人教版九年级数学《切线长定理及三角形的内切圆》优质课导学案

切线长定理
一、教学目标：
知识目标：1．理解切线长的概念。

2．掌握切线长定理及其应用。

能力目标：培养学生识图能力和逻辑思维能力。

情感目标：激发学生学习兴趣，培养探索精神和创新能力。

德育目标：渗透事物之间相互转化的思想，培养学生良好的学习习惯
和严谨的思维品质。

二、教学重点：切线长定理的应用。

教学难点：切线长定理的灵活应用。

突破关键：切线长定理的理解。

教学方法：观察、探究、讨论、概括等多种方法。

三、教学过程：
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，若∠APB=60°，PA=6cm，那么⊙O
是 .
探究加深：
芜湖经济技术开发区
九年级数学公开课
课题：§24.2.2直线和圆的位置关系（第三课时）
切线长定理
授课：张晓明
时间：2012年10月31日
班级：芜湖市第33中学
（安师大附中城北分校）
九（3）班。

O BA P新人教版九年级数学上册《切线长定理及角形内切圆》导学案主备人审核人审批人 授课人 授课 时间[来源:Z_xx_]班级 姓名 小组课题 24.2.2切线长定理及角形内切圆课型 探究课[来源学科网]课时1四、反馈提升2如图在△ABC 中，内切圆I 与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，∠ B ＝60°，∠C ＝70°，求∠EDF 的度数。

网ZXXK]五、达标测评、过圆外一点作圆的切线，这点和______________，叫做这点到圆的切线长。

2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．3、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆； 内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。

4、作三角形两内角的平分线，两角平分线的交点就是[来源:学。

科。

网Z 。

X 。

X 。

K]内切圆的圆心， 是内切圆的圆心。

5、如图，PA,PB,分别切⊙O 于点A,B,∠P=70°， ∠C 等于_______________ 。

6、在⊿ABC 中，∠A=50° （1）若点O 是⊿ABC 的外心，则∠BOC= _________________ . (2) 若点O 是⊿ABC 的内心，则∠BOC=______________7．如图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，[来源学科网]求证∠ABO =12∠APB.学法指导栏学习 目标1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。

学习 重点 理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明学习 难点会作已知三角形的内切圆题教师“复备栏”或学生“笔记栏”学习过程：一、 情景引入或知识回顾 1、 二、自主学习只限于演的有几种位置关系？分别是那几种？ _________________________________________________2、 判断直线与圆相切有几种方法？如何判断直线与圆相切？ _________________________________________3、 角平分线的判定和性质是什么？ ________________________________.二、自主学习自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题 （1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？（2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． （3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明切线长定理吗？如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：__________________ ____________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________（4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。

第3课时 切线长定理1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC)＋(CF ＋PF)＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝12BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD)2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E)上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N.若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC.又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C.三、板书设计教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.学生励志寄语：同学们，通过这节课的学习，你们学到了哪些知识？要珍惜时间好好学习，要明白时间就像日历一样，撕掉一张就不会再回来。

《切线长定理》教案教学目标1．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容，并会运用切线长定理解决相关的问题.2．过程与方法：通过复习引导给出切线长定义，经过实验、猜想、证明发现切线长定理。

培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．3．情感、态度和价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．教学重点切线长定理及其运用.教学难点切线长定理的导出及证明和运用定理解决实际问题.教学过程(一)情景引入由如何求“V ”形支架內篮球的半径而引出切线长.(二)探求新知活动一：切线长定义如图，已知⊙O外一点P,过P作⊙O的切线PA，切点为A，则P点与A点之间的线段长度，就是P点到⊙O的切线长.切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.（引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.）活动二：过圆外一点最多可以引圆的几条线.（演示）过圆外一点最多可以引圆的两条切线.活动三：观察：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，则线段PA，PB都是点P到⊙O的切线长．1、提出问题：（1）线段PA与PB的长度有什么关系呢.(2)连接PO,则∠OPA与∠OPB的大小有什么关系.2、观察：在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？3、猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO4、证明猜想，形成定理(猜想的结论正确性，需要理论证明．)如图，P是⊙O外一点，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B为切点.求证：PA=PB . ∠OPA＝∠OPB.（组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(板书）几何语言：∵PA ,PB切于A ,B.∴PA=PB . ∠APO=∠BPO.（切线长定理为证明线段相等和角相等提供了新的方法。

