基于W-M分形函数的三维粗糙表面摩擦生热研究

第16卷第3期2018年6月
中国工程机械学报
C H IN E SE JOURNAL OF CONSTRUCTION MACHINERY
Vol. 16 No. 3
Jun. 2018
基于W-M分形函数的三维粗糙表面摩擦生热研究
刘宇，邓宏盛，张生芳，沙智华，马付建，尹剑
(大连交通大学机械工程学院，辽宁大连116028)
摘要：将W-M分形函数引人风电制动器制动过程的摩擦生热研究中，根据W-M分形表面形貌的特点及利用其
特有的自相似性，以Matlab软件模拟出粗糙表面的分形曲面形貌.通过Creo软件建立不同分形维数的粗糙表面
模型，运用Abaqus有限元软件分析分形维数、相对滑动速度、施加载荷对粗糙表面制动过程中闪点温度和接触
压力的影响.结果表明：随着分形维数增大，摩擦区域块状热区的数量减少，而点状热区的数量增多;相对速度越
大时，接触区域最顶端的微凸体节点温度也越大,非接触区域温度上升速率也越快;施加载荷增大时，微凸体的
最高闪温点的温度变化幅度不大，但会影响热区的数量大小与次闪温点和非接触点的温度.
关键词：粗糙表面（W-M函数；分形维数；摩擦生热
中图分类号！T H164 文献标志码：A文章编号！1672- 5581(2018)03-0194 - 08
Research on friction heat /en eration o f three dimensional
r o u/h surface based on W-M fractal function
LIU Y u，DENG Hongsheng，ZHANG Shengfang，SHA Zhihua，MA Fujian?YIN Jian
(School of M echanical Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,Liaoning,China)
Abstract：The Weierstrass-Mandelbrot(W-M)fractal function is introduced into the research of friction
heat generation in braking process of wind power brake.According to the characteristics of surface morphology of W-M fractal theory and its unique self-similarity,the fractal surface morphology of surface is simulated by using Matlab.The rough surface model with different fractal dimensions is
established by Creo software.And the flash point temperature and contact stress in rough process are analyzed under different fractal dimensions,relative sliding velocities and applied loads through
finite element software Abaqus.The results show that the number of block hot zone number of dotted hot zone decreases in friction areas as the fractal dimension increases.The relative velocity is，the greater the temperature of the asperity nodes is at the top of the the faster the r ate of temperature rises in the non-contact region.When the applied load increases,the temperature of the highest flash point of the asperity increases little，but t can affect zones and the temperature of the sub-flash point and non-contact point.
Key words：rough surface；W-M fractal function；fractal dimension；friction heat
大功率风电制动器具有制动转速高、制动力矩 大的特点，其制动过程中大部分动能通过摩擦作用
