最新初中数学不等式及其解集讲义

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课时1 不等式及其解集讲义
一、课前回顾
等式与方程
1.含有“=”的式子叫做等式；
2. 使等式两边相等的x的值称为方程的解；
3. 求方程的解的过程叫做解方程.

问题探究
1.一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米，要12:00之前驶过A地，车速应满足什么
条件？

分析：
设车速是x千米/时

式子①和②从不同角度表示了车速应该满足的条件.
2.思考：下列式子有什么区别？

区别：①只有（4）的式子里含有“=”符号；
②除了（4）的式子里含有“>”或“<”或“≥”或“≤”或“≠”符号；

探究结果：

共同点：
（1）式子里没有“=”号；
（2）式子里含有不是“=”的符号.

从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到2/3小时，即 3250x从路程上看，汽车要在12：00之前
驶过A地，则以这个速度行驶2/3
小时的路程要超过50千米，即

5032x
2

二、讲授新课
1.不等式的定义
不等式的定义：用符号“>”或“<”表示大小关系的式子，叫做不等式.

注意：用符号“≥”或“≤”或“≠”等符号表示的式 子，也是不等式.
练一练
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3>0; （2）4x+3y<0； （3）x=3;

（4） x2+xy+y2； （5）x≠5; （6）x+2>y+5.
解 ： （1）（2）（5）（6）是不等式；
（3）（4）不是不等式.

例题讲解

例1：判断下列式子是不是不等式：
① -1<3 ② -x+2=4
③ 3x ≠ 4y ④ 6 > 2
⑤ 2x -3 ⑥ 2m < n
当堂训练
有下列数学表达式：
①-1<0; ②3m-2n>0; ③x=4; ④x≠7; ⑤5x+4=x+5；
⑥x2+xy+y2; ⑦x+2>y+3; ⑧x2>4; ⑨3x-2>4x-3; ⑩3+5<7;
其中是不等式的有 （ ）
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2.用不等式表示数量关系
例2、用不等式表示
⑴ a是正数 ;
⑵ a是非正数 ;
⑶ a与5和小于7 ;
⑷ a与2的差不小于－1;
3.用不等式表示数量关系

例3、用不等式表示下列数量关系：
（1）x的5倍大于-7；
（2）a与b的和的一半小于-1；
（3）长、宽分别为xcm，ycm的长方形的面积小于
边长为acm的正方形的面积.

例4、已知一支圆珠笔x元，签字笔与圆珠笔相比每支贵y元. 小华想要买3支圆珠笔和10支签
字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x，y的不等式来表示小华所需支付的金额与50元
之间的关系？

尝试练习：用不等式表示
⑴ a与1的和是正数;
⑵ y的2倍与1的和小于3;
⑶ y的3倍与x的2倍的和是非负数
⑷ x乘以3的积加上2最多为5.

4.不等式的解
回顾知识
对于方程：使等式两边相等的x的值称为方程的解.
不等式的解的定义：
能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.

例5.

对于不等式，不等
式的解又是什么
呢？

代入法是检验某个值
是否是不等式的解的
简单实用的方法.
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不等式的解集与解不等式的定义：
一般的，一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集.
求不等式的解集的过程叫解不等式.
想一想：
1.不等式的解和不等式的解集是一样的吗?
2.不等式的解与解不等式一样吗？

不等式的解和不等式的解集
1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值.
2.不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.

例6：直接想出不等式的解集:
⑴ x+2>6 ⑵ 3x>9 ⑶ x－3>0

练一练
下列说法正确的是( )
A. x=3是2x+1>5的解 B. x=3是2x+1>5的唯一解
C. x=3不是2x+1>5的解 D. x=3是2x+1>5的解集

5.解集的表示方法
1.第一种：用式子(如x>2),即用最简形式的不等式.
2.第二种:用数轴,标出数轴上某一区间,其中的点对应的数值都是不等式的解.
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用数轴表示不等式的解集
1. 步骤:
①画数轴; ②定边界点; ③定方向.
2. 规律:
①大于向右画,小于向左画；
②有等号(≥ ,≤)画实心点；
③无等号(>,<)画空心圆.
例7.画一画: 利用数轴来表示下列不等式的解集.
(1)x＞-1 ； (2) x＜1/2 .