24.2.2 切线长定理教学目标 1．了解切线长的概念．2．理解切线长定理，熟练掌握它的应用．教学重难点 重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题 教学过程一、探索新知：（自学课本99页）1、议一议 切线长：经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 切线和切线长是两个不同的概念：（1）、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； （2）、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

2、折一折已知⊙o 及⊙o 外的一点P ，PA 与⊙o 相切于A 点，连接OA 、OP ，如果将⊙o 沿直线OP 翻折，在⊙o 上存在一点与A 点重合吗？这时，OB 是⊙O 的一条半径吗？PB 是⊙O 的切线吗？3、猜一猜如图，PA 、PB 是的两条切线，A 、B 为切点，猜想：PA 、PB 有什么关系？∠OPA 、∠OPB 有什么关系？4、证一证已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，求证：PA ＝PB ，∠OPA ＝∠OPB.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．∵ PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B.∴PA = PB ， ∠OPA=∠OPB5、想一想在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。

（1） 分别连结圆心和切点（2） 连结两切点（3） 连结圆心和圆外一点写出图中所有的垂直关系；写出图中所有的全等三角形；写出图中所有的等腰三角形．二、例题点拨：【例题1】如图,PA,PB 是☉O 的切线,A,B 为切点,∠OAB=30°.(1)求∠APB 的度数. (2)当OA=3时,求切线长PA.【例题2】已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：AC∥OP．三、学以致用：1、如图,已知⊙O的半径为3cm，PO＝6cm，PA，PB分别切⊙O于A，B，（1）PA＝______（2）若PO交⊙O于点Q，直线CD切⊙O于点Q，交PA、PB于点C、D，则△PCD的周长是______2、如图，AD是⊙O的直径，AB、BC、DC是切线，点A、E、D为切点，若DC=9，AB=4，求圆O的半径长.四、课堂小结：通过这节课，你有什么收获？五、课堂延伸：如图：从⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A和B，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.且∠P=40°, PA=6.求:⑴求△PDE的周长. (2)求∠DOE的度数.。

九年级数学《切线长定理》导学案学习目标：1、了解切线长的定义，掌握切线长定理2、能利用切线长定理解决问题学具准备：圆规、直尺、三角板、量角器等作图工具及练习本学习过程：一、复习旧知切线的判定和性质是什么？二、课堂导学阅读书上99页，完成以下问题：1、切线长定义：过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的，这一点和圆心的连线。

三、课内探究：〔一〕探究切线长的定义：过⊙O外任意一点P，画出⊙O的所有切线。

·OP引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

区别切线切线长〔三〕探究切线长定理：1、猜测上图中，PA与PB、∠APO与∠BPO有什么数量关系？2、尝试通过测量或对折验证猜测。

3、推理证明。

得到：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的，这一点和圆心的连线。

4、定理用几何语言表达为∵∴5、衔接中考：如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，假设∠C＝65°，〔1〕求∠P的度数；〔2〕假设AO＝3，OP=5,求PB的长；〔四〕拓展提升如图：〔见ppt〕假设PA、PB是⊙O的两条切线A、B为切点，直线OP交⊙O于D、E，交AB于点C(1)请写出图中所有相等的线段(2)请写出图中所有的垂直关系(3)请写出图中与∠APO相等的角(4)请写出图中所有的等腰三角形(5) 请写出图中所有的全等三角形(五)课堂小结畅所欲言，查漏补缺四、课后作业如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°。

〔1〕求∠APB的度数；〔2〕当OA=3时，求AP的长。

P ABCA图3CB《切线长定理和三角形的内切圆》导学案 NO ：42班级_____姓名________小组_____评价_______一、学习目标1、了解切线长、三角形内切圆和三角形的内心等概念；2、掌握切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行计算和证明；3、会作已知三角形的内切圆。

二、自主学习1、阅读教材99页“探究”，思考下列问题： （1）过圆外一点可以作圆的几条切线？（2）什么是切线长？经过圆外一点作圆的切线，_______点与_______点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。

（3）切线长与切线有什么区别？_______是一条直线，_______是一条线段。

（4）切线长定理如何表述？从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的______相等，这点和圆心的连线平分两条切线的_________。

