储油罐的讲义变位识别与罐容表标定-2010A题

全国大学生数学建模竞
赛历年赛题
Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
全国大学生数学建模竞赛历年赛题
2009：AB
CD
2010：A储油罐的变位识别与罐容表标定
B2010年上海世博会影响力的定量评估
C输油管的布置
D对学生宿舍设计方案的评价
2011:A城市表层土壤重金属污染分析
B交巡警服务平台的设置与调度
C企业退休职工养老金制度的改革
D天然肠衣搭配问题
2012:A葡萄酒的评价
B太阳能小屋的设计
C脑卒中发病环境因素分析及干预
D机器人避障问题
2013:A车道被占用对城市道路通行能力的影响
B碎纸片的拼接复原
C古塔的变形
D公共自行车服务系统
2014:A嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略B创意平板折叠桌
C生猪养殖场的经营管理
D储药柜的设计
2015:A太阳影子定位
B“互联网+”时代的出租车资源配置
C月上柳梢头
D众筹筑屋规划方案设计。

附件1：小椭圆储油罐的实验数据
附件2：实际储油罐的检测数据
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

储油罐的变位识别与罐容表的标定方法摘要本文研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况，我们以微积分知识为基础，最终建立了一个油量容积与纵向倾斜角度和横向偏转角之间的一般模型。

针对问题（1），当油罐无变位时，我们首先求出油面横截面的面积，然后沿着油罐的中心轴线积分，从而求出油量容积与油位高度之间的关系式；当油罐发生倾斜变位时，我们着重找出油面横截面面积与倾角α、油位高度h之间的关系，然后对h进行分类讨论，划出不同的h值下的油量容积计算公式。

同时，我们还从容积补偿的角度把侧面图中的三角形或梯形转换成矩形来做，从而很容易的得出了油量容积计算公式。

针对问题（2），我们先建立了只有纵向倾斜状态的油罐的数学模型，然后推广到同时经历了纵向倾斜和横向偏转的情况，进而建立了一个积分模型。

同时我们考虑到将油罐的球冠等体积的近似成圆柱体，建立油罐的一个近似模型，然后运用问题（1）中的模型，得到整个油量的容积。

为了确定题中的角度参数，我们根据附表中的数据对α、β从0到10°间隔为0.01°的所有角度组合计算给出的所有高度下的油量容积，并与求绝对误差，最终找到一个最小的角度组合，这就是我们要求的变位参数。

文章还分析了误差产生的原因，并提出了“修正高度”的概念。

关键词：积分容积补偿积分模型近似模型修正高度1.模型假设随着社会经济的发展，汽车逐渐普及，路边上加油站的数目也不断增加。

一般加油站都有若干个存储燃油的地下储油罐。

从图1可以看到，这种储油罐是由一个圆柱（长为l，半径为b）和两个相同的球冠（球冠半径R）焊接而成的。

现在的一个问题是，如何计算油罐中所剩油料的体积。

这个问题在加油站管理中有很重要的意义。

图1 储油罐正面示意图经典的方法是：采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况，本文现在所要做的正是罐容表的标定。

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文主要探讨了储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

本文通过建立合适的坐标系，使用二重积分的方法和近似积分、坐标变换等技巧，求解了小椭圆储油罐和实际储油罐在发生变位时储油量与油高变化的函数关系，从而分析了罐体变位后对罐容表的影响，并对数据结果和误差进行了详实的分析。

本文在模型的建立与求解的过程中始终遵循化繁为简的原则，最先考虑简化的基本模型，再通过变换推导出实际的模型。

在第一问中，我们首先假设油罐壁的厚度为零，并通过二重积分的计算了小椭圆储油罐在无变位情况下的理论储油量。

其次我们通过运用几何原理通过坐标变换利用现有模型计算了小椭圆储油罐在纵向倾斜后的理论储油量。

在进行误差分析时，我们发现误差非线性，且误差数量级较大，得出油罐壁的厚度应不为零的结论，且经过理论分析油量3()V O d =，故我们用三次多项式拟合误差曲线()f H ，并通过'()()()V H V H f H =-修正了油量的计算公式。

经检验，修正后模型的计算值与实际值十分吻合，模型准确度很高。

并且，我们用修正后的模型V'(H)对油罐进行了标定。

在第二问中，我们利用了问题一中的模型求解罐身中的油量体积，并通过二重积分给出了油罐凸头部分油量的计算公式，其中，在油罐发生纵向倾斜时，我们队凸头部分的油量进行了合理的近似计算。

并且，我们通过坐标变换，给出了211()((,,((),))V H f f H f H αββα==））的变位参数修正形式。

在求解变为参数α、β时，我们通过最小二乘法拟合()V H ，求出了 2.1258, 4.6814αβ︒︒==。

将此变位参数代入模型中进行检验，得出理论计算值与实际值的相对误差限为5.006%，平均相对误差为0.029%，模型准确可靠。

最后我们用所得模型对油罐进行了标定。

关键词：储油罐 油量 倾斜 标定问题的重述与分析1、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。