转化为热能，制动器摩擦副表面将产生大量摩擦 热.制动闸片由于局部高温和应力集中的原因，材料属性发生改变，造成闸片不均匀摩擦损耗的加 剧，影响了风电制动器的制动性能，并降低了制动 闸片材料的利用率，因此，如能对制动过程中摩擦 接触的微观过程进行深入研究，即可有效预测摩擦
基金项目：国家自然科学基金资助项目（51675075,51475066);辽宁省自然科学基金资助项目（2015020114)作者简介:刘宇"982 )，男，副教授.E5nail:liuyu_ly l2@
通信作者:张生芳(1973 )，男，教授，博士生导师.E~mail:zsf@djtu. edu. cn
第3期刘宇，等:基于W-M分形函数的三维粗糙表面摩擦生热研究195
副接触表面的力-热分布状态，进而为改善制动摩 擦副的工作性能，提高制动闸片的使用寿命提供理 论依据*
制动过程中制动盘与闸片接触表面的摩擦接 触，其微观实质是两个粗糙表面上一系列不规则微 凸体的相互接触过程.实际滑动摩擦过程中，由于 真实接触面积远小于名义接触面积且不连续，造成 摩擦副间很小的真实接触面积上承担很大的实际 载荷，接触微凸体将发生弹塑性变形，并形成“热 点.这些“热点”就是制动摩擦副的局部闪温.局 部温度过高，及由此导致的摩擦副材料属性变化会 引起两接触表面状态的变化.粗糙表面之间的滑动 摩擦实质上是一个复杂的非线性接触问题.粗糙表 面的形貌和接触特性对制动过程摩擦、磨损和传热 都有着重要的影响.因此，研究粗糙表面轮廓形貌 以及其对滑动摩擦中的温度与应力的影响有重要 的应用价值*
一直以来，国内外学者就粗糙表面轮廓形貌进 行了表征，并对其接触摩擦的过程进行了大量的研 究.Archard$在其研究中首先体现出了分形的思 想，将多尺度粗糙表面看作较大尺度的球形微凸体 上承载了一簇较小尺度的球形微凸体* Mandelbort3首先提出了分形这一概念，并创立了 分形几何学，用于解释那些不规则的、破碎的、参差 不齐的和断裂的形状;其次在Weierstrass函数的 基础上，提出了一种分形曲线函数的表达式，称为 Weierstrass-Mandelbrot分形函数（简称 W-M分形 函数).Mandelbort提出的分形理论被逐渐应用到 摩擦学的研究中.BhushanM基于W-M分形函数提 出了 M-B分形模型，用W-M分形函数来模拟粗糙 表面的轮廓线，把模拟两粗糙表面的接触简化为一 等效粗糙表面与一理想刚性光滑平面的接触，提出 了分形接触模型.葛世荣等3研究了通过磨削、车 削等加工方法得到的表面轮廓曲线，发现粗糙表面 具有明显的分形特征，提出分形维数与表面粗糙度 之间呈负指数关系，并定义了特征粗糙度这一概 念.魏龙等[6]考虑微凸体的变形特征和摩擦作用的 影响，建立了滑动摩擦表面的分形接触模型，采用 一个三次多项式来表达弹塑性变形微凸体的接触 压力与接触面积的关系，并推导出不同临界条件下 微凸体的真实接触面积.邓可月等)]利用分形理论 对表面形貌的分形特点进行研究，在建立W-M分 形函数模型的前提下，对表面轮廓形貌进行二维及 三 的 拟 ，数
廓曲面形貌的主要参数.韩传军等)]建立了一个含球形微凸体粗糙表面与理想平面的滑动接触模型，探究了特定形状微凸体在摩擦过程中的应力与温度变化规律.本文基于W-M分形理论建立粗糙面微接触的滑动计算模型，将两个粗糙表面简化为一个分形粗糙表面与一个光滑平面的组合，建立粗糙面的滑动接触有限元计算模型，结合大功率风电制动器高速重载的制动工况，在不同分形维数、相对运动速度及施加载荷的边界条件下，模拟并分析了制动过程中粗糙表面的摩擦生热及热应力变化规律.分析结果为进一步研究制动过程中微观摩擦机理研究、粗糙表面摩擦副的闪点温度、摩擦副接触的力-热布状了参依*
1基于W-M分形函数的粗糖表面模型建立
W-M分形函数可以准确地模拟和重构具有分特的，不，其本
具有自相似性，是用于表示随机轮廓的一种典型函数)].其适用于工程表面的数学模型表达式为
Z(x') < G a>~1>(#(B_2) n c o s(2%#'x)
w < 'i
(1<B<2，#>1)(1)
式中：Z(x)为随机表面形貌的高度；x为轮廓的位置坐标;>为分形维数，它描述函数Z(x)在所有尺度上的不规则性；+为特征尺度系数，它反映
Z(x)幅值大小，并决定Z(x)的具体尺寸#为轮
廓的空间频率，对于服从正态分布的随机轮廓，为适用于高频谱密度及相位的随机性，一般#的取值为1. 5.基于W-M分形函数的三维分形表面的数为
Z(x，6)<(9'#(Bs_3)'s i n[#'(x c o s!'=
w < 1
y s in B')+ A n](2<D s<3)(2)式中：9w为尺度系数，是服从均值为0、方差为1的正态分布的随机数;A w与！…为相互独立且服从[0,2%]均匀分布的随机数;D S为理论分形维数；w 为自然序列数.