（读4遍） （5）如何证明切线长定理？（请在练习本上写出证明） （6）如右图，若PO 与圆分别交于C 、D ，连接AB ，交PO 于E 请写出图中相等的线段、相等的弧、相等的角。

2、阅读教材 “思考” ，认识三角形的内切圆：（1）与三角形各边都_________的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条_________的交点，叫做三角形的内心，它到三角形_________的距离相等。

（读3遍，并思考三角形的内切圆与三角形的外接圆有什么区别。

）（2）画出图1中△ABC 的内切圆。

3、自学检测：（1）如图2，△ABC 的内切圆⊙O 与三边分别切于D 、E 、F ， AB=10cm ，BC=12cm ，CA=16cm ，求AF 、BD 、CE 的长。

（2）如图3，△ABC 的三边与它的内切圆⊙O 分别切于D 、E 、F ，若∠A=70°，则∠EDF= _________。

（3）教材练习第1，2题。

三、合作探究1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC 的内切圆半径r=________2、如图4，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于 E 、F 两点，切点在弧AB 上，若PA=2，则△PEF 的周长是________3、如图5，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，∠ACB=90°，若∠BOC=105°，AB=4cm ，求∠OBC图4P图5A图6D图7B AD图8ADCEC A的度数与BC 的长。

新人教版九年级数学上册24.2.2 切线长（2）导学案
学习目标：学会画三角形内切圆的方法，三角形内心的概念 .
重点：三角形内切圆的作法、三角形内心的概念和性质.
难点：三角形内心的概念和性质.
学习过程：
一、预习导学
如图是一张三角形的铁皮，如何剪一个最小的圆形盖板，将三角形全部覆盖.
二、新知探究：
如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，
并且使圆的面积尽可能大呢？
归纳：与三角形各边 叫做三角形的内切圆，内切圆
的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 .
例1 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝40°，∠ACB ＝60°，点O 是三
角形的内心,求∠BOC 的度数.
变式练习：变式练习：在△ABC 中,已知∠BAC ＝80°，点O 是三角形的内心,
求∠BOC 的度数.
简记 A B C
O A B C
O
例2 △ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ， 且AB=8cm, BC=15cm, CA=13cm 求AF 、BD 、CE 的长.
三、巩固练习
1. △ABC 中， ∠BAC=50°,点O 是△ABC 的外心，点I 是△ABC 的内心，
则∠B0C = ,∠BIC = .
2. 如图，在直角△ABC 中，∠C=90°, BC=8,
AC=6,求△ABC 的内切圆的半径.
五、学后反思： A
B C D E F O
O
C A B A B C I
O
简记。

