离散数学_集合与关系_关系

特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ， ， ， 自然数集 整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合 ， ， ， ， ， 有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合 ， ∈ 实数集合R={ x x是实数 是实数} 实数集合 是实数 复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
E B A
集合的相等
2、 相等： 、 相等： 定义： 相等， 定义：若 A⊆ B，且B⊆ A则 称A，B相等， ⊆ ， ⊆ 则 ， 相等 记 作A=B。 。 即 ∀ x∈A则 x∈B， 并且有 ∀ x∈B则 x∈A。 ∈ 则 ∈ ， 并且有∀ ∈ 则 ∈ 。 若A，B 不相等记 作 A≠ B
真子集： 真子集：
集合的说明： 集合的说明：
1、描述法中A={ x 1≤x≤5}与A={y1≤y≤5} 、描述法中 与 是表示同一个集合 2、集合中元素是无序的。 、集合中元素是无序的。 {a,b,c},{a,c,b},{b,c,a}表示同一个集合 。 表示同一个集合。 表示同一个集合 3、集合中的元素可能也是集合， 、集合中的元素可能也是集合， 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} ， ， ， ， ， =5， {2}∈ A,{6}∈ A=5，2∈A，{2}∈A，6∉A,{6}∈A
求幂集的过程
写出A的全部子集 设A={0，1，2}写出 的全部子集。 ， ， 写出 的全部子集。 元子集： 解：A的0元子集：∅ 的 元子集 A的1元子集：{0}，{1}，{2} 元子集： ， ， 的 元子集 A的 2元子集 ： {0， 1}， {0， 2}， {1， 2}。 元子集： ， ， ， ， ， 。 的 元子集 元子集： ， ， A的3元子集：{0，1，2} 的 元子集 A共有 个子集，即P（A）=8 共有8个子集， （ ） 共有 个子集 一般地如果 ， 一般地如果A=n， 元子集有1个即空集 则A的0元子集有 个即空集∅， 的 元子集有 个即空集∅ A的1元子集共有 n1个， 元子集共有C 的 元子集共有 A的 2元子集共有 2n个，…， 元子集共有C 的 元子集共有 ， A的m元子集共有 mn个，… 元子集共有C 的 元子集共有 n元子集共有 nn=1个， 元子集共有C 元子集共有 个 所以A的子集个数为 的子集个数为C 所以 的子集个数为 0n+ C1n+…+ Cnn=2n

离散数学中的关系
离散数学中的关系指的是集合之间元素的联系或对应关系。

这种关系可以描述为有序对的集合，其中每个有序对都由一对元素组成。

在离散数学中常见的关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。

等价关系是一种自反、对称和传递的关系，即元素之间具有相等的性质。

例如，集合中两个元素的相等关系就是一种等价关系。

偏序关系是一种自反、反对称和传递的关系，即对元素之间存在一种偏序或排序关系。

例如，在集合中，可以通过元素之间的比较来确定它们的顺序关系。

全序关系是一种偏序关系，它不仅是自反、反对称和传递的，还具有完备性，即对于集合中任意两个元素，它们之间必定存在一种顺序关系。

离散数学中还有其他类型的关系，如函数关系、包含关系等。

函数关系是一种特殊的关系，它对于集合中的每个元素，都存在唯一的映射元素。

包含关系则描述了两个集合之间的包含或包含于关系。

通过对这些关系的研究和分析，可以帮助理解和解决离散数学中的问题。

同时，关系的性质和特征也为其他学科如计算机科学、逻辑学等提供了基础。

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河南工业大学离散数学课程组
四.证明R的反对称性 方法1 用定义1证： 任取 x,y∈A,设<x,y>∈R, <y,x>∈R.证出 x=y。 方法2 用定义2证： 任取 x,y∈A,x≠y, 设<x,y>∈R,证出<y,x>R. 方法3 用定理证：证出 R∩Rc IA . (见教材P118) 五.证明R的传递性： 方法1 用传递定义证： 任取 x,y,z∈A,设<x,y>∈R,<y,z>∈R, 证出 <x,z>∈R. 方法2 用传递闭包证：证出 t(R)=R, 即 R∪R2∪R3∪... =R. 方法3 用定理证：证出R R R ( P119 (2) a) ) 下面证明第113页 (4)
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离散数学
河南工业大学 第三章
信息科学与工程学院
集合与关系
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河南工业大学离散数学课程组 3-2（9）在什么条件下，下面命题为真？
a) (A-B)∪(A-C)=A (A-B)∪(A-C)= (A∩~B)∪(A∩~C)=A∩(~B∪~C) = A∩~(B∩C)=A-(B∩C)=A 所以满足此式的充要条件是： A∩(B∩C)= Φ或A ~ (B∩C) b) (A-B)∪(A-C)=Φ (A-B)∪(A-C)= A∩~(B∩C)= A-(B∩C)=Φ 所以满足此式的充要条件是：A B∩C c) (A-B)∩(A-C)=Φ (A-B)∩(A-C)= (A∩~B)∩(A∩~C)=A∩(~B∩~C) = A∩~(B∪C)=A-(B∪C)=Φ 所以满足此式的充要条件是: A B∪C d) (A-B)(A-C)=Φ 因为 当且仅当A=B ，才有AB=Φ 所以满足此式的充要条件是: A-B=A-C

例如：朋友关系，同学关系，同乡关系，不相等关系() 是对称关系，相等关系(=)？？？ 。



非（不是）对称的 (x) (y) (xA∧yA∧<x,y> R ∧ <y,x> R )
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对称性的关系矩阵和关系图的特点

定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R) 从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。 从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若 有边的话，则有方向相反的 ？ 1 0 两条边。
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一、自反性

定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 该定义表明在自反关系 R中，除其他序偶外，必 须包括有全部由每个x ∈A所组成的相同元素的 序偶。 例如：设X={a,b,c}, R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>} 是自反关系。 R2={<a,a>,<b,b>,<a,b>} 不是自反关系。 例如：相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系() 等是自反关系。 非（不是）自反的 (x)(xA∧<x,x> R )
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三、对称性

定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)