以W-M分形函数公式为理论基础，借助M a t l a b软件进行编程，在固定某些特定参数的条件，对数，拟不同数
的粗糙貌， 1 . 参数中尺度
数取定值9=0.01，自然序列数为'=1，2,…，100.在选取横纵坐标x，y时，由于分形函数公式
196中国工程机械学报第16卷
的特性，要求％*〇,私*〇.因此，横纵坐标的选取区 间定在区间[1，2]内.在区间内，％方向与^方向上 间距0.04上 点，取样点的数量为％ ] ^方向各26个，点数为676个（晤
和石％的两个随机数，求 点的2坐值，拟合并最终绘制出三维状 不同数的微观 廓形貌.
图1(a)〜图1(e)分别为分形维数2. 1，2. 3, 2. 5,2. 7和2.9时获得的三维粗糙表面轮廓形貌. 从图1看出，粗糙 廓曲 不规则，呈现出高低不平的形状，不同 数下的曲
凸程度 明显，不仅显 了轮廓形状的随机性，还体现出了 貌的复杂性.随着 ：数值的逐渐增大，粗糙 廓形貌 复杂，凸程度 ，且高度幅值，频率 ，这说明了 数 廓曲貌的主要参数，这为通过 数建立不同粗糙程度的摩擦 了依据.
2摩擦生热有限元模型的建立
2.1三维粗糙表面模型的建立
由于粗糙 廓形貌的不规则性，三
用 限元模拟，不仅需要增加 数量导致运算量显著上升，而且很容易不 的情况，因此，需要对粗糙 廓进行光滑 .运用Matlab中的 拟合功能，粗糙 廓拟 滑 廓形貌，拟合后貌的凹凸程度 并 发生太大 ，但表面滑程度较高，适合三 的建 限元仿真.选取其中一组分形维数认=2. 7的三维粗糙表 廓，将其拟合后的 点数据导 Creo 中生 三 ，粗 糙 的廓 貌 2所示.
Ds = 2.1fractal dimension after
fitting
第3期刘宇，等:基于W-M分形函数的三维粗糙表面摩擦生热研究197
2.2边界条件与有限元计算模型
2.2.1 热边界条件
在有限元 的中，元不能穿透目标面，而目 元 ，且目
准为平面& 粗 大的，而 都 度偏软的面.根据这一性质，选择制动盘为光滑 作为目标面，而制动闸片为粗糙 作为 .在制动过程中，摩擦生热产生的能量为
M 二F h + $ + %(3)式中:是摩擦耗散能 能量的比 数，当为摩擦全部 为热量的情况下，F h的值为1 $为等效摩擦应力；r为滑动率.分配在（面和 目的摩擦生热能量 为和心，艮
M e 二F w •F h • $ •V
gt 二"-F w) •F h • $ •V⑷式中：F w为 与目 间的热量 重因子，M e和Mt的关系为
二9； • &；•N e3)
M t槡Ct • &t •kt
式中&e，&t为 目的密度；C；Ct 为 目的比热容；k e k t为接目的热导率[1%].在 制动盘（目标)和制动闸片"）材料属性计 热分配系数 为31%和69%.
在制动过程 的热边界条件中，热传导占主导地位，摩擦 区域温度T t，其中，接触面和目 中，接触部分的热传导方程为
k e^；二k;(Tt - Te) = M e
'T
k t^ 二kt(Te > Tt) = M t(6)
与目 部分主要的热边 -为热对流，其中，目的非 部分的热对 程为
7'Te
ke二
'之
-huCTe-T a)
7'Tt
kt二-213(Tt --T a)()式中：T a S介质的温度，时 的温度2!$为 与 介质的对 热系数213为目 与 介质的对 热系数.经计算，将对 热系数 为 13.35 N •m/(h •km2).