第二十四章圆24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理及三角形的内切圆学习目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.3.认识三角形的内切圆及其有关概念,会作一个三角形的内切圆,掌握内心的性质.重点：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.认识三角形的内切圆及其有关概念,会作一个三角形的内切圆,掌握内心的性质.难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明.一、知识链接1.切线的判定定理和性质定理是什么？2.角平分线的判定定理和性质定理是什么？二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示),如果点P是圆外一点,又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线,可以作几条？要点归纳：切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．问题2 P A为⊙O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B．图中OB是⊙O 的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？P A、PB有何关系？⊙APO和⊙BPO有何关系？要点归纳：过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.推理验证已知,如图P A、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点.求证：P A=PB,⊙APO=⊙BPO.想一想：若连接两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.典例精析例1 已知：如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.变式训练如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为______．例 2 为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环的半径,若三角板与圆相切且测得P A=5cm,求铁环的半径．方法总结：切线长定理包括线段相等和角相等两个结论,解题时应有选择地应用,它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.练一练P A、PB是⊙O的两条切线,A,B是切点,OA=3.(1)若AP=4,则OP= ；(2)(2) 若⊙BP A=60°,则OP= .探究点2：三角形的内切圆及作法互动探究小明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？问题1 如果最大圆存在,它与三角形三边应有怎样的位置关系？问题2 如何求作一个圆,使它与已知三角形的三边都相切？(1) 如果半径为r的⊙I与⊙ABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件？(2) 在⊙ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢？做一做已知：⊙ABC.求作：和⊙ABC的各边都相切的圆.要点归纳：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.探究点3：三角形的内心的性质问题1 如图,⊙O是⊙ABC的内切圆,那么线段OA,OB,OC有什么特点？问题2 如图,分别过点O作AB、AC、BC的垂线,垂足分别为E、F,G,那么线段OE、OF、OG之间有什么关系？要点归纳：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.例3 如图,⊙ABC中,⊙ B=43°,⊙C=61 °,点I是⊙ABC的内心,求⊙ BIC的度数.例 4 (教材P100例2)⊙ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=9,BC=14,CA=13,求AF、BD、CE的长.方法总结：关键是熟练运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程.比一比：三、课堂小结1.如图,PA、PB是☉O的两条切线,切点分别是A、B,如果AP=4,∠APB= 40°,则∠APO= ,PB= .第1题图第2题图2.如图,☉O为△ABC的内切圆,AC=10,AB=8,BC=9,点D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O 的切线,则△CDE的周长为________.3.如图,在△ABC中,点I是内心,(1)若∠ABC=50°, ∠ACB=70°,∠BIC= .(2)若∠A=80 °,则∠BIC = 度.(3)若∠BIC=100 °,则∠A = 度.(4)试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？4.如图,在△ABC中,∠B＝90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC 相切于点D.求证：DE∥OC.5.如图,△ABC中,I是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.当堂检测参考答案自主学习一、知识链接1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径2.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.课堂探究二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1：连接OP,以OP的中点为圆心,OP的一半为半径作圆,与⊙O交于点A,B,连接P A,PB,直线P A,PB即为所求做的切线.过圆外的一点,可以作圆的两条切线.问题2：OB是☉O的一条半径,PB是⊙O的切线,P A=PB,⊙APO=⊙BPO.推理验证：证明：⊙P A、PB是☉O的两条切线,⊙ OA⊙P A,OB⊙PB.⊙OA=OB,OP=OP,⊙Rt⊙OAP⊙Rt⊙OBP,⊙P A=PB,⊙APO=⊙BPO.想一想解：OP垂直平分AB.证明：⊙P A,PB是⊙O的切线,点A,B是切点⊙P A = PB ,⊙OP A=⊙OPB⊙⊙P AB是等腰三角形,PM为顶角的平分线.⊙OP垂直平分AB.例 1 证明：⊙AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H,⊙ AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH.⊙ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.⊙AB+CD=AD+BC.变式训练50例2解：设铁环的圆心为O,AB与⊙O相切于点Q,连接OP、OA、OQ.⊙AP、AQ为⊙O的切线,⊙AO为⊙P AQ的平分线,即⊙P AO=⊙QAO.又⊙P AQ＝180°－60°=120°,⊙⊙P AO＝⊙QAO＝探究点2：三角形的内切圆及作法问题1 最大的圆与三角形三边都相切问题2 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.作三角形任意两个角的平分线,其交点即为所求作的圆心I.做一做作法：1.作⊙B和⊙C的平分线BM和CN,交点为O.2.过点O作OD⊙BC,垂足为D.3.以O为圆心,OD为半径作圆O.⊙O就是所求的圆.探究点3：三角形的内心的性质问题1 线段OA,OB,OC分别是⊙CAB,⊙ABC,⊙BCA的平分线.问题2 OE=OF=OG例3 解：连接IB,IC.⊙点I是⊙ABC的内心,⊙BI,CI分别是⊙ABC,⊙ACB的平分线,在⊙IBC中,⊙BIC=180°-（⊙IBC+⊙ICB）=180°-12(⊙ABC+⊙ACB)=180°-12（43°+61°）=128°.例4 解：设AE=x,则AF=x.⊙CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14,解得x=4.⊙ AF=4,BD=5,CE=9.名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分⊙BAC、⊙ABC、⊙ACB3.内心在三角形内部．当堂检测1.20° 42.113.（1）120 （2）130 （3）20 （4）⊙BIC=90°+12⊙A4.方法一证明：连接BD,⊙AC切⊙O于点D,BC切⊙O于点B,⊙DC=BC,OC平分⊙DCB．⊙OC⊙BD．⊙BE为⊙O的直径,⊙DE⊙BD．⊙DE⊙OC．方法二证明：连接OD,⊙AC切⊙O点D,⊙OD⊙AC,⊙⊙ODC=⊙B=90°.在Rt⊙OCD和Rt⊙OCB中, OD＝OB,OC＝OC,⊙Rt⊙ODC⊙Rt⊙OBC（HL）.⊙⊙DOC=⊙BOC.⊙OD=OE,⊙⊙ODE=⊙OED.⊙⊙DOB=⊙ODE+⊙OED,⊙⊙BOC=⊙OED,⊙DE⊙OC．5.证明：连接BI.⊙I是⊙ABC的内心,⊙⊙BAD=⊙CAD,⊙ABI=⊙CBI.⊙⊙CBD=⊙CAD,⊙⊙BAD=⊙CBD.⊙⊙BID=⊙BAD+⊙ABI,⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD,⊙⊙BID=⊙IBD.⊙BD=ID．。

