四川省成都市青白江区九年级数学下册 3.7 切线长定理 圆幂定理(二)导学案(新版)北师大版

OBAP九级 班 姓名：日期： 编号：课题：切线长定理 课型【新授课】一、【新课导入】:（2分钟）1．已知△ABC ，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？ 2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？ 3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？二、【学习目标】:（1分钟）1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。

2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点和难点）3、会作已知三角形的内切圆（重点）三、【学习流程】:辨——辨而激思） 教师点拨（成果记录·知识生成）【导学1】基本概念定理生成1.自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题（1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？（2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．（3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明⊙O 的定理吗？如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：（4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。

（5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。

（6）分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况。

【导学2】精选例题分析例.△ABC 的内切圆⊙ O 与AC.AB.BC 分别相切于点D,E,F, AB=5,BC=9,AC=6,求AE.BF.CD 的长小组互动一： 对学： 相互检查自学成果的完成情况，指点纠错。

OB A P课题 3.7切线长定理导学案 时间：3、18 课型：新授 【学习目标】1、了解切线长的概念．2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明. 【重点难点】重点：理解切线长定理的内容. 难点：运用切线长定理进行解题和证明. 【导学流程】 一、知识铺垫：1、直线与圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.2、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 二、引导知新：认真研读教材94--95页内容，完成： 1、过圆上一点能作圆的切线. 2、过圆外一点能作圆的切线.3、过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.4、如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． 三、深入学习：例1、如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=9cm ，BC=14cm,CA=13cm,求AE 、BD 、CF 的长.课海拾贝我的困惑：我们的困惑：E DOA BCF例2、如图：已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，其内切圆⊙O ，切点分别是D 、E 、F ， （1）四边形OECF 的形状是_______．请证明.（2）如果AC=3cm ，BC=4cm ，则内切圆⊙O 的半径等于.四、迁移运用：1、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ， EF 切⊙O 于C 点，分别交PA 、PB 于点E 、F ，已知PA=7cm ，则△PEF 的周长等于_________．2、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．A ．60°B ．75°C ．105°D ．120°3、如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=7cm ，BC=12cm,CA=9cm,求AE 、BD 、CF 的长.4、如图所示，⊙O 是的外接圆，点I 是△ABC 的内心，延长交⊙O 于点，连结．求证：；课后 反思BA C E D OF∙ABPCEF ∙OBAC PO E DOA BCF ABC △AI D BD DC 、BD DC DI ==。

3.7切线长定理一、教学目标1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．2.学会运用切线长定理解有关问题．3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．二、课时安排1课时三、教学重点学会运用切线长定理解有关问题．四、教学难点通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．五、教学过程（一）导入新课1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.2.这样的切线能画出几条？3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.（二）讲授新课活动内容1：探究1：如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°,连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?探究2：切线长概念切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？比一比：切线与切线长切线和切线长是两个不同的概念：1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.折一折：思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么? 证一证：请证明你所发现的结论. PA=PB，∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，∵ OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB.探究2：切线长定理-过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.几何语言：∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法试一试：若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.明确：OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.探究3：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C. （1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC（3）写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的等腰三角形△ABP，△AOB活动2：探究归纳反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.（1）分别连接圆心和切点（2）连接两切点（3）连接圆心和圆外一点（三）重难点精讲【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.【解析】设AF=x,则AE=x∴CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC可得13-x+9-x=14，解得x=4.∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.【例2】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P，求证：AD+BC=AB+CD.证明：由切线长定理得AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即AD+BC=AB+CD，补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．（四）归纳小结通过本课时的学习，需要我们掌握切线的6个性质：（1）切线和圆只有一个公共点.（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于过切点的半径.（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（6）切线长定理.（五）随堂检测1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线，切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（）A.60°B.90°C.120°D.150°2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A．2 B．3 C．3 D．233.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB 于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.【答案】1.答案为C。

九年级数学《切线长定理》导学案学习目标：1、了解切线长的定义，掌握切线长定理2、能利用切线长定理解决问题学具准备：圆规、直尺、三角板、量角器等作图工具及练习本学习过程：一、复习旧知切线的判定和性质是什么？二、课堂导学阅读书上99页，完成以下问题：1、切线长定义：过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的，这一点和圆心的连线。

三、课内探究：〔一〕探究切线长的定义：过⊙O外任意一点P，画出⊙O的所有切线。

·OP引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

区别切线切线长〔三〕探究切线长定理：1、猜测上图中，PA与PB、∠APO与∠BPO有什么数量关系？2、尝试通过测量或对折验证猜测。

3、推理证明。

得到：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的，这一点和圆心的连线。

4、定理用几何语言表达为∵∴5、衔接中考：如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，假设∠C＝65°，〔1〕求∠P的度数；〔2〕假设AO＝3，OP=5,求PB的长；〔四〕拓展提升如图：〔见ppt〕假设PA、PB是⊙O的两条切线A、B为切点，直线OP交⊙O于D、E，交AB于点C(1)请写出图中所有相等的线段(2)请写出图中所有的垂直关系(3)请写出图中与∠APO相等的角(4)请写出图中所有的等腰三角形(5) 请写出图中所有的全等三角形(五)课堂小结畅所欲言，查漏补缺四、课后作业如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°。

〔1〕求∠APB的度数；〔2〕当OA=3时，求AP的长。

2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。

本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。

三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。

2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。

2.运用切线长定理解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。

2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。

3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.圆规、直尺、彩色粉笔。

3.练习题和实例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。

然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。

同时，解释切线长定理的意义和应用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。

教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。

5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。

例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。

圆幂定理课程标准描述补充内容,教学大纲无要求考试大纲描述教材内容分析本节课是补充内容，教材上没有学生分析学生在学习了第一节圆幂定理以后，紧跟着学习今天的内容学习目标1. 理解切割线定理、割线定理的定义;2。

掌握切割线定理、割线定理，并能灵活运用切割线定理、割线定理解题。

重点切割线定理、割线定理的理解难点切割线定理、割线定理的应用教学过程教师活动学生活动设计意图（备注)导教师用问题导入，引入新课题,明确目标（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线学生思考，了解学习目标导入新课长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中,∵PA是切线，PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅思 教师出示导学提纲,提出学生自学的明确要求，做好巡视检查，做好小组评价 根据导学提纲阅读教材,完成导学提纲的问题 （2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

让学生认真阅读教材，培养自学能力 C OAP BP即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PC PB PD PE⋅=⋅议教师巡视各组讨论情况,记载各组的共性问题和突出问题，对小组做好评价小组长指导大家起立讨论下列问题利用群学,达成“兵教兵”的目的展教师指导分组展示学习成果,教师注意总结归纳相关问题，并做好小组评价3.如图，BC为⊙O的直径，且BC=6，延长CB与⊙O在点D处的切线交于点A，若AD=4，求AB．学生根据教师要求吧，分组展示,可板书，也可口述检验学生自学成果，为教师的讲铺垫评教师讲授精选例题,同时讲授学生自学过程中发现的突出问题。

教师对优秀小组做出评价.根据教师讲授，学生完成导学提纲上的相关问题,做好笔记知识解难释疑检教师出示当堂检测学生在规定时间内完成当堂检测1.如图,△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，且QA为⊙O的切线(1）求证:QC2-QA2=检测课堂效果BC•QC(2)若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，QC AC=15,求QA 的值．2。