2.2.2 !限元计
为简 ，提高 率，对摩擦生热模型作 基本 ：①两摩擦件的材料组成均匀，且同性;②制动闸片材料(铜基 金）和制动盘材料(Q345-B)的密度、比热、热导率、热 系数、弹 量、泊松比等各项 参数均为常数，且不受温度 ；③由于滑动过程时间 ，因，热传导和热对流的 ，忽略热 的作用;④ 粗糙 的磨损及其 ，认为动能为摩擦热而被摩擦副 ；⑤摩擦过程中，摩擦定律，摩擦系数保持不变.两摩擦材料的热 参数 1 .
表1摩擦件材料物理参数
Tab. 1Friction material physical parameters
材料
度/热导率/比热容/线弹性模量/数/
比(kg • m"3)(W. m"1• 〇C -1)(•k g"1•C"1)Pa C "1
(制动盘)Q345-B7 85048480 2.04X1010.95X10"50.31 (制动闸片)铜基粉末冶金 5 250400436 1.80X1011 1.11X10"50.30
为简化运算，制动盘和制动闸片均米用局部丰旲 ，对两者的三 划分，划分后的有限元 3 .图3中：上 为 粗糙 用 元划 ，共计有19 392个元（C3D4T);_ 为光滑 ，理想滑平 外 则，为减少运算量，选用：体元(C3D8T)划 ，共计有9 600
元.由 计算及弹塑性计算的复杂性，S J 计 本，滑动 为L= 20 mm.运动过程分为2阶段:第1阶段在 上施加载荷，钐粗糙 运动，挤压光滑 ，在光滑 的限制Z自由度，并对粗糙体的侧表
施加法 ；第2阶段对光滑平 施加不同的度载荷*
图3制动过程分形粗糙体与光滑表面有限元模型Fig. 3 :in ite elementmodel (11racta0 aFerture a)d
#?rface )01x^8
#
198
中国工程机械学报第16卷
3摩擦生热仿真结果分析
制动过程中，各种因 同作用
摩擦生
热.为探究不同因
自对于摩擦生热的
程度，在保证其他参数不变的情况下，量以研究其对制动过程中摩擦生热的 .因，选取不同 数、滑动速度以及施加载荷的
，对制动过程
粗糙
的摩擦生热
探
究，结合大功率风电制动器制动的实际工况，选取
分形维数认分别为$1，$3，$5和$7，运动速度 8
为10,20,30和40m /s ，施加载荷P
为10,20,30和40MPa ，以探究不同 量
对
粗糙
摩擦生热的
.
39分形维数对摩擦生热的影响分析
图4(a )〜图4(d )# 施加载荷为30MPa
时，
数认为2.1，2. 3,2. 5和2. 7不同情况
，摩擦初期的
热区分布形貌图.图4(a )为分
形维数认=2.1时的温度分布云图，从图中可以看 其热区分布形式主要
状热区为主，点状热区
的数量 少数，而在制动初期其最大闪点温度
为146. 7°C •图4(b )为分形维数认二2.3时的温度
布 ， 4(a )其块状热区的数量 减
少，而点状热区的数量呈增长的 ，其制动初期
的最大闪点温度为200. 7 C .图4(c )为 数认二2. 5时的温度分布
，块状热区的
与数量都有大幅度减少，而点状热区的数量
过
了块状热区的数量.其制动初期的最大闪点温度为 276.2 C •图4(d )为分形维数认二2.7时的温度分 布 ，其热区基本上都为点状热区，而制动初期的最大闪点温度为317.0C .从图4的温度分布云
，
数较小时，摩擦初期
‘
的热区 状热区
，而点状热区的数量偏少，
随着
数的增大，点状热区的数量增多，而块
状热区的数量减少，形成这 的原因
数较小时， 貌复杂程度低，分形粗糙
’
位 内的
数量 少，表面更为平