人教版九年级数学上册24.2.4《切线长定理和三角形内切圆》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《几何变换》的最后一节是24.2.4《切线长定理和三角形内切圆》。

这部分内容是整个初中几何学习的重要部分，也是学生对几何知识深入理解和应用的关键点。

切线长定理和三角形内切圆不仅涉及到几何图形的性质，还涉及到数学证明的方法，对于培养学生的逻辑思维和数学素养有着重要的作用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对图形性质有一定的了解。

但是，对于切线长定理和三角形内切圆的证明过程，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过直观的图形和实际的例子，理解切线长定理和三角形内切圆的概念，再通过逐步的引导和提示，让学生独立完成证明过程。

三. 教学目标1.理解切线长定理和三角形内切圆的概念。

2.学会使用切线长定理和三角形内切圆解决实际问题。

3.掌握切线长定理和三角形内切圆的证明过程。

4.培养学生的逻辑思维和数学素养。

四. 教学重难点1.重点：切线长定理和三角形内切圆的概念，证明过程。

2.难点：证明过程的理解和应用。

五. 教学方法1.直观教学法：通过图形和实际的例子，让学生直观地理解切线长定理和三角形内切圆的概念。

2.引导发现法：在教学过程中，引导学生通过观察和思考，发现切线长定理和三角形内切圆的证明过程。

3.实践操作法：让学生通过实际的操作，加深对切线长定理和三角形内切圆的理解。

六. 教学准备1.准备相关的图形和实际的例子，用于讲解和引导学生思考。

2.准备证明过程的提示和引导，帮助学生理解和掌握。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的例子，让学生观察和思考，引出切线长定理和三角形内切圆的概念。

2.呈现（10分钟）呈现相关的图形和例子，讲解切线长定理和三角形内切圆的概念，让学生直观地理解。

3.操练（15分钟）让学生通过实际的操作，运用切线长定理和三角形内切圆解决实际问题，加深对概念的理解。

人教版数学九（上）《切线长定理》导学案竹山县文峰中学梁锋教学目标：知识与技能：1．理解切线长的概念，并理解切线长定理．2．理解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．3．理解和灵活使用切线长定理以及应用内切圆知识发展解决实际问题的水平．过程与方法：经历探索切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，从而渗透转化思想和方程思想．情感态度与价值观：理解数学的价值，培养对数学的好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．重难点目标：教学重点：切线长定理．教学难点：应用切线长定理解决问题．教学过程：环节1自学提纲，生成问题阅读教材P99～P100的内容，完成下面练习．1．经过圆外一点作圆的切线，这点和____之间线段的长叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点能够引圆的两条切线，它们的切线长____，这个点和圆心的连线____两条切线的夹角．3．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若PA＝4，则PB＝____.4．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．5．三角形内切圆的圆心是三角形___的交点，叫做三角形的____，它到三边的距离____.环节2合作探究，解决问题活动1：小组讨论(师生对学)例1如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，假设AB＝5，AC＝3，则BD的长是__________.互动探索：(引发学生思考)AB、AC、BD是⊙O的切线，由切线长定理能够得到哪些线段相等？求BD的长能够转化为求哪条线段的长？分析：互动总结：(学生总结，老师点评)切线长定理提供了另一种证明线段相等的方法，注意在解题过程中的等量代换．例2：如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝________.互动探索：(引发学生思考)三角形内切圆有哪些性质？要求∠DOE的度数，在四边形BDOE中，能否使用四边形内角和定理求解？分析：互动总结：(学生总结，老师点评)三角形内切圆问题中，连结各边的切点与圆心，结合切线的性质能产生直角，进而根据问题实行求解．活动2：巩固练习(学生独学)1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝____.2．如图，AD、DC、BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝____.3．如图，AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是优弧BC上异于B、C的一动点，则∠BPC＝____.活动3：拓展延伸(学生对学)例3：如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，若∠APB＝60°，⊙O半径为3，求阴影部分的面积．互动探索：(引发学生思考)阴影部分是不规则图形，要求阴影部分的面积，能够通过规则图形怎样来“割补”？分别连结切点与圆心、交点与圆心，得到直角三角形，如何求得阴影部分的面积？互动总结：(学生总结，老师点评)由切线，作辅助线易得直角三角形，求不规则图形面积时，经常通过规则图形“割补”求得，注意其中数形结合思想的使用．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计教材P10210题11题。