变式:
已知x的取值范围在数轴上表示如图,你能写出x的取值范围吗?

试一试
用数轴表示下列不等式的解集:
⑴ x>－1; ⑵ x≥ －1; ⑶ x< －1; ⑷ x≤ －1.

三、课堂练习：
1.下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？
 -2＜5 x+3>6 4x-2y≤0 a-2b
 a+b≠c 5m+3=8 8+4<7
2：用不等式表示
⑴ a与1的和是正数;
⑵ y的2倍与1的和小于3;
⑵ y的3倍与x的2倍的和是非负数
⑷ x乘以3的积加上2最多为5.

5213x
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3.请直接想出下列不等式的解集，并在数轴上表示.
（1） 2x＜８ （2）x-2＞0

4.下列说法中错误的是（ ）
A.不等式x<5的解有无数个 B.不等式x<5的正整数解有有限个
C.x=-4是不等式-3x>9的一个解 D.x>5是不等式x+3>6的解集
5. 不等式x＜5有多少个解？有多少个正整数解？
6. 图中红色部分所表示的是哪些数？你能用不等式表示这个区域吗？

7. 在数轴上表示x≥－2正确的是 ( )
四、课堂小结
1.不等式：用符号“>”或“<”表示大小关系的式子.
2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值.
3.不等式的解集： 使不等式成立的未知数的取值范围.
4.解不等式： 求不等式的解集的过程.
5.解集表示方式： ①不等式； ②数轴.

五、课后作业
一、填空题
1．用不等式表示：
(1)m－3是正数______； (2)y＋5是负数______；
(3)x不大于2______； (4)a是非负数______；
(5)a的2倍比10大______； (6)y的一半与6的和是负数______；

(7)x的3倍与5的和大于x的31______；
(8)m的相反数是非正数______．
2．画出数轴，在数轴上表示出下列不等式的解集：

(1)213x (2)x≥－4．

(3)51x (4)312x
二、选择题
3．下列不等式中，正确的是( )．
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(A)4385 (B)5172
(C)(－6.4)2＜(－6.4)3 (D)－｜－27｜＜－(－3)3
4．“a的2倍减去b的差不大于－3”用不等式可表示为( )．
(A)2a－b＜－3 (B)2(a－b)＜－3
(C)2a－b≤－3 (D)2(a－b)≤－3
5．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m(g)的取值范围在数轴上可表示为( )．

三、解答题
6．利用数轴求出不等式－2＜x≤4的整数解．

7．用“＜”或“＞”填空：
(1)－2.5______5.2； (2)114______125；
(3)｜－3｜______－(－2.3)； (4)a2＋1______0；
(5)0______｜x｜＋4； (6)a＋2______a．

8．“x的23与5的差不小于－4的相反数”，用不等式表示为______．
二、选择题
9．如果a、b表示两个负数，且a＜b，则( )．

(A)1ba (B)ba＜1 (C)ba11 (D)ab＜1
10．如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．

(A)－2＜x＜4 (B)－2＜x≤4
(C)－2≤x＜4 (D)－2≤x≤4
11．a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．
(A)若a＞b，则a2＞b2 (B)若a2＞b2，则a＞b
(C)若a≠b，则｜a｜≠|b| (D)若｜a｜≠|b|，则a≠b
12．｜a｜＋a的值一定是( )．
(A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零
三、判断题
13．不等式5－x＞2的解集有无数个． ( )
14．不等式x＞－1的整数解有无数个． ( )

15．不等式32421x的整数解有0，1，2，3，4． ( )
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16．若a＞b＞0＞c，则.0cab ( )
四、解答题
17．若a是有理数，比较2a和3a的大小．

18．若不等式3x－a≤0只有三个正整数解，求a的取值范围．

19．对于整数a，b，c，d，定义bdaccdba，已知3411db，则b＋d的值为_________．