，因此，更容易
状热区.而随着
数增大，
貌的复杂程度也随之上升，
凸程
度 ， 位 内 的 数量
随之增加，点状热区 的概率随之增大.此外，随
着 数增大，粗糙
的最高温度也呈现上升 .这是因为 数较小时，接触部分
大
，接触部
大
压力较小，因此，
图4不同分形维数情况下粗糙表面热区分布图
Fig. 4 Rough surface hot zone distribution at different fractal dimension
m
B r
'备r B B -
a
a
w
第3期刘宇，等:基于W-M分形函数的三维粗糙表面摩擦生热研究199
摩擦初期摩擦生热的最大温度值较小（数
大时，部分减少，点 部分增加，导
大 压力值也随之增大，其 的微凸体的最大
闪点温度也随之升高.由图4还可看出，虽然 ：
粗糙曲面在构造时 随机性的特点，导致摩擦
生热 的热区分布 在着 的随机性，
数数值的 还 对摩擦生热产生较
大 •
3.2运动速度对摩擦生热的影响分析
图5为不同相对运动速度下，滑动时间为500
+s内的 粗糙 顶端微凸体节点（节点
814)的温度随时间 程图.由图5 发现，在制动过程中，温度随着时间的 上升 •温度曲 的趋势，其分为2个阶段:第1个阶段"〜$0 +s)为 增长阶段;第$ !段"0〜500 +s)为缓慢增长阶段.从图5中看 ，相对运动速度越高，急剧增长阶段微凸体的温 升 大，缓慢增长阶段微凸体的最高温度值
大.当速度 为10，$0,30和40m/s时，粗糙峰最大温度分别为 $15. $95°C，388.176 °C，539.303 °C和 691.053 e*
图B分形粗糙体最高微凸体(节点814)温度-时间曲线图Fig. 5 Temperature-time curve of highest asperity
(Node 814) in fractal aperture
不同相对运动速度下，粗糙体非 区域节点(节点504)温度-时间 曲 6 .由图6 ，非 节点的温度随着制动时间的 ，呈
似 增长的 .当相对运动速度越大时，曲线的斜率 大，这是因为速度 凸体的最高温度越大，微凸体与非 部分温 大，导致非区域的热 率 ，其结论
”•
39施加载荷对摩擦生热的影响分析
丨7")〜图7(d)运动速度为$0m/s，
Fig. 6 Temperature-time curve of non-contact surface (Node 504) in fractal aperture
分形维数认Z$. 7条件下，施加载荷为10, $0,30 40M Pa的分形粗糙 压力 •从图7(a)中可以看出，当施加载荷为10MPa时，加载后 的制动初期最大 压力为1 588 MPa，实际接触
点的数量为7个.在图7(b)中，施加载荷为$0MPa，加载后的制动初期最大压力为1 714 MPa,实 点 7(a)有所增加，其数量大约为14个.在图7(c)中，加载后的制动初期最大 压力为1 653 MPa，实 点 70有小幅增加，其数量大约为18 .图7(d)为施加载
荷为40M Pa的压力 ，其在加载后的制动初期最大 压力为1 564 MPa，实 点数量在$6 *7 看出：当施加的载荷越大，真实的 大，接触点数量 ，但接触点数量呈非 增 ；且实 点的 压力远大于施加载荷，最大 压力数值 1600 MPa,;随着施加载荷的增加，大 压力出现了 程度起伏的情况，情况的原因实的粗糙 状 随机性与不规则性，使
并不是随着载荷增大而等比例的增大，这就导 压力并不随载荷增大而增大，而是在大 压力 小幅波动.