人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》教案1一. 教材分析人教版数学九年级上册《切线长定理、三角形的内切圆、内心》这一节主要介绍了切线长定理以及三角形的内切圆和内心的性质。

通过学习这一节内容，学生能够了解并掌握切线长定理，以及如何运用该定理求解三角形的问题。

同时，学生还能够了解三角形的内切圆和内心的性质，以及如何运用这些性质解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了相似三角形的性质，对三角形的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于切线长定理以及三角形的内切圆和内心的性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。

此外，学生可能对于如何运用这些性质解决实际问题还比较困惑，需要通过教师的引导和实例的讲解来进行理解和掌握。

三. 教学目标1.了解并掌握切线长定理，能够运用切线长定理求解三角形的问题。

2.了解三角形的内切圆和内心的性质，能够运用这些性质解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.切线长定理的理解和运用。

2.三角形的内切圆和内心的性质的理解和运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解和掌握切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质。

2.通过实例讲解和练习，让学生能够运用所学的知识解决实际问题。

3.采用分组合作的学习方式，培养学生的团队合作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备相关的练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，引导学生思考和讨论如何解决这个问题，激发学生的学习兴趣和动力。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质，并用相关的图示和实例进行讲解，让学生理解和掌握这些概念和性质。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给予指导和解答疑问。

每组选择一道练习题，运用切线长定理和三角形的内切圆、内心的性质进行求解，并将结果进行展示和讨论。

第3课时切线长定理一、教学内容人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“直线和圆的位置关系”（第三课时）二：教学内容解析本节课是直线与圆的位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。

体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。

在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣。

首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现条件，解决问题。

通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体会数学发展的过程。

三：教学流程安排四：教学目标与重难点：【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念【情感态度】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力【教学重点】切线长定理及其应用【教学难点】内切圆、内心的概念及运用一、情境导入，初步认识探究如图，纸上有一⊙O，和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC三边相切内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等【教学说明】要让学生对照图形理解三角形的内切圆的概念，并与三角形的外接圆进行比较“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆的关系；多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”三、典例精析，掌握新知例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA==23求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角分析：连接OA，设AO=，在Rt△AOP中利用勾股定理求出，由切线长定理知∠APO=12∠APB求出∠APO就可得∠APB解：连接AO，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，△PAO为直角三角形设OA=，则OC=，在Rt△PAO中，OA2PA2=OP2，∴262=232，解得:=23∴OA=23，OP=43，∴∠AOP=60°，∠APO=30°∴∠APB=2∠APO=2×30°=60°∴⊙O的半径OA为23，两切线PA、PB的夹角为60°【教学说明】例1、例2是利用切线长定理进行计算，在解题过程中，我们常常用方程来解决几何问题例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____分析：∵I是内心∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线∴∠ABC∠ACB=2（∠IBC∠ICB）又∵∠BIC=100°，∴∠IBC∠ICB=80°∴∠ABC∠ACB=160°∴∠A=180°-160°=20°【教学说明】指导学生利用三角形内心的性质解决问题四、运用新知，深化理解课本第100页练习1、2题【教学说明】教师引导学生完成课本练习五、师生互动，课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点你有哪些疑惑【教学说明】学生自主交流并发言总结，教师予以补充和点评，让学生完整地领会本堂课的知识要点1布置作业：从教材“习题”中选取2完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分六：板书设计七：教学反思：本节课我本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察，实验、猜测、推理、交流、反思等活动，使学生欣然接受挑战。