师、同学交流。

2、自学检测：（1）已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点。

写出三个以上正确结论: _____________________________________________________________________________________。

（2）如图，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（ ）A ．112.5°B ．112°C ．125°D ．55°（3）已知：如图，在△ABC 中，BC=14cm ，AC=9cm ，AB=13cm ，它的内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，则AF=_________、BD=______________、CE=________________．二.小组反馈 1、若⊙O 的切线长和半径相等，则两条切线所夹角的度数为（ ）A.30°B.４5°C.60° D ．９0°2、若AB 、AC 分别切⊙O 于B 、C ，延长OB 到D 使BD ＝OB ，连AD ，∠DAC ＝78°，则∠ADO ＝（ ）A.56°B.3９°C.6４°D.78°3、如图 ：AB 、AC 切⊙O 于B 、C ，BC 交OA 于D ，则图中的直角三角形共有 （ ） A.3 B.4 C.5 D.64、在三角形内，与三角形三条边距离相等的点，是这个三角形的 （ ）A.三条中线的交点，B.三条角平分线的交点，C.三条高的交点，D.三边的垂直平分线的交点。

切线长定理【学习目标】1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理；知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念．2．通过对例题的学习，培养分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，培养数形结合的思想．【学习重点】切线长定理及其应用，三角形的内切圆和三角形内心的概念．【学习难点】与切线长定理有关的证明和计算问题；三角形内切圆的计算问题．情景导入生成问题旧知回顾：1．直线和圆有哪几种位置关系？怎样判断它们的位置关系？答：三种，d>r，相离；d＝r，相切；d<r，相交．2．你觉得这几种位置关系哪种最特殊？为什么？答：相切，略自学互研生成能力知识模块一切线长定理【自主探究】认真阅读课本P99思考上面内容，完成下列问题：阅读教材P99第一段话可以得到以下归纳：归纳：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．如图，过圆外一点P作两条直线PA、PB与圆相切，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP.(1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由．答：△PBO与△P AO均为直角三角形，根据切线的性质．(2)△PBO与△PAO的关系怎样？根据什么判断的？答：△PBO与△PAO全等，根据“HL”可判断．(3)PA与PB、∠APO与∠BPO有怎样的关系？根据是什么？答：PA＝PB，∠APO＝∠BPO，根据△PBO与△PAO全等的性质．归纳：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角．范例：为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA＝5cm，求铁环的半径．解：设圆心为O，连接OA，OP.∵三角板有一个锐角为30°，∴∠PAO＝60°.又∵PA与⊙O相切，∴∠OPA＝90°.∴∠POA＝30°.∵PA＝5cm，OP＝53cm.即铁环的半径为53cm.知识模块二三角形的内心【自主探究】认真阅读课本P99思考～P100，回答下列问题：作出一个与△ABC三条边都相切的圆．解：图略．归纳：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三角形三边的距离相等，它一定在三角形的内部．【合作探究】范例：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9cm，BC＝14cm，CA＝13cm，求AF、BD、CE的长．解：设AF＝x(cm)，则AE＝x(cm)，CD ＝CE ＝AC －AE ＝13－x ，BD ＝BF ＝AB －AF ＝9－x.由BD ＋CD ＝BC 可得：(13－x)＋(9－x)＝14解得：x ＝4.因此，AF ＝4cm ，BD ＝5cm ，CE ＝9cm .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 切线长定理知识模块二 三角形的内心当堂检测 达成目标【当堂检测】1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC＝110°.连接AC ，则∠A 的度数是35°．(第1题图) (第2题图) (第3题图)2．如图，已知⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 3 3．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是4．提示：根据题意得：AE ＝CE ，BF ＝CF ，PA ＝PB ，所以△PEF 的周长＝PE ＋CE ＋CF ＋PF ＝PE ＋AE ＋BF ＋PF ＝PA ＋PB ＝4.【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解和掌握切线的判定方法、性质定理以及切线长定理。

本节内容是在学习了函数图像、直线与圆的位置关系等知识的基础上进行学习的，为后续学习解析几何和高中数学打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数图像、直线与圆的位置关系等知识，具备了一定的几何直观能力和逻辑思维能力。

但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理的理解和应用还需要加强。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中发现切线，培养学生的几何直观能力，同时，通过实例讲解，使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

三. 教学目标1.让学生了解和掌握切线的判定方法。

2.使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

3.培养学生运用切线知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。

2.教学难点：切线性质定理和切线长定理的理解和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现和理解切线。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画演示和实例讲解，使学生直观地理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和探究中加深对切线知识的理解。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和教学素材。

2.准备切线相关的实际问题，用于引导学生学习。

3.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如：如何判断一条直线是否为圆的切线？圆的切线有什么特殊的性质？引发学生对切线的兴趣，从而导入新课。

2.呈现（10分钟）讲解切线的判定方法，通过多媒体动画演示和实例讲解，让学生直观地理解和掌握切线的判定方法。

3.操练（10分钟）让学生通过练习一些切线的判定问题，加深对切线判定方法的理解和应用。