8()〜图8()施加载荷为10，$0,30和40MPa的分形粗糙表面的温度云图.从图8(a)中看出，当施加载荷P= 10MPa在制动过程
时，其最大闪温为443.7 C，并形成以最高闪温点为 中心的 热区，且温度梯度的 明显.在图8 (b)中，当施加载荷P= $0MPa时，，8 (a)其热区的 张，热区数量 增幅，其制
动末期的最大闪点温度为456.0°C.在图8(c)中，施 加载荷后热区的 与数量都
量的增加，
200
中国工程机械学报第16卷
(b) P=20 MPa
图G 不同施加载荷下分形粗糙表面接触压力分布云图
Fig. 7 Fractal rough surface contact pressure distribution at different applied loads
图8
不同施加载荷下分形粗糙表面温度分布云图
Fig. 8
:犷$咖0
temFeratme
at 2iffere)t $口卩以2 ($28
NT11
*-+4.530e+02 +4.277e+02 +4.024e+02 +3.771e+02 +3.518e+02 +3.265e+02 +3.012e+02 +2.759e+02 +2.506e+02 +2.254e+02 +2.001e+02 +1.748e+02 ■-+1.495e+02
(c) P=30 MPa
CPRESS +1.428e+02+5.192e+02
+1.298e+02
CPRESS +1.515e+03+1.378e+03+1.102e+03
+5.511e+02+4.133e+02+1.378e+02
CPRESS
1.714e+031.571e+03
+1.142e+03
+7.140e+02+5.712e+02-+4.284e+02+1.428e+02
CPRESS
+1.564e+03+1.433e+03■-+1.303e+03+1.173e+03+1.042e+03+9.120e+02—+6.515e+02
+1.303e+02
NT11
+3.971e+0：^
+3.088e+0：^+2.793e+02+2.499e+02+1.910e+02+1.615e+02+1.321e+02+1.026e+02
(b) P=20 MPa
NT11
+4.541e+02+4.116e+02
+2.45e+02+2.202e+02+1.989e+02
(d) P=40 MPa
NT11
^+4.437e+02+4.107e+02+3.777e+02+3.447e+02+3.117e+02
+1.138e+02+8.084e+01+4.786e+01
(a) P=10 MPa
第3期刘宇，等:基于W-M分形函数的三维粗糙表面摩擦生热研究201
其制动末期的最大闪点温度为453°C.图8(d)为施 加载荷P= 40MPa时的温度分布云图，可以看出，在 制动末期热区数量的分布范围广且密集，且不少独 立热区在最后合并成了整块热区，其最大闪温为454.1 C.从图8中可以看出，当施加载荷越大时，真 实接触面积随之增大，在摩擦过程中，形成的热区数 量越多，随着时间的推移，热区的面积也逐渐扩张. 但在不同载荷作用下，其微凸体的最高温度基本都 处于450.0 C左右，这是由于最大闪温点一般都是 分形粗糙曲面的最高点，也是分形粗糙曲面最大接 触压力点.由前文分析可知，不同接触表面最大接触 压力值虽有较小波动，但是其值相差不大，因此，最 高闪温点由于摩擦生热所产生的热量也相近，最高 闪温点的温度也近似相同.但由于载荷增大、热区增 多的原因，次闪温点的数量也会增多，且受到热区增 多的影响，非接触区域受到更多热区热传导的作用，因此，载荷越大非接触区域单位时间内温升越显著. 综上所述，施加载荷的大小对于微凸体的最高闪温 点的温度影响并不大，但会对热区的数量以及一些 次闪温点和非接触点的温度造成一定的影响.
4结论
本文基于W-M分形函数，建立了制动接触摩 擦副三维粗糙表面模型，将两个粗糙表面简化为一 个分形粗糙表面与一个光滑平面的组合.结合热传 递理论及风电制动过程的实际工况，建立了制动盘 与闸片粗糙表面的滑动摩擦有限元模型，模拟并分 析了制动过程中粗糙表面的摩擦生热及热应力变 化规律，得到如下结论：
")粗糙表面的分形维数对摩擦生热有较大 影响，当分形维数较小时，摩擦初期形成的热区以 块状热区数量较多，而点状热区的数量偏少.随着 分形维数的增大，点状热区的数量增多，而块状热 区的数量减少，且粗糙体接触界面的最高温度也呈 现上升的趋势.
")分形粗糙表面最高温度随运动时间的变 化过程可分为急剧增长和缓慢增长两个阶段.相对 运动速度越高，接触区域最顶端的微凸体节点在急 剧增长阶段的温升越大，在缓慢增长阶段的最高温 度值也越大，并且非接触面区域的温升速率也.
")施加载荷越大，接触点数量越多，真实的 接触面积越大，且实际接触点的接触压力远大于施 加载荷，但接触压力不随着载荷增大而成比例增大.随着施加载荷的增加，微凸体的最高闪温点的 温度变化幅度不大，但会影响热区的数量大小与次 闪温点和非接触点的